精品解析：山西省忻州市某校2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

2024-2025学年第一学期期中综合素养评价（卷） 八年级数学 （时间：120分钟 满分：120分） 第I卷（选择题）30分 一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将你认为正确的选项字母填入下表相应空格内，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形定义．根据题意利用“沿着对称轴折叠两边能完全重合的图像即为轴对称图形”知识点逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：A、C、D中的图形不是轴对称图形，故A、C、D不符合题意； B中的图形是轴对称图形，故B符合题意． 故选：B． 2. 如图，△ABC中，D为BC边上一点，且△ABD与△ADC面积相等，则线段AD一定是（ ） A. △ABC的高 B. △ABC的中线 C. △ABC的角平分线 D. 以上选项都不对 【答案】B 【解析】 【分析】表示出△ABD与△ADC的面积，可推导出BD=DC，即可解答． 【详解】解：作AE⊥BC． ∵△ABD与△ADC面积相等， ∴BD×AE=DC×AE， ∴BD=DC， 即线段AD一定是△ABC的中线． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的中线分成的两个三角形的面积相等． 3. 下列图形中AD是三角形ABC的高线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形某一边上高的概念，逐一判断选项，即可得到答案． 【详解】∵过三角形ABC的顶点A作AD⊥BC于点D，点A与点D之间的线段叫做三角形的高线， ∴D符合题意， 故选D． 【点睛】本题主要考查三角形的高的概念，掌握“从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点到垂足之间的线段叫作三角形的高”，是解题的关键． 4. 下列命题中，是真命题的是（ ） ①两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ②在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行 ③三角形的三条高中，必有一条在三角形的内部 ④三角形的三个外角一定都是锐角 A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【详解】解：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，所以①是假命题； 在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，所以②是真命题； 三角形的三条高中，必有一条在三角形的内部，所以③是真命题； 三角形的三个外角最多只有一个锐角，所以④是假命题． 故选：B． 5. 如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据成轴对称图形的特征进行判断，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据与关于直线对称，交于点，得出，，，与不一定互相平行，即可作答． 【详解】解：∵与关于直线对称，交于点， ∴，，， 故A、C、D选项不符合题意； 则与不一定互相平行， 故B选项符合题意； 故选：B 6. 如图，，则图中全等三角形共有（ ） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 【答案】C 【解析】 【分析】先利用SAS证出△ABD≌△CDB，从而得出AD=CB，再利用SSS证出△ABC≌△CDA，从而得出∠ABO=∠CDO，最后利用AAS证出△ABO≌△CDO，即可得出结论． 【详解】解:在△ABD和△CDB中 ∴△ABD≌△CDB ∴AD=CB 在△ABC和△CDA中 ∴△ABC≌△CDA ∴∠ABO=∠CDO 在△ABO和△CDO中 ∴△ABO≌△CDO 共有3对全等三角形 故选：C． 【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的各个判定定理是解决此题的关键． 7. 如图，把矩形ABCD沿EF折叠，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质．根据折叠的性质及可求出的度数，再由平行线的性质即可得到的度数． 【详解】解：根据折叠的性质有：，即， ∵， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 8. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在射线BC上，EF⊥AD于F，∠B＝40°，∠ACE＝72，则∠E的度数为（　　） A. 68° B. 56° C. 34° D. 32° 【答案】C 【解析】 【分析】由，，根据三角形外角的性质得出，再根据平分得出的度数，再根据三角形外角的性质求出的度数，最后在中求出的度数． 【详解】解：是的外角， ， ，， ． 平分， ， 是的外角， ， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质、角平分线，解题的关键是灵活运用三角形外角的概念与性质． 9. 作的角平分线的作图过程如下，用下面的三角形全等判定法则解释其作图原理，最为恰当的是（ ） 作法： ．在和上分别截取，使． ．分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点． ．作射线． 就是的平分线（如图）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本作图得到，，然后根据全等三角形的判定与性质即可获得答案． 【详解】解：如图，连接，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分． 故选D． 10. 如图，△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC，则下列结论：①△BEC≌△CDB，②△ABC是等腰三角形，③AE=AD，④点O在∠BAC的平分线上，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件逐一对选项进行分析． 【详解】①中，， ， 在和中，， ，故①正确； ②中，， ， ， 是等腰三角形，故②正确； ③中，， ， ， ，即，故③正确； ④中，， ， ， ，即， 又， ∴点O在的平分线上，故④正确． 综上所述：正确的有4个． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，以及角平分线的性质的逆定理，熟练掌握全等三角形的判定方法并灵活应用是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题）90分 二、填空题（共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如果一个多边形的内角和为1620°，那么这个多边形的一个顶点有_____条对角线． 【答案】8． 【解析】 【分析】首先根据多边形内角和公式可得多边形的边数，再计算出对角线的条数． 【详解】设此多边形的边数为x，由题意得： （x-2）×180=1620， 解得；x=11， 从这个多边形的一个顶点出发所画的对角线条数：11-3=8， 故答案为8． 【点睛】本题考查了多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解题的关键是掌握多边形的内角和公式180（n-2）． 12. 已知：如图，，则_____________度． 