重庆市第八中学2024-2025学年九年级上学期数学周测（11.17）

重庆市第八中学2024-2025学年九年级上学期数学周测（11.17） 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．（4分）的相反数是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C． D．2 2．（4分）下列四个微信表情图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（4分）若反比例函数（k≠0）的图象经过点A（﹣3，﹣3），则k的值为（　　） A．﹣9 B．9 C．﹣6 D．1 4．（4分）如图，将平行四边形ABCD的一边BC延长至点E，若∠A＝115°，则∠1＝（　　） A．115° B．65° C．55° D．45° 5．（4分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知OA：OD＝1：2，△ABC的面积为3，则△DEF的面积为（　　） A．12 B．9 C．8 D．6 6．（4分）估计的值应在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 7．（4分）如图，下列图形均是由完全相同的小圆点按照一定规律所组成的，第①个图形中一共有5个小圆点，第②个图形中一共有8个小圆点，第③个图形中一共有11个小圆点，⋯，按此规律排列下去，第⑩个图形中小圆点的个数是（　　） A．30 B．31 C．32 D．33 8．（4分）如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝50°，则∠APB等于（　　） A．50° B．120° C．100° D．80° 9．（4分）已知四边形ABCD为正方形，点E是边AD上一点，连接BE，过点C作CF⊥BE于点F，连接AF．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 10．（4分）定义：如果代数式A＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与B＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数），满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则称这两个代数式A与B互为“同心式”，下列四个结论： （1）代数式：﹣2x2+3x的“同心式”为2x2﹣3x； （2）若8mx2+nx﹣5与6nx2+4x+5 互为“同心式”，则（m+n）2023的值为1； （3）当b1＝b2＝0 时，无论x取何值，“同心式”A与B的值始终互为相反数； （4）若A、B互为“同心式”，A﹣2B＝0有两个相等的实数根，则＝36a1c1； 其中，正确的结论有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 11．（4分）计算：＝　 　． 12．（4分）已知2a﹣3b+5＝0，则﹣2a+3b+2024＝　 　． 13．（4分）重庆园博园内桃花盛开，一片春意盎然．周末甲、乙两名同学去游园，园内有A、B、C三条不同的赏花路线，两名同学每人随机选择一条路线，那么他们选择相同路线的概率是 　 　． 14．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有实数根，则m的取值范围为 　 　． 15．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝6，∠BAD＝45°，点E是AD的中点，在AB上取一点F，以点F为圆心，FB的长为半径作圆，该圆与DC边恰好相切于点D，连接BE，则图中阴影部分面积为 　 　．（结果保留π） 16．（4分）若关于x的一元一次不等式组有解且至多有五个整数解，且使关于y的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 　 　． 17．（4分）如图，以AB为直径的⊙O与AE相切于点A，BE与⊙O交于点D，过D作CD⊥AB于点H，连接CE交AB于点F、交⊙O于点G．若BH＝2，AH＝8，则CD＝ 　 　，AG＝ 　 　． 18．（4分）一个四位正整数M，如果千位数字与十位数字之和的两倍等于百位数字与个位数字之和，则称M为“共进退数”，并规定F（M）等于M的前两位数所组成的数字与后两位数所组成的数字之和，G（M）等于M的前两位数所组成的数字与后两位数所组成的数字之差，如果F（M）＝60，那么M各数位上的数字之和为 　 　； 有一个四位正整数N＝1101+1000x+10y+z（0≤x≤4，0≤y≤9，0≤z≤8，且为整数）是一个“共进退数”，且F（N）是一个平方数，是一个整数，则满足条件的数N是 　 　． 三．解答题（共8小题，满分78分） 19．（8分）计算： （1）（x﹣y）2﹣y（y﹣2x）； （2）÷（1﹣）． 20．（10分）学习了菱形后，小美进行了拓展性研究，她发现：菱形对角线将菱形分成四个三角形，在其中一组相对三角形中，作一组对应锐角的角平分线与所对的对角线相交，那么以这两个交点为端点的线段被菱形另一条对角线垂直平分．她的解决思路是：通过证明对应三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，作∠CBO的角平分线交OA于点F（只保留作图痕迹） 已知：如图，四边形ABCD是菱形，AC、BD是对角线，交于点O，DE平分∠ADO，BF平分∠CBO．