专题4.8 代数式全章专项复习【4大考点15大题型】-【新教材】2024-2025学年七年级数学上册举一反三系列（浙教版2024）

专题4.8 代数式全章专项复习【4大考点15大题型】 【浙教版2024】 【考点1 代数式】 2 【题型1 代数式的意义】 3 【题型2 列代数式】 3 【题型3 规律探索】 4 【考点2 代数式的值】 5 【题型4 先求字母的值，再代入求值】 5 【题型5 程序流程图中代入求值】 5 【题型6 整体代入求值】 6 【题型7 解决实际问题】 7 【考点3 整式】 8 【题型8 识别单项式】 9 【题型9 识别多项式】 9 【题型10 利用多项式的项与次数求值】 10 【考点4 整式的加减】 10 【题型11 同类项的应用】 10 【题型12 “不含”某项问题】 11 【题型13 与某项“无关”问题】 11 【题型14 利用整式加减解决实际问题】 12 【题型15 与整式加减相关的情境问题】 13 【考点1 代数式】 1.用含字母的式子表示数 用字母或含有字母的式子表示数和数量关系,为我们今后的学习和研究 带来了极大的方便. 用含字母的式子表示数的书写规则: (1) 字母与字母相乘时, “×”号通常省略不写或写成“·”; (2)字母与数相乘时,数通常写在字母的前面; (3)带分数与字母相乘时,通常化带分数为假分数 (4)字母与字母相除时,要写成分数； (5)当式子为几个数的和或差的形式,且结果带单位时,式子整体加括号. 2.代数式的概念 用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫代数式. 单独的一个数或字母也是代数式.例如:0,a都是代数式. 3.代数式的意义 根据生活实际将给定的代数式的意义用语言叙述出来,就是将代数式的字母及运算符号赋予具体的含义. 4.列代数式 把简单的与数量有关的词语用代数式表示出来叫作列代数式. 例如:用代数式表示:a与a减去b的差的商,其中运算词“差”表示的数量关系是a减去b.列成式子为a-b;运算词“商”表示的数量关系是. 5.正比例关系和反比例关系 1.正比例关系:两个相关联的量,一个量变化,另一个量也随着变化,且这两个量的比值一定,这两个量就叫作成正比例的量,它们之间的关系叫作正比例关系.如果用字母x和y表示两个相关联的量,用k表示它们的比值(k是一个确定的值,且k≠0),正比例关系可以用=k来表示，其中k叫做比例系数. 2.反比例关系:两个相关联的量,一个量变化,另一个量也随着变化,且这两个量的乘积一定,这两个量就叫作成反比例的量,它们之间的关系叫作反比例关系.如果用字母x和y表示两个相关联的量,用k表示它们的积(k是一个确定的值,且k≠0),反比例关系可以用xy=k或y=来表示,其中k叫作比例系数. 【题型1 代数式的意义】 【例1】（2024七年级·全国·专题练习）请仔细分析下列赋予实际意义的例子中错误的是（　　） A．若葡萄的价格是4元，则表示买葡萄的金额 B．若a表示一个正方形的边长，则表示这个正方形的周长 C．若4和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则表示这个两位数 D．某款凉鞋进价为a元，销售这款凉鞋盈利，则销售两双的销售额为元 【变式1-1】（23-24七年级·山东枣庄·期中）代数式可以解释为： （举一例说明它的实际背景或几何背景）． 【变式1-2】（23-24七年级·四川成都·期末）某商店举办促销活动．促销的方法是将原价为x元的衣服以元出售，则下列关于代数式的含义的描述正确的是（    ） A．原价打8折后再减去7元 B．原价减去7元后再打8折 C．原价减去7元后再打2折 D．原价打2折后再减去7元 【变式1-3】（2024七年级·全国·专题练习）学校买来个足球，每个元，又买来个篮球，每个元，表示 ． 【题型2 列代数式】 【例2】（23-24七年级·湖北武汉·期中）某店对售价为a元的水果进行降价，拟采取三种方案：方案一：第一次降价10%，第二次降价30%；方案二：第一次降价20%，第二次降价15%；方案三：第一、二次降价均为20%．降价最多的是（    ） A．方案一 B．方案二 C．方案三 D．不能确定 【变式2-1】（23-24七年级·全国·课后作业）张老板以每颗a元的单价买进水蜜桃100颗，现以每颗比单价多20%的价格卖出80颗后，再以每颗比单价低b元的价格将剩下的20颗卖出，则全部水蜜桃共卖(　　) A．[80a＋20(a－b)]元 B．[80(1＋20%)a＋20b]元 C．[100(1＋20%)a－20(a－b)]元 D．[80(1＋20%)a＋20(a－b)]元 【变式2-2】（23-24七年级·全国·课后作业）食堂有大米，原计划每天用大米，实际每天节约大米，节约后可以多用 天． 【变式2-3】（23-24七年级·河南郑州·期中）某商店出售一种商品，其原价为元，有如下两种调价方案：方案一是先提价，在此基础上又降价；方案二是先降价，在此基础上又提价． （1）用这两种方案调价后的价格分别是多少？结果是否一样？调价后的结果是不是都恢复了原价？ （2）两种调价方案改为：方案一是先提价，在此基础上又降价；方案二是先降价，在此基础上又提价.这时结果怎样？ （3）你能总结出什么结论呢？ 【题型3 规律探索】 【例3】（2024·云南玉溪·一模）观察下列一组数：，，，，，，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第个数是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·山东聊城·模拟预测）由同样大小的棋子按照一定规律组成如图所示的图形，其中图有颗棋子，图有颗棋子，…，则图有 颗棋子． 【变式3-2】（23-24七年级·云南昆明·阶段练习）按一定规律排列的一列数依次为：，按此规律排列下去，这列数中第个数(为正整数)分别是(    ) A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24七年级·陕西安康·期末）如图，图形都是由同样大小的按一定规律组成的，其中第（1）个图形是由4个组成的，第（2）个图形是由7个组成的，第（3）个图形是由10个组成的，…，则第（n）个图形是由 个组成的． 【考点2 代数式的值】 1. 代数式的值 用数值代替代数式中的字母,按照代数式中的运算关系计算得出的结果,叫作代数式的值.这个过程叫作求代数式的值. 2. 求代数式的值的步骤 求代数式的值有代入和计算两步. 第一步:用数值代替代数式里的字母,简称“代入".代入时,将相应的字母换成已给定的或已算出来的数值,其他的运算符号、原来的数字及运算顺序都不改变. 第二步:按照代数式中给出的运算,计算出结果,简称“计算”. 代入的值不同,最后计算出的结果也可能不同. 【题型4 先求字母的值，再代入求值】 【例4】（23-24七年级·江苏南通·阶段练习）若是最大的负整数，是绝对值最小的数，与互为相反数，则 ． 【变式4-1】（23-24七年级·广东江门·阶段练习）若，则 ． 【变式4-2】（23-24七年级·江苏无锡·阶段练习）若规定表示不超过的最大整数，例如，若，则在此规定下的值为 【变式4-3】（23-24七年级·河北石家庄·阶段练习）已知a，b互为倒数，x，y互为相反数，m是最大的负整数，则的值为(   ) A．1 B．3 C．4 D．6 【题型5 程序流程图中代入求值】 【例5】（23-24七年级·江苏苏州·阶段练习）在如图的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，⋯，则第2023次输出的结果为（    ）    A．3 B．6 C．1010 D．2023 【变式5-1】（23-24七年级·四川凉山·期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的x值为1，则最后输出的结果是（ ） A． B．2 C．6 D．9 【变式5-2】（2024·山东东营·模拟预测）定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时， （其中是使为奇数的正整数），两种运算交替重复进行，例如：取，则，其中第1次，第2次，，若，则第次“”运算的结果是 ． 【变式5-3】（23-24七年级·江苏无锡·期末）图①中每相邻两条线间，有从上至下的几条横线（即“桥”），这样就构成了“天梯”．运算符号“+、﹣、×、÷”在“天梯”的竖线与横线上运动，它们在运动的过程中按自上而下，且逢“桥”必过的规则进行，最后运动到竖线下方的“〇”中，将a，b，c，d，e连接起来，构成一个算式．如：“+”号根据规则就应该沿图中箭头方向运动，最后向下进入“〇”中，其余3个运算符号分别按规则运动到“〇”中后，就得到算式．根据如图②所示的“天梯”计算当，，，，时所写算式的结果为（  ） A． B． C． D． 【题型6 整体代入求值】 【例6】（23-24七年级·江西九江·期中）已知：，则代数式的值为（    ） A．5 B．14 C．13 D．7 【变式6-1】（23-24七年级·江苏徐州·期末）如果代数式的值为1，那么代数式的值等于（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 【变式6-2】（23-24七年级·浙江杭州·期中）当时，代数式的值是8，则当时，这个代数式的值是（   ） A． B．