【答案】30 【解析】 【分析】本题可利用两直线平行，同位角相等求解∠EGC，继而根据邻补角定义求解∠CDE，最后根据外角定义求解∠BCD． 【详解】令BC与EF相交于G点，如下图所示： ∵， ∴∠EGC=∠ABC=75°，∠EDC=180°-∠CDF=180°-135°=45°， 又∵∠EGC=∠BCD+∠EDC， ∴∠BCD=75°-45°=30°， 故答案：30． 【点睛】本题考查直线平行的性质，外角以及邻补角定义，难度一般，掌握一些技巧有利于解题效率，例如见平行推角等． 13. 如图，△ABC中，∠A＝80°，剪去∠A后，得到四边形BCDE，则∠1＋∠2＝________。 【答案】260º 【解析】 【分析】由∠1、∠2是△ADE的外角，利用外角性质，可得∠1=∠ADE+∠A，∠2=∠AED+∠A，利用等式性质可求∠1+∠2的值． 【详解】解：∵∠1、∠2是△ADE的外角， ∴∠1=∠ADE+∠A，∠2=∠AED+∠A， ∴∠1+∠2=∠ADE+∠A+∠AED+∠A， 又∵∠ADE+∠A+∠AED=180°， ∴∠1+∠2=180°+80°=260°． 故答案为：260°． 【点睛】本题利用了三角形内角和定理、三角形外角的性质．三角形三个内角的和等于180°；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 14. 如图，方格图中，将其中一个小方格的中心画上半径相等的圆，使整个图形为轴对称图形，这样的轴对称图形共有_________ 个． 【答案】 【解析】 【分析】利用轴对称图形的定义作出轴对称图形后即可确定轴对称图形的个数． 【详解】解：将其中一个小方格的中心画上半径相等的圆，使整个图形为轴对称图形，这样的轴对称图形为： 故答案为：3． 【点睛】考查了轴对称图形的知识，解题的关键是了解轴对称图形的定义，难度不大． 15. 如图，把两块大小相同的含45°的三角板ACF和三角板CFB如图所示摆放，点D在边AC上，点E在边BC上，且∠CFE＝13°，∠CFD＝32°，则∠DEC的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】作FH垂直于FE，交AC于点H，可证得，由对应边、对应角相等可得出，进而可求出，则． 【详解】作FH垂直于FE，交AC于点H， ∵ 又∵， ∴ ∵，FA=CF ∴ ∴FH=FE ∵ ∵ ∴ 又∵DF=DF ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及其性质，作辅助线HF垂直于FE是解题的关键． 三、解答题（共8个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）求出的面积； （2）若与关于y轴的对称，画出，并写出点，，的坐标． 【答案】（1） （2） 解：如图所示，即为所求； ； 根据坐标系可得，，． 【解析】 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据三角形的面积公式，即可求解． （2）根据网格结构找出点、、关于轴的对称点、、的位置，然后顺次连接即可；根据平面直角坐标系写出各点的坐标． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 略 17. 在中，，，是的垂直平分线，，则求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质，含角的直角三角形性质，三角形外角性质的应用．连接，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 18. 如图，已知等腰的顶角． （1）根据要求用尺规作图：作的平分线交于点；（不写作法，只保留作图痕迹．） （2）在（1）的条件下，证明：是等腰三角形． 【答案】（1）如图所示：即为所求； （2）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴都是等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，交AB、BC于点M、N，然后以点M、N为圆心，大于MN长的一半为半径画弧，交于点O，连接BO，交AC于点D，则问题可求解； （2）由题意易得，然后可得，则问题可求证． 【详解】.（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查角平分线的尺规作图及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握角平分线的尺规作图及等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 19. 如图，中，，点P在AB上，，，垂足分别为D，E，已知，求BE的长． 【答案】2 【解析】 【分析】已知CD的长，求BE的长，可通过证明△BEC和△ACD全等来得出．这两个三角形中已知的条件只有一组直角，根据∠ABC=∠BAC=45°，因此∠ACB=90°，AC=BC，我们发现∠DAC和∠BCE同为∠ACD的余角，因此∠DAC=∠BCE，这样就构成了△ACD和△BCE全等的条件，两三角形全等．这样就能求出BE、CD的关系就能得出BE的长． 【详解】解：， ，， ，， ， 在和中，， ≌， ． 【点睛】此题考查简单的线段相等，可以通过全等三角形来证明．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 20. 图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N． （1）求证：△PMN是等边三角形； （2）若AB＝12cm，求CM的长． 【答案】（1） 证明：∵是正三角形， ∴． ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）4cm 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，进而得出，再根据平角的意义即可得出，即可证得是等边三角形； （2）易证得，得出，，从而求得cm，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出，即可求得PB的长，进而得出CM的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是等边三角形，是正三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， 在和中， ∴， 同理可得 ∴， ∴，， ∴cm， ∵△ABC是正三角形， ∴， ∴， ∴cm， ∴cm， ∴cm． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，平角的意义，三角形全等的判定和性质等，得出是本题的关键． 21. 如图，点在上，与交于点．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明∶∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2） ∵， ∴， ∵，， ∴． 【解析】 【分析】（1）由得到，证明即可得证； （2）利用得到，再由对顶角相等及内角和定理即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，已知和均为等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，连接，交和分别于G、H点，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）试猜想：是什么特殊的三角形，并加以说明． 