高二上学期期末复习解答题压轴题十七大题型专练（范围：第四、五章）-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第二册）

2024-2025学年高二上学期期末复习解答题压轴题十七大题型专练（范围：第四、五章） 【人教A版（2019）】 题型1 根据数列的递推公式求数列的项、通项公式 1．（2024高二下·全国·专题练习）已知数列中，，且.其中，求数列的通项公式； 2．（2004·全国·高考真题）已知数列中，，且，其中． (1)求； (2)求的通项公式． 3．（23-24高二下·江西萍乡·期中）已知数列的前项和为，且满足． (1)求的值； (2)试猜想的通项公式，并证明． 4．（23-24高二下·全国·课后作业）已知数列满足，． (1)试写出该数列的前5项； (2)若，写出的通项公式； (3)根据（2）写出的通项公式． 题型2 求数列的最大项、最小项 5．（23-24高二下·辽宁·期末）已知数列满足． (1)计算，猜想的通项公式并加以证明； (2)设，求使数列取得最大值时n的值． 6．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的最大项是该数列的第几项． 7．（23-24高二上·江苏·期中）已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：，求数列的最大项． 8．（23-24高二·全国·课后作业）在数列中，. (1)求证：数列先递增后递减； (2)求数列中的最大项. 题型3 等差数列的判定与证明 9．（24-25高三上·新疆塔城·期中）已知数列的首项为，且满足. (1)证明数列为等差数列，并求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 10．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项数列满足，且． (1)判断数列是否为等差数列，并说明理由； (2)求数列的通项公式． 11．（23-24高二下·海南·期末）已知各项均不为零的数列满足：. (1)证明是等差数列，并求的通项公式； (2)记数列的前项和为，证明：. 12．（23-24高二下·云南昆明·阶段练习）已知数列满足：，，. (1)证明：是等差数列，并求的通项公式； (2)设，若数列是递增数列，求实数的取值范围. 题型4 等比数列的判定与证明 13．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知数列满足且. (1)求； (2)证明数列是等比数列，并求. 14．（23-24高三下·全国·开学考试）设数列的前n项和，. (1)证明：数列是等比数列； (2)求的通项公式. 15．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列中，． (1)求，并猜想的通项公式（不需证明）； (2)证明：数列是等比数列． 16．（2024高二·全国·专题练习）已知数列和满足，，，其中为常数，n为正整数. (1)证明：对任意实数，数列不是等比数列； (2)试判断数列是否为等比数列. 题型5 等差、等比数列的综合应用 17．（2024·四川绵阳·三模）已知首项为1的等差数列满足：成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：，求数列的前项和. 18．（23-24高二上·四川成都·期末）已知递增数列和分别为等差数列和等比数列，且，，， (1)求数列和的通项公式； (2)若，证明：. 19．（23-24高二上·江苏苏州·期中）已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设是首项为1，公比为3的等比数列， ①求数列的前项和； ②若不等式对一切恒成立，求实数的最大值． 20．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知等差数列和等比数列满足：，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)设数列是数列和数列的相同项从小到大组成的新数列，是数列的前n项和，求，并判断是否为数列中的项（不必说明理由）？ 题型6 数列的求和 21．（24-25高三上·河北邢台·期中）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 22．（23-24高三上·云南·阶段练习）已知数列满足：（），数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求. 23．（24-25高二上·上海·期中）设是等差数列的前项和，且，其中，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 24．（24-25高二上·福建莆田·期中）已知正项等差数列满足：且成等比数列. (1)求数列的通项公式： (2)若数列为递增数列，数列满足：，求数列的前项和. 题型7 数列不等式 25．（24-25高二上·山东·期中）已知数列的首项，且满足. (1)求证：数列为等比数列； (2)若数列的前项和为，求证：. 26．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知数列的前项和为，满足. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，，的前项和为，若不等式对一切正整数恒成立，求的取值范围. 27．（24-25高三上·山东济宁·期中）已知数列的前项和为，，（）. (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 28．（23-24高二下·安徽·期中）已知数列的前n项和为，满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前n项和为，证明：当时. 题型8 数学归纳法的应用 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 29．（23-24高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明： (1)； (2)． 30．（23-24高三·全国·对口高考）是否存在正整数使得对任意正整数都能被整除，若存在，求出最大的的值，并证明你的结论．若不存在说明理由． 31．（23-24高二下·北京房山·期中）已知数列中，且. (1)求数列的第2，3，4项； (2)根据（1）的计算结果，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 32．（23-24高二·全国·随堂练习）证明：凸n边形的内角和等于． 题型9 新情景、新定义下的数列问题 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 33．（24-25高三上·上海·期中）已知数列，若为等比数列，则称具有性质. (1)若数列具有性质，且，，求的值； (2)若，判断并证明数列是否具有性质； (3)设，数列具有性质，其中，，，试求数列的通项公式. 34．（24-25高三上·福建福州·期中）已知数列，从中选取第项、第项、...、第项，称新数列为A的长度为的子列．记为A所有不同子列的个数，例如对于A：1，0，0，长度为2的子列有1，0和0，0，长度为3的子列有1，0，0，所以． (1)对于数列A：2，0，2，4，写出A的长度为3的全部子列，并求； (2)对于数列，判断，的大小关系，并说明理由； (3)对于整数且，数列满足和，求的最小值. 35．（24-25高三上·河北邢台·期中）已知，定义：数列共有项，对任意，存在，使得，或存在，使得，则称数列为“封闭数列”． (1)若，判断数列是否为“封闭数列”； (2)已知递增数列为“封闭数列”，求； (3)已知数列单调递增，且为“封闭数列”，若，证明：是等比数列． 36．（24-25高二上·福建漳州·期中）若数列满足为正整数，p为常数，则称数列为等方差数列，p为公方差. (1)已知数列，的通项公式分别为：，，判断上述两个数列是否为等方差数列，并说明理由； (2)若数列既是等方差数列，又是等差数列，证明：数列为常数列． (3)若数列是首项为1，公方差为2的等方差数列，在的条件下，在与之间依次插入数列中的k项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前30项的和 题型10 切线问题 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 37．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)求曲线上任意一点处的切线斜率； (2)求曲线在点处的切线方程． 38．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数. (1)求曲线过点处的切线； (2)若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值. 39．（24-25高三上·广西南宁·开学考试）已知函数，曲线在处的切线为直线l. (1)求直线l的方程； (2)求函数在闭区间上的最值. 40．（24-25高三上·山西朔州·阶段练习）已知函数. (1)求函数在区间上的值域； (2)曲线在点处的切线也是曲线的切线，求实数的取值范围. 题型11 函数的单调性问题 41．（24-25高三上·河南·期中）已知函数 (1)求的图象在点处的切线方程； (2)若在区间上单调递减，求的取值范围. 42．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知 (1)当时，求的单调区间； (2)若当时为单调递增函数，求实数a的取值范围. 43．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知函数 (1)若在区间单调递增，求a的取值范围； (2)讨论的单调性. 44．（24-25高三上·山东烟台·期中）已知函数. (1)当时，求过点且与函数图象相切的直线方程； (2)当时，讨论函数的单调性. 题型12 函数单调性、极值与最值的综合应用 45．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数 (1)求函数在点处的切线方程 (2)求函数在上的极值和最值 46．（24-25高三上·贵州黔西·阶段练习）已知函数，且当时，有极值． (1)求函数的解析式； (2)若对于区间上任意两个自变量的值，有，求实数c的最小值． 47．（2024·全国·模拟预测）已知是函数的极小值点． (1)求的单调性； (2)讨论在区间的最大值． 48．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程. (2)若在处取得极值，求的极值. (3)若在上的最小值为，求的取值范围. 题型13 利用导数研究函数的零点（方程的根） 49．（24-25高三上·北京海淀·期中）已知函数. (1)若在处取得极大值，求的值； (2)求的零点个数. 50．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知函数在处取得极值，其中． (1)求的值； (2)当时，方程有两个不等实数根，求实数k的取值范围． 51．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知函数，其中为常数. (1)当时，试讨论的单调性； (2)若函数有两个不相等的零点，， （i）求的取值范围； （ii）证明：. 52．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知函数，其中为自然对数的底数． (1)当时，求的单调区间； (2)若方程有两个不同的根． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 题型14 利用导数证明不等式 53．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知函数. (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)证明：当时，. 54．（24-25高三上·湖北·期中）已知函数. (1)若，求极值； (2)求函数的单调区间； (3)若函数有两个极值点，，求证：. 55．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知函数在点处的切线经过原点. (1)求t的值； (2)若存在，使得，求证：； (3)证明： 56．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)求函数在处切线方程； (3)若有两解，，且，求证：． 题型15 利用导数研究恒成立、存在性问题 57．（24-25高三上·江苏南通·期中）已知函数的导函数为，且． (1)求函数在点处的切线方程； (2)若对于任意的恒成立，求实数的取值范围． 58．（24-25高三上·北京·期中）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若关于的不等式有解，求实数的取值范围. 59．（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知函数. (1)求的单调区间; (2)设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围. 60．（24-25高三上·全国·阶段练习）已知函数，，其中，. (1)若在处取得极值，求的值； (2)讨论函数的单调性： (3)若对任意，当时，不等式恒成立，求的取值范围. 题型16 利用导数研究双变量问题 61．（24-25高三上·云南·阶段练习）已知函数. (1)若为增函数，求的取值范围； (2)若有两个极值点，证明：. 62．（23-24高二下·广东揭阳·阶段练习）设函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数有两个极值点，且，求的最小值. 63．（23-24高二下·福建福州·期中）已知函数（） (1)当时，讨论函数的单调性. (2)若有两个极值点 ①求的取值范围 ②证明： 64．（24-25高三上·全国·阶段练习）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若是的两个零点， ①求的取值范围； ②求证：（为函数的导函数）. 题型17 导数中的新定义问题 65．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．已知函数． (1)若是函数的“拐点”，求a的值和函数的单调区间； (2)若函数的“拐点”在y轴右侧，讨论的零点个数． 66．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点. (1)判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由； (2)已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”， 是在上的中值点. ①求的取值范围； ②证明：. 67．（23-24高二下·江苏南京·期中）设函数在区间上可导，为函数的导函数.若是上的减函数，则称为上的“上凸函数”；反之，若为上的“上凸函数”，则是上的减函数. (1)判断函数在上是否为“上凸函数”，并说明理由； (2)若函数是其定义域上的“上凸函数”，求的取值范围； 68．（23-24高三下·重庆·期中）若函数在定义域内存在两个不同的数，同时满足，且在点处的切线斜率相同，则称为“切合函数” (1)证明：为“切合函数”； (2)若为“切合函数”，并设满足条件的两个数为． （ⅰ）求证：； （ⅱ）求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二上学期期末复习解答题压轴题十七大题型专练（范围：第四、五章） 【人教A版（2019）】 题型1 根据数列的递推公式求数列的项、通项公式 1．（2024高二下·全国·专题练习）已知数列中，，且.其中，求数列的通项公式； 【解题思路】方法一，由已知可得，利用累加法求通项；方法二，由已知可得，所以是常数列，得解. 【解答过程】（法一）由题意知，， 则， 累加得：且，又， 故，而符合上式， 故. （法二）由题意知，则， 所以 所以. 2．（2004·全国·高考真题）已知数列中，，且，其中． (1)求； (2)求的通项公式． 【解题思路】（1）代入序数，逐项计算即可求得； （2）根据，可得， 再由利用累加法即可求得，再求即可得解. 【解答过程】（1）， ， ， ， 所以，； （2）由， 所以， 同理， 又 ， 所以 所以， 于是， 于是， 的通项公式为： 当为奇数时，； 当为偶数时， . 3．（23-24高二下·江西萍乡·期中）已知数列的前项和为，且满足． (1)求的值； (2)试猜想的通项公式，并证明． 【解题思路】（1）由数列的递推式，分别令和，计算可得所求值； （2）猜想，由数列的递推式和数列的恒等式，可得证明. 【解答过程】（1）由题知，，解得， 同理，，解得； （2）由（1）可猜想，证明如下： 已知，当时，有， 化简得，即， 则有， 又，故， 则， 当时，上式仍成立，则． 4．（23-24高二下·全国·课后作业）已知数列满足，． (1)试写出该数列的前5项； (2)若，写出的通项公式； (3)根据（2）写出的通项公式． 【解题思路】（1）由递推公式直接计算即可； （2）构造法证明为等比数列，从而写出通项公式即可； （3）由（2）可知，即可求得. 【解答过程】（1）因为，， 所以，， ，. （2）因为，所以两边同时加得： ， 所以，即， 所以是以为首项，为公比的等比数列. 所以. （3）由（2）可知：. 所以，所以. 题型2 求数列的最大项、最小项 5．（23-24高二下·辽宁·期末）已知数列满足． (1)计算，猜想的通项公式并加以证明； (2)设，求使数列取得最大值时n的值． 【解题思路】（1）根据递推关系得到前三项，猜想通项并利用新数列的关系加以证明； （2）写出数列的通项公式，利用，可求n的取值范围. 【解答过程】（1）由题意得，，猜想， 式子可化为， 因为，所以， 因此数列的通项公式为，得证． （2）由得，，所以， 若，当且仅当成立，则， 当时，， 当时，， 故时，取最大值. 6．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的最大项是该数列的第几项． 【解题思路】（1）根据求通项即可； （2）根据得到，然后列不等式求最大项即可. 【解答过程】（1）当时，，不满足上式， 当时，， 故数列的通项公式为. （2）由已知得， 当时，， 则，即， 得，  即， 所以当，的最大项为第7项， 又， 所以数列的最大项是该数列的第项. 7．（23-24高二上·江苏·期中）已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：，求数列的最大项． 【解题思路】（1）根据求出通项公式； （2）求出，当时，计算出，，当时，，从而得到数列的最大项. 【解答过程】（1）中，令得， 当时，， 其中， 故 （2）当时，， 当时，， 则， 当时，， 当时，，，故， 故时，的最大项为， 又，故数列的最大项为. 8．（23-24高二·全国·课后作业）在数列中，. (1)求证：数列先递增后递减； (2)求数列中的最大项. 【解题思路】（1）由于，所以分别由，和求出所对应的的范围，从而可证得结论， （2）由（1）可得是数列的最大项 【解答过程】（1）证明：因为，令， 即，整理得，解得，即当时，. 同理，令， 即当时，. 令，得， 即当时，. 综上，数列从第1项到第8项递增，从第9项起递减，即数列先递增后递减. （2）由（1）知，，， 故是数列中的最大项. 题型3 等差数列的判定与证明 9．（24-25高三上·新疆塔城·期中）已知数列的首项为，且满足. (1)证明数列为等差数列，并求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【解题思路】（1）根据给定条件，利用等差数列定义推理得证，再求出通项公式. （2）由（1）的结论，利用裂项相消法计算即得. 【解答过程】（1）由，，得，则，于是， 所以数列是首项，公差为2的等差数列， ，所以. （2）由（1）知， 所以. 10．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项数列满足，且． (1)判断数列是否为等差数列，并说明理由； (2)求数列的通项公式． 【解题思路】（1）根据题意，化简得到，即可证得数列是等差数列； （2）由（1）可得，结合累加法，求得，即可求解. 【解答过程】（1）由正项数列满足， 可得，即， 即， 又由，可得， 故数列是首项为，公差为2的等差数列． （2）由（1）可得． 所以， 将以上式子累加，可得， 可得，所以． 11．（23-24高二下·海南·期末）已知各项均不为零的数列满足：. (1)证明是等差数列，并求的通项公式； (2)记数列的前项和为，证明：. 【解题思路】（1）通过构造法，利用等差数列的定义和等差数列的概念求解通项公式. （2）通过裂项法求解，并结合数列的单调性求证不等式. 【解答过程】（1）因为，故由， 可得， 又，所以是以1为首项，3为公差的等差数列， 所以，故. （2）易得， 所以 易知在时是递增的，所以， 因此. 12．（23-24高二下·云南昆明·阶段练习）已知数列满足：，，. (1)证明：是等差数列，并求的通项公式； (2)设，若数列是递增数列，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）根据条件，利用等差数列定义，即可证明结果，利用等差数列的通项公式得到，再利用累加法，即可求出结果； （2）由（1）得，再利用数列是递增数列，得到对恒成立，即可求出结果. 【解答过程】（1）因为，所以为常数， 又，所以数列是公差为，首项为的等差数列. 所以， 当时，， 所以，又，所以，又，满足， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，因为数列是递增数列， 所以，对恒成立， 得到对恒成立，所以. 题型4 等比数列的判定与证明 13．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知数列满足且. (1)求； (2)证明数列是等比数列，并求. 【解题思路】（1）已知的值，代入递推公式得出，再代入递推公式即可得到的值. （2）由两式消元得到，将变为得到等式，代入①式消元得到，构造出数列，得到等式，即可证明数列是等比数列，由等比数列的通项公式得出. 【解答过程】（1）当时，， 当时，， （2）∵， ∴得到，∴， 则代入①得：， 则 ∴， 且， ∴数列是以1为首项，3为公比的等比数列. ∴， ∴. 14．（23-24高三下·全国·开学考试）设数列的前n项和，. (1)证明：数列是等比数列； (2)求的通项公式. 【解题思路】（1）由可得，再通过化简结合等比数列的定义即可证明； （2）先结合（1）求出，再根据时，求出，最后验证即可. 【解答过程】（1）， ， 即， 即， 即， 即， 又， 数列是以首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）知：， 即， 当时，， ， 又也适合上式， 故. 15．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列中，． (1)求，并猜想的通项公式（不需证明）； (2)证明：数列是等比数列． 【解题思路】（1）先根据递推公式得出，再计算得出等比的通项公式； （2）结合已知应用递推公式,根据等比数列定义证明等比数列. 【解答过程】（1）由得． 结合可猜想数列的通项公式为． （2）因为， 所以为正项递增数列，所以， 所以， 故数列是等比数列． 16．（2024高二·全国·专题练习）已知数列和满足，，，其中为常数，n为正整数. (1)证明：对任意实数，数列不是等比数列； (2)试判断数列是否为等比数列. 【解题思路】（1）利用反证法，根据，可得矛盾，即可求解， （2）代入化简可得，利用等比数列的定义，即可求证. 【解答过程】（1）∵且，∴，． 假设存在一个实数，使数列是等比数列， 则，即，即，得，矛盾． 故对任意实数，数列不是等比数列． （2）∵， ∴， ∵， ∴当时，，此时数列不是等比数列； 当时，，此时，数列是等比数列． 题型5 等差、等比数列的综合应用 17．（2024·四川绵阳·三模）已知首项为1的等差数列满足：成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：，求数列的前项和. 【解题思路】（1）由已知列式求得公差，代入等差数列的通项公式得答案； （2）令，得，两式相减得，又，即得 【解答过程】（1）设公差为d，又成等比数列， 所以， 又，即，解得或， 而时，不满足成等比数列，所以， 所以. （2）令， 所以， 两式相减有：， 所以数列的前项和为，即， 又，所以， 所以. 18．（23-24高二上·四川成都·期末）已知递增数列和分别为等差数列和等比数列，且，，， (1)求数列和的通项公式； (2)若，证明：. 【解题思路】（1）由等差和等比数列的性质结合题意列方程组，解出，再由基本量法求出通项即可； （2）由对数的运算性质化简再简单放缩可得，最后利用累乘法可证明. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由题意可得：，前两式化简后有， 由上述式子可得：， 化简得：，则或， 若，可得，数列为常数列，故舍去； 若，带入得，又由，解得，，， 于是得到数列的通项公式为，数列的通项公式为. （2）由题可得， 由于时，， 则（当且仅当时取等号）， 所以， 则（当且仅当时取等号）. 所以. 19．（23-24高二上·江苏苏州·期中）已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设是首项为1，公比为3的等比数列， ①求数列的前项和； ②若不等式对一切恒成立，求实数的最大值． 【解题思路】（1）根据等差数列通项公式与前n项和公式，结合等比中项进行求解； （2）①先计算的通项公式，再用错位相减法求解； ②代入，得到对一切恒成立，构造函数，再求的最小值，即可求得结果. 【解答过程】（1）依题意得，解得， ，即． （2）①，， ， ， 所以 ． ． ②由（1）易求得，所以不等式对一切恒成立， 即转化为对一切恒成立， 令，则， 又， 当时，；时，， 所以，且，则． 所以实数的最大值为． 20．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知等差数列和等比数列满足：，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)设数列是数列和数列的相同项从小到大组成的新数列，是数列的前n项和，求，并判断是否为数列中的项（不必说明理由）？ 【解题思路】（1）根据题意分别可得关于等差数列的公差和等比数列的公比为的方程，解方程可得和，从而可得数列，的通项公式； （2）由（1）知道数列和数列的相同项即为数列的所有大于等于3的奇数项，即可求解. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 则， 解得，． ， 解得，， 即， （2）由（1）知道数列和数列的相同项即为数列的所有大于等于3的奇数项， 即是：22，24，26，28，210，212，…，即， 所以，且必为偶数，所以必为数列中的项． 题型6 数列的求和 21．（24-25高三上·河北邢台·期中）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【解题思路】（1）根据与的关系结合累乘法求解即可； （2）利用错位相减法求解即可. 【解答过程】（1）令，得， 当时，因为，所以， 两式相减得， 即，所以， 所以，即， 所以， 又，符合上式，所以； （2）， 则， ， 两式作差得， 即， 所以． 22．（23-24高三上·云南·阶段练习）已知数列满足：（），数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求. 【解题思路】（1）根据递推关系式，得到，两式相减即可得解； （2）利用倒序相加法求和即可. 【解答过程】（1）当时，； 当时，①， ②， ①－②得：， ∴，当时，， ∴. （2）∵， ∴ ∴①， ②， 又∵∴①＋②得： ∴. 23．（24-25高二上·上海·期中）设是等差数列的前项和，且，其中，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【解题思路】（1）根据等差数列前n项和与通项公式之间的关系可求得. （2）由（1）得的通项公式，再由前n项和的定义写出的表达式，最后通过裂项相消法求出. 【解答过程】（1）由题意得，根据等差数列前n项和与通项公式之间的关系， 当时，， 当时，， 又当时，满足的通项公式， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）可得，， 所以， 所以数列的前项和 . 所以数列的前项和. 24．（24-25高二上·福建莆田·期中）已知正项等差数列满足：且成等比数列. (1)求数列的通项公式： (2)若数列为递增数列，数列满足：，求数列的前项和. 【解题思路】（1）根据等差数列定义由等比数列性质计算可得公差，即求出通项公式； （2）由（1）可得，利用分组求和代入公式计算可得结果. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为， 由成等比数列可得， 解得或； 当时，可得， 当时，可得； 所以数列的通项公式为或. （2）由（1）可得，所以； 因此， 所以 ， 即数列的前项和. 题型7 数列不等式 25．（24-25高二上·山东·期中）已知数列的首项，且满足. (1)求证：数列为等比数列； (2)若数列的前项和为，求证：. 【解题思路】（1）两边取倒数，整理得到，结合，得到数列为等比数列； （2）在（1）的基础上，得到，从而，时，，结合等比数列求和公式得到. 【解答过程】（1）已知，两边取倒数得， 所以，又， 所以数列为首项为2公比为2的等比数列. （2）由（1）知，，所以， 当时，， 当时，， 所以， 综上所述，. 26．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知数列的前项和为，满足. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，，的前项和为，若不等式对一切正整数恒成立，求的取值范围. 【解题思路】（1）利用间的关系及等比数列的通项公式求解； （2）由条件求出，利用错位相减法求出，进而可求的取值范围. 【解答过程】（1）由，令，得，即， 又，得， ， 又，符合上式，则 ， 则数列是以1为首项，为公比的等比数列， ． （2）由题意得，， 所以①， ②， ②①得 ， ， 不等式对一切正整数恒成立， 即不等式对一切正整数恒成立，， ，， ． 27．（24-25高三上·山东济宁·期中）已知数列的前项和为，，（）. (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）利用条件，再写一式，两式相减，可证得数列是首项为2，公比为2的等比数列，即可求出数列的通项公式； （2）求出数列的通项，利用错位相减法求出，再将题意转化为可得，记，求出的最大值，即可得出答案． 【解答过程】（1）由，可得， 两式相减可得：，所以， 令，可得，所以， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，其通项公式为. （2），． 可得，则， 两式相减得： ，所以， 因为，则， 原题意等价于关于的不等式恒成立，可得， 记， 令，则，解得或3， 则，即当或时，取到最大值， 可得，所以实数的取值范围． 28．（23-24高二下·安徽·期中）已知数列的前n项和为，满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前n项和为，证明：当时. 【解题思路】（1）利用公式时，，得到关于数列的递推关系式，法一，转化为，利用累乘法求通项公式，法二，转化为，判断数列是常数列，即可求通项公式； （2）首先根据（1）的结果求数列的通项公式，并放缩为，利用裂项相消法求和，即可证明. 【解答过程】（1）根据题意，当时， 法一： ∴ 当时， ，也满足. 法二： 可得， 所以数列是常数列， . （2），， 首项满足，所以， 所以， 设数列， 数列前n项和为， 分析可得，数列从第2项开始放缩成， 设数列 数列前n项和为， 所以. 题型8 数学归纳法的应用 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 29．（23-24高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明： (1)； (2)． 【解题思路】（1）记，验证当时，等式成立；假设当时，等式成立，然后证明出当时，等式成立，利用数学归纳法可证得结论成立； （2）记，验证当时，等式成立；假设当时，等式成立，然后证明出当时，等式成立，利用数学归纳法可证得结论成立. 【解答过程】（1）证明：记， 当时，则有，等式成立， 假设当，等式成立，即， 则， 这说明当时，等式成立， 故对任意的，. （2）证明：设， 当时，，等式成立， 假设当时，等式成立， 即， 所以， ， 这说明当时，等式成立， 所以，对任意的，. 30．（23-24高三·全国·对口高考）是否存在正整数使得对任意正整数都能被整除，若存在，求出最大的的值，并证明你的结论．若不存在说明理由． 【解题思路】 求出、的最大公约数，可得出的值，然后利用数学归纳法证明出都能被整除，即可得出结论. 【解答过程】解：，， 所以，、的最大公约数为， 猜想：对任意的，能被整除， 当时，猜想显然成立； 假设当，猜想成立，即能别整除， 即存在，使得， 则当时， ， 因为为奇数，则为偶数，则能被整除， 所以，能被整除， 这说明当时，猜想也成立， 故对任意的，对任意正整数都能被整除，且. 故的最大值为. 31．（23-24高二下·北京房山·期中）已知数列中，且. (1)求数列的第2，3，4项； (2)根据（1）的计算结果，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 【解题思路】（1）由题意逐个计算即可得； （2）由（1）的计算结果可猜想出数列的通项公式，利用数学归纳法证明即可得. 【解答过程】（1）由且，则， ，； （2）由（1）的计算结果可猜想，证明如下： 当时，，等式成立； 假设当时等式成立，即有， 则当时，有， 即当时，等式成立； 故猜想成立. 32．（23-24高二·全国·随堂练习）证明：凸n边形的内角和等于． 【解题思路】验证当时，结论成立；假设当时，结论成立，分析可知凸边形边形可以在以为边的与凸k边形拼接而成，即可得出成立，这说明当时，结论成立，再由归纳原理可证得结论成立. 【解答过程】设， 当时，三角形的内角和为，即，结论成立； 假设当时，结论成立，即， 假设凸边形，如下图所示： 则凸边形边形可以在以为边的与凸边形拼接而成， 所以，， 这说明当时，结论成立， 故凸边形的内角和. 题型9 新情景、新定义下的数列问题 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 33．（24-25高三上·上海·期中）已知数列，若为等比数列，则称具有性质. (1)若数列具有性质，且，，求的值； (2)若，判断并证明数列是否具有性质； (3)设，数列具有性质，其中，，，试求数列的通项公式. 【解题思路】（1）根据数列数列具有性质可得为等比数列,根据等比数列性质可求得答案； （2）依据数列新定义，结合等比数列定义即可判断结论，进而证明； （3）求出,可得,进而推出,分为奇、偶数,求出,综合可得答案. 【解答过程】（1）由题意数列具有性质为等比数列,设公比为, 由得 , （2）数列具有性质;证明如下: 因为, 所以 则,即为等比数列, 所以数列具有性质. （3）因为,则 , 故, 适合该式,故, 所以由 得 , 因为数列具有性质，故为等比数列，设其公比为，则， 故 当为偶数时, , 当为奇数时, , 故. 34．（24-25高三上·福建福州·期中）已知数列，从中选取第项、第项、...、第项，称新数列为A的长度为的子列．记为A所有不同子列的个数，例如对于A：1，0，0，长度为2的子列有1，0和0，0，长度为3的子列有1，0，0，所以． (1)对于数列A：2，0，2，4，写出A的长度为3的全部子列，并求； (2)对于数列，判断，的大小关系，并说明理由； (3)对于整数且，数列满足和，求的最小值. 【解题思路】（1）根据的定义结合条件即得； （2）根据题意可知，结合对称可得，得，同理； （3）令，得数列中不含有0的子列有个，含有1个0的子列有k个，含有2个0的子列有个， ，含有个0的子列有个，即可解决. 【解答过程】（1）因为数列A：2，0，2，4， 可得：A的长度为3的子列为：，有4个， 且A的长度为的子列有5个，长度为的子列有个， 所以. （2），理由如下： 若是的一个子列， 则为的一个子列. 若与是的两个不同子列， 则与也是的两个不同子列. 则； 同理可得，所以； 同理可得；所以有. （3）由已知可得，数列中恰有个1，个0. 令， 下证：. 由于， 所以的子列中含有个0，个1的子列有且仅有1 个， 设为：. 因为数列的含有个0，个1的子列至少有一个， 所以. 数列中， 不含有0的子列有个， 含有1个0的子列有k个， 含有2个0的子列有个，， 含有个0的子列有个， 所以. 所以的最小值为. 35．（24-25高三上·河北邢台·期中）已知，定义：数列共有项，对任意，存在，使得，或存在，使得，则称数列为“封闭数列”． (1)若，判断数列是否为“封闭数列”； (2)已知递增数列为“封闭数列”，求； (3)已知数列单调递增，且为“封闭数列”，若，证明：是等比数列． 【解题思路】（1）举出反例，得到数列不是“封闭数列”． （2）数列递增，由求出，通过分析得到都是中的项，所以，得，由，得，所以； （3）数列单调递增，所以是中的项，即，且是中的项，推出，根据上式的项数得到，同理得到，两式结合得到，证明出结论. 【解答过程】（1）由题意知，数列为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10． 因为和均不是中的项， 所以数列不是“封闭数列”． （2）由题意数列递增可知，则不是中的项， 所以是中的项，即． 因为，所以都是中的项， 所以，得， 由，得，所以． （3）因为数列单调递增，所以，则不是中的项， 所以是中的项，即． 因为不是中的项，所以是中的项， 所以． 因为共有项， 所以①， 类似地，，则不是中的项， 所以是中的项， ， 所以②， 由①和②得， 所以是首项为1的等比数列． 36．（24-25高二上·福建漳州·期中）若数列满足为正整数，p为常数，则称数列为等方差数列，p为公方差. (1)已知数列，的通项公式分别为：，，判断上述两个数列是否为等方差数列，并说明理由； (2)若数列既是等方差数列，又是等差数列，证明：数列为常数列． (3)若数列是首项为1，公方差为2的等方差数列，在的条件下，在与之间依次插入数列中的k项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前30项的和 【解题思路】（1）根据等方差数列的定义，即可判断； （2）根据等差数列及等方差数列的定义即可求解； （3）首先说明是等比数列，再根据等比数列和等差数列求和公式，即可求解． 【解答过程】（1）因为常数， 所以数列为等方差数列，1为公方差； 因为， 所以数列不是等方差数列． （2）证明：因为是等差数列，设其公差为d， 则 又是等方差数列，所以 故， 所以， 即， 所以，故是常数列. （3）由题意知数列是首项为1，公方差为2的等方差数列， 故，而，所以； 是首项为1，公比为3的等比数列， 而新数列中项含前共有项， 令，结合，解得， 故数列中前30项含有的前7项和数列的前23项， 所以数列中前30项的和. 题型10 切线问题 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 37．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)求曲线上任意一点处的切线斜率； (2)求曲线在点处的切线方程． 【解题思路】（1）根据导数的定义得出导数的几何意义得出切点的斜率； （2）先求导函数的函数值得出斜率再点斜式求出切线方程. 【解答过程】（1）由导数的几何意义可知曲线上任意一点处的切线斜率为， 则由导数的定义，可得 ． 即曲线上任意一点处的切线斜率为． （2），由（1）知，曲线在点处的切线斜率为， 所以切线方程为，即． 38．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数. (1)求曲线过点处的切线； (2)若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值. 【解题思路】（1）利用导数几何意义求过一点的切线方程； （2）利用导数几何意义，由切线平行列方程求参数值. 【解答过程】（1）由导数公式得， 设切点坐标为，设切线方程为： 由题意可得： ，       所以或，      从而切线方程为或. （2）由(1)可得：曲线在点处的切线方程为, 由，可得曲线在处的切线斜率为， 由题意可得，  从而，    此时切点坐标为，曲线在处的切线方程为， 即，故符合题意，所以. 39．（24-25高三上·广西南宁·开学考试）已知函数，曲线在处的切线为直线l. (1)求直线l的方程； (2)求函数在闭区间上的最值. 【解题思路】（1）求出，后可求切线方程； （2）求出函数的导数，讨论其符号可得函数的单调性，从而可得函数的最值. 【解答过程】（1），故，而， 故曲线在处的切线方程为. 故切线方程为. （2）由（1）可得时，；时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故，而. 40．（24-25高三上·山西朔州·阶段练习）已知函数. (1)求函数在区间上的值域； (2)曲线在点处的切线也是曲线的切线，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）对函数求导，利用函数的导数与单调性判断函数在区间上的单调性求出端点值及极值即可得出结果； （2）根据题意先求出曲线在点处的切线方程，将该切线方程与曲线方程联立得出关于的二次方程，由题意得出关于的方程，分离参数，构建新函数，利用函数导数及相关性质分析即可. 【解答过程】（1）因为，所以， 令，可得， 令，可得或， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在区间上单调递增，在上单调递减， 由， 故函数在上的值域为. （2）由， 所以曲线在点处的切线斜率为：，此时， 所以曲线在点处的切线方程为：， 整理得： 联立方程消去整理得：， 由题意得： 整理得：， 令， 则， 令，可得或， 令，可得或， 所以函数的增区间为，减区间为， 由，可得， 有，可得. 题型11 函数的单调性问题 41．（24-25高三上·河南·期中）已知函数 (1)求的图象在点处的切线方程； (2)若在区间上单调递减，求的取值范围. 【解题思路】（1）运用导数几何意义得到斜率，进而求得切线；（2）令，借助导数,分类讨论研究得单调性，根据导数正负，得到单调性即可. 【解答过程】（1）由题可知， 则，又， 故的图象在点处的切线方程为. （2）令， 则. 当时，，故在上存在零点， 记其中最小的零点为，则在上恒为正，在上单调递增， 故在上单调递增， 故在上单调递增，不符合题意 当时，在上有， 故在上单调递减， 即在上单调递减. 故在上单调递减，符合题意 故的取值范围为. 42．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知 (1)当时，求的单调区间； (2)若当时为单调递增函数，求实数a的取值范围. 【解题思路】（1）求导，令和求解即可得到对应的减区间和增区间； （2）依题意，在上恒成立，分离参数求解即可. 【解答过程】（1）的定义域为，当时， ∴, 当时，，当时，， 所以在上的单调递减，在上单调递增. （2）当时为单调增函数， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 令（），则恒成立， 所以在单调递减， 所以. ∴. 43．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知函数 (1)若在区间单调递增，求a的取值范围； (2)讨论的单调性. 【解题思路】（1）由题意可知：当 时， 恒成立，结合对勾函数分析求解； （2）分 和 两种情况，结合导数以及不等式的解法分析求解. 【解答过程】（1）函数 的定义域为 ， ， 在区间 单调递增，即当 时， 恒成立， 亦即 在区间 恒成立； 因为 当且仅当 时取等号 所以 a 的取值范围为 . （2）①当 时， 在 恒成立， 则在 单调递增； ②当 时， ，易知 ， 令 ，解得 ， ，且 当 ， ；当 或 时， ； 所以， 在区间 单调递减，在区间 和 单调递增. 综上所述，当 时， 在 单调递增； 当 时， 在区间 单调递减， 在区间 和 单调递增. 44．（24-25高三上·山东烟台·期中）已知函数. (1)当时，求过点且与函数图象相切的直线方程； (2)当时，讨论函数的单调性. 【解题思路】（1）设函数在点的切线过点，可得切线方程为，可得，求解可得切线方程； （2）求导得，分，，三种情况讨论可得单调区间. 【解答过程】（1）当时，，求导可得， 设函数在点的切线过点，所以， 又， 所以， 又因为切线过点，所以， 所以，解得， 所以切线方程为，即. （2）由， 可得， 当时，由，可得或， 所以函数在和上单调递增， 由，可得，所以函数在上单调递减， 当时，由，可得，所以函数在上单调递增， 当时，由，可得或，所以函数在和上单调递增， 由，可得，所以函数在上单调递减， 综上所述：当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增， 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减. 题型12 函数单调性、极值与最值的综合应用 45．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数 (1)求函数在点处的切线方程 (2)求函数在上的极值和最值 【解题思路】（1）对求导，进而求得与，利用点斜式可求切线方程； （2）令，可得，可求在的单调性，即可求出在区间上的极值与最值. 【解答过程】（1）由，得， 所以，所以函数在点处的切线斜率为， 又，所以函数在点处的切线方程为：，即； （2）令，可得，解得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以在有极小值，无极大值， 又，， 所以在上的最小值为，最大值. 46．（24-25高三上·贵州黔西·阶段练习）已知函数，且当时，有极值． (1)求函数的解析式； (2)若对于区间上任意两个自变量的值，有，求实数c的最小值． 【解题思路】（1）利用根据极值及极值点处的导数为0.列出方程求解，注意检验，即可得解； （2）利用导数求出函数的最大最小值，根据题意最大值与最小值之差即为c的最小值. 【解答过程】（1）， 由题意得 即 解得 经检验，当时，在处取得极值， 所以． （2）， 令得或；令，得． 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 因为， 所以， 对于区间上任意两个自变量的值，有， 所以的最小值为66． 47．（2024·全国·模拟预测）已知是函数的极小值点． (1)求的单调性； (2)讨论在区间的最大值． 【解题思路】（1）根据极值点求出，再求导，根据导数正负得出单调性即可； （2）根据（1）的结论，用m对区间进行分类讨论，再根据再结合单调性得到最值. 【解答过程】（1）的定义域为R，． 当时，，不是的极值点． 当时，令，得，． 在小于0，在区间大于0，在小于0， 故在单调递减，在区间单调递增，在单调递减，此时是的极小值点，符合题意． 综上，在单调递减，在区间单调递增，在单调递减． （2）由（1）可知：在单调递减，在区间单调递增，在单调递减．分类讨论. 当,即时，在区间单调递减，故最大值为； 当时，在单调递减，在单调递增，故最大值为； 当时，在区间单调递增，故最大值为； 当时，在单调递增，在单调递减，故最大值为； 当时，在区间单调递减，故最大值为． 48．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程. (2)若在处取得极值，求的极值. (3)若在上的最小值为，求的取值范围. 【解题思路】（1）根据导数的几何意义，即可求得答案； （2）根据在处取得极值，求出a的值，从而判断函数的单调性，求得极值； （3）分类讨论，讨论a与区间的位置关系，确定函数单调性，结合函数的最值，即可确定a的取值范围. 【解答过程】（1）若，则，则， 故， 故曲线在点处的切线方程为，即； （2）定义域为， 则， 由于在处取得极值，故， 则， 令，则或，函数在上均单调递增， 令，则，函数在上单调递减， 故当时，取到极大值， 当时，取到极小值； （3）由于， 当时，，仅在时等号取得，在上单调递增， 则，符合题意； 当时，则时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 故，不符合题意； 当时，，在上单调递减， 故，不符合题意； 综上，可知的取值范围为. 题型13 利用导数研究函数的零点（方程的根） 49．（24-25高三上·北京海淀·期中）已知函数. (1)若在处取得极大值，求的值； (2)求的零点个数. 【解题思路】（1）求出函数导数，利用极值点导数为0求出，再检验即可得解； （2）分三种情况讨论，讨论时，列出当变化时，的变化情况，再由零点存在性定理判断零点个数即可. 【解答过程】（1）的定义域为. 因为4是的极大值点， 所以，即，解得或 当时，当变化时，的变化情况如下表： 3 4 + 0 0 + 极大值 极小值 此时，4是的极小值点，不符合题意； 当时，当变化时，的变化情况如下表： 4 6 + 0 0 + 极大值 极小值 此时4是的极大值点，符合题意. 因此，此时. （2）①当时，当变化时，的变化情况如下表： + 0 0 + 极大值 极小值 ，因此时，， 又，因此在上有且仅有一个零点， 因此的零点个数是1. ②当时，对任意，在上是增函数， 又，由零点存在定理知，有1个零点， 因此的零点个数是1. ③当时，当变化时，的变化情况如下表： + 0 0 + 极大值 极小值 ，因此时，， 又，因此在上有且仅有1个零点， 因此的零点个数是1. 综上，当时，的零点个数是1. 50．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知函数在处取得极值，其中． (1)求的值； (2)当时，方程有两个不等实数根，求实数k的取值范围． 【解题思路】（1）先求导函数，再依据题意求解检验即可. （2）由（1）得和，接着研究在上的正负从而得在上的单调性，根据单调性数形结合即可得解. 【解答过程】（1）由求导得， 依题意可知，即，解得， 此时，， 由得或， 当时，，函数递增， 当时，，函数递减， 故时，函数取得极大值，故. （2）由（1）得，， 令，解得或，因， 故当时，函数递减，当时，函数递增， 当时，取得极小值，无极大值，所以， 所以在区间上，的最大值为或，而， 所以在区间上的最大值为，最小值为， 作出函数与直线的图像，如图，    由图知. 51．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知函数，其中为常数. (1)当时，试讨论的单调性； (2)若函数有两个不相等的零点，， （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【解题思路】（1）利用导数并讨论参数a的范围研究导数的符号，即可判断单调性； （2）（i）结合（1）的单调性判断、的符号，排除，再在的情况下研究的单调性和最值，根据零点的个数求参数范围； （ii）由（i）有，分析法将问题化为证明，进而构造并利用导数研究其符号，即可证结论. 【解答过程】（1）由题设，且， 当时，在上，在上，在上， 所以，在、上单调递增，在上单调递减； 当时，在上恒成立，故在上单调递增； 当时，在上，在上，在上， 所以，在、上单调递增，在上单调递减. （2）（i）由， 若时，， 令且，则， 所以时，时， 故在上递增，在上递减，则， 所以， 结合（1）中的单调性，易知不可能出现两个不相等的零点， 又时，在上只有一个零点，不满足， 所以，此时，在上，在上， 故在上单调递减，在上单调递增，则， 又趋向于0或负无穷时，趋向正无穷，只需成立， 显然在上递减，且当时， 所以，时恒成立，即所求范围为； （ii）由（i），在时，存在两个不相等的零点， 不妨令，要证，即证，而， 由（i）知：在上单调递增，只需证， 由，则 令，且， 则 ， 所以，在上，即在上递增， 所以，即成立， 所以，得证. 52．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知函数，其中为自然对数的底数． (1)当时，求的单调区间； (2)若方程有两个不同的根． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 【解题思路】（1）求函数的导函数及其零点，分区间分析导函数的正负，结合导数与单调性的关系求单调区间； （2）方程可化为，结合（1）确定函数的性质，由条件确定的取值范围； （3）设，由（i），由已知，法一：先证明时结论成立，构造函数，，并证明，由此可得，结合的单调性证明，再结合基本不等式证明当时，结论成立；法二：构造函数，证明当时，，由此可证，结合的单调性证明，再结合基本不等式证明结论. 【解答过程】（1）由题意得，，则， 由，解得． 当时，单调递增， 当时，单调递减； 综上，在区间内单调递增，在区间内单调递减； （2）（i）由，得， 设， 由（1）得在区间内单调递增，在区间内单调递减， 又，当时，，且当时，， 所以当时，方程有两个不同的根，即方程有两个不同的根， 故的取值范围是．                                      （ii）不妨设，则，且． 法一： 当时，结合（i）知，即； 当时，． 设 则 所以在区间内单调递增， 则，即， 所以 又在区间内单调递减， 所以，即， 又，所以， 故，所以，得证． 法二： 设，， 则， 所以在区间内单调递增，又， 所以，即． 又，所以， 又在区间内单调递减． 所以，即， 又，所以，得证． 题型14 利用导数证明不等式 53．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知函数. (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)证明：当时，. 【解题思路】（1）根据给定条件，分离参数并构造函数，利用导数求出最大值即可得解. （2）构造函数，利用导数证得，再利用函数单调性信不等式性质推理即得. 【解答过程】（1）函数的定义域为，，令， 依题意，恒成立，，当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减，，于是， 所以实数的取值范围是. （2）当时，令，求导得，函数在上单调递增， 则，即，因此，， 令，求导得，即函数在上单调递增， ，即，于是， 所以. 54．（24-25高三上·湖北·期中）已知函数. (1)若，求极值； (2)求函数的单调区间； (3)若函数有两个极值点，，求证：. 【解题思路】（1）代入函数解析式，利用导数求函数极值； （2）利用导数，对分类讨论，求函数单调区间； （3），是方程的两个根，有，，，，化简得，令，利用导数求的单调性，可证明结论. 【解答过程】（1）当时，，函数定义域为， ， 当，，在上单调递增， 或，，在和上单调递减， 的极大值为，的极小值为. （2）由，得.     令，则，， 当，即时，恒成立，则， 所以在上是减函数. 当，即或. （i）当时，在上单调递增，恒成立， 从而，所以在上是减函数. （ii）当时，函数有两个零点：，， 列表如下： - 0 + 0 - 减函数 极小值 增函数 极大值 减函数 综上，当时，的减区间是，无增区间； 当时，的增区间是，减区间是和. （3）由（2）知，当时，有两个极值点，，， 则，是方程的两个根，从而，， 由韦达定理，得，. 所以， . 令，，， 则， 当时，，则在上是增函数，从而， 故. 55．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知函数在点处的切线经过原点. (1)求t的值； (2)若存在，使得，求证：； (3)证明： 【解题思路】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）利用导数研究函数单调性，利用单调性可证不等式； （3）由题意只需证，令，利用导数研究在处取得极大值，也是最大值，可得，可证不等式. 【解答过程】（1）因为，所以， 因为，所以切线方程为，即 因为切线经过原点，所以， 所以； （2）因为，所以， 令，解得； 令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 因为，， 所以存在，，且， 要证，即证， 因为，只需证， 因为，即证 令， 即， 所以 因为，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以，即， 所以； （3）要证，即证， 即证， 因为，所以只需证 令，只需证 由， 因为，， 令，；令，， 所以在处取得极大值，也是最大值， 所以， 所以，即原不等式得证. 56．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)求函数在处切线方程； (3)若有两解，，且，求证：． 【解题思路】（1）计算，求以及，从而求出的单调性； （2）计算以及，点斜式计算可求出切线方程； （3）偏移法证明，结合第（2）问的结论，证明在切线下方，放缩法证明不等式. 【解答过程】（1）的定义域为，，当时，，当时，，当时，，故在区间内为增函数，在区间为减函数； （2），，所以处切线方程为：， 即； （3）先证，由（1）可知：，且在区间为减函数，要证， 即证：， 令，， 则， 所以在区间内单调递增，，即， 即； 再证，由（2）可知曲线在点处的切线方程为， 令， ，∴在处取得极大值为0， 故当时，，， 则，即， 又，， ∴，得证. 题型15 利用导数研究恒成立、存在性问题 57．（24-25高三上·江苏南通·期中）已知函数的导函数为，且． (1)求函数在点处的切线方程； (2)若对于任意的恒成立，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）求导，利用赋值法求得，求得解析式，进而可求得切线方程； （2）法一，分，，三种情况分离变量，并求得最值求得的取值范围.法二，令，利用二次求导判断恒成立应满足的条件，进而求得的范围. 【解答过程】（1）求导得， 令，则， ，即：． （2）方法一，， ①当时，左边右边，不等式显然成立． ②当时， 令 当时，在上单调递减 ③当时， 令，当时，单调递减； 当时，单调递增． 综上：的取值范围为． 法二，令，， 令，所以恒成立，在上递增． ①若，即对 在单调递减，， 与矛盾，无解，舍去． ②若，即， 在上递增 . 故． ③若即：时， 使得，，即： 即： ，故 综上． 58．（24-25高三上·北京·期中）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若关于的不等式有解，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）求出函数的定义域，，设，恒成立，由，利用导数与函数单调性的关系即可求解. （2）令，利用导数求出的最小值，使，解不等式即可求解. 【解答过程】（1）定义域为， ， 设 恒成立 所以在上是减函数，且 则当时，，即， 则当时，，即， 所以的单调递增区间为，的单调递减区间 （2）由（1）知，所以， 令， ， 当时，，当时，， 所以在上的最小值为， 所以若关于的不等式有解，则， 即. 59．（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知函数. (1)求的单调区间; (2)设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）求导，根据导数分情况讨论导函数零点情况及函数单调性； （2）根据题意可得，分别求最大值即可得不等式，解不等式即可求解. 【解答过程】（1）由，， 得. 令，解得. 当时，， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增. 当时，恒成立，在上单调递增. 当时，， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增. 综上所述，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为，； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为. （2）因为对任意，均存在，使得， 所以， 当时，取得最大值，最大值为0. 由（1）得，当时，在]上单调递增， 即当时，取得最大值， 所以，解得，即. 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得最大值 . 设， 则，单调递增， 所以成立，所以无解. 综上所述，的取值范围为. 60．（24-25高三上·全国·阶段练习）已知函数，，其中，. (1)若在处取得极值，求的值； (2)讨论函数的单调性： (3)若对任意，当时，不等式恒成立，求的取值范围. 【解题思路】（1）根据极值点求得，并进行验证. （2）先求得，然后对进行分类讨论，从而求得的单调区间. （3）由（2）求得的最小值，利用导数求得的最大值，再结合已知条件来求得的取值范围. 【解答过程】（1）令， 由题意，. 由已知得，解得， 此时， 易知在区间上单调递增，在上单调递减， 则函数在处取得极小值，因此. （2）由题意， 其中，， ①当，即，在上单调递减，在上单调递增. ②当，即，则在上单调递减. 综上，当时，的单调递减区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. （3）当时，由（2）可知当时，函数取得最小值， 即， 由，可得在上单调递增， 即当时，， 对任意，当时，不等式恒成立， 则必有，即，解得， 所以k的取值范围是. 题型16 利用导数研究双变量问题 61．（24-25高三上·云南·阶段练习）已知函数. (1)若为增函数，求的取值范围； (2)若有两个极值点，证明：. 【解题思路】（1），由题意得恒成立，，求导分析的单调性，即的单调性，求出的最值，即可求解. （2）由（1）知，当时，有两个极值点，设，则，设，求导得出的单调性，可得，继而可得，即，由的单调性可得，继而即可证明. 【解答过程】（1）为增函数，则恒成立， 设，则， 令，则， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增， 所以是函数的极小值点， 故当，即恒成立， 所以当为增函数，的取值范围为. （2），，，由（1）知当， 即时，有两个极值点， 故，设，则， 设， 则， 故在上单调递增，所以， 所以，又， 故， 所以， 又在上单调递减， 故， 所以. 62．（23-24高二下·广东揭阳·阶段练习）设函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数有两个极值点，且，求的最小值. 【解题思路】（1）求导后，根据的正负可确定单调区间； （2）根据函数有两个极值点可得方程在上有两个不等实根，由此可得韦达定理的结论，将表示为关于的函数的形式，构造函数，利用导数求得即可. 【解答过程】（1）当时，，则定义域为，， 当时，；当时，； 的单调递增区间为，；单调递减区间为. （2）定义域为，， 有两个极值点等价于在上有两个不等实根， ，，，， ； 设， 则， 在上单调递减，， 即， 的最小值为. 63．（23-24高二下·福建福州·期中）已知函数（） (1)当时，讨论函数的单调性. (2)若有两个极值点 ①求的取值范围 ②证明： 【解题思路】（1）首先求函数的导数，再根据导数和函数单调性的关系，即可求解； （2）①首先求函数的导数，转化为关于一元二次方程有2个不同的正实根，即可求解； ②首先求，再利用韦达定理，转化为关于的函数，再通过不等式构造函数，利用导数判断导函数单调性，再结合零点存在性定理，求函数的最大值，证明函数的最大值小于0，即可证明不等式. 【解答过程】（1）当时 ，（） ， 令， 如图表示的关系如下， 1 3 0 0 单调递增 单调递减 单调递增 在上单调递减，在上单调递增. （2）① ， 因为有两个极值点 即：在有两个不相等的实根， 所以， 所以， ②由①得 要证 即证：， 只需证 令 令 则恒成立， 所以在上单调递减 又因为 由零点存在性定理得：，使得，即， 所以 ，单调递增. 时，，单调递减. 则 因为在上单调递增 所以 所以，即得证. 64．（24-25高三上·全国·阶段练习）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若是的两个零点， ①求的取值范围； ②求证：（为函数的导函数）. 【解题思路】（1）求导函数，分与两类讨论函数的单调性即可； （2）①结合（1）的分析，若有两个零点，则且极大值可得，再通过找点使，然后利用零点存在性定理证明当时有两个零点； ②由不等式，利用放缩法先证明.由零点满足的关系式得消，再结合整体换元转化为证明关于的，再构造函数，利用导函数证明可得. 【解答过程】（1）的定义域为. ①当时，，，则， 所以在上单调递减； ②当时， 当时，，在上单调递增， 当时，，则在上单调递减. 所以，在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）①因为是的两个零点， 由（1）可知，且， 由在上单调递增，在上单调递减， 则，解得. 而当时，，， 由且，则在与各有一个零点. 又由单调性可知，至多两个零点. 故当时，有两个零点. 综上可知，的取值范围是. ②因为是的两个零点， 所以，解得， 所以， 令，即，代入上式得： . 令，. ，令， 则，. 所以在上单调递减，且， 由，所以，即； 所以在上单调递减，且， 由，所以，又， 所以. 由，且， 可知. 又因为，则在上是减函数， 所以，. 故得证. 题型17 导数中的新定义问题 65．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．已知函数． (1)若是函数的“拐点”，求a的值和函数的单调区间； (2)若函数的“拐点”在y轴右侧，讨论的零点个数． 【解题思路】（1）根据已知条件及导数法求函数的单调性即可求解； （2）根据（1）的结论及导数法其函数的极值，结合函数零点与最值的关系即可求解. 【解答过程】（1）由题可知，， ， 因为是函数的“拐点”， 所以，解得． 所以， ． 令，得或， 令，得， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为和. （2）由（1）可知，函数的拐点横坐标为，所以， 令，解得或； 令．解得． 所以的单调递减区间为，单调递增区间为和， 所以的极小值为， 的极大值为． 当，即时，有三个零点; 当，即时，有两个零点; 当，即时，有一个零点. 66．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点. (1)判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由； (2)已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”， 是在上的中值点. ①求的取值范围； ②证明：. 【解题思路】（1）利用定义结合导数直接计算解方程即可； （2）①根据定义知，利用导数研究导函数的单调性及最值计算范围即可；②根据条件先转化问题为，构造差函数，利用多次求导判定其单调性去函数符号即可证明. 【解答过程】（1）函数是上的“双中值函数”． 理由如下： 因为，所以. 因为，，所以 令，得，即，解得. 因为，所以是上的“双中值函数”. （2）①因为，所以. 因为是上的“双中值函数”，所以. 由题意可得. 设，则. 当时，，则为减函数，即为减函数； 当时，，则为增函数，即为增函数. 故. 因为，所以，所以，即的取值范围为； ②证明：不妨设， 则，，即，． 要证，即证． 设， 则． 设，则， 所以在上单调递增，所以，所以， 则在上单调递减． 因为，所以，即． 因为，所以． 因为，所以． 因为，所以． 由①可知在上单调递增，所以，即得证． 67．（23-24高二下·江苏南京·期中）设函数在区间上可导，为函数的导函数.若是上的减函数，则称为上的“上凸函数”；反之，若为上的“上凸函数”，则是上的减函数. (1)判断函数在上是否为“上凸函数”，并说明理由； (2)若函数是其定义域上的“上凸函数”，求的取值范围； 【解题思路】（1）求导得，令，只需判断在上是否恒成立即可； （2）由题意设，则恒成立，即当时，恒成立，从而分类讨论即可求解； 【解答过程】（1）由题意，， 令，则， 当时，， 即此时，所以即单调递减， 从而由定义可知函数在上是“上凸函数”； （2）因为， 所以 ， 设，则， 由题意函数是其定义域上的“上凸函数”， 所以单调递减， 从而当时，恒成立，即当时，恒成立， 因为一元二次函数的对称轴为， 当，即时，恒成立，只需即可，解得，即； 当，即时，恒成立，只需，即，解得； 综上所述，的取值范围为. 68．（23-24高三下·重庆·期中）若函数在定义域内存在两个不同的数，同时满足，且在点处的切线斜率相同，则称为“切合函数” (1)证明：为“切合函数”； (2)若为“切合函数”，并设满足条件的两个数为． （ⅰ）求证：； （ⅱ）求证：． 【解题思路】（1）假设存在两个不同的数满足条件，通过求出即可得证； （2）（ⅰ）利用“切合函数”的定义得出关系式，通过构造新函数，通过新函数的单调性得出证明. （ⅱ）利用与的关系，把待证不等式转化为关于的不等式，构造函数，利用单调性证明即可. 【解答过程】（1）假设存在两个不同的数，满足题意， 易知，由题意可得 ， 即， ，，， ， 又， 所以. 因为，即， 化简可得，又， 所以， 代入， 可得或， 所以为“切合函数”. （2）由题意知， 因为为“切合函数”， 故存在不同的数(不妨设)使得 ， 即， 整理得， （ⅰ）先证， 即， ， 令，则由，知， 要证，只需证， 即， 设 ， 易知， 故在单调递减，所以， 故有， 由上面的式知, 所以.                                           （ⅱ）由上面的得， ， 又， 所以且， 故要证，                   只需证， 即 ， 设， 则即证 ， 设， 则， 即也就是在单调递增， ， 所以在单调递增， 所以 ， 因为， 所以， 所以， 所以原不等式成立. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$