4 C．8 D．6 【变式6-3】（23-24七年级·河北廊坊·阶段练习）当时，的值为－3，则的值为（    ） A． B．9 C． D．12 【题型7 解决实际问题】 【例7】（23-24七年级·全国·单元测试）如图，两摞规格完全相同的课本整齐叠放在讲台上．请根据图中所给出的数据信息，回答下列问题： (1)每本课本的厚度为 ； (2)若有一摞上述规格的课本x本，整齐叠放在讲台上，请用含x的代数式表示出这一摞数学课本的顶部距离地面的高度； (3)当时，若从中取走13本，求余下的课本的顶部距离地面的高度． 【变式7-1】（23-24七年级·新疆喀什·期中）学校需要到印刷厂印刷份材料，甲印刷厂提出：每份材料收0.2元印刷费，另收400元制版费；乙印刷厂提出：每份材料收0.4元印刷费，不收制版费． (1)两印刷厂的收费各是多少元？（用含的代数式表示） (2)学校要印刷2400份材料，不考虑其他因素，选择哪家印刷厂比较合算？试说明理由． 【变式7-2】（23-24七年级·江苏淮安·期中）如图，池塘边有一块长为21米，宽为18米的长方形土地，现在将其余两面留出宽都是x米的小路，余下的长方形部分做菜地． (1)长方形菜地的面积为_____________平方米（用含x的代数式表示，不需要化简）； (2)当时，长方形菜地的面积是多少平方米？ 【变式7-3】（2024·安徽合肥·模拟预测）某广场铺设的地砖为正方形，如图①所示且带有图案，铺设地砖拼成一圈的图案如图②所示． 【观察思考】如图②，当地砖铺设了1圈时，地砖用了4块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有1个；如图③，当地砖铺设了2圈时，地砖用了12块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有2个；…    【规律总结】 (1)当地砖铺设了5圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个； (2)当地砖铺设了n（n为正整数）圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个（用含n的代数式表示）； (3)若每块地砖的价钱为18元，当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，则铺设的地砖共需要花费多少元？ 【考点3 整式】 1.单项式 （1）单项式：表示数字或字母乘积的式子，单独的一个数字或字母也叫单项式； （2）单项式的系数：单项式中的数字因数（要包括前面的符号）； （3）单项式的次数：单项式中所有字母指数的和（只与字母有关）. 2.多项式 （1）多项式：几个单项式的和叫多项式； （2）多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数. 3.整式 （1）单项式和多项式统称为整式（整式是代数式，但是代数式不一定是整式）. （2）单项式、多项式与整式的关系如图所示. （3）判断整式、单项式及多项式的方法 a.单项式不含加减运算,多项式必含加减运算; b.多项式是几个单项式的和,多项式不包含单项式; c.单项式和多项式都是整式,分母中含有字母的都不是整式. 【题型8 识别单项式】 【例8】（23-24七年级·福建宁德·期末）在这五个代数式中，单项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式8-1】（23-24七年级·全国·课堂例题）单项式的次数是 ． 【变式8-2】（23-24七年级·浙江温州·期末）已知单项式的系数为，次数为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24七年级·广东江门·期中）观察下列单项式特点：，，，，…，第n个单项式为 （n为正整数）． 【题型9 识别多项式】 【例9】（2024七年级·全国·专题练习）下列式子：①；②；③；④；⑤0；⑥；⑦，多项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式9-1】（23-24七年级·河南商丘·期末）下列多项式中，次数为4的是（　　） A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24七年级·湖南长沙·期中）下列说法中，不正确的是（   ） A． 是整式 B．是二次二项式 C．多项式的三次项的系数为 D．的项有 【变式9-3】（23-24七年级·山东滨州·期末）写出一个含有的五次三项式 ，其中最高次项的系数为，常数项为6． 【题型10 利用多项式的项与次数求值】 【例10】（2024七年级·全国·专题练习）如果多项式是关于y的三次多项式，则（　　） A． B． C． D． 【变式10-1】（2024七年级·全国·专题练习）关于x的多项式（a为正整数）是二次三项式，则 ． 【变式10-2】（23-24七年级·江苏无锡·期中）若关于的多项式是四次三项式，则的值为 ． 【变式10-3】（23-24七年级·全国·课后作业）已知多项式是五次多项式，单项式与该多项式的次数相同，则 ． 【考点4 整式的加减】 1. 同类项 （1）概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项（与系 数无关，与字母的排列顺序无关）. （2）合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变. 2.去（添）括号 （1）去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号； （2）若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号. 3.整式的加减 一找：（标记）；二“+”（务必用+号开始合并）；三合：（合并）. 4. 多项式的升幂和降幂排列】 把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升幂排列（或降幂排列）. 【题型11 同类项的应用】 【例11】（23-24七年级·湖北恩施·期末）关于、、、的多项式（其中、为正整数）中，恰有两项是同类项，则是 ． 【变式11-1】（23-24七年级·湖南邵阳·期末）下列各组单项式中，是同类项的是（ ） A． 与 B．与 C．与 D． 与 【变式11-2】（23-24七年级·四川成都·期末）单项式和是同类项，关于的多项式中项的系数是，则 ． 【变式11-3】（23-24七年级·全国·课后作业）对于整式（其中m是大于的整数）. （1）若，且该整式是关于x的三次三项式，求m的值； （2）若该整式是关于x的二次单项式，求m，n的值； （3）若该整式是关于x的二次二项式，则m，n要满足什么条件？ 【题型12 “不含”某项问题】 【例12】（23-24七年级·北京东城·期末）已知是常数，若的项不含二次项，则 ． 【变式12-1】（23-24七年级·江苏泰州·阶段练习）若多项式2（x2－xy－3y2）－（3x2－axy＋y2）中不含xy项，则a的值为 ． 【变式12-2】（23-24七年级·福建泉州·期末）已知，为整式，且，． (1)若的计算结果不含的一次项，求的值； (2)小明说：“当时，取任何值，的值总是正数”．你认为他的说法正确吗?请说明理由． 【变式12-3】（23-24七年级·新疆乌鲁木齐·期末）已知多项式，．小希在计算时把题目条件错看成了，求得的结果为，那么小希最终计算的中不含的项为（    ） A．五次项 B．三次项 C．二次项 D．常数项 【题型13 与某项“无关”问题】 【例13】（23-24七年级·重庆南岸·期末）三张大小不一的正方形纸片按如图1和图2方式分别放置于相同的长方形中，它们既不重叠也无空隙，记图1阴影部分周长为，图2阴影部分周长之和为，则与的差（    ）    A．与正方形的边长有关 B．与正方形的边长有关 C．与正方形的边长有关 D．与，，的边长均无关 【变式13-1】（23-24七年级·福建泉州·期中）若代数式（a，b为常数）的值与字母x的取值无关，则代数式的值为 ． 【变式13-2】（23-24七年级·安徽宣城·期末）已知：，，若代数式的的值与a无关，则此时b的值为（    ） A． B．0 C． D． 【变式13-3】（23-24七年级·安徽阜阳·期末）已知，． (1)化简； (2)若的值与y的值无关，求x的值． 【题型14 利用整式加减解决实际问题】 【例14】（23-24七年级·浙江舟山·期末）有两张长，宽的长方形纸板，分别按照图1与图2两种方式裁去若干小正方形和小长方形，剩余部分（阴影部分）恰好做成无盖和有盖的长方体纸盒各一个． (1)做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是________．（填“图1”或“图2”） (2)已知图1中裁去的小正方形边长为，求做成的纸盒体积． (3)已知图1、图2中裁去的小正方形边长分别为和，设为按图1方式裁得的3个纸盒底面周长之和，为按图2方式裁得的8个纸盒底面周长之和，试比较，的大小． 