【答案】（1） 证明：∵和均为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∵，点B、C、D在同一条直线上， ∴， 又∵， ∴； （3） 解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质和判定． （1）首先由和均为等边三角形，得到，，，然后证明，根据全等三角形的性质即可证出； （2）由（1）证得的，得出，，又由，即可证得； （3）由得到，结合，即可得出是等边三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： （模型呈现） （1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到________， ________．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； （模型应用） （2）如图2，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； （深入探究） （3）如图，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，则有________（填“、、”） 【答案】（1），， （2）证明：分别过点D和点E作于点H，于点Q，如图所示：   ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可知， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即点是的中点； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、直角三角形的两个锐角互余及等积法，熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质可直接进行求解； （2）分别过点D和点E作于点H，于点Q，进而可得，然后可证，则有，进而可得，通过证明可求解问题； （3）过点作交于，过点作交延长线于，过点作交延长线于由题意易得，，然后可得，则有，，进而可得，通过证明及等积法可进行求解问题． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为， （2）略 （3），理由如下： 如图所示，过点作交于，过点作交延长线于，过点作交延长线于 ∵四边形与四边形都是正方形 ∴，， ∵，， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴，， 同理可以证明， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴即， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期中综合素养评价（卷） 八年级数学 （时间：120分钟 满分：120分） 第I卷（选择题）30分 一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将你认为正确的选项字母填入下表相应空格内，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，△ABC中，D为BC边上一点，且△ABD与△ADC面积相等，则线段AD一定是（ ） A. △ABC的高 B. △ABC的中线 C. △ABC的角平分线 D. 以上选项都不对 3. 下列图形中AD是三角形ABC的高线的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，是真命题的是（ ） ①两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ②在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行 ③三角形的三条高中，必有一条在三角形的内部 ④三角形的三个外角一定都是锐角 A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③④ 5. 如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，则图中全等三角形共有（ ） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 7. 如图，把矩形ABCD沿EF折叠，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在射线BC上，EF⊥AD于F，∠B＝40°，∠ACE＝72，则∠E的度数为（　　） A. 68° B. 56° C. 34° D. 32° 9. 作的角平分线的作图过程如下，用下面的三角形全等判定法则解释其作图原理，最为恰当的是（ ） 作法： ．在和上分别截取，使． ．分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点． ．作射线． 就是的平分线（如图）． A. B. C. D. 10. 如图，△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC，则下列结论：①△BEC≌△CDB，②△ABC是等腰三角形，③AE=AD，④点O在∠BAC的平分线上，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题）90分 二、填空题（共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如果一个多边形的内角和为1620°，那么这个多边形的一个顶点有_____条对角线． 12. 已知：如图，，则_____________度． 13. 如图，△ABC中，∠A＝80°，剪去∠A后，得到四边形BCDE，则∠1＋∠2＝________。 14. 如图，方格图中，将其中一个小方格的中心画上半径相等的圆，使整个图形为轴对称图形，这样的轴对称图形共有_________ 个． 15. 如图，把两块大小相同的含45°的三角板ACF和三角板CFB如图所示摆放，点D在边AC上，点E在边BC上，且∠CFE＝13°，∠CFD＝32°，则∠DEC的度数为_______． 三、解答题（共8个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）求出的面积； （2）若与关于y轴的对称，画出，并写出点，，的坐标． 17. 在中，，，是的垂直平分线，，则求的长． 18. 如图，已知等腰的顶角． （1）根据要求用尺规作图：作的平分线交于点；（不写作法，只保留作图痕迹．） （2）在（1）的条件下，证明：是等腰三角形． 19. 如图，中，，点P在AB上，，，垂足分别为D，E，已知，求BE的长． 20. 图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N． （1）求证：△PMN是等边三角形； （2）若AB＝12cm，求CM的长． 21. 如图，点在上，与交于点．求证： （1）； （2）． 22. 如图，已知和均为等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，连接，交和分别于G、H点，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）试猜想：是什么特殊的三角形，并加以说明． 23. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： （模型呈现） （1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到________， ________．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； （模型应用） （2）如图2，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； （深入探究） （3）如图，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，则有________（填“、、”） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $