高二上学期期末复习解答题压轴题二十二大题型专练（范围：第一、二、三章）-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第二册）

2024-2025学年高二上学期期末复习解答题压轴题二十二大题型专练（范围：第一、二、三章） 【人教A版（2019）】 题型1 向量共线、共面的判定及应用 1．（23-24高二·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．    【解题思路】把用基底表示后证明它们共线，再由共顶点可得三点共线． 【解答过程】连接，， ∵ ， ， ∴，∴， 又，∴，，三点共线．    2．（23-24高二·湖南·课后作业）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线． 【解题思路】将三点共线问题转化为求证向量共线问题求证即可. 【解答过程】因为，，， 所以， ， 所以， 所以，又为公共点， 所以B，C，D三点共线． 3．（23-24高三上·四川成都·开学考试）在四棱柱中，，．    (1)当时，试用表示； (2)证明：四点共面； 【解题思路】（1）根据空间向量线性运算进行求解； （2）设（不为0），推导出，进而证明出四点共面. 【解答过程】（1）四棱柱中，， 因为， 所以 ； （2）设（不为0）， ， 则共面且有公共点，则四点共面. 4．（23-24高二·江苏·课后作业）已知，，三点不共线，对于平面外的任意一点，分别根据下列条件，判断点是否与点，，共面： (1)； (2)． 【解题思路】（1）利用空间向量的线性运算以及空间共面向量定理的即可判断； （2）利用空间向量的线性运算以及空间共面向量定理的即可判断. 【解答过程】（1）因为， 所以， 所以， 可得，所以， 所以点与点，，共面. （2）由可得， 所以， 所以，所以， 所以点与点，，共面. 题型2 空间向量的数量积及其应用 5．（24-25高二上·湖北宜昌·期中）如图，在三棱柱中，，，，点满足.    (1)用表示； (2)若三棱锥的所有棱长均为，求及. 【解题思路】（1）根据，可表示出； （2）先确定的模长以及两两之间的夹角，然后根据计算出， 再根据展开计算求得结果. 【解答过程】（1）因为，所以， 所以 . （2）因为三棱锥的所有棱长均为， 所以，所以， 所以， 所以 ， 所以 . 6．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，．    (1)用分别表示． (2)若，求： （ⅰ）； （ⅱ）． 【解题思路】（1）连接，结合空间向量的线性运算以为基底表示向量即可； （2）确定空间基底向量的模长与数量积，结合空间向量的数量积的运算性质分别求解，即可得结论. 【解答过程】（1）如图，连接，    因为六边形为正六边形， 所以，则， 所以，； （2）因为六边形为正六边形，所以， 又， 所以， （i）； （ii）因为， 所以 . 7．（24-25高二上·四川广安·阶段练习）． (1)用向量表示向量，并求； (2)求． 【解题思路】（1）借助空间向量的线性运算与模长与数量积的关系计算即可得； （2）结合题意，借助空间向量的线性运算与夹角公式计算即可得. 【解答过程】（1）， 则 ， 所以. （2）由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以 ， ， 则=. 8．（23-24高二下·广东中山·开学考试）如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，． (1)求的长； (2)求和夹角的余弦值． 【解题思路】（1）根据空间向量基本定理得到，平方后结合空间数量积公式求出，求出答案； （2）先求出，结合空间向量夹角余弦公式求出答案. 【解答过程】（1）由题意得， 又，，，，， 故 ， 故； （2） ， 则. 题型3 空间向量基本定理及其应用 9．（23-24高二下·上海·开学考试）如图，在正方体中，为棱的中点，点在线段上，且． (1)用，，表示，及； (2)求证：，，，四点共面． 【解题思路】（1）根据题意，由空间向量加法、减法的三角形法则分析可得答案； （2）根据题意，分析可得，则向量、、共面，由此分析可得答案． 【解答过程】（1）根据题意，， ， 由于，则， 则； （2）证明：由（1）的结论：，，， 则有，则向量、、共面， 必有，，，四点共面． 10．（24-25高二上·贵州遵义·期中）在四棱柱中，，，，，点满足．    (1)若，求的值； (2)求． 【解题思路】（1）由空间向量的线性运算即可求解； （2）由（1），通过平方即可求解. 【解答过程】（1）连接，    因为，所以， 则． （2），，， ． 11．（24-25高二上·重庆·阶段练习）如图，在四面体中，平面，平面，为的中点，． (1)设，，，用表示； (2)若 （i）求 （ii）求． 【解题思路】（1）连接，利用空间向量的线性运算，准确化简、运算，即可求解； （2）根据题意，利用空间向量的线性运算和向量的数量积的运算公式，准确计算，即可求解. 【解答过程】（1）如图所示， 连接，可得， 因为为的中点，， 所以， 所以 . （2）因为平面，平面，且平面，平面， 所以，所以， （i）. （ii）因为， 所以 ， 又因为， 所以， 所以. 12．（2024高二上·全国·专题练习）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且． (1)用向量表示向量； (2)求证：共面； (3)当为何值时，． 【解题思路】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得； （2）根据空间向量线性运算法则得到，即可证明共面； （3）设，因为底面为菱形，则当时，，由，即可得出答案. 【解答过程】（1）． （2）证明：，， ，共面． （3）当，， 证明：设， 底面为菱形，则当时，， ，， ， ， ． 题型4 利用空间向量证明线、面的位置关系 13．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）如图，正四棱柱的底面边长为2，E为棱的中点，，且四棱锥的体积为． (1)求棱的长； (2)证明：平面平面． 【解题思路】（1）根据正四棱柱，可得平面，设，结合线面关系确定四棱锥的体积表达式求解，即可得所求； （2）建立空间直角坐标系，分别求解平面与平面的法向量，根据法向量的关系证明结论即可. 【解答过程】（1）因为正四棱柱，所以平面， 且四边形为直角梯形，设， 所以， 解得，即； （2）以点为原点，直线分别为轴，如图建立空间直角坐标系， 由题意可得， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则； 设平面的法向量为， 则，令，则； 因为， 所以平面平面． 14．（24-25高二上·福建福州·期中）在四棱锥中，平面平面，，，，，，. (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）面面垂直得到线面垂直，再由线线垂直证明线面垂直； （2）取AD中点，证明三条直线两两垂直，然后建立空间直角坐标系，得到对应点的坐标，设，使得平面，用空间向量建立等量关系，求得的值. 【解答过程】（1）∵面面，面面， ，面， ∴面， ∵面， ∴， 又，，面，面 ∴面， （2）取中点为，连结， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵面面，面面， 两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系， 易知，，，， 则，，，， 设为面的法向量，令. 则 假设存在点使得面， 设，， 又，，，， 有∴ ∵面，为的法向量， ∴，即，得 综上，存在点，即当时，点即为所求. 15．（24-25高二下·全国·课后作业）如图所示，四边形为矩形，平面，，，，分别是，，的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【解题思路】（1）由已知可证得两两垂直，所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明； （2）只需证明平面的法向量与平面中的两个向量垂直即可. 【解答过程】（1）证明：因为平面，平面， 所以， 因为四边形为矩形，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，    设，，. 则，因为，，分别是，，的中点， 所以，，， 所以. 因为平面的一个法向量为，所以，即. 又因为平面，所以平面. （2）因为，所以，所以， 又平面，所以平面. 又因为，平面， 所以平面平面. 16．（24-25高二下·全国·课后作业）如图，在正三棱柱中，分别是的中点． (1)求证：平面平面． (2)在线段上是否存在一点Q，使平面？若存在，确定点Q的位置；若不存在，也请说明理由． 【解题思路】（1）应用线面平行判定定理得出面面平行即可证明； （2）建立直角坐标系，设点的坐标满足线面垂直即线线垂直计算求参. 【解答过程】（1）分别是的中点， ，∴四边形为平行四边形， ．平面平面,∴平面, 平面平面，平面． 又平面， ∴平面平面． （2）假设在线段上存在一点Q，使平面． 取的中点O，以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则， ． 平面， ，解得， ∴在线段上存在一点Q，使平面，此时点Q为点B． 题型5 利用空间向量研究点、线、面的距离问题 17．（24-25高二上·广东广州·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，，为的中点，为的中点，解答以下问题：    (1)证明：直线 平面； (2)求点到平面的距离． 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，求出的方向向量和平面的法向量，利用空间向量求解即可； （2）由点到面距离的向量公式求解即可. 【解答过程】（1）因为四棱锥中， 底面，底面，且底面是正方形， 所以两两垂直， 以为原点，分别为轴建立如图所示坐标系，    则由题意可得，，，，， 所以，，， 设平面的法向量， 则，取可得平面的一个法向量， 因为，又平面， 所以直线 平面. （2）由（1）得，平面的一个法向量， 所以点到平面的距离. 18．（23-24高二上·山东淄博·阶段练习）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 【解题思路】（1）以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，进而根据向量夹角公式计算即可； （2）利用向量法求线面距离作答即可. 【解答过程】（1）在正方体中，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 所以直线与所成角的余弦值为. （2）由（1）知，，，，， 显然，所以， 而平面，平面，于是平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离， 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以点到平面的距离为， 所以直线FC到平面的距离是. 19．（2024高二·全国·专题练习）设正方体的棱长为2，求： (1)求直线到平面的距离； (2)求平面与平面间的距离. 【解题思路】（1）直线到平面的距离等于点到平面的距离，利用向量求解可得； （2）平面与平面间的距离等于点到平面的距离，利用向量法求解即可． 【解答过程】（1）以D为原点，为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则 所以，所以，即， 又平面，平面，所以平面， 所以直线到平面的距离等于点到平面的距离． 设平面的一个法向量为， 则，令，则，又， 所以点到平面的距离.      （2）由（1）知平面，同理，平面， 又，平面， 所以平面平面， 即平面与平面间的距离等于点到平面的距离． 由（1）知，点到平面的距离. 所以平面与平面间的距离为. 20．（24-25高二上·福建福州·期中）如图，在长方体中，，点在上，且. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)若点在侧面上，且点到直线和的距离相等，求点到直线距离的最小值. 【解题思路】（1）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用向量法求解； （2）设出点，可得..，利用点到直线距离公式求解. 【解答过程】（1）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示： , 则, 设平面的一个法向量为， 因为，所以，即， 令，则， 所以为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （2）设，根据题意有，即，， 则点到的距离 ， 当时，取得最小值. 所以点到的距离最小值为. 题型6 利用空间向量求空间角 21．（24-25高二上·四川乐山·阶段练习）如图所示，在正方体中，已知是的中点． (1)求与所成角的余弦值; (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用坐标法求线线角及面面角. 【解答过程】（1）在正方体中，以点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 设， 则，，，，， 于是，， 则， 所以与所成角的余弦值是； （2）由（1）知，，，， 设平面的法向量， 则， 令，得， 设平面的法向量， 则， 令，得， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 22．（24-25高三上·湖北宜昌·阶段练习）如图，四边形与均为菱形，且， (1)求证：平面平面 (2)求直线AD与平面ABF所成角的正弦值． 【解题思路】（1）设AC与BD相交于点O，连接FO，由线面垂直的判定定理证明平面BDEF，再得到平面平面即可； （2）连接DF，先由线面垂直的判定定理证明平面ABCD，再建立如图所示空间直角坐标系，求出平面ABF的法向量，代入空间线面角的向量公式求解即可； 【解答过程】（1）设AC与BD相交于点O，连接FO， ∵四边形ABCD为菱形，， 且O为AC中点，，， 又，平面BDEF，∴平面BDEF， 又平面，所以平面平面。 （2） 连接DF，∵四边形BDEF为菱形，且， 为等边三角形， ∵O为BD中点，∴，又，，平面ABCD， 平面ABCD．故OA，OB，OF两两垂直， ∴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，∵四边形ABCD为菱形，，． 为等边三角形，∴． ， ∴，， 设平面ABF的法向量为，则 令，解得， 设AD与平面ABF所成角为，则AD与平面ABF所成角的正弦值为：． 23．（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）如图所示，直三棱柱中，，点在线段上， ．    (1)求证：； (2)求二面角的正弦值． 【解题思路】（1）由平面得，又，可得平面， 从而，又，可证得平面，进而得结论； （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用向量夹角公式求解即可. 【解答过程】（1）连接， ∵平面，平面，∴， ∵平面， ∴平面， ∵平面，∴， ∵四边形为正方形，∴， ∵平面，∴平面， ∵平面，∴. （2）以点为坐标原点，以的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，    则, ∴，，， 因为平面，所以平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则， 令，得， 则为平面的一个法向量， 则， 设二面角的平面角为，则， 因为，所以， 所以二面角的正弦值为． 24．（24-25高二上·山西大同·期中）如图，在多面体中，平面平面，四边形为平行四边形，，，，，，为的中点. (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）由余弦定理可得的值，再由勾股定理可得，由面面垂直的性质定理可得平面，即可证明； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及点到面的距离公式代入计算，即可得到结果； （3）由空间向量的坐标运算以及二面角的公式，代入计算，即可得到结果. 【解答过程】（1）证明：在中，因为，，， 所以， 所以，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以. （2）由（1）可得，，又，所以，，两两垂直，以，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，， 所以，，. 设平面的一个法向量，则即令，则，，所以， 所以点到平面的距离. （3）假设存在，设，则， 所以， 设平面DHP的一个法向量，因为， 所以即令，则，， 所以， 设平面的一个法向量，因为，， 所以即令，则，，所以， 设平面与平面的夹角为， 则， 解得或（舍）， 所以存在点，使得满足要求，此时，即. 题型7 立体几何中的探索性问题 25．（24-25高二上·广西玉林·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）由面面垂直得到线面垂直，进而得到，结合得到线面垂直； （2）作出辅助线，得到垂直关系，再建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用线面角的夹角公式求出答案； （3）设，其中，求出向量的坐标，根据，求出的值，即可得出结论. 【解答过程】（1）证明：因为平面平面，且平面平面， 且，平面，所以，平面， 因为平面，所以，， 因为，，、平面，所以，平面. （2）解：取中点为，连接、， 又因为，则，则， 因为，则，则， 在平面内，因为，，则， 因为平面，则平面， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， 则，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，设与平面的夹角为， 则，则， 所以，直线与平面所成角的余弦值为. （3）解：设，其中， 则， 因为平面，则，解得， 因此，在棱上存在点，使得平面，且. 26．（23-24高二上·吉林·阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为． (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由． 【解题思路】（1）取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）利用面面垂直的性质定理推导出平面，设，利用锥体的体积公式求出的值，然后以点为原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法求出的值，即可得出结论. 【解答过程】（1）证明：取的中点，连接、， 、分别为、的中点，所以，且， 因为四边形是矩形，所以，且， 为棱的中点，则且，所以，且， 所以，四边形为平行四边形，， 又平面，平面，平面. （2）解：假设在棱上存在点满足题意，如图，连接、、， 在等边中，为的中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 平面，则是四棱锥的高， 设，则，， 所以，，所以， 以点为原点，、、的方向分别为、、轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 故，，， 设， ． 设平面的一个法向量为，则， 取，则，，所以，. 易知平面的一个法向量为， ， 整理可得，解得，合乎题意， 所以，当点为线段的中点时，平面与平面的夹角的余弦值为. 27．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）在如图所示的几何体中，垂直于梯形所在的平面，，为的中点，，四边形为矩形，线段交于点.（用向量坐标法） (1)求点N到平面PAB的距离； (2)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的大小为？若存在，求出的长； 若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）证明出两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面距离的向量公式求出答案； （2）求出平面的法向量，设，求出，则根据直线与平面所成角的大小为列出方程，求出，从而得到答案 【解答过程】（1）因为垂直于梯形所在的平面，平面， 所以⊥，⊥，又，故两两垂直， 如图以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则， 设平面的法向量为，则， 解得，令，则，则， 又 则点到平面的距离是 （2）存在点，当点与重合时，直线与平面所成角的大小为，理由如下： .. 设平面的法向量为，则，即， 解得令，得，所以平面的一个法向量为. 由，设，， 则，解得， 故，则.   因为直线与平面所成角的大小为， 所以   解得，由知，即点与重合. 故在线段上存在一点，使得直线与平面所成角的大小为且. 28．（24-25高二上·北京·期中）如图，在长方体中，，，分别是棱，，的中点. (1)判断直线与平面的位置关系，并证明你的结论； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【解题思路】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面夹角即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面夹角即可； （3）假设存在点Q，利用空间向量研究点面距离计算参数即可. 【解答过程】（1） 如图建立空间直角坐标系，则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，即， 则， 连接与交于N点，即直线与平面相交于N点， 则直线与平面的位置关系为相交，直线与平面的夹角的正弦值； （2）由上知，设平面的一个法向量为， 则，取，即， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为； （3）设存在满足题意，不妨设， 则， 易知，设平面的一个法向量为， 则，取，即， 而， 所以点到平面的距离是，所以不存在. 题型8 直线与线段的相交关系求斜率范围 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 29．（24-25高二上·陕西安康·阶段练习）已知直线过点，且与以和为端点的线段相交. (1)求直线的斜率k的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 【解题思路】（1）在平面直角坐标系中画出图象，根据图象分析，，三点之间的关系，不难给出直线的斜率的取值范围； （2）根据直线斜率与倾斜角的关系，结合图象即可求解直线的倾斜角的取值范围． 【解答过程】（1）在平面直角坐标系中画出图象如图： ， 直线过点，且与以和为端点的线段相交. 所以直线的斜率的取值范围. （2）由（1）可知，， 直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 由此可得此时直线的倾斜角的取值范围， 由图可知，当直线斜率不存在时，所得直线符合题意，故此时直线的倾斜角， 综上，直线的倾斜角的取值范围. 30．（23-24高二上·全国·课后作业）已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若是线段上一动点，求的取值范围. 【解题思路】（1）先由斜率公式求斜率，然后根据斜率定义可得倾斜角； （2）将问题转化为求直线的斜率的取值范围，然后结合图形分析可得. 【解答过程】（1）由斜率公式得直线的斜率为， 记倾斜角为，则， 因为，所以直线的倾斜角为. （2）由题知为直线的斜率. 记直线和的倾斜角分别为，直线的倾斜角为， 由图可知，， 又，， 所以，由正切函数性质可得，直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为. 31．（23-24高二上·四川巴中·阶段练习）已知坐标平面内三点，，. (1)求直线AC的倾斜角； (2)若D为的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围. 【解题思路】（1）由两点式斜率公式求出斜率，然后根据斜率与倾斜角的关系求解即可 （2）数形结合，利用两点式斜率公式，根据斜率与倾斜角变化的规律分析求解即可. 【解答过程】（1）由，得， 因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是，所以直线AC的倾斜角为. （2）如图，当直线CD绕点C由CA逆时针转到CB时，直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上，    此时由增大到，又，，所以的取值范围为， 即直线CD的倾斜角的取值范围为. 32．（23-24高二上·河南·阶段练习）已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围. 【解题思路】(1)根据过两点的斜率公式求出斜率，再求倾斜角； (2) 设，根据求解即可； (3) 因为表示直线的斜率,求出与点重合时，直线的斜率；与点重合时，直线的斜率即可得答案. 