第十四章整式乘法与因式分解素养提升卷 2024-2025学年人教版数学八年级上册

整式乘法与因式分解素养提升卷（含答案） 一、单选题 1．若实数，满足，则的值为（     ） A．5或 B．5 C．1或 D．1 2．若，，则的值为（   ） A．11 B．10 C． D． 3．算式的结果定（   ） A． B． C． D． 4．在学习乘法公式时，课本上通过计算图形面积来验证公式的正确性．下列图形中，不能借助图形面积验证乘法公式的是（　　） A． B． C． D． 5．已知实数x，y，z满足，那么实数x，y，z的乘积为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 6．若，则实数a、b的符号为（   ） A．a、b同为正 B．a、b同为负 C．a、b异号且绝对值大的为正 D．a、b异号且绝对值大的为负 7．“旧城改造”中，计划在市内一块长方形空地上种植草皮，以美化环境，已知长方形空地的面积为平方米，宽为米，则这块空地的长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 8．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 9．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 10．若方程的左边是一个完全平方式，则m的值是（   ） A． B．4 C．4或 D．2或 二、填空题 11．设a为正整数，且满足是完全平方数，则a的值是 ． 12．若，，，则的值为 ． 13．若与乘积中项的系数为2，常数项为，则这两个多项式乘积的一次项系数为 ． 14．按图所示的程序计算：若开始输入的x的值为，则最后输出的结果是 ． 三、解答题 15．已知，求代数式的值． 16．先化简，后求值：，其中，． 17．（1）若，求的值； （2）若，求的值． 18．若（且，，是正整数），则．利用上述结论，解决下列问题． (1)若，求的值； (2)请比较，，的大小，并说明理由． 19．已知：，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 20．定义一种新计算，若，记做，例如：因为，所以 (1)根据上述规定，填空： ①若，则_______； ②若，则_______； (2)若，，，求c的值． 21．如图，哈市恒祥城小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，开发商计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像． (1)用含有的式子表示绿化的总面积；（结果写成最简形式） (2)若，求出当时绿化的总面积； (3)在（2）的条件下，开发商找来甲、乙两队完成此项绿化工程．已知甲队每小时绿化14平方米，甲队先单独绿化5小时，然后乙队加入，合作完成剩余部分的绿化，要求总工作时间不超过15小时，则乙队每小时至少绿化多少平方米？ 22．因式分解： (1) (2) 23．小磊和小轩在课外练习中碰到了一个问题，需要对多项式进行因式分解．小磊认为该整式一定有一个因式，小轩认为必有因式是，两人找到老师寻求帮助．老师提供了一个方法：因式分解是整式乘法的逆运算．若整式A能被整式B整除，则B必为A的一个因式．老师给出了演算方法： (1)观察老师的演算后，你认为 同学的想法是对的； (2)已知多项式的其中一个因式为，请试着根据老师的方法列出演算过程，并将多项式进行因式分解； (3)若多项式能因式分解成与另一个完全平方式，求与的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C C A D B B D C 1．B 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把看做一个整体，先把原式变形为，进而分解因式得到，再证明，从而得到，即． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．D 【分析】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用幂的乘方的法则，同底数幂的除法的法则进行运算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选：D． 3．C 【分析】本题考查了平方差公式．解题的关键是掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即．先配一个，则可利用平方差公式计算出原式，然后利用底数为2的正整数次幂的个位数的规律求解． 【详解】解：原式 ， 故选：C． 4．C 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式和平方差公式的结构特征是解题的关键，根据各图形中各个部分之间的关系，用代数式表示各自的面积即可得出结论． 【详解】A.图形的面积可以看作两个正方形的差，即，也可以看作两个长方形的面积和，即，因此，不符合题意，故该选项错误； B.图形的面积可以看作两个正方形的差，即，也可以看作三个梯形的面积和，即，因此，不符合题意，故该选项错误； C.图形的面积可以看作一个正方形的面积，即，也可以看作两个正方形和两个长方形的面积和，即，因此，符合题意，故该选项正确； D. 图形的面积可以看作两个正方形的差，即，也可以看作四个梯形的面积和，即 ，因此，不符合题意，故该选项错误， 故选：C． 5．A 【分析】本题考查配方法的应用和非负数的性质，能够利用配方法将已知式子变形是解题的关键． 先进行配方，再进化简变形即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，，时，等式成立， ∴， 故选：A． 6．D 【分析】本题考查多项式乘多项式法则，将左边，对比两边，相同项的系数相同，可得，，即可得到，，且，即可解答． 【详解】解：将左边式子展开可得，， ∴，， ∴，，且， ∴a、b异号且绝对值大的为负， 故选：D． 7．B 【分析】本题考查了整式的除法运算，直接利用整式的除法运算法则计算即可得出答案，掌握整式的除法运算法则是解题关键． 【详解】解：， ∴这块空地的长为米， 故选：． 8．B 【分析】本题考查了有理数的混合运算、同底数幂的乘法，首先逆用同底数幂的乘法法则，得到原式，再提公因数得到，经计算得到结果． 【详解】解： ． 故选：B． 9．D 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方，根据同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方运算法则逐项判断即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 故选：． 