【变式14-1】（23-24七年级·安徽合肥·期中）某校组织学生外出研学，旅行社报价每人收费300元，当研学人数超过50人时，旅行社给出两种优惠方案： 方案一：研学团队先交1500元后，每人收费240元； 方案二：5人免费，其余每人收费打九折（九折即原价的） (1)用代数式表示，当参加研学的总人数是人时， 用方案一共收费 元； 用方案二共收费 元； (2)当参加旅游的总人数是80人时，采用哪种方案省钱？说说你的理由． 【变式14-2】（23-24七年级·浙江台州·期末）将形状相同、大小相等的长方形和形状相同，大小相等的长方形按图摆放，拼成一个中间含正方形的大长方形．    (1)若长方形的长为3，宽为1，设中间正方形的边长为，用含的式子表示拼成的大长方形的长和宽． (2)当长方形的周长变化时，请写出拼成的大长方形的周长与长方形的周长的关系，并说明理由． 【变式14-3】（23-24七年级·湖北宜昌·期中）甲、乙两商场分别出售A型、B型两种电暖气，零售价及运费如下表所示： 商场 A型电暖气 B型电暖气 运费 A电暖气 B电暖气 甲 200元/台 300元/台 10元/台 10元/台 乙 220元/台 290元/台 免运费 12元/台 某公司计划在甲商场或乙商场选择一家采购两种电暖气共100台，其中A型电暖气需要买x台． (1)请用含x的代数式分别表示在两家商场购买电暖气所需要的总费用（总费用=购买价+运费）； (2)若需购买A型电暖气40台，在哪个商场购买划算？若可以同时在两家商场自由选择，还有更优惠的方案吗？请你设计一种方案． 【题型15 与整式加减相关的情境问题】 【例15】（23-24七年级·河北保定·期末）嘉淇设计了一个小程序：程序界面分为A，B两区，每按一次按键，A区就会自动加上，同时B区就会自动乘以2，且A；B两区均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是和（如图1），按一次按键后，A，B两区分别显示和（如图2）． (1)从初始状态按2次按键后，A区显示的结果是______；B区显示的结果是______； (2)从初始状态按3次按键后，张老师让同学们计算“当，时，A区代数式与B区代数式的差的值”．嘉淇说，只需要知道a的值就可以求出这个差的值．你认为他的说法有道理吗？请说明理由． 【变式15-1】（23-24七年级·山东烟台·期末）如图，老师给数学兴趣小组的同学们设计了一个运算程序，每个同学都选择一个自己喜欢的有理数作为的值输入，结果发现大家输出的结果都是一样的！你知道这是为什么吗？请你用你所学过的知识解释这一现象． 【变式15-2】（23-24七年级·山东青岛·期中）小明房间窗户的装饰物如图1所示，它由两个四分之一圆组成．    (1)用代数式表示图1窗户能射进阳光的部分的面积（窗框面积忽略不计）； (2)为了更加美观，小明重新设计了房间窗户的装饰物，如图2所示（由两个四分之一圆和一个半圆组成），请用代数式表示图2窗户能射进阳光的部分的面积（窗框面积忽略不计）； (3)比较（1）和（2）中哪种设计射进阳光的部分的面积更大，大多少？ 【变式15-3】（23-24七年级·山东淄博·期末）课堂上，老师设计了一个数学实验，给甲，乙，丙三名同学各一张写有已化为最简的代数式的卡片，规则是两位同学的代数式相减等于第三位同学的代数式，则实验成功．甲，乙，丙的卡片如图所示，其中丙的卡片有一部分看不清楚了（图中阴影所示）． (1)请你计算出甲减乙的结果，并判断甲减乙能否使实验成功； (2)小明发现丙减甲可以使实验成功，请你帮助小明求出丙的代数式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.8 代数式全章专项复习【4大考点15大题型】 【浙教版2024】 【考点1 代数式】 2 【题型1 代数式的意义】 3 【题型2 列代数式】 4 【题型3 规律探索】 6 【考点2 代数式的值】 8 【题型4 先求字母的值，再代入求值】 9 【题型5 程序流程图中代入求值】 10 【题型6 整体代入求值】 13 【题型7 解决实际问题】 15 【考点3 整式】 19 【题型8 识别单项式】 20 【题型9 识别多项式】 21 【题型10 利用多项式的项与次数求值】 23 【考点4 整式的加减】 24 【题型11 同类项的应用】 25 【题型12 “不含”某项问题】 27 【题型13 与某项“无关”问题】 29 【题型14 利用整式加减解决实际问题】 32 【题型15 与整式加减相关的情境问题】 35 【考点1 代数式】 1.用含字母的式子表示数 用字母或含有字母的式子表示数和数量关系,为我们今后的学习和研究 带来了极大的方便. 用含字母的式子表示数的书写规则: (1) 字母与字母相乘时, “×”号通常省略不写或写成“·”; (2)字母与数相乘时,数通常写在字母的前面; (3)带分数与字母相乘时,通常化带分数为假分数 (4)字母与字母相除时,要写成分数； (5)当式子为几个数的和或差的形式,且结果带单位时,式子整体加括号. 2.代数式的概念 用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫代数式. 单独的一个数或字母也是代数式.例如:0,a都是代数式. 3.代数式的意义 根据生活实际将给定的代数式的意义用语言叙述出来,就是将代数式的字母及运算符号赋予具体的含义. 4.列代数式 把简单的与数量有关的词语用代数式表示出来叫作列代数式. 例如:用代数式表示:a与a减去b的差的商,其中运算词“差”表示的数量关系是a减去b.列成式子为a-b;运算词“商”表示的数量关系是. 5.正比例关系和反比例关系 1.正比例关系:两个相关联的量,一个量变化,另一个量也随着变化,且这两个量的比值一定,这两个量就叫作成正比例的量,它们之间的关系叫作正比例关系.如果用字母x和y表示两个相关联的量,用k表示它们的比值(k是一个确定的值,且k≠0),正比例关系可以用=k来表示，其中k叫做比例系数. 2.反比例关系:两个相关联的量,一个量变化,另一个量也随着变化,且这两个量的乘积一定,这两个量就叫作成反比例的量,它们之间的关系叫作反比例关系.如果用字母x和y表示两个相关联的量,用k表示它们的积(k是一个确定的值,且k≠0),反比例关系可以用xy=k或y=来表示,其中k叫作比例系数. 【题型1 代数式的意义】 【例1】（2024七年级·全国·专题练习）请仔细分析下列赋予实际意义的例子中错误的是（　　） A．若葡萄的价格是4元，则表示买葡萄的金额 B．若a表示一个正方形的边长，则表示这个正方形的周长 C．若4和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则表示这个两位数 D．某款凉鞋进价为a元，销售这款凉鞋盈利，则销售两双的销售额为元 【答案】C 【分析】本题考查了代数式．根据代数式表示实际意义的方法分别判断每个选项即可得． 【详解】解：A、若葡萄的价格是4元，则表示买葡萄的金额，原说法正确，故此选项不符合题意； B、若a表示一个正方形的边长，则表示这个正方形的周长，原说法正确，故此选项不符合题意； C、若4和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则表示这个两位数，原说法错误，故此选项符合题意； D、某款凉鞋进价为a元，销售这款凉鞋盈利，则销售两双的销售额为元，原说法正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】（23-24七年级·山东枣庄·期中）代数式可以解释为： （举一例说明它的实际背景或几何背景）． 【答案】答案不唯一，见解析 【分析】本题主要考查了列代数式，根据路程速度时间的关系表示即可． 【详解】答案不唯一．例如：如果用（米/秒）表示小花跑步的速度，用（米/秒）表示小花走路的速度，那么表示她跑步5秒和走路10秒所经过的路程. 【变式1-2】（23-24七年级·四川成都·期末）某商店举办促销活动．促销的方法是将原价为x元的衣服以元出售，则下列关于代数式的含义的描述正确的是（    ） A．原价打8折后再减去7元 B．原价减去7元后再打8折 C．原价减去7元后再打2折 D．原价打2折后再减去7元 【答案】A 【分析】根据代数式的实际意义进行解答即可，准确理解代数式的意义是解题的关键． 【详解】解：将原价x元的衣服以元出售就是把原价打8折后再减去7元． 故选：A． 【变式1-3】（2024七年级·全国·专题练习）学校买来个足球，每个元，又买来个篮球，每个元，表示 ． 【答案】买来个足球和个篮球一共花多少钱 【分析】本题考查了代数式，根据运算顺序写出表示的意义即可． 【详解】解：表示买来个足球和个篮球一共花多少钱， 故答案为：买来个足球和个篮球一共花多少钱． 【题型2 列代数式】 【例2】（23-24七年级·湖北武汉·期中）某店对售价为a元的水果进行降价，拟采取三种方案：方案一：第一次降价10%，第二次降价30%；方案二：第一次降价20%，第二次降价15%；方案三：第一、二次降价均为20%．降价最多的是（    ） A．方案一 B．方案二 C．方案三 D．不能确定 【答案】A 【分析】根据题意分别表示出降价后的售价，然后用原售价﹣降价后的售价，再比较大小即可． 【详解】解：方案一：a﹣（1﹣10%）（1﹣30%）a＝a﹣63%a＝37%a， 方案二：a﹣（1﹣20%）（1﹣15%）a＝a﹣68%a＝32%a， 方案三：a﹣（1﹣20%）（1﹣20%）a＝a﹣64%a＝36%a， ∵a＞0， ∴37%a＞36%a＞32%a， ∴方案一降价最多， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了列代数式和合并同类项，关键是正确理解题意，列出代数式． 【变式2-1】（23-24七年级·全国·课后作业）张老板以每颗a元的单价买进水蜜桃100颗，现以每颗比单价多20%的价格卖出80颗后，再以每颗比单价低b元的价格将剩下的20颗卖出，则全部水蜜桃共卖(　　) A．[80a＋20(a－b)]元 B．[80(1＋20%)a＋20b]元 C．[100(1＋20%)a－20(a－b)]元 D．[80(1＋20%)a＋20(a－b)]元 【答案】D 【详解】80颗的售价是80（1+20%）a,剩下的20颗售价20(a-b)，所以总共 [80(1＋20%)a＋20(a－b)]元. 点睛：常见和差分倍关系： (1)甲比乙大3，甲-乙=3； (2)甲比乙小3，乙-甲=3； （3）甲是乙的3倍，甲=3乙； （4）甲是乙的，甲=乙. 【变式2-2】（23-24七年级·全国·课后作业）食堂有大米，原计划每天用大米，实际每天节约大米，节约后可以多用 天． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式，先分别求出原计划和实际用的天数，再用实际用的天数减去原计划用的天数即可得到答案． 【详解】解；由题意得，原计划可以用天，实际可以用天， ∴节约后可以多用天， 故答案为：． 【变式2-3】（23-24七年级·河南郑州·期中）某商店出售一种商品，其原价为元，有如下两种调价方案：方案一是先提价，在此基础上又降价；方案二是先降价，在此基础上又提价． （1）用这两种方案调价后的价格分别是多少？结果是否一样？调价后的结果是不是都恢复了原价？ （2）两种调价方案改为：方案一是先提价，在此基础上又降价；方案二是先降价，在此基础上又提价.这时结果怎样？ （3）你能总结出什么结论呢？ 【答案】（1）方案一与方案二调价后的价格都是元，结果一样，调价后的结果都没有恢复原价；（2）结果一样，价格均为元，调价后的结果都没有恢复原价；（3）在原价基础上，先提价百分之多少，在此基础上再降价同样的百分数，与先降价百分之多少，再提价同样的百分数，最后结果一样，但不是恢复原价． 【分析】（1）分别根据方案一与方案二的计算方法列出算式，计算后即得结论； （2）分别根据方案一与方案二的计算方法列出算式，计算后即得结论； （3）根据（1）（2）的结果即可写出相应的结论． 【详解】解：（1）方案一调价后的价格是元， 方案二调价后的价格是元， 结果一样，调价后的结果都没有恢复原价； （2）方案一调价后的价格是元， 方案二调价后的价格是元， 结果一样，调价后的结果都没有恢复原价； （3）由前面2个小题可得：在原价基础上，先提价百分之多少，在此基础上再降价同样的百分数，与先降价百分之多少，再提价同样的百分数，最后结果一样，但不是恢复原价． 【点睛】本题考查了列出实际问题中的代数式，明确题意、正确列式是解题的关键． 【题型3 规律探索】 【例3】（2024·云南玉溪·一模）观察下列一组数：，，，，，，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：第个数是， 第个数是， 第个数是， ， 第个数是， 故选：． 【分析】分别归纳出该组数字分子、分母的规律． 此题考查了数字变化类规律问题的解决能力，关键是能准确归纳出分子、分母的规律． 【变式3-1】（2024·山东聊城·模拟预测）由同样大小的棋子按照一定规律组成如图所示的图形，其中图有颗棋子，图有颗棋子，…，则图有 颗棋子． 【答案】 【分析】本题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．由题意可知：最里面的三角形的棋子数是，由内到外依次比前面一个多个棋子，由此规律计算得出棋子的数即可． 【详解】解：第①个图形有颗棋子， 第②个图形一共有颗棋子， 第③个图形一共有颗棋子， 第④个图形有颗棋子， …， 第个图形一共有颗棋子， 故答案为：． 【变式3-2】（23-24七年级·云南昆明·阶段练习）按一定规律排列的一列数依次为：，按此规律排列下去，这列数中第个数(为正整数)分别是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查根据数值的变化分析规律，从数的变化，可以先考虑它们的绝对值的变化规律，为，然后每隔一个数为负数，最后归纳第n个数即． 【详解】解：根据数值的变化规律可得： 第一个数：． 第二个数：． 第三个数：． 第四个数为： ∴第n个数为：． 故选：B． 【变式3-3】（23-24七年级·陕西安康·期末）如图，图形都是由同样大小的按一定规律组成的，其中第（1）个图形是由4个组成的，第（2）个图形是由7个组成的，第（3）个图形是由10个组成的，…，则第（n）个图形是由 个组成的． 【答案】/ 【分析】 本题主要考查了图形的变化类的规律，根据题意找出图形的变化规律后直接利用规律求解是解决本题的关键．根据题意可得出后一个图形比前一个图形多个，即每个图案是的倍数再加上，即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得， 第个图形一共有个“”， 第个图形一共有个“”， 第个图形一共有个“”， 第个图形一共有个“”， 由此可知后一个图形比前一个图形多个“”， 所以第个图形中“星星”的个数为． 故答案为：． 【考点2 代数式的值】 1. 代数式的值 用数值代替代数式中的字母,按照代数式中的运算关系计算得出的结果,叫作代数式的值.这个过程叫作求代数式的值. 2. 求代数式的值的步骤 求代数式的值有代入和计算两步. 第一步:用数值代替代数式里的字母,简称“代入".代入时,将相应的字母换成已给定的或已算出来的数值,其他的运算符号、原来的数字及运算顺序都不改变. 第二步:按照代数式中给出的运算,计算出结果,简称“计算”. 代入的值不同,最后计算出的结果也可能不同. 【题型4 先求字母的值，再代入求值】 【例4】（23-24七年级·江苏南通·阶段练习）若是最大的负整数，是绝对值最小的数，与互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据是最大的负整数，是绝对值最小的数，与互为相反数，可以求得的值，从而可以求得所求式子的值．解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 【详解】解：∵是最大的负整数，是绝对值最小的数，与互为相反数，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式4-1】（23-24七年级·广东江门·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，非负数的性质，先根据非负数的性质得到，再求出，最后代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-2】（23-24七年级·江苏无锡·阶段练习）若规定表示不超过的最大整数，例如，若，则在此规定下的值为 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法和新定义，先求先求出的值，再求出的值，最后根据新定义求出即可． 【详解】 故答案为：． 【变式4-3】（23-24七年级·河北石家庄·阶段练习）已知a，b互为倒数，x，y互为相反数，m是最大的负整数，则的值为(   ) A．1 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据a、b互为倒数，x、y互为相反数，m是最大的负整数．可以得到，，，然后代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵a，b互为倒数，x，y互为相反数，m是最大的负整数， ∴，，， ∴ ， 故选：B． 【题型5 程序流程图中代入求值】 【例5】（23-24七年级·江苏苏州·阶段练习）在如图的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，⋯，则第2023次输出的结果为（    ）    A．3 B．6 C．1010 D．2023 【答案】B 【分析】本题考查数字的变化类，代数式求值，根据题意和运算程序，可以写出前几次的输出结果，从而可以发现输出结果的变化特点，然后即可得到第2023次输出的结果． 【详解】解：第一次输出结果：， 第二次输出结果：， 第三次输出结果：， 第四次输出结果：， 第五次输出结果：， 第六次输出结果：， ……， 从第三次起，奇数次输出结果为6，偶数次输出结果为3， 则第2023次输出的结果为：6， 故选：B． 【变式5-1】（23-24七年级·四川凉山·期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的x值为1，则最后输出的结果是（ ） A． B．2 C．6 D．9 【答案】A 【分析】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先将代入中计算出对应的值为2，比较2与7的大小，利用计算程序再把代入中计算出对应的值为6，比较6与7的大小，利用计算程序再把代入中计算出对应的值为，由于，根据计算程序确定最后输出的值． 【详解】解：将代入中，得， 将代入中，得， 将代入中，得 ∴最后输出的结果是， 故选：A． 【变式5-2】（2024·山东东营·模拟预测）定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时， （其中是使为奇数的正整数），两种运算交替重复进行，例如：取，则，其中第1次，第2次，，若，则第次“”运算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算和数字的规律探究．解题的关键在于理解新定义中的运算法则，掌握有理数混合运算的计算方法． 根据题意，写出前几次的运算结果，可推导规律，通过计算得出从第2次开始，结果就只有1、4两个数循环出现，进而观察规律即可得结论． 【详解】解：由题意知，当时，第1次，， 第2次，， 第3次，， 第4次，， 第5次，， …… ∴从第2次开始，每两次运算为一个循环，结果分别为1，4， ∴第次“”运算的结果是4， 故答案为：4． 【变式5-3】（23-24七年级·江苏无锡·期末）图①中每相邻两条线间，有从上至下的几条横线（即“桥”），这样就构成了“天梯”．运算符号“+、﹣、×、÷”在“天梯”的竖线与横线上运动，它们在运动的过程中按自上而下，且逢“桥”必过的规则进行，最后运动到竖线下方的“〇”中，将a，b，c，d，e连接起来，构成一个算式．如：“+”号根据规则就应该沿图中箭头方向运动，最后向下进入“〇”中，其余3个运算符号分别按规则运动到“〇”中后，就得到算式．根据如图②所示的“天梯”计算当，，，，时所写算式的结果为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了求代数式的值，根据题意可得到算式，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解：由题意确定各符号的位置， 此时的算式为， 当，，，，时， 故选：A 【题型6 整体代入求值】 【例6】（23-24七年级·江西九江·期中）已知：，则代数式的值为（    ） A．5 B．14 C．13 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了求代数式的值，将代数化成，并能用整体代换的方法求解是解题的关键． 【详解】解： ， ， 原式， ． 故选：D． 【变式6-1】（23-24七年级·江苏徐州·期末）如果代数式的值为1，那么代数式的值等于（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式求值，利用整体代入的思想求解是解题的关键．先根据题意得到，再由进行求解即可． 【详解】解：， ， ， 将代入得：原式， 故选：B． 【变式6-2】（23-24七年级·浙江杭州·期中）当时，代数式的值是8，则当时，这个代数式的值是（   ） A． B．4 C．8 D．6 【答案】A 【分析】本题考查代数式求值，利用整体代入的思想是解题关键．将代入，结合其值是8，即可求出，再将代入，整理得：，最后整体代入求值即可． 【详解】解：∵当时，代数式的值是8， ∴， ∴． 当时，代数式． 故选：A． 【变式6-3】（23-24七年级·河北廊坊·阶段练习）当时，的值为－3，则的值为（    ） A． B．9 C． D．12 【答案】A 【分析】本题考查了整体代入法求代数式的值，根据题意可求得的值，然后整体代入即可． 【详解】解：当时，的值为－3，则有， 即，从而， 所以， 故选：A． 【题型7 解决实际问题】 【例7】（23-24七年级·全国·单元测试）如图，两摞规格完全相同的课本整齐叠放在讲台上．请根据图中所给出的数据信息，回答下列问题： (1)每本课本的厚度为 ； (2)若有一摞上述规格的课本x本，整齐叠放在讲台上，请用含x的代数式表示出这一摞数学课本的顶部距离地面的高度； (3)当时，若从中取走13本，求余下的课本的顶部距离地面的高度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三本书的高度为，故每本课本的厚度为； （2）根据三本书的高度为，得到桌子距离地面的高度为，结合每本课本的厚度为，得到x本的高度为，求和计算即可． （3）当时，求代数式的值即可． 本题考查列代数式及代数式求值问题；得到课桌的高度及每本书的厚度是解决本题的突破点． 【详解】（1）解：根据题意，得三本书的高度为， 故每本课本的厚度为， 故答案为：． （2）解：∵三本书的高度为， ∴桌子距离地面的高度为， ∵每本课本的厚度为， ∴x本的高度为， ∴距离地面的高度为． （3）解：根据题意，得x本书顶部距离地面的高度为， 故当时， ． 【变式7-1】（23-24七年级·新疆喀什·期中）学校需要到印刷厂印刷份材料，甲印刷厂提出：每份材料收0.2元印刷费，另收400元制版费；乙印刷厂提出：每份材料收0.4元印刷费，不收制版费． (1)两印刷厂的收费各是多少元？（用含的代数式表示） (2)学校要印刷2400份材料，不考虑其他因素，选择哪家印刷厂比较合算？试说明理由． 【答案】(1)甲：元，乙：元 (2)选择甲印刷厂比较合算，见解析 【分析】本题考查了列代数式、求代数式的值，理解题意，正确列出代数式是解此题的关键． （1）根据甲、乙两厂的收费方式列出代数式即可； （2）把代入（1）中所求的代数式，分别计算出甲、乙两厂的费用，比较即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：甲印刷厂的收费为：元， 乙印刷厂的收费为：元； （2）解：当时， 甲印刷厂的收费为：（元）． 乙印刷厂的收费为：（元） 因为， 所以选择甲印刷厂比较合算． 【变式7-2】（23-24七年级·江苏淮安·期中）如图，池塘边有一块长为21米，宽为18米的长方形土地，现在将其余两面留出宽都是x米的小路，余下的长方形部分做菜地． (1)长方形菜地的面积为_____________平方米（用含x的代数式表示，不需要化简）； (2)当时，长方形菜地的面积是多少平方米？ 【答案】(1)平方米 (2)菜地的面积为平方米 【分析】本题考查了列代数式和代数式求值，解题的关键是掌握长方形的面积公式． （1）由长方形的面积公式即可列出代数式； （2）把代入代数式即可求得答案． 【详解】（1）解：根据题意得菜地的面积为：平方米， 故答案为：平方米． （2）解：当米时， 平方米 答：菜地的面积为平方米． 【变式7-3】（2024·安徽合肥·模拟预测）某广场铺设的地砖为正方形，如图①所示且带有图案，铺设地砖拼成一圈的图案如图②所示． 【观察思考】如图②，当地砖铺设了1圈时，地砖用了4块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有1个；如图③，当地砖铺设了2圈时，地砖用了12块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有2个；…    【规律总结】 (1)当地砖铺设了5圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个； (2)当地砖铺设了n（n为正整数）圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个（用含n的代数式表示）； (3)若每块地砖的价钱为18元，当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，则铺设的地砖共需要花费多少元？ 【答案】(1)60，5 (2)，n (3)当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，铺设的地砖共需花费23400元 【分析】本题主要考查图形的规律，理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据一直推行进行推理即可得到答案； （2）设当地砖铺设了n圈时，地砖的总数为y，即可求出当地砖铺设了n圈时，地砖的总数；根据铺设了多少圈即可得出围成了多少的封闭图形； （3）根据曲线围成的封闭图形有25个，地砖铺设了25圈，进行就算即可． 【详解】（1）解：当地砖铺设了1圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有1个； 当地砖铺设了2圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有2个； 当地砖铺设了3圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有3个；…， 当地砖铺设了5圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有5个． （2）解：，n； 设当地砖铺设了n圈时，地砖的总数为y， 铺设1圈形成如题图②所示的图案共用4块地砖，即；曲线围成的封闭图形的个数有1个； 铺设2圈形成如题图③所示的图案共用12块地砖，即；曲线围成的封闭图形的个数有2个； 铺设3圈形成如题图④所示的图案共用24块地砖，即；曲线围成的封闭图形的个数有3个； 当地砖铺设了n圈时，地砖的总数 曲线围成的封闭图形有个； （3）解：曲线围成的封闭图形有25个， 地砖铺设了25圈， 当时，（块）． 每块地砖的价钱为18元， 共需花费的费用为（元）． 答：当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，铺设的地砖共需花费23400元． 【考点3 整式】 1.单项式 （1）单项式：表示数字或字母乘积的式子，单独的一个数字或字母也叫单项式； （2）单项式的系数：单项式中的数字因数（要包括前面的符号）； （3）单项式的次数：单项式中所有字母指数的和（只与字母有关）. 2.多项式 （1）多项式：几个单项式的和叫多项式； （2）多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数. 3.整式 （1）单项式和多项式统称为整式（整式是代数式，但是代数式不一定是整式）. （2）单项式、多项式与整式的关系如图所示. （3）判断整式、单项式及多项式的方法 a.单项式不含加减运算,多项式必含加减运算; b.多项式是几个单项式的和,多项式不包含单项式; c.单项式和多项式都是整式,分母中含有字母的都不是整式. 【题型8 识别单项式】 【例8】（23-24七年级·福建宁德·期末）在这五个代数式中，单项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据单项式的定义解决此题 【详解】解：根据单项式的定义，数字或字母的乘积组成的代数式（单个数字或单个字母也是单项式）， ∴单项式有，共3个 故选：C. 【点睛】本题主要考查单项式的定义，熟练掌握单项式的定义是解决本题的关键 【变式8-1】（23-24七年级·全国·课堂例题）单项式的次数是 ． 【答案】8 【分析】根据单项式系数和次数的概念求解． 【详解】解：单项式， 的次数是， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了单项式，解题的关键是掌握一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 【变式8-2】（23-24七年级·浙江温州·期末）已知单项式的系数为，次数为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式系数、次数，解题的关键是掌握：数字与字母的积是单项式，其中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数之和是单项式的次数．据此求出、的值即可． 【详解】解：∵单项式的系数为，次数为， ∴，， ∴， ∴的值是． 故选：B． 【变式8-3】（23-24七年级·广东江门·期中）观察下列单项式特点：，，，，…，第n个单项式为 （n为正整数）． 【答案】 【分析】根据已知的4个单项式找出规律即可求解． 【详解】解：当n是奇数时，第n个单项式是正数，n是偶数时，则第n个单项式是负数． 当时，系数的绝对值为，x的次数为2，a的次数为2； 当时，系数的绝对值为，x的次数2，a的次数为3； 当时，系数的绝对值为，x次数为2，a的次数为4 …以此类推，则可以判断当第n个单项式时，其表达式为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查学生结合整式知识点探究归纳规律，解题的关键是根据已知的单项式，总结出一般规律． 【题型9 识别多项式】 【例9】（2024七年级·全国·专题练习）下列式子：①；②；③；④；⑤0；⑥；⑦，多项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】多项式是几个单项式和的形式． 【详解】解：多项式有：、共2个 故选：B． 【点睛】本题考了多项式的概念，抓住多项式是几个单项式的和． 【变式9-1】（23-24七年级·河南商丘·期末）下列多项式中，次数为4的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的次数的定义，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．根据多项式的次数的定义求解即可． 【详解】解：A、最高次项为，次数为，不符合题意； B、最高次项为，次数为，不符合题意； C、最高次项为和，次数为4，符合题意； D、最高次项为，次数为，不符合题意； 故选：C． 【变式9-2】（23-24七年级·湖南长沙·期中）下列说法中，不正确的是（   ） A． 是整式 B．是二次二项式 C．多项式的三次项的系数为 D．的项有 【答案】C 【分析】分别根据整式和多项式的定义判断即可；单项式和多项式统称为整式；几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数； 【详解】A、是多项式，属于整式，原说法正确，故本选项不合题意； B、是二次二项式，说法正确，故本选项不合题意； C、多项式的三次项的系数为，原说法错误，故本选项符合题意； D、的项有，说法正确故本选项不合题意； 故选：C 【点睛】本题考查了整式和多项式，掌握相关定义是解答本题的关键． 【变式9-3】（23-24七年级·山东滨州·期末）写出一个含有的五次三项式 ，其中最高次项的系数为，常数项为6． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了多项式，根据题意，结合五次三项式、最高次项的系数为，常数项可写出所求多项式，答案不唯一，只要符合题意即可，解题的关键是熟练掌握多项式中系数、最高次项、常数项的概念． 【详解】解：根据题意，此多项式是：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【题型10 利用多项式的项与次数求值】 【例10】（2024七年级·全国·专题练习）如果多项式是关于y的三次多项式，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据多项式及多项式的次数的定义求解．由于多项式是几个单项式的和，那么此多项式中的每一项都必须是单项式，而整式中的字母可以取任意数，0的0次幂无意义，所以a、b均为正数；又由于多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，三次多项式是指次数为3的多项式，则a、b均不大于3；又此多项式中另外的项的次数都小于3，故a、b中至少有一个是3．即a、b的取值都是正整数，且a、b中至少有一个是3．据此选择即可． 【详解】解：A、时，如果，那么无意义，故错误； B、时，是分式，此时不是多项式，故错误； C、正确； D、时，多项式是关于y的一次多项式，故错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了对多项式的有关概念的应用，能理解多项式的次数和项数的意义是解此题的关键． 【变式10-1】（2024七年级·全国·专题练习）关于x的多项式（a为正整数）是二次三项式，则 ． 【答案】4或2/2或4 【分析】根据多项式的项和次数的定义．列出方程，即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 当时， 原式，符合题意， 故答案为：4或2． 【点睛】本题考查了多项式．解题的关键是要明确相关概念（组成多项式的每个单项式叫做多项式的项；多项式中次数最高项的次数叫做多项式的次数；多项式中不含字母的项叫常数项）． 【变式10-2】（23-24七年级·江苏无锡·期中）若关于的多项式是四次三项式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式的概念，熟练掌握多项式的概念是解题的关键．根据多项式的定义即可得到答案． 【详解】解：多项式是四次三项式， ， ， 故答案为：． 【变式10-3】（23-24七年级·全国·课后作业）已知多项式是五次多项式，单项式与该多项式的次数相同，则 ． 【答案】 【分析】根据多项式的次数和单项式的次数的定义即可得出答案，单项式的次数是所有变量次数的和，多项式次数是其所有单项式次数最高的次数． 【详解】解：∵多项式是五次多项式， ，解得：， ∵单项式与该多项式的次数相同， ，解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式的次数和单项式的次数的定义，掌握多项式中次数最高项的次数是多项式的次数是解题的关键． 【考点4 整式的加减】 1. 同类项 （1）概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项（与系 数无关，与字母的排列顺序无关）. （2）合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变. 2.去（添）括号 （1）去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号； （2）若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号. 3.整式的加减 一找：（标记）；二“+”（务必用+号开始合并）；三合：（合并）. 4. 多项式的升幂和降幂排列】 把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升幂排列（或降幂排列）. 【题型11 同类项的应用】 【例11】（23-24七年级·湖北恩施·期末）关于、、、的多项式（其中、为正整数）中，恰有两项是同类项，则是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了同类项的概念，一元一次方程的解法，分两种情况讨论：当，是同类项时，当，是同类项时，再根据同类项的定义列方程，解方程组可得答案，掌握“含有相同字母，相同字母的指数也相同的单项式是同类项”是解题的关键． 【详解】当与是同类项时， ，，解得：，， ∴； 当与是同类项时， ，，解得：，， ∴； 综上可知：的值是或， 故答案为：或． 【变式11-1】（23-24七年级·湖南邵阳·期末）下列各组单项式中，是同类项的是（ ） A． 与 B．与 C．与 D． 与 【答案】A 【分析】根据同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同判断即可． 【详解】解：A．3a2b与-2ba2是同类项，故A符合题意； B．32m3与23m2相同字母的指数不相同，不是同类项，故B不符合题意； C．-xy与2x2y相同字母的指数不相同，不是同类项，故C不符合题意； D．与2abc所含字母不同，不是同类项，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键． 【变式11-2】（23-24七年级·四川成都·期末）单项式和是同类项，关于的多项式中项的系数是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项的定义，合并同类项，多项式的定义，先根据同类项的定义得出，再由项的系数是得出，求出的值，然后代入求值即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵单项式和是同类项， ∴， ∵关于的多项式中项的系数是， ∴， 解得：，， ∴， 故答案为：． 【变式11-3】（23-24七年级·全国·课后作业）对于整式（其中m是大于的整数）. （1）若，且该整式是关于x的三次三项式，求m的值； （2）若该整式是关于x的二次单项式，求m，n的值； （3）若该整式是关于x的二次二项式，则m，n要满足什么条件？ 【答案】（1）m=1；（2）m=-1，n=-1；（3）n=1，m为大于-2任意整数或m=-1，n≠-1或m=0，n≠4. 【分析】（1）根据已知条件可得到关于m的方程m+2=3，解方程即可得到m的值； （2）根据该多项式是关于x的二次单项式，可得到m+2=1，n-1=-2，据此计算即可； （3）同样的，根据上面的分析方法，结合关于x的二次二项式的特点解答即可. 【详解】（1）因为n=2，且该多项式是关于x的三次三项式，所以原多项式变为，所以m=1，即m的值为1. （2）因为该多项式是关于x的二次单项式， 所以m+2=1，n-1=-2 解得m=-1，n=-1 （3）因为该多项式是关于x的二次二项式， 所以①这一项不存在，原多项式是关于x的二次二项式， 则n-1=0，即n=1，m为大于-2任意整数 ②若的次数为1，系数不为-2，原多项式是关于x的二次二项式， 则m=-1，n≠-1 ③的次数为2，系数不为3，原多项式是关于x的二次二项式， 则m=0，n≠4. 【点睛】本题考查多项式的次数和多项式的定义，学生们熟练掌握定义即可. 【题型12 “不含”某项问题】 【例12】（23-24七年级·北京东城·期末）已知是常数，若的项不含二次项，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了多项式的加减无关类型；先化简，根据的项不含二次项，，求得的值，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ， ∵若的项不含二次项，， ，， ，， ∴ 故答案为：1． 【变式12-1】（23-24七年级·江苏泰州·阶段练习）若多项式2（x2－xy－3y2）－（3x2－axy＋y2）中不含xy项，则a的值为 ． 【答案】2 【分析】直接利用整式的加减运算法则计算进而得出xy项的系数为零进而得出答案． 【详解】解：2（x2－xy－3y2）－（3x2－axy＋y2） ＝2x2－2xy－6y2－3x2＋axy－y2 ＝−x2＋（a −2）xy−7y2， ∵关于x，y的多项式2（x2－xy－3y2）－（3x2－axy＋y2）中不含xy项， ∴a-2＝0， 解得：a＝2． 故答案为：2 【点睛】此题主要考查了整式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 【变式12-2】（23-24七年级·福建泉州·期末）已知，为整式，且，． (1)若的计算结果不含的一次项，求的值； (2)小明说：“当时，取任何值，的值总是正数”．你认为他的说法正确吗?请说明理由． 【答案】(1) (2)正确，理由见详解 【分析】本题考查了整式的加减； （1）计算，根据结果中不含的一次项，令的系数为0，即可求出的值； （2）把代入，列出算式，然后去括号、合并同类项即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵的结果中不含的一次项， ∴， ∴； （2）正确，理由如下： 当时， ， ∵， ∴， 即的值总是正数． 【变式12-3】（23-24七年级·新疆乌鲁木齐·期末）已知多项式，．小希在计算时把题目条件错看成了，求得的结果为，那么小希最终计算的中不含的项为（    ） A．五次项 B．三次项 C．二次项 D．常数项 【答案】C 【分析】先根据求出a、b的值， 继而得出，即可得出答案． 【详解】解∶由题意知 ， 而 ∴，， 解得：，， ∴ ， ∴最终计算的中不含的项为二次项， 故选∶C． 【点睛】本题主要考查整式的加减，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是∶先去括号，然后合并同类项，熟练掌握整式加减的步骤是解题的关键． 【题型13 与某项“无关”问题】 【例13】（23-24七年级·重庆南岸·期末）三张大小不一的正方形纸片按如图1和图2方式分别放置于相同的长方形中，它们既不重叠也无空隙，记图1阴影部分周长为，图2阴影部分周长之和为，则与的差（    ）    A．与正方形的边长有关 B．与正方形的边长有关 C．与正方形的边长有关 D．与，，的边长均无关 【答案】D 【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形C的边长为c，分别列代数式表示出m，n，然后求差即可． 【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形C的边长为c， 则， ， ∴，即与，，的边长均无关， 故选：D． 【点睛】本题考查了列代数式，整式的加减，熟练掌握长方形的周长公式，正确列出代数式是解题的关键． 【变式13-1】（23-24七年级·福建泉州·期中）若代数式（a，b为常数）的值与字母x的取值无关，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】原式去括号整理后，由结果与x的取值无关求出a与b的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解： = =， 由结果与x无关，得到，， 解得：，， 则， 故答案为：． 【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式13-2】（23-24七年级·安徽宣城·期末）已知：，，若代数式的的值与a无关，则此时b的值为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的化简,先将含a的项合并，并将其余字母看成常数并整理，再根据题意求出b的值． 【详解】解：∵，， ∴ ； ∵代数式的的值与a无关， ∴ 解得：， 故选：A． 【变式13-3】（23-24七年级·安徽阜阳·期末）已知，． (1)化简； (2)若的值与y的值无关，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减运算： （1）根据整式的加减运算法则，进行计算即可； （2）先化简，根据值与y的值无关，得到含的项的系数为0，进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ， ∵的值与y的值无关， ∴， ∴． 【题型14 利用整式加减解决实际问题】 【例14】（23-24七年级·浙江舟山·期末）有两张长，宽的长方形纸板，分别按照图1与图2两种方式裁去若干小正方形和小长方形，剩余部分（阴影部分）恰好做成无盖和有盖的长方体纸盒各一个． (1)做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是________．（填“图1”或“图2”） (2)已知图1中裁去的小正方形边长为，求做成的纸盒体积． (3)已知图1、图2中裁去的小正方形边长分别为和，设为按图1方式裁得的3个纸盒底面周长之和，为按图2方式裁得的8个纸盒底面周长之和，试比较，的大小． 【答案】(1)图2 (2)72（立方厘米） (3)，理由见解析 【分析】本题考查了认识立体图形的展开图，列代数式，整式的加减运算等知识，理解题意是解题关键． （1）根据长方形展开图的特征，判断即可． （2）根据长方形的体积公式求解即可． （3）根据展开图的特点先表示，，再利用作差法比较大小即可． 【详解】（1）解：做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是：图2； （2）图1中裁去的小正方形边长为， 做成的纸盒的体积； （3），理由如下： ， ， ， ∴． 【变式14-1】（23-24七年级·安徽合肥·期中）某校组织学生外出研学，旅行社报价每人收费300元，当研学人数超过50人时，旅行社给出两种优惠方案： 方案一：研学团队先交1500元后，每人收费240元； 方案二：5人免费，其余每人收费打九折（九折即原价的） (1)用代数式表示，当参加研学的总人数是人时， 用方案一共收费 元； 用方案二共收费 元； (2)当参加旅游的总人数是80人时，采用哪种方案省钱？说说你的理由． 【答案】(1)； (2)方案二省钱，理由见解析 【分析】本题考查了列代数式和求代数式的值： （1）方案一的收费为：元，方案二收费为：元； （2）把代入两个代数式，进而比较即可． 【详解】（1）解：方案一的收费为：元， 方案二收费为：元； 故答案为：；． （2）解：把代入（元）， 把代入（元）， ∵， ∴方案二省钱． 【变式14-2】（23-24七年级·浙江台州·期末）将形状相同、大小相等的长方形和形状相同，大小相等的长方形按图摆放，拼成一个中间含正方形的大长方形．    (1)若长方形的长为3，宽为1，设中间正方形的边长为，用含的式子表示拼成的大长方形的长和宽． (2)当长方形的周长变化时，请写出拼成的大长方形的周长与长方形的周长的关系，并说明理由． 【答案】(1)大长方形长为，大长方形的宽为 (2)拼成的大长方形的周长始终是长方形的周长的2倍，理由见解析 【分析】本题考查代数式表示图形边长及周长变化，读懂题意，数形结合表示出相应线段长度是解决问题的关键． （1）根据题中图形，如图所示，长方形的长为3，宽为1，设中间正方形的边长为，则拼成的长方形宽为，长为； （2）设长方形的长为 ，宽为，中间正方形的边长为，则拼成的大长方形长、宽分别为，根据题意列式化简即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知，长方形的长为3，宽为1，设中间正方形的边长为，如图所示：   大长方形长为，大长方形的宽为； （2）解：拼成的大长方形的周长始终是长方形的周长的2倍， 设长方形的长为 ，宽为，中间正方形的边长为，则拼成的大长方形长、宽分别为， 由题意得：大长方形的周长为 ， 答：拼成的大长方形的周长始终是长方形的周长的2倍． 【变式14-3】（23-24七年级·湖北宜昌·期中）甲、乙两商场分别出售A型、B型两种电暖气，零售价及运费如下表所示： 商场 A型电暖气 B型电暖气 运费 A电暖气 B电暖气 甲 200元/台 300元/台 10元/台 10元/台 乙 220元/台 290元/台 免运费 12元/台 某公司计划在甲商场或乙商场选择一家采购两种电暖气共100台，其中A型电暖气需要买x台． (1)请用含x的代数式分别表示在两家商场购买电暖气所需要的总费用（总费用=购买价+运费）； (2)若需购买A型电暖气40台，在哪个商场购买划算？若可以同时在两家商场自由选择，还有更优惠的方案吗？请你设计一种方案． 【答案】(1)在甲商场购买电暖气所需要的总费用为元，在乙商场购买电暖气所需要的总费用为元 (2)在乙商场购买划算；更优惠的方案为：在甲商场中购买40台A型电暖气，在乙商场中购买60台B型电暖气费 【分析】本题考查列代数式及其求值、整式的加减运算的应用，理解题意，正确列出代数式是解答的关键． （1）设A型电暖气需要买x台，则B型电暖气需要买台，根据总费用=购买价+运费列出对应代数式即可求解； （2）将代入（1）代数式中求解，结合表中数据，进而比较大小可作出结论． 【详解】（1）解：设A型电暖气需要买x台，则B型电暖气需要买台， 根据题意，在甲商场购买电暖气所需要的总费用为元； 在乙商场购买电暖气所需要的总费用为元； （2）解：当时，在甲商场购买电暖气所需要的总费用为（元）， 在乙商场购买电暖气所需要的总费用为（元）， 根据表格数据，甲商场中的A型电暖气费用低，乙商场中的B型电暖气费用低，则同时在两家商场自由选择的较低费用为（元）， ∵， ∴需购买A型电暖气40台，在乙商场购买划算，若可以同时在两家商场自由选择，还有更优惠的方案为：在甲商场中购买40台A型电暖气，在乙商场中购买60台B型电暖气费． 【题型15 与整式加减相关的情境问题】 【例15】（23-24七年级·河北保定·期末）嘉淇设计了一个小程序：程序界面分为A，B两区，每按一次按键，A区就会自动加上，同时B区就会自动乘以2，且A；B两区均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是和（如图1），按一次按键后，A，B两区分别显示和（如图2）． (1)从初始状态按2次按键后，A区显示的结果是______；B区显示的结果是______； (2)从初始状态按3次按键后，张老师让同学们计算“当，时，A区代数式与B区代数式的差的值”．嘉淇说，只需要知道a的值就可以求出这个差的值．你认为他的说法有道理吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2)嘉淇说的有道理，理由见解析 【分析】本题考查整式加减的应用，以及整式加减中的无关型问题． （1）根据题意，列出代数式，即可； （2）求出按按3次按键A区代数式与B区代数式，作差后，进行判断即可． 读懂题意，正确列出代数式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意，按一次按键后，A，B两区分别显示和， 再按一次按键后，A，B两区分别显示和， 故答案为：，； （2）嘉淇说的有道理，理由如下： 由（1）知，2次按键后A，B两区分别显示，， ∴3次按键后，A，B两区分别显示，， ∴A区代数式与B区代数式的差为， ∴差与的值无关， 故嘉淇说的有道理． 【变式15-1】（23-24七年级·山东烟台·期末）如图，老师给数学兴趣小组的同学们设计了一个运算程序，每个同学都选择一个自己喜欢的有理数作为的值输入，结果发现大家输出的结果都是一样的！你知道这是为什么吗？请你用你所学过的知识解释这一现象． 【答案】理由见解析． 【分析】本题考查了代数式的运算．理解题意，正确列式，去括号，合并同类项即可求解． 【详解】解：由题意，列代数式为 ． 结果为5，不含，所以，不论取何值，输出结果都是一样的． 【变式15-2】（23-24七年级·山东青岛·期中）小明房间窗户的装饰物如图1所示，它由两个四分之一圆组成．    (1)用代数式表示图1窗户能射进阳光的部分的面积（窗框面积忽略不计）； (2)为了更加美观，小明重新设计了房间窗户的装饰物，如图2所示（由两个四分之一圆和一个半圆组成），请用代数式表示图2窗户能射进阳光的部分的面积（窗框面积忽略不计）； (3)比较（1）和（2）中哪种设计射进阳光的部分的面积更大，大多少？ 【答案】(1) (2) (3)图2设计射进阳光的部分的面积更大，大 【分析】本题考查了列代数式、整式的加减，仔细观察图形的特征列出代数式是解此题的关键． （1）用长方形的面积减去两个圆的面积即可； （2）用长方形的面积减去两个圆的面积和一个圆的面积即可； （3）由（1）、（2）所得代数式作差进行比较即可． 【详解】（1）解：由图可得： 图1窗户能射进阳光的部分的面积为：； （2）解：由图可得： 图2窗户能射进阳光的部分的面积为：； （3）解：， 图2设计射进阳光的部分的面积更大，大． 【变式15-3】（23-24七年级·山东淄博·期末）课堂上，老师设计了一个数学实验，给甲，乙，丙三名同学各一张写有已化为最简的代数式的卡片，规则是两位同学的代数式相减等于第三位同学的代数式，则实验成功．甲，乙，丙的卡片如图所示，其中丙的卡片有一部分看不清楚了（图中阴影所示）． (1)请你计算出甲减乙的结果，并判断甲减乙能否使实验成功； (2)小明发现丙减甲可以使实验成功，请你帮助小明求出丙的代数式． 【答案】(1)，否 (2) 【分析】本题考查整式的加减混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答的关键． （1）化简甲乙的整式，比较其常数项与丙的常数项即可做出判断； （2）由题意丙甲乙，化简整式即可解答． 【详解】（1）解：甲减乙： ； 甲减乙结果的常数项为， ∵丙的常数项为12， ∴甲减乙的结果不是丙，故，甲减乙不能使实验成功． （2）解：设丙中阴影部分的代数式为A， 由题意得，， 整理，得， 合并同类项，得， 所以，丙的代数式为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$