【解答过程】（1）解：因为直线的斜率为. 所以直线的倾斜角为； （2）解：如图，当点在第一象限时，. 设，则，解得， 故点的坐标为； （3）解：由题意得为直线的斜率. 当点与点重合时，直线的斜率最小，； 当点与点重合时，直线的斜率最大，. 故直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为. 题型9 直线方程的求解 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 33．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知的三个顶点是. (1)求BC边上的高所在直线的方程; (2)若直线过点，且点A，B到直线的距离相等，求直线的方程. 【解题思路】（1）根据垂直关系得出高所在直线斜率，点斜式得出直线方程； （2）由题意转化为所求直线与AB平行或过AB的中点，分别求解即可. 【解答过程】（1）因为，所以BC边上的高所在直线的斜率为1， 所以BC边上高所在直线为，即. （2）因为点A，B到直线的距离相等， 所以直线与AB平行或过AB的中点， ①当直线与AB平行， 所以， 所以，即. ②当直线过AB的中点， 所以， 所以，即. 综上，直线的方程为或. 34．（24-25高二上·重庆·期中）已知的三个顶点分别是，，. (1)求边上的高所在的直线方程； (2)求边上的中线所在的直线方程； (3)求角平分线所在的直线方程. 【解题思路】（1）利用斜率坐标公式及垂直关系求出高所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得； （2）求出中点坐标及中线所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得； （3）先求出直线的单位向量，结合角平分线求出角平分线所在的直线的方向向量，结合方向向量和直线斜率的关系即可求出斜率，再根据点斜式即可求解. 【解答过程】（1）直线的斜率， 则边上的高所在的直线斜率为， 直线又过， 所以边上的高所在的直线方程为， 即. （2）依题意，边的中点， 因此边上的中线所在直线的斜率， 直线又过， 所以边上的中线所在直线的方程为， 即. （3）由题意知：, 故与同方向的单位向量为：， 与同方向的单位向量为：， 故角平分线所在的直线的方向向量为：， 设角平分线所在的直线的斜率为， 又直线的方向向量可以表示为， ， 直线又过， 故角平分线所在的直线方程为：， 即. 35．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）已知的三个顶点分别是，，. (1)求边上的高所在的直线方程； (2)若直线过点，且与直线平行，求直线的方程； (3)求边上的中线所在的直线方程. 【解题思路】（1）利用斜率坐标公式及垂直关系求出高所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. （2）设出直线的方程，利用待定系数法求出直线方程. （3）求出中点坐标及中线所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. 【解答过程】（1）直线的斜率，则边上的高所在的直线斜率为3， 所以边上的高所在的直线方程为，即. （2）依题意，设直线的方程为，而直线过点，则，解得， 所以直线的方程为. （3）依题意，边的中点，因此边上的中线所在直线的斜率， 所以边上的中线所在直线的方程为，即. 36．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知的三个顶点是，求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程； (3)的角平分线所在直线的方程. 【解题思路】（1）对于求边BC上的中线所在直线方程：首先要找到BC中点坐标，根据中点坐标公式，然后利用两点式求直线方程； （2）对于求边BC上的高所在直线方程：先求BC边的斜率，根据斜率公式，高与BC垂直，两条垂直直线斜率乘积为，再利用点斜式求直线方程； （3）对于求的角平分线所在直线方程：先求AB和BC边的斜率，根据夹角公式，设角平分线斜率为，求出，再利用点斜式求出直线方程. 【解答过程】（1）首先求BC中点坐标，已知， 根据中点坐标公式，BC中点， 已知中线过和两点，根据两点式， 即，化简得，整理得. （2）先求BC边的斜率，已知， 根据斜率公式， 因为高与BC垂直，设高的斜率为，则，解得， 又因为高过点，根据点斜式，整理得. （3）先求AB边的斜率，BC边的斜率， 设角平分线斜率为，根据夹角公式得，化简 交叉相乘得， 继续化简，即或， 继续化简（舍去），或，即， 因为角平分线的斜率应该在和之间，所以， 又因为角平分线过点，根据点斜式，整理得. 题型10 距离问题 37．（24-25高二上·吉林·阶段练习）已知直线，直线． (1)若，求，之间的距离； (2)若，求，及轴围成的三角形的面积． 【解题思路】（1）由求出的值，再由平行线间的距离求解即可. （2）由求出的值，再求出直线，的交点，及，与x轴的交点，由三角形的面积公式求解即可. 【解答过程】（1）因为，所以， 整理得，解得或． 当时，，，，重合； 当时，，，符合题意．故， 则，之间的距离为． （2）因为，所以，解得． ，的方程分别为，． 联立方程组，得． 因为，与轴的交点分别为，， 所以，及轴围成的三角形的面积为． 38．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知直线 (1)证明：无论m为何值，直线l与直线总相交； (2)求点到直线l距离的最大值； (3)若O为坐标原点，直线l与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，求面积的最小值． 【解题思路】（1）化简直线，得到的必过点，得证； （2）根据直线过点可得点到直线距离的最大值为即可； （3）设，由（1）得，列出三角形面积公式，利用基本不等式即可求得三角形面积最小值. 【解答过程】（1）对于，化简得， 令，得到， 对于点，直线与直线都是必过点， 所以，无论为何值，直线与直线总相交. （2）由（1）可得直线过点， 故点到直线l距离的最大值为， 当直线取到. （3）设 ，由（1）得， ，整理得， 因为，则，得，（当且仅当时，即时，等号成立）， ，面积的最小值为. 39．（23-24高二上·天津河西·阶段练习）已知直线，. (1)若坐标原点O到直线m的距离为，求a的值； (2)当时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程. 【解题思路】（1）依据点到直线的距离公式建立方程求解即可. （2）联立求出直线交点，再分类讨论直线是否过原点，求解即可. 【解答过程】（1）设原点O到直线m的距离为， 则，解得或； （2）由解得，即m与n的交点为. 当直线l过原点时，此时直线斜率为， 所以直线l的方程为； 当直线l不过原点时，设l的方程为， 将代入得， 所以直线l的方程为. 故满足条件的直线l的方程为或. 40．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知直线，其中为实数. (1)当时，求直线之间的距离； (2)当时，求过直线的交点，且平行于直线的直线方程. 【解题思路】（1）由两个直线平行求得，然后求平行直线距离即可； （2）先求两个直线的交点，然后设平行直线的方程，求解即可. 【解答过程】（1）由题可知，，解得， 所以， 此时直线，之间的距离为. （2）当时，则， 联立方程，解得，即交点坐标为， 设所求直线为，所以有，得， 所求直线为. 题型11 点、线间的对称问题 41．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）已知直线，试求： (1)点关于直线l的对称点坐标. (2)直线关于直线l对称的直线的方程. (3)直线l关于点对称的直线方程. 【解题思路】（1）设对称点为，由与直线垂直，中点在直线上列方程组求解； （2）求出与的交点坐标，再求出直线上一点关于直线的对称点的坐标，由这两点可得直线方程； （3）设直线关于点对称的直线方程为，由点到这两条平行线间距离相等求解． 【解答过程】（1）设点P的对称点为， 则，解得， 所以对称点坐标为； （2）由，解得，即直线与的交点为， 点是直线上的一点，设它关于直线的对称点为， 则，解得，即， ，所以直线的方程为，即； （3）设直线关于点对称的直线方程为， 由，解得（舍去）或， 所以对称直线方程为． 42．（24-25高二上·湖北·期中）已知△ABC的顶点，边AB的中线CM所在直线方程为，边AC的高BH所在直线方程为． (1)求点B的坐标； (2)若入射光线经过点，被直线CM反射，反射光线过点，求反射光线所在的直线方程． 【解题思路】（1）设，分析可知的中点在直线上，运算即可； （2）求关于直线的对称点为，进而可求反射光线所在的直线方程. 【解答过程】（1）由题意可设点， 因为，则的中点在直线上， 可得，解得， 所以点B的坐标为. （2）设关于直线的对称点为， 则，解得，即 所以反射光线所在的直线方程为，可得. 43．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图，已知，，，直线：． (1)求直线经过的定点坐标； (2)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程． 【解题思路】（1）分离参数，列方程可得直线过定点； （2）分别求点关于直线与的对称点与，进而可得，再根据对称性可得，即可得直线方程. 【解答过程】（1）由直线：，即， 令，解得， 故直线恒过定点； （2）设关于的对称点，则， 关于的对称点， 由直线的方程为，即， 所以，解得， 所以， 由题意得、、、四点共线，， 由对称性得， 所以入射光线的直线方程为， 即． 44．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）直线过点，点到直线的距离为，直线与直线关于点对称. (1)求直线的方程； (2)记原点为，直线上有一动点，则当最小时，求点的坐标. 【解题思路】 （1）由题意设直线的斜率存在，设直线的方程为，然后由点到直线的距离为，列方程可求出的值，再求出点关于点对称，再在直线上任取一点，求出其关于点的对称点，从而可求出直线的方程； （2）设原点为关于直线的对称点为，则，当三点共线时取等号，然后求出直线的方程，联立直线的方程与直线的方程可求出点的坐标. 【解答过程】（1）由题意设直线的斜率存在，设直线的方程为， 因为点到直线的距离为， 所以， 化简得，解得， 所以直线的方程为， 当时，， 则直线与轴交于点， 点，关于点的对称轴分别为， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， （2）设原点为关于直线的对称点为，则， 所以， 所以当三点共线时取等号， 设，则，解得，即， 所以， 所以直线的方程为，即， 由，解得，即. 题型12 圆的切线长及切线方程问题 45．（24-25高二上·江西赣州·阶段练习）已知圆过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程. 【解题思路】（1）根据点，可知线段中垂线，圆心在中垂线上，联立两直线，可知点坐标，进而可得圆方程； （2）当切线斜率不存在时直线方程为成立，当切线斜率存在时，设点斜式，根据点到直线距离，即可得解. 【解答过程】（1）由已知，， 则其中点为，， 所以中垂线的斜率， 则中垂线为，所以点在上， 又点在直线， 联立，解得，即， 半径， 所以圆的方程为； （2）由（1）得，， 当过点的切线斜率不存在时，直线为，与圆相切； 当过点的斜率存在时，设切线方程为，即， 圆心到切线的距离， 解得， 所以直线方程为，即， 综上所述，切线方程为或. 46．（24-25高二上·安徽芜湖·期中）已知圆的方程为. (1)过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程； (2)过直线上任意一点向圆引切线，切点为，求的最小值. 【解题思路】（1）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，再由弦长公式求得结果； （2）由切线长公式可知当最小，计算可得的最小值. 【解答过程】（1）圆的标准方程为. ①当斜率不存在时，直线的方程为， 直线截圆所得弦长为，符合题意； ②当斜率存在时，设直线， 圆心到直线的距离为 根据垂径定理可得，即，解得. 即直线的方程为或 （2）圆心. 因为与圆相切，所以. 当最小，所以. 可得. 47．（24-25高二上·宁夏银川·期中）已知关于直线对称，且圆心在轴上. (1)求的标准方程； (2)已知动点在直线上，过点引的切线MA，求的最小值. 【解题思路】（1）利用给定条件求出参数，写出一般方程，再转化为标准方程即可. （2）结合题意及勾股定理将切线长用圆心到直线的距离进行表示，再利用点到直线的距离公式求解最值即可. 【解答过程】（1）因为圆的方程为， 所以圆心坐标为，由题意得圆关于直线对称， 故是圆的直径，即在直线上， 得到，而圆心在轴上，故，解得， 代入到中，得到，解得， 故圆的一般方程为， 我们把它换为标准方程，得到圆的标准方程为， （2）首先，可化为， 如图，作，且记直线为， 由勾股定理得，故， 当最小时，一定最小，也一定最小， 由平面几何性质得当时，取得最小值， 由点到直线的距离公式得， 故. 48．（23-24高二上·福建福州·期末）已知圆，直线． (1)若直线l与圆O相切，求m的值； (2)当时，已知P为直线l上的动点，过P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，当切线长最短时，求弦所在直线的方程． 【解题思路】根据直线和圆相切求出圆心到直线的距离 ，即可求出 的值； 根据题意可知 四点共圆，且 为直径，要使切线长最短，即 时最短，求出新圆圆心和半径，进而求得新圆的方程，两圆方程相减即可求得直线 的方程. 【解答过程】（1）（1）设圆心O到直线l的距离为d，因为直线l与圆O相切， 所以， 解得； （2）当时，直线，连接，则， 所以O，A，P，B四点共圆，切线长， 故最短当且仅当最短，即时最短， 因为，所以，此时， 所以， 联立得， 故以为直径的圆的方程为， 因为弦即圆O与上述圆的公共弦， 所以弦所在直线方程为． 题型13 直线与圆有关的最值（范围）问题 49．（2024高三·全国·专题练习）已知点是圆上任意一点． (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值． (2)求的最大值和最小值． (3)求的最大值和最小值 【解题思路】（1）转化为圆心到直线的距离的最大值和最小值； （2）解法一，转化为直线与圆有公共点，解法二，利用三角换元求最值； （3）首先设，再转化为直线与圆有交点， 【解答过程】（1）圆心到直线的距离为． ∴P点到直线的距离的最大值为，最小值为． （2）解法一 ：设，则直线与圆有公共点， ∴，解得， 则，即的最大值为，最小值为． 解法二：设，则，其中， ∴得，即的最大值为，最小值为． （3）表示圆上的点与点连线的斜率为k， 设，即，直线与圆有交点， 设， 解得． 则，即的最大值为，最小值为． 50．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知圆. (1)求的取值范围； (2)当取最小正整数时，若点为直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，求线段的最小值. 【解题思路】（1）根据题意，结合方程表示圆的条件，列出方程，即可求解； （2）由（1）得到圆心，半径为，得到，结合圆心到直线的距离，即可求解. 【解答过程】（1）由方程表示圆，则满足， 即，解得或， 所以的取值范围是. （2）由（1），因为取最小正整数，所以， 所以圆，可得圆心，半径为， 又因为， 所以取最小值时取最小值，而取最小值， 即为圆心到直线的距离，可得， 所以. 51．（23-24高三上·四川绵阳·阶段练习）已知圆： (1)若圆的切线在轴和轴上截距相等，求切线的方程； (2)从圆外一点向圆引切线，为切点，为坐标原点，且，求的最小值 【解题思路】（1）分切线过原点或切线的斜率为两种情况说明，利用点到直线的距离等于半径列方程求解即可； （2）先利用切线长公式及得到的关系，再代入消去求最值即可. 【解答过程】（1）圆的方程为：，圆心为，半径为， 当圆的切线在轴和轴上截距相等时，切线过原点或切线的斜率为， 当切线过原点时，设切线方程为， 则，解得， 当切线斜率为时，设切线方程为， 则，解得或 故所求切线的方程为或或； （2）由圆的切线长公式可得， 又，得， 整理得，即， 此时， 当且仅当，即时，的最小值. 52．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知，，，且，点． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 【解题思路】（1）由求出点的轨迹，结合两点间距离即可求； （2）将问题转化为直线与圆有交点问题，结合点到直线的距离公式计算； （3）将问题转化为直线与圆相切问题，结合点到直线的距离公式计算. 【解答过程】（1）由题意，因为， 所以， 整理得， 所以点的轨迹为以为圆心，6为半径的圆. 所以点到的距离为， 所以的最小值为，最大值为. （2）设，则 ， 由题意与有交点， 所以， 解得， 所以的最大值为，最小值为0. （3）设，则 当直线与圆相切时，截距取到最值， 所以，解得或， 所以的最大值为，最小值为. 题型14 直线与圆有关的面积问题 53．（24-25高二上·重庆·期中）已知圆是圆上的一个动点，点是线段的中点，为坐标原点. (1)求动点的轨迹方程； (2)当时，求直线的方程及的面积. 【解题思路】（1）利用相关点法即可求得动点的轨迹方程； （2）先利用圆的性质求得直线的斜率，进而求得直线的方程，再利用垂径定理求得的长，进而求得的面积. 【解答过程】（1）可化为， 设， 是线段的中点，即 又因为在圆上， ，即 整理得. 的轨迹方程是. （2）由（1）知的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 由于，故点在线段的垂直平分线上， 又点在圆上，故点在线段的垂直平分线上， 从而. ，直线的斜率为. 直线的方程为，即. 则到的距离为， . 又到直线的距离为. . 54．（24-25高二上·上海·期中）已知直线，圆 (1)求证：无论a取何值，直线l均与圆O相交； (2)已知AC、BD是圆O的两条相互两直的弦，且垂足为，求四边形ABCD的面积的最大值． 【解题思路】（1）只需证明直线过定点，且该定点在圆内部即可； （2）设圆心到的距离分别为，则，由，，可得的表达式，结合基本不等式可整理出，从而可求出面积的最大值. 【解答过程】（1）直线即， 令，解得，所以直线过定点， 而，所以点在圆内部， 故无论a取何值，直线l均与圆O相交； （2）设圆心到的距离分别为，则． 则，，所以四边形的面积 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以四边形的面积最大为. 55．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知动点与点的距离是它与原点的距离的2倍． (1)求动点的轨迹的方程； (2)求的最小值； (3)经过原点的两条互相垂直的直线分别与轨迹相交于，两点和，两点，求四边形ACBD的面积的最大值． 【解题思路】（1），根据两点间的距离公式化简可得方程； （2），法一：换元后与圆的方程联立，利用判别式法求解最小值；法二：几何法，利用直线与圆的位置关系列不等式求出最小值；法三：三角换元，结合辅助角公式利用余弦函数的性质求解最小值； （3），根据直线是否存在斜率进行分类讨论，当直线存在斜率时，利用点斜式写出两直线的方程，分别求出弦长，将四边形的面积用弦长表示，即可求出最大值. 【解答过程】（1）由已知得， 化简得，即， 所以动点的轨迹的方程为：； （2）法一：设，得， 代入轨迹的方程消去并整理得， ∴，即， 解得，故的最小值为； 法二：设，即， 由（1）的结论可知，轨迹是以点为圆心，半径长为2的圆， 由题意可知，直线和圆有公共点， 所以圆心到直线的距离不大于半径，即， 解得，故的最小值为； 法三：由（1）可设，， 则， 因为，所以当时，的最小值为； （3）i）若两直线都有斜率，可设直线AB的方程为，则直线CD的方程为， 由（1）的结论可知，轨迹是以点为圆心，半径长为2的圆． 到直线AB的距离，所以， 同理，， 所以． ， ⅱ）若AB、CD两直线中有一条没有斜率，则另一条的斜率为0， 此时线段AB、CD的长分别为、4（或4、），所以． 综上所述，当且仅当，即时，四边形ACBD的面积取得最大值，最大值为7． 56．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圆O：，直线． (1)若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当时，求k的值； (2)若时，点P为直线l上的动点，过点P作圆O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，求四边形的面积的最小值． 【解题思路】（1）根据垂径定理得圆心到直线距离，再利用点到直线距离公式求解； （2）将四边形的面积的最小值转化为求的面积最小值，根据求其最小值即可. 【解答过程】（1）当时，由垂径定理得圆心到直线的距离为， 则， 解得； （2）当时，直线，即 由已知得 又， 所以的最小值为， 又因为四边形的面积的为，所以其最小值为 题型15 圆锥曲线的离心率问题 57．（24-25高三上·云南普洱·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，点在C上. (1)求C的离心率； (2)设恒过点D的直线交C于A，B两点，且D为AB的中点，求直线AB的方程. 【解题思路】（1）由题意得到关于的方程组，从而得到椭圆方程，进而求得其离心率； （2）设，，直线与椭圆联立，由根与系数关系可得k，从而得直线AB的方程. 【解答过程】（1）由题意得，解得，， 所以椭圆C的方程为， 故C的离心率； （2）设，， 联立，消去y得， 故， 由直线化为，恒过， 故，即，所以，解得， 此时二次方程为，满足题意， 故所求直线的方程为 58．（24-25高三上·安徽·开学考试）已知O为坐标原点，分别是双曲线的左、右焦点，直线与E交于A，B两点，﹒ (1)求E的离心率； (2)M为E上一点（不在x轴上），过作平分线的垂线，垂足为N，若，求的面积． 【解题思路】（1）根据向量关系计算点的坐标，再代入求出方程解出离心率即可； （2）结合图形特征，再应用面积公式计算. 【解答过程】（1）由题意得，直线与双曲线两交点A，B关于原点对称， 不妨设点A在第一象限，由，得， 设，则， 所以，则， 将其代入双曲线方程，得，即， 化简得，即， 因为，所以，则，即双曲线E的离心率为． （2）因为点关于的平分线MN的对称点G在或的延长线上， 所以， 又ON是的中位线，所以， 因为，所以， 因为，所以双曲线E的方程为， 所以，则． 又，所以． 59．（24-25高二上·北京·期中）已知和为椭圆上的两点. (1)求椭圆C的方程和离心率； (2)设直线与椭圆C交于A、B两点，求三角形AOB面积的取值范围. 【解题思路】（1）利用，两点坐标，求出，再利用求出，进而得到椭圆方程与离心率； （2）联立椭圆方程与直线方程，求出AB弦长，再求出点O到AB的距离，求出三角形AOB面积，研究该函数的最值即可. 【解答过程】（1）解：和为椭圆上的两点， 所以，解之得，，又因为，所以. 所以椭圆C的方程为，离心率. （2）解：联立方程，消去得， 因为， 所以设交点，，则，， 所以 . 又因为点到直线的距离为， 所以三角形AOB面积 令 ， 则 （当且仅当即时，等号成立）， 也就是当时，三角形AOB面积取最大值 又因为当时，， 所以三角形AOB面积的取值范围是. 60．（23-24高二上·山东潍坊·期末）已知双曲线，点，都在双曲线上，且的右焦点为. (1)求的离心率及其渐近线方程； (2)设点是双曲线C右支上的任意一点，记直线和的斜率分别为，证明：. 【解题思路】（1）把、的坐标代入双曲线得方程可得答案； （2）求出、得，再由点P的坐标满足双曲线方程代入可得答案. 【解答过程】（1）由题意，把，代入双曲线得： ，解得，，， 所以双曲线的方程为， 故离心率，渐近线方程为； （2）由题意得，一定存在且，，， ，， 则， 又点的坐标满足，则， 故， 所以. 题型16 圆锥曲线的弦长与“中点弦”问题 61．（24-25高二上·山东青岛·期中）己知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，且椭圆C经过点，长轴长为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点且斜率为1的直线l与椭圆C交于两点，求弦长； (3)若直线l与椭圆相交于两点，且弦的中点为，求直线l的方程. 【解题思路】（1）根据椭圆的长轴长及所经过点直接求出，得出椭圆C的标准方程. （2）直线l与椭圆方程联立，得出韦达定理，根据弦长公式得出结果. （3）设，根据“点差法”求出直线的斜率，由点斜式即可求解. 【解答过程】（1）由题意设椭圆C的方程为， 因为椭圆经过点且长轴长为， 所以， 所以椭圆C的标准方程为. （2）由已知设直线l的方程为，设，. 将直线代入， 得， 所以，， . （3）设，则中点是， 于是，即， 由于在椭圆上，故， 两式相减得到，即， 故，于是， 故直线的方程是， 整理得. 62．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）已知椭圆，其中离心率为，且过点 (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程. 【解题思路】（1）依题意，表示椭圆离心率，将点代入椭圆方程，联立方程求解； （2）分别表示出直线方程，结合弦长公式求解. 【解答过程】（1）因为椭圆，其中离心率为，且过点， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2） 过点的直线斜率不存在时，直线方程为，此时截得的弦长为，不符题意； 当斜率存在时，设直线方程为，即， 联立，得， 设直线与椭圆的交点为， 则，， 则， 解得， 所以直线的方程. 63．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若直线与双曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值. 【解题思路】（1）由双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为，得，，由此能求出双曲线方程； （2）联立方程组，得，利用韦达定理、弦长公式、根的判别式能求出结果. 【解答过程】（1）双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为， 设双曲线的方程（，）， 由已知得，，所以，. 所以双曲线方程为. （2）直线与双曲线C交于A，B两点，且， 联立方程组，得， 当时，设， ，. 所以 令，解得. 经检验符合题意，所以. 64．（24-25高二上·山东·期中）已知抛物线：的焦点为． (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于，两点，若，求线段的长． 【解题思路】（1）根据抛物线的方程直接求解； （2）利用抛物线的定义确定点的坐标，从而确定直线的斜率，利用韦达定理分别求得，的值，再利用抛物线的焦点弦长公式求解即可. 【解答过程】（1）由抛物线方程可得，， 所以焦点为，准线. （2）设， 根据对称性，不妨设在轴上方，则在轴下方， 根据抛物线的定义可知，，所以， 将代入可得或（舍）， 所以， 所以, 所以直线的直线方程为，即， 联立，消去可得，， 根据韦达定理可得，， 所以， 所以.    题型17 圆锥曲线中的切线与切点弦问题 65．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆： 与抛物线： 有相同的焦点，且椭圆过点． (1)求椭圆与抛物线的标准方程； (2)椭圆上一点在轴下方，过点作抛物线的切线，切点分别为，求的面积的最大值． 【解题思路】（1）根据焦点求出可得抛物线方程，代入点以及关系可得椭圆方程； （2）利用导数求出抛物线的切线方程，将切线方程联立可得点坐标，再求出，点到的距离，表示出，消元，利用二次函数的性质求最值. 【解答过程】（1）由，得，故抛物线的标准方程为， 由，得，得， 由椭圆过点，得， 得，， 故椭圆的标准方程为； （2）设，，由得，， 故抛物线在点处的切线方程为，化简得， 同理可得抛物线在点处的切线方程为． 联立得，得， 易得直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立得，得，， 故，，    因此，由于点在椭圆上，故． 又， 点到直线的距离， 故． 令，又， 故，其中， 因此当时，最大，则， 所以， 即的面积的最大值为． 66．（23-24高三下·山西·开学考试）如图，已知抛物线：与点，过点作的两条切线，切点分别为，．    (1)若，求切线的方程； (2)若，求证：直线恒过定点． 【解题思路】（1）由题意设切线：，联立抛物线方程可得关于y的一元二次方程，由求出k即可求解； （2）易知直线PA斜率不存在求得直线，恒过定点；当直线PA斜率存在时，设，，切线：，联立抛物线方程得关于y的一元二次方程，由求出k，则PA：，同理可得：，结合题意可得：，根据直线恒过定点问题，即可证明. 【解答过程】（1）显然切线的斜率存在且不为0，设切线：， 代入，得， 由，解得 所以直线的方程为，即． （2）若直线PA的斜率存在，设，，：， 代入，得 由，解得． 所以直线的方程为，即 同理直线的方程为 因为在直线和上， 所以， 可得点，在直线上， 所以直线的方程为，因为， 所以，则直线的方程为， 由，得，故直线过定点. 若直线PA的斜率不存在，则，设直线 ， 代入，得，由，解得， 此时 ，解得，得， 即，所以，恒过定点； 综上：直线过定点.    67．（23-24高二下·广东·阶段练习）已知线段是抛物线的弦，且过抛物线焦点. (1)过点作直线与抛物线对称轴平行，交抛物线的准线于点，求证：三点共线(为坐标原点)； (2)设是抛物线准线上一点，过作抛物线的切线，切点为. 求证：（i）两切线互相垂直； （ii）直线过定点，请求出该定点坐标. 【解题思路】（1）由题知抛物线的焦点，准线为，故设直线的方程为：，，进而得，再结合韦达定理证明即可； （2）(i) 设，过作抛物线的切线，斜率为，则方程为,切线的切线斜率分别为，进而结合韦达定理即可得，进而证明； （ii）结合（i）得，进而得，直线的方程为，整理即可得，进而得定点坐标. 【解答过程】（1）解：由题知抛物线的焦点，准线为， 所以，设直线的方程为：， 所以，联立方程得， 设 ，则， 因为过点作直线与抛物线对称轴平行，交抛物线的准线于点，所以 因为，故 所以 ，， 所以，，即三点共线. （2）解：（i）设， 所以，设过作抛物线的切线，斜率为，则方程为， 所以，得， 所以，，即， 设切线的切线斜率分别为， 则为方程的实数根， 所以，， 所以，两切线互相垂直. (ii)由（i）知，， 所以，，即， 所以， 所以，， 所以，直线的方程为， 整理得，即 所以，直线过定点. 68．（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）已知抛物线的方程为，过点作抛物线的两条切线，切点分别为. （1）若点坐标为，求切线的方程； （2）若点是抛物线的准线上的任意一点，求证：切线和互相垂直. 【解题思路】（1）设过点的切线方程为，与抛物线的方程联立，由根的判别式为零求得切线的斜率，由此可求得切线的方程． （2）设点坐标为，切线斜率为，过点的切线方程为，与抛物线的方程联立，由根的判别式为零求得切线的斜率间的关系，根据直线垂直的条件可证得切线和互相垂直. 【解答过程】解：（1）由题意，开口向上的抛物线的切线斜率存在，设切线斜率为， 点坐标为，过点的切线方程为， 联立方程，消去，得， 由，解得， 所以切线的方程分别为和， 即切线方程分别为和； （2）设点坐标为，切线斜率为，过点的切线方程为， 联立方程，消去，得， 由，得，记关于的一元二次方程的两根为， 则分别为切线的斜率，由根与系数的关系知， 所以切线和互相垂直. 题型18 圆锥曲线中的面积问题 69．（24-25高三上·北京·阶段练习）设椭圆的左、右顶点分别为，右焦点，． (1)求椭圆方程及其离心率； (2)已知点是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线交轴于点，若的面积是面积的倍，求直线的方程． 【解题思路】（1）由题意可知解方程组即可求出椭圆方程与离心率. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，消元，可求出点的坐标.通过画图可得出，再代入相关点的坐标，分别求得和的面积，根据计算即可. 【解答过程】（1）由题意可知，解得 ， 则椭圆方程为，椭圆的离心率为. （2）由题意可知，直线的斜率存在且不为0，，设直线方程为， 取，得， 联立得，， ，得，则． ， . 因为的面积是面积的倍， ，即，得， 直线的方程为． 70．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，点在双曲线上，点分别为双曲线的左､右焦点. (1)求的方程； (2)过作两条相互垂直的直线和，与双曲线的右支分别交于，两点和两点，求四边形面积的最小值. 【解题思路】（1）由和，及点在双曲线上，求出，即可求出的方程； （2）设直线，其中，根据题中条件确定，再将的方程与联立，利用根与系数的关系，用表示，的长，再利用，即可求出四边形面积的最小值. 【解答过程】（1）因为，又由题意得 ，则有， 又点在双曲线上，故，解得， 故的方程为. （2） 根据题意，直线的斜率都存在且不为， 设直线，其中， 因为均与的右支有两个交点，所以，所以， 将的方程与联立，可得. 设，则， 所以 ， 同理， 所以. 令，所以， 则， 当，即时，等号成立. 故四边形面积的最小值为. 71．（24-25高二上·安徽·期中）已知椭圆，圆过椭圆的左、右顶点和上顶点． (1)求圆的标准方程； (2)若直线经过椭圆的右焦点，与圆交于两点． （i）若，求直线的方程； （ii）直线经过点与圆C交于，且直线与直线相互垂直，求四边形面积的最大值． 【解题思路】求出椭圆E的左、右顶点和上顶点，设圆C的一般方程：，利用待定系数法求出一般方程，化为标准方程即可； 易知椭圆的右焦点，圆心，对直线的斜率是否存在进行分类讨论即可求解； 过圆心，分别作，，垂足分别为G、H，求出，利用基本不等式即可求解. 【解答过程】（1）易知椭圆E的左、右顶点的坐标为、，上顶点的坐标为， 设圆C的一般方程：， 因为圆C过椭圆的左、右顶点和上顶点， ，解得：， 故圆C的一般方程为：， 标准方程为：. （2）易知椭圆的右焦点，圆心. 当直线l的斜率不存在时，，此时，符合条件； 当直线l的斜率存在时，设l的斜率为k，则即：， 设圆心C到直线l的距离为d， ，解得， ，解得， 所以， 综上：直线l的方程为：或； 如图，过圆心C，分别作，，垂足分别为， 则：， ，且， ， 当且仅当时，取等号. 所以：四边形面积的最大值为. 72．（24-25高三上·山东青岛·期中）已知过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，当直线垂直于轴时，的面积为. (1)求抛物线的方程； (2)过曲线上一点作两条互相垂直的直线，分别交曲线于（异于点）两点，求证：直线恒过定点； (3)若为的重心，直线分别交轴于点，记的面积分别为，求的取值范围. 【解题思路】（1）根据三角形面积求出，得出抛物线方程； （2）设直线方程为,直曲联立，由韦达定理得到，由两条直线垂直，借助.得到关系式代入得定点. （3）利用重心的性质可得，再由直线与抛物线联立，利用根与系数的关系化简，由均值不等式及不等式的性质求值域即可. 【解答过程】（1）当时，，，所以， 由题意可知，， 所以，所以抛物线的方程为 （2）根据题意,设直线方程为,联立，得到，所以，由于两条直线垂直，则. 即 化简整理得到所以，代入得，故直线恒过定点. （3）如图， 设， 因为为的重心， 所以； 因为， 且..； 所以； 设，与联立得：，所以， 所以，则； 所以； 所以的取值范围为. 题型19 圆锥曲线中的参数范围及最值问题 73．（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，设是第一象限内椭圆上的一点，的延长线分别交椭圆于点，连接，若的周长为.    (1)求椭圆的方程； (2)当轴，求的面积； (3)若分别记的斜率分别为，求的最大值. 【解题思路】（1）运用离心率和椭圆定义得到方程组，计算即可； （2）设，当时，可得，即，故求得直线方程为，直曲联立，借助韦达定理，再用面积公式计算即可； （3）设，与椭圆分别联立方程，求出，，表示出，借助基本不等式可解. 【解答过程】（1）由题意：， 可得：， 故椭圆方程； （2）设， 当时，由在第一象限，可得， 即，故求得直线方程为， 联立方程，得， 整理得， ， 所以； （3）设，因为在椭圆上，故， 由题意 故将直线与椭圆联立方程， 代入可得 整理可得：，所以， 即，即 同理：将直线与椭圆联立方程， 代入可得 整理可得：，所以， 即，即， 所以， 故 由在第一象限内，故 的最大值为，当且仅当在处取到等号. 74．（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）已知双曲线和椭圆有公共焦点，且离心率． (1)求双曲线的方程； (2)过点作两条相互垂直的直线分别交双曲线于不同于点的两点，求点到直线距离的最大值． 【解题思路】（1）根据双曲线和椭圆有公共焦点求出，再由离心率的公式求出，从而求得双曲线的方程. （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合以及点到直线的距离公式、基本不等式求得点P到直线距离的最大值. 【解答过程】（1）因为椭圆的焦点在轴上， 所以双曲线的，又因为， 所以， 所以双曲线的方程为. （2）当直线的斜率不存在时，设，则， ， 依题意， ，即， 由解得或（舍去）， 所以，此时到直线的距离为. 当直线的斜率存在时，设，设直线的方程为. 由消去并化简得：， ①， ， 依题意， 所以 ， 整理得， 即，由于直线，， 所以， 函数的开口向上， 判别式为，故①成立. 所以直线的方程为，即， 所以到的距离， ， 当时，；当时， 当且仅当时等号成立. 所以. 综上所述，点到直线的距离的最大值为. 75．（23-24高二下·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，已知椭圆E：的离心率为，右焦点F到椭圆E上任意一点的最小距离为1． (1)求椭圆E的方程； (2)设A，B为椭圆E的左，右顶点，过点F作直线l交椭圆E于C，D两点，C与A，B不重合），连接，交于点Q． ①求证：点Q在定直线上： ②设，，求的最大值． 【解题思路】（1）根据椭圆离心率公式、焦半径范围和求出、即可得解. （2）①先由（1）得，，，设直线、、， 则可得，，结合点、在直线上联立直线与直线得点横坐标是一个定值从而得解. ②由①以及，可分别求出和，结合（1）中韦达定理将其直接带入计算即可求解. 【解答过程】（1）由题意得，， 所以椭圆E的方程为. （2）①由（1），，，故可设直线， 联立， 则，设， 则，，， 由题意可知直线与直线斜率存在， 则，， 联立 ， 所以，故点Q在定直线上. ②由上以及，得： ，， 故，， 即，， 所以 ， 因为，故，所以最大值为，即的最大值为. 76．（2024·全国·模拟预测）设抛物线，直线与交于，两点，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知点为上一点，过点作抛物线的两条切线，，设切点分别为，，试求直线，斜率之积的最小值． 【解题思路】（1）联立直线与方程可得与横坐标有关韦达定理，结合弦长公式计算即可得解； （2）借助导数可得、，从而得到，结合韦达定理可表示出，结合圆的纵坐标的范围即可得解. 【解答过程】（1）设点， 由，可得， 则，， ，解得， 即抛物线； （2）设点，，，其中，， 由，即，， 则，， 则有， 即，都在直线上， 化简得， 将直线的方程代入得， 则，， 则 ， 又为的一点，则，故． 题型20 圆锥曲线中的向量问题 77．（24-25高二上·天津北辰·期中）已知椭圆的左焦点为圆的圆心，且椭圆上的点到点的距离的最小值为. (1)求椭圆的短轴长; (2)已知经过点的动直线与椭圆交于不同的两点A，B，点，求的值. 【解题思路】（1）由圆的方程可得圆心坐标，得到；由可得；根据椭圆的关系可得； （2）当直线斜率不存在时，可求得坐标，由向量数量积的坐标运算可求得；当直线斜率存在时，设，与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，根据向量数量积的坐标运算，代入韦达定理的结论即可化简得到. 【解答过程】（1）由圆的一般方程得：圆心为，即，； 又椭圆上的点到点的距离的最小值为，，解得：， ，则其短轴为1. （2）由（1）知椭圆方程为. 当直线斜率不存在时，其方程为，，， ，，； 当直线斜率存在时，设，，， 由得：， 因为点在椭圆内部，则直线与椭圆必有两交点， ，， ， ，， . 综上所述：.    78．（23-24高二下·上海·阶段练习）设点， 分别是椭圆: 的左、右焦点，且椭圆C上的点到点的距离的最小值为 点M，N是椭圆C上位于x轴上方的两点，且向量 与向量 平行. (1)求椭圆C的方程; (2)当 时，求点N的坐标； (3)当 时，求直线的方程. 【解题思路】（1）根据椭圆的简单性质可得，解得即可； （2）可设，根据向量的数量积坐标运算即可求出点的坐标； （3）向量与向量平行，不妨设，设，，根据坐标之间的关系，求得的坐标，再根据向量的模，即可求出的值，根据斜率公式求出直线的斜率，根据直线平行和点斜式即可求出直线方程. 【解答过程】（1）点、分别是椭圆的左、右焦点，，， 椭圆上的点到点的距离的最小值为，， 解得，椭圆的方程为； （2）由（1）可得，， 由点是椭圆上位于轴上方的点，可设，， ，， ，，即， 解得，，； （3）向量与向量平行，，由题意， 又，，即， 设，，，，， ，， ， ，，， ， ，，， 解得，或（舍去）， ， ，， ，直线的方程为， 即为. 79．（2024·湖北襄阳·模拟预测）设双曲线的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，，且的渐近线方程为，直线交双曲线于，两点. (1)求双曲线的方程； (2)当直线过点时，求的取值范围. 【解题思路】（1）由题意可得，解方程即可得出答案； （2）讨论直线的斜率存不存在，存在时设直线的方程为，，联立直线与双曲线的方程，将韦达定理代入，由反比例函数的单调性即可得出答案. 【解答过程】（1）由题意可得：，解得：，，. 双曲线的方程为：. （2）当直线的斜率不存在时，，， 此时，，所以， 当直线的斜率存在时，设，，因为直线过点， 设直线的方程为：， 联立可得：， 当时，， ，， ， 令，则，令， 在，上单调递减， 又，所以， 所以的取值范围为. 80．（2024高三·全国·专题练习）已知抛物线经过点，直线与抛物线有两个不同的交点，直线交轴于，直线交轴于． (1)若直线过点，求直线的斜率的取值范围； (2)若直线过抛物线的焦点，交轴于点，求的值； (3)若直线过点，设，求的值． 【解题思路】（1）由题意易得直线斜率存在且不为，且直线、斜率存在，设出直线方程，并联立抛物线方程，根据交点有两个，得出，解不等式即可得直线斜率的范围. （2）设直线的方程为：联立直线与抛物线的方程得出点纵坐标之间的关系，再由，，得出、与点坐标之间的关系，对化简可求得的值. （3）根据，，得出、与点坐标之间的关系，再根据在同一直线上，在同一直线上，得出，与点坐标之间的关系，根据（1）中联立所得的方程得出点横坐标之间的关系，对原式进行化简，即可得的值. 【解答过程】（1）因为抛物线经过点，所以，所以， 所以抛物线的解析式为． 又因为直线过点，且直线与抛物线有两个不同的交点． 易知直线斜率存在且不为，故可设直线的方程式为. 根据题意可知直线不能过点，所以直线的斜率. 若直线与抛物线的一个交点为，此时该点与点所在的直线斜率不存在， 则该直线与轴无交点，与题目条件矛盾， 此时，所以直线斜率. 联立方程，得， 因为直线与抛物线有两个不同交点，所以，所以． 故直线的斜率的取值范围是且且. 即率的取值范围是. （2）如图所示 设直线的方程为：由，得， 设，， 则，∵，， ，， ∴，，∴ ， . （3）如图所示 设点，，则，， 因为，所以，故，由得， 设，， 直线方程为， 令，得①，由直线可得②， 因为③， 将①②代入③可得， ， 又由根与系数的关系：，， 所以， 所以. 题型21 圆锥曲线中的定点、定值问题 81．（24-25高二上·北京·期中）如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直. (1)求椭圆的方程； (2)若，求MN的方程； (3)记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值. 【解题思路】（1）根据条件列方程组求解即可； （2）设直线的方程为，与椭圆联立，由弦长公式求得的方程； （3）将韦达定理代入中计算结果为定值． 【解答过程】（1）由椭圆过点，焦距为， 得，解得， 故椭圆的方程为． （2）设直线的方程为，，， 联立，消去得， 由，得， 则． ， 解得或， 当时，直线的方程为； 当时，直线经过点，不符合题意，舍去． 所以当时，的方程为． （3）证明：直线，均不与轴垂直，所以，，则且， 所以 ， 所以为定值． 82．（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知焦点在轴上的双曲线过点，其焦点到渐近线的距离为1. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知直线与双曲线的右支交于，两点，点与点关于轴对称，求证：直线过定点，并求出定点的坐标. 【解题思路】（1）设双曲线方程为，双曲线右焦点为，列方程组即可求解； （2）设，则将直线和双曲线联立可求得关于的方程，根据韦达定理可求得，可解出，，，用两点式表达出直线的方程，将已知代入即可求解. 【解答过程】（1）由题意可设双曲线方程为，双曲线右焦点为， 双曲线过点，且焦点到渐近线的距离为1， 根据题意可知渐近线方程为， 根据右焦点为到直线距离， 又因点在双曲线上，所以代入可得，解之可得， 故双曲线方程为. （2）设，则， 将直线与双曲线联立可得，消去可得 根据韦达定理可知，， 所以， 则， ，所以 解之可得， 直线方程为， 将已知代入， 化简可得，所以直线过定点，定点为. 83．（23-24高二下·云南昆明·阶段练习）已知双曲线的焦点为，且过点． (1)求双曲线的方程； (2)过点作斜率分别为的直线，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，点分别是的中点，若，试判断直线是否过定点？若是，则求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 【解题思路】（1）由题意可得，，再结合求出，从而可求得双曲线的方程； （2）直线的方程为，设，将直线方程代入双曲线方程化简，利用根与系数的关系结合中点坐标公式表示出点的坐标，同理表示出点的坐标，由得，表示出，从而可表示出直线的方程，化简可得答案. 【解答过程】（1）由题意知， 解得， 所以双曲线的方程是； （2）直线的方程为，设． 由，得， 所以， 所以，所以， 所以， 同理可得， 因为，所以，即， 当且时，， 所以直线的方程为， ， ， ， ， 所以， 所以直线过定点； 当或时，直线的方程为，所以直线过定点． 综上，直线过定点． 84．（23-24高二下·福建厦门·期中）已知椭圆的离心率为，点在上. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知动直线过曲线的左焦点，且与椭圆分别交于，两点，试问轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）根据已知求出即得椭圆的标准方程； （2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为设，利用韦达定理和向量的数量积求出，此时为定值；当直线的斜率不存在时，直线的方程为，求出此时点也满足前面的结论，即得解. 【解答过程】（1）设椭圆的半焦距为, 由题意可得,解得， ， 所以椭圆的标准方程为． （2）①当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立椭圆的方程，可得， 设，则． 设，则 ， 若为定值， 则，解得． 此时点的坐标为． ②当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 代入，得 不妨设， 若，则，，． 综上，在轴上存在点，使得为定值． 题型22 圆锥曲线中的定直线问题 85．（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知为椭圆的右焦点，分别为椭圆C的左、右顶点，且椭圆C过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点F作直线l与椭圆C交于两点（不同于），设直线与直线交于点D，证明：点D在定直线上． 【解题思路】（1）由椭圆定义得到，求出，结合焦点坐标，得到，得到椭圆方程； （2）设直线l的方程为，联立椭圆方程，设，得到两根之和，两根之积，表达出直线和直线的方程，联立求出，解得，故点D在定直线上. 【解答过程】（1），由椭圆定义知 ， 所以，又， 所以椭圆C的标准方程为 （2）若直线l的斜率为0，此时两点与重合，不合题意，舍去， ，设直线l的方程为， 由，得．    显然恒成立，设， 所以有① 直线的方程为，直线的方程为， 联立两方程可得，所以， ， 由①式可得， 代入上式可得， 即，解得，故点D在定直线上. 86．（23-24高二下·广西贵港·期中）已知双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为． (1)求的方程． (2)设的左、右顶点分别为，，过点且斜率不为0的直线与相交于，两点，直线与直线相交于点．试问点是否在定直线上？若是，求出定直线的方程；若不是，说明理由． 【解题思路】（1）由题意列式求出，即得答案； （2）设直线的方程为，联立双曲线方程，可得根与系数的关系，写出直线和直线的的方程，联立化简可求出点P横坐标，即可得结论. 【解答过程】（1）根据对称性，到的一条渐近线的距离，则． 由，知，得，则， 故的方程为． （2）点在定直线上． 依题可设直线的方程为，，， 联立方程组，整理得，必有， 则，，则． 直线的方程为，直线的方程为， 整理得，解得． 故点在定直线上． 87．（2024·湖北襄阳·模拟预测）过抛物线内部一点作任意两条直线，如图所示，连接延长交于点，当为焦点并且时，四边形面积的最小值为32    (1)求抛物线的方程； (2)若点，证明在定直线上运动，并求出定直线方程. 【解题思路】（1）设直线，联立方程组求得，利用弦长公式，分别求得，得到，结合基本不等式，即可求解； （2）由和共线，得到，，又由和共线，得到和，进而得到，即可求解. 【解答过程】（1）解：设， 设直线，联立方程组，整理得， 可得， 所以， 同理可得， 所以，当且仅当时取等号， 所以，所以抛物线的方程为. （2）解：当为时，， 由共线，可得，可得  ①， 同理由共线   ② 又由共线，可得，所以  ③ 同理由共线，可得  ④ 由①③得， 即  ⑤ 又由②④得， 即  ⑥ 由⑤⑥得， 即，即，所以在上.    88．（24-25高二上·山东青岛·期中）已知过点且焦距为2的椭圆，过点且斜率存在的直线交椭圆于P，Q两点. (1)求椭圆E的标准方程； (2)直线AP，AQ的斜率之积是否为值？若是，求出定值；若不是，请说明理由； (3)过点作直线l与椭圆E交于C，D两点（点C在x轴上方），椭圆E的左顶点为，右顶点为，求证：直线与直线的交点在一条定直线上. 【解题思路】（1）根据焦距和，得到，，求出椭圆方程； （2）设过点A的直线为，联立直线与椭圆方程，求出两根之和，两根之积，计算出； （3）设出直线的方程，，联立直线和椭圆方程，得到两根之和，两根之积，并得到，表达出直线和直线，联立消去整理得到，将代入，求出，得到答案. 【解答过程】（1）根据题意可得，，又，则， 所以椭圆方程为 （2）设过点A的直线为， 联立，消去整理得， 易得， 则， 所以 . 所以直线BM与直线BN的斜率之积为定值. （3）由题意可知：直线的斜率不为0，设直线CD的方程为， 与的方程联立得，消去可得，    设，则，， 即，直线， 直线， 联立上述两方程消去可得， 整理得， 因为，所以， 由，得， ， 综上所述，动点在定直线上. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二上学期期末复习解答题压轴题二十二大题型专练（范围：第一、二、三章） 【人教A版（2019）】 题型1 向量共线、共面的判定及应用 1．（23-24高二·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．    2．（23-24高二·湖南·课后作业）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线． 3．（23-24高三上·四川成都·开学考试）在四棱柱中，，．    (1)当时，试用表示； (2)证明：四点共面； 4．（23-24高二·江苏·课后作业）已知，，三点不共线，对于平面外的任意一点，分别根据下列条件，判断点是否与点，，共面： (1)； (2)． 题型2 空间向量的数量积及其应用 5．（24-25高二上·湖北宜昌·期中）如图，在三棱柱中，，，，点满足.    (1)用表示； (2)若三棱锥的所有棱长均为，求及. 6．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，．    (1)用分别表示． (2)若，求： （ⅰ）； （ⅱ）． 7．（24-25高二上·四川广安·阶段练习）． (1)用向量表示向量，并求； (2)求． 8．（23-24高二下·广东中山·开学考试）如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，． (1)求的长； (2)求和夹角的余弦值． 题型3 空间向量基本定理及其应用 9．（23-24高二下·上海·开学考试）如图，在正方体中，为棱的中点，点在线段上，且． (1)用，，表示，及； (2)求证：，，，四点共面． 10．（24-25高二上·贵州遵义·期中）在四棱柱中，，，，，点满足．    (1)若，求的值； (2)求． 11．（24-25高二上·重庆·阶段练习）如图，在四面体中，平面，平面，为的中点，． (1)设，，，用表示； (2)若 （i）求 （ii）求． 12．（2024高二上·全国·专题练习）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且． (1)用向量表示向量； (2)求证：共面； (3)当为何值时，． 题型4 利用空间向量证明线、面的位置关系 13．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）如图，正四棱柱的底面边长为2，E为棱的中点，，且四棱锥的体积为． (1)求棱的长； (2)证明：平面平面． 14．（24-25高二上·福建福州·期中）在四棱锥中，平面平面，，，，，，. (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 15．（24-25高二下·全国·课后作业）如图所示，四边形为矩形，平面，，，，分别是，，的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 16．（24-25高二下·全国·课后作业）如图，在正三棱柱中，分别是的中点． (1)求证：平面平面． (2)在线段上是否存在一点Q，使平面？若存在，确定点Q的位置；若不存在，也请说明理由． 题型5 利用空间向量研究点、线、面的距离问题 17．（24-25高二上·广东广州·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，，为的中点，为的中点，解答以下问题：    (1)证明：直线 平面； (2)求点到平面的距离． 18．（23-24高二上·山东淄博·阶段练习）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 19．（2024高二·全国·专题练习）设正方体的棱长为2，求： (1)求直线到平面的距离； (2)求平面与平面间的距离. 20．（24-25高二上·福建福州·期中）如图，在长方体中，，点在上，且. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)若点在侧面上，且点到直线和的距离相等，求点到直线距离的最小值. 题型6 利用空间向量求空间角 21．（24-25高二上·四川乐山·阶段练习）如图所示，在正方体中，已知是的中点． (1)求与所成角的余弦值; (2)求平面与平面夹角的余弦值． 22．（24-25高三上·湖北宜昌·阶段练习）如图，四边形与均为菱形，且， (1)求证：平面平面 (2)求直线AD与平面ABF所成角的正弦值． 23．（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）如图所示，直三棱柱中，，点在线段上， ．    (1)求证：； (2)求二面角的正弦值． 24．（24-25高二上·山西大同·期中）如图，在多面体中，平面平面，四边形为平行四边形，，，，，，为的中点. (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 题型7 立体几何中的探索性问题 25．（24-25高二上·广西玉林·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 26．（23-24高二上·吉林·阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为． (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由． 27．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）在如图所示的几何体中，垂直于梯形所在的平面，，为的中点，，四边形为矩形，线段交于点.（用向量坐标法） (1)求点N到平面PAB的距离； (2)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的大小为？若存在，求出的长； 若不存在，请说明理由. 28．（24-25高二上·北京·期中）如图，在长方体中，，，分别是棱，，的中点. (1)判断直线与平面的位置关系，并证明你的结论； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 题型8 直线与线段的相交关系求斜率范围 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 29．（24-25高二上·陕西安康·阶段练习）已知直线过点，且与以和为端点的线段相交. (1)求直线的斜率k的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 30．（23-24高二上·全国·课后作业）已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若是线段上一动点，求的取值范围. 31．（23-24高二上·四川巴中·阶段练习）已知坐标平面内三点，，. (1)求直线AC的倾斜角； (2)若D为的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围. 32．（23-24高二上·河南·阶段练习）已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围. 题型9 直线方程的求解 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 33．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知的三个顶点是. (1)求BC边上的高所在直线的方程; (2)若直线过点，且点A，B到直线的距离相等，求直线的方程. 34．（24-25高二上·重庆·期中）已知的三个顶点分别是，，. (1)求边上的高所在的直线方程； (2)求边上的中线所在的直线方程； (3)求角平分线所在的直线方程. 35．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）已知的三个顶点分别是，，. (1)求边上的高所在的直线方程； (2)若直线过点，且与直线平行，求直线的方程； (3)求边上的中线所在的直线方程. 36．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知的三个顶点是，求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程； (3)的角平分线所在直线的方程. 题型10 距离问题 37．（24-25高二上·吉林·阶段练习）已知直线，直线． (1)若，求，之间的距离； (2)若，求，及轴围成的三角形的面积． 38．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知直线 (1)证明：无论m为何值，直线l与直线总相交； (2)求点到直线l距离的最大值； (3)若O为坐标原点，直线l与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，求面积的最小值． 39．（23-24高二上·天津河西·阶段练习）已知直线，. (1)若坐标原点O到直线m的距离为，求a的值； (2)当时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程. 40．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知直线，其中为实数. (1)当时，求直线之间的距离； (2)当时，求过直线的交点，且平行于直线的直线方程. 题型11 点、线间的对称问题 41．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）已知直线，试求： (1)点关于直线l的对称点坐标. (2)直线关于直线l对称的直线的方程. (3)直线l关于点对称的直线方程. 42．（24-25高二上·湖北·期中）已知△ABC的顶点，边AB的中线CM所在直线方程为，边AC的高BH所在直线方程为． (1)求点B的坐标； (2)若入射光线经过点，被直线CM反射，反射光线过点，求反射光线所在的直线方程． 43．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图，已知，，，直线：． (1)求直线经过的定点坐标； (2)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程． 44．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）直线过点，点到直线的距离为，直线与直线关于点对称. (1)求直线的方程； (2)记原点为，直线上有一动点，则当最小时，求点的坐标. 题型12 圆的切线长及切线方程问题 45．（24-25高二上·江西赣州·阶段练习）已知圆过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程. 46．（24-25高二上·安徽芜湖·期中）已知圆的方程为. (1)过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程； (2)过直线上任意一点向圆引切线，切点为，求的最小值. 47．（24-25高二上·宁夏银川·期中）已知关于直线对称，且圆心在轴上. (1)求的标准方程； (2)已知动点在直线上，过点引的切线MA，求的最小值. 48．（23-24高二上·福建福州·期末）已知圆，直线． (1)若直线l与圆O相切，求m的值； (2)当时，已知P为直线l上的动点，过P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，当切线长最短时，求弦所在直线的方程． 题型13 直线与圆有关的最值（范围）问题 49．（2024高三·全国·专题练习）已知点是圆上任意一点． (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值． (2)求的最大值和最小值． (3)求的最大值和最小值 50．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知圆. (1)求的取值范围； (2)当取最小正整数时，若点为直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，求线段的最小值. 51．（23-24高三上·四川绵阳·阶段练习）已知圆： (1)若圆的切线在轴和轴上截距相等，求切线的方程； (2)从圆外一点向圆引切线，为切点，为坐标原点，且，求的最小值 52．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知，，，且，点． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 题型14 直线与圆有关的面积问题 53．（24-25高二上·重庆·期中）已知圆是圆上的一个动点，点是线段的中点，为坐标原点. (1)求动点的轨迹方程； (2)当时，求直线的方程及的面积. 54．（24-25高二上·上海·期中）已知直线，圆 (1)求证：无论a取何值，直线l均与圆O相交； (2)已知AC、BD是圆O的两条相互两直的弦，且垂足为，求四边形ABCD的面积的最大值． 55．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知动点与点的距离是它与原点的距离的2倍． (1)求动点的轨迹的方程； (2)求的最小值； (3)经过原点的两条互相垂直的直线分别与轨迹相交于，两点和，两点，求四边形ACBD的面积的最大值． 56．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圆O：，直线． (1)若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当时，求k的值； (2)若时，点P为直线l上的动点，过点P作圆O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，求四边形的面积的最小值． 题型15 圆锥曲线的离心率问题 57．（24-25高三上·云南普洱·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，点在C上. (1)求C的离心率； (2)设恒过点D的直线交C于A，B两点，且D为AB的中点，求直线AB的方程. 58．（24-25高三上·安徽·开学考试）已知O为坐标原点，分别是双曲线的左、右焦点，直线与E交于A，B两点，﹒ (1)求E的离心率； (2)M为E上一点（不在x轴上），过作平分线的垂线，垂足为N，若，求的面积． 59．（24-25高二上·北京·期中）已知和为椭圆上的两点. (1)求椭圆C的方程和离心率； (2)设直线与椭圆C交于A、B两点，求三角形AOB面积的取值范围. 60．（23-24高二上·山东潍坊·期末）已知双曲线，点，都在双曲线上，且的右焦点为. (1)求的离心率及其渐近线方程； (2)设点是双曲线C右支上的任意一点，记直线和的斜率分别为，证明：. 题型16 圆锥曲线的弦长与“中点弦”问题 61．（24-25高二上·山东青岛·期中）己知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，且椭圆C经过点，长轴长为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点且斜率为1的直线l与椭圆C交于两点，求弦长； (3)若直线l与椭圆相交于两点，且弦的中点为，求直线l的方程. 62．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）已知椭圆，其中离心率为，且过点 (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程. 63．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若直线与双曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值. 64．（24-25高二上·山东·期中）已知抛物线：的焦点为． (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于，两点，若，求线段的长． 题型17 圆锥曲线中的切线与切点弦问题 65．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆： 与抛物线： 有相同的焦点，且椭圆过点． (1)求椭圆与抛物线的标准方程； (2)椭圆上一点在轴下方，过点作抛物线的切线，切点分别为，求的面积的最大值． 66．（23-24高三下·山西·开学考试）如图，已知抛物线：与点，过点作的两条切线，切点分别为，．    (1)若，求切线的方程； (2)若，求证：直线恒过定点． 67．（23-24高二下·广东·阶段练习）已知线段是抛物线的弦，且过抛物线焦点. (1)过点作直线与抛物线对称轴平行，交抛物线的准线于点，求证：三点共线(为坐标原点)； (2)设是抛物线准线上一点，过作抛物线的切线，切点为. 求证：（i）两切线互相垂直； （ii）直线过定点，请求出该定点坐标. 68．（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）已知抛物线的方程为，过点作抛物线的两条切线，切点分别为. （1）若点坐标为，求切线的方程； （2）若点是抛物线的准线上的任意一点，求证：切线和互相垂直. 题型18 圆锥曲线中的面积问题 69．（24-25高三上·北京·阶段练习）设椭圆的左、右顶点分别为，右焦点，． (1)求椭圆方程及其离心率； (2)已知点是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线交轴于点，若的面积是面积的倍，求直线的方程． 70．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，点在双曲线上，点分别为双曲线的左､右焦点. (1)求的方程； (2)过作两条相互垂直的直线和，与双曲线的右支分别交于，两点和两点，求四边形面积的最小值. 71．（24-25高二上·安徽·期中）已知椭圆，圆过椭圆的左、右顶点和上顶点． (1)求圆的标准方程； (2)若直线经过椭圆的右焦点，与圆交于两点． （i）若，求直线的方程； （ii）直线经过点与圆C交于，且直线与直线相互垂直，求四边形面积的最大值． 72．（24-25高三上·山东青岛·期中）已知过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，当直线垂直于轴时，的面积为. (1)求抛物线的方程； (2)过曲线上一点作两条互相垂直的直线，分别交曲线于（异于点）两点，求证：直线恒过定点； (3)若为的重心，直线分别交轴于点，记的面积分别为，求的取值范围. 题型19 圆锥曲线中的参数范围及最值问题 73．（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，设是第一象限内椭圆上的一点，的延长线分别交椭圆于点，连接，若的周长为.    (1)求椭圆的方程； (2)当轴，求的面积； (3)若分别记的斜率分别为，求的最大值. 74．（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）已知双曲线和椭圆有公共焦点，且离心率． (1)求双曲线的方程； (2)过点作两条相互垂直的直线分别交双曲线于不同于点的两点，求点到直线距离的最大值． 75．（23-24高二下·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，已知椭圆E：的离心率为，右焦点F到椭圆E上任意一点的最小距离为1． (1)求椭圆E的方程； (2)设A，B为椭圆E的左，右顶点，过点F作直线l交椭圆E于C，D两点，C与A，B不重合），连接，交于点Q． ①求证：点Q在定直线上： ②设，，求的最大值． 76．（2024·全国·模拟预测）设抛物线，直线与交于，两点，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知点为上一点，过点作抛物线的两条切线，，设切点分别为，，试求直线，斜率之积的最小值． 题型20 圆锥曲线中的向量问题 77．（24-25高二上·天津北辰·期中）已知椭圆的左焦点为圆的圆心，且椭圆上的点到点的距离的最小值为. (1)求椭圆的短轴长; (2)已知经过点的动直线与椭圆交于不同的两点A，B，点，求的值. 78．（23-24高二下·上海·阶段练习）设点， 分别是椭圆: 的左、右焦点，且椭圆C上的点到点的距离的最小值为 点M，N是椭圆C上位于x轴上方的两点，且向量 与向量 平行. (1)求椭圆C的方程; (2)当 时，求点N的坐标； (3)当 时，求直线的方程. 79．（2024·湖北襄阳·模拟预测）设双曲线的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，，且的渐近线方程为，直线交双曲线于，两点. (1)求双曲线的方程； (2)当直线过点时，求的取值范围. 80．（2024高三·全国·专题练习）已知抛物线经过点，直线与抛物线有两个不同的交点，直线交轴于，直线交轴于． (1)若直线过点，求直线的斜率的取值范围； (2)若直线过抛物线的焦点，交轴于点，求的值； (3)若直线过点，设，求的值． 题型21 圆锥曲线中的定点、定值问题 81．（24-25高二上·北京·期中）如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直. (1)求椭圆的方程； (2)若，求MN的方程； (3)记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值. 82．（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知焦点在轴上的双曲线过点，其焦点到渐近线的距离为1. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知直线与双曲线的右支交于，两点，点与点关于轴对称，求证：直线过定点，并求出定点的坐标. 83．（23-24高二下·云南昆明·阶段练习）已知双曲线的焦点为，且过点． (1)求双曲线的方程； (2)过点作斜率分别为的直线，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，点分别是的中点，若，试判断直线是否过定点？若是，则求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 84．（23-24高二下·福建厦门·期中）已知椭圆的离心率为，点在上. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知动直线过曲线的左焦点，且与椭圆分别交于，两点，试问轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由. 题型22 圆锥曲线中的定直线问题 85．（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知为椭圆的右焦点，分别为椭圆C的左、右顶点，且椭圆C过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点F作直线l与椭圆C交于两点（不同于），设直线与直线交于点D，证明：点D在定直线上． 86．（23-24高二下·广西贵港·期中）已知双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为． (1)求的方程． (2)设的左、右顶点分别为，，过点且斜率不为0的直线与相交于，两点，直线与直线相交于点．试问点是否在定直线上？若是，求出定直线的方程；若不是，说明理由． 87．（2024·湖北襄阳·模拟预测）过抛物线内部一点作任意两条直线，如图所示，连接延长交于点，当为焦点并且时，四边形面积的最小值为32    (1)求抛物线的方程； (2)若点，证明在定直线上运动，并求出定直线方程. 88．（24-25高二上·山东青岛·期中）已知过点且焦距为2的椭圆，过点且斜率存在的直线交椭圆于P，Q两点. (1)求椭圆E的标准方程； (2)直线AP，AQ的斜率之积是否为值？若是，求出定值；若不是，请说明理由； (3)过点作直线l与椭圆E交于C，D两点（点C在x轴上方），椭圆E的左顶点为，右顶点为，求证：直线与直线的交点在一条定直线上. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$