10．C 【分析】此题考查了完全平方式，利用完全平方公式的结构特征判断即可求出的值，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【详解】解：∵方程的左边是一个完全平方式， ∴， ∴， 故选：C． 11．4或18 【分析】此题考查了完全平方数的性质，平方差公式和完全平方公式因式分解，解题的关键分类讨论a的范围． 设（x为正整数），整理得到，，然后求出，然后得到或，然后分情况求解即可． 【详解】解：根据题意得，设（x为正整数）， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵a，x为正整数， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴或 ∴当时， 解得，； ∴当时， 解得， 综上所述，a的值是4或18． 故答案为：4或18． 12．2044 【分析】本题主要考查因式分解的应用、求代数式值等知识点，掌握因式分解的步骤以及公式的运用是解题的关键． 先局部提公式、再运用公式法因式分解以及加括号，然后将已知条件代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ． 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，根据题意列出关系式，由项的系数为2，常数项为，求出p与q的值，即可确定出这两个多项式乘积的一次项系数，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】根据题意得：， ∵项的系数为2，常数项为， ∴，， 解得：，， ∴， ∴这两个多项式乘积的一次项系数为26， 故答案为：26． 14． 【分析】本题考查了代数式求值，由已知的程序框图，将代入计算得到结果为大于，继续代入计算，直到小于，即可得到正确的结果． 【详解】解：开始输入的x值为，代入得， ； 此时输入x的值为，代入得，代入得， ． 故答案为：． 15．6 【分析】本题主要考查了同底数幂除法计算，幂的乘方及其逆运算，根据幂的乘方及其逆运算法则得到，进而根据同底数幂除法计算法则得到，，则可求出，，再把所求式子变形为，再利用整体代入法计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，即， ∴ ． 16．， 【分析】本题主要考查了整式的混合运算−化简求值，原式利用完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键． 【详解】 ， 当，时，原式． 17．（1）8（2）7 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法和幂的乘方的应用等知识点， （1）先根据同底数幂的乘法和幂的乘方将化成，然后将代入求值即可； （2）根据幂的乘方的定义，可化为，即，即可求得a的值，又可化为，即，即可求解b的值，即可求解的值； 熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【详解】（1）∵， ∴， ； （2）∵， ∴， ∴ ， ∴，， ∴，， ∴． 18．(1) (2) 【分析】本题考查幂的乘方的逆用，以及同底数幂的乘法，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则． （1）根据幂的乘方的逆用，以及同底数幂的乘法，将化为，再结合则建立等式求解，即可解题； （2）根据幂的乘方的逆用，得到，，，再结合，即可比较，，的大小． 【详解】（1）解：因为，所以， 所以， 解得． （2）解：因为，， ，， 所以． 19．(1) (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，因式分解： （1）根据完全平方公式的变形得到，据此求解即可； （2）先根据完全平方公式的变形求出的值，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴， ∴． 20．(1)9； (2) 【分析】本题考查了有理数的乘方，幂的乘方的逆运算．根据题意得，，是解题的关键． （1）根据有理数的乘方和新定义即可得出答案． （2）由题意得，，，从而即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴， 故答案为：9； ②∵，即， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴，，， 则． 21．(1) (2) (3)13 【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据矩形和正方形的面积公式即可得到结论； （2）把代入（1）的代数式即可得到结论； （3）设乙队每小时至少绿化，根据题意列出不等式进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得：绿化的总面积为 （平方米）； （2）解：将代入， （平方米）； （3）解：设乙队每小时至少绿化， 要求总工作时间不超过15小时，故合作完成部分不得超过小时， 故甲单独工作， 剩余， 故， 解得． 答：则乙队每小时至少绿化平方米． 22．(1) (2) 【分析】本题主要考查了提取公因式法和公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． （1）原式提取公因式后，再运用平方差公式进行因式分解即可； （2）运用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）， 解：原式， ； （2）， 解：原式， ． 23．(1)小磊 (2) (3) 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是理解题意，掌握题目提供的方法． （1）根据题目中提供的信息进行解答即可； （2）根据老师提供的方法进行解答即可； （3）根据题意列出竖式，得出，，根据多项式能因式分解成与另一个完全平方式，得出，求出m、n的值． 【详解】（1）解：根据题意可得：， ， ∴该整式一定有一个因式，没有因式是， ∴小磊同学的想法是对的； （2）解：根据题意得： ∴将多项式进行因式分解为： ． （3）解：根据题意得： ∴，， ∵多项式能因式分解成与另一个完全平方式， ∴是一个完全平方式， ∴， ∴，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$