求证：OF＝OE，BD⊥EF． ∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD，OB＝OD，BC∥AD∴∠CBO＝∠ADO． ∵BF平分∠CBO ∴　 　＝∠CBO． ∵DE平分∠ADO ∴∠EDO＝∠ADO． ∴　 　． 在△BFO与△DEO中 ∴△BFO≌△DEO（ASA） ∴　 　． 又∵BD⊥AC ∴BD⊥EF． 小美再进一步研究发现：分别连接这两个交点与菱形另一对角线的两个端点所形成的四边形是 　 　． 21．（10分）为了解A、B两款饮水机的用户体验情况，小南随机调查了购买A、B两款饮水机的各10名用户，记录下他们的体验评分（单位：分），并对数据进行整理、描述和分析（体验评分用x表示，共分为三个等级：差评0≤x＜4，中评4≤x＜9，好评9≤x≤10），下面给出了部分信息． 购买A款饮水机的10名用户体验评分：2，6，6，7，8，8，9，9，9，10． 购买B款饮水机的10名用户体验评分中“中评”等级包含的所有数据为：5，7，7，7，8，8． 购买这两款饮水机的被调查用户体验评分统计表 类别 平均数 众数 中位数 方差 A 7.4 a 8 4.84 B 7.4 7 b 4.24 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的a＝　 　，b＝　 　，m＝　 　； （2）根据以上数据，你认为哪款饮水机用户体验情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若购买A款饮水机的用户有2000名，购买B款饮水机的用户有1500名，估计对A、B两款饮水机好评的用户共有多少名？ 22．（10分）列方程解应用题： 人们提倡“节能减排，低碳出行”，随着新能源电动汽车的迅猛发展，在很多高速公路服务区里既有加油站同时又配有充电桩． （1）在某个服务区，新能源电动汽车的充电桩比燃油汽车的加油枪多4个，爱观察的小萌发现：在1个小时内，平均每个充电桩可以为2辆电动车充电，平均一个加油枪可以为7辆燃油车加油，这样在这1小时内共为80辆车提供了充电、加油的服务．那么这个服务区的充电桩和加油枪分别有多少个？ （2）一般情况下，在高速公路上行驶时燃油汽车平均每公里的汽油费是新能源电动汽车平均每公里电费的倍，两位车主在服务区分别花250元给燃油车加油、花60元给新能源电动车充电，最后燃油汽车可行驶的里程比新能源电动汽车可行驶的里程多100公里，那么新能源汽车在高速路上行驶时平均每公里费用为多少元？ 23．（10分）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．E在线段AC上，且CE＝3．动点P从点E出发，以每秒2.5个单位长度的速度沿折线E→A→B运动．动点Q从点E出发，以每秒1.5个单位长度的速度沿折线E→C→B运动，点P、Q同时从点E出发，当点P运动到点B时，两点同时停止运动．设点P的运动时间为x秒，点P、Q的距离为y． （1）请直接写出y1关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围； （2）若函数y2＝（x＞0），请在图2的平面直角坐标系中分别画出函数y1、y2的图象，并根据图象写出函数y1的一条性质； （3）根据函数图象，直接估计当y1＝y2时x的取值．（结果保留1位小数，误差不超过0.2） 24．（10分）如图，一货船从港口A出发，以40海里/小时的速度向正北方向航行，经过1小时到达B处，测得小岛C在B的东北方向，且在点A的北偏东30°方向．（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80） （1）求BC的距离（结果保留整数）； （2）由于货船在B处突发故障，于是立即以30海里/小时的速度沿BC赶往小岛C维修，同时向维修站D发出信号，在D处的维修船接到通知后立即准备维修材料，之后以50海里/小时的速度沿DC前往小岛C，已知D在A的正东方向上，C在D的北偏西37°方向，通知时间和维修船准备材料时间一共6分钟，请计算说明维修船能否在货船之前到达小岛C． 25．（10分）已知抛物线y＝ax2+2x+6与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧，点B在原点O右侧），与y轴交于点C，且OB＝OC． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点P是直线BC上方抛物线上一点，过点P作PQ平行于y轴交BC于点Q，点D是PQ的中点，过点D作BC的平行线交y轴于点F，过点C作CH平行于x轴交DF于点H，点R在直线BC上，当PQ+2CH取最大值时，求此时点P的坐标及AR﹣PR的最大值． （3）如图2，点E坐标为E（0，﹣2），将原抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，得到新抛物线y1，在抛物线y1是否存在点M，满足∠BEM＝∠ACO，若存在，直接写出点M的坐标并写出其中一个点的求解过程，若不存在请说明理由． 26．（10分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，△ADE为等边三角形，且点C，D，E共线， （1）如图1，当点C为DE中点时，AD与BC交于点F，AE＝4，求BE的长； （2）如图2，当点C在DE的延长线上时，连接BE交AD于点G，请用等式表示AG与CD的数量关系，并证明； （3）如图3，当点C在DE上，∠CAD＝45°，点M、N分别是线段AC、射线DA上的点，满足，连接MN，将MN绕点M逆时针旋转90°得MP，连接DP、CP，请直接写出当△CDP为等腰三角形时∠DCP的度数． 重庆市第八中学2024-2025学年九年级上学期数学周测（11.17） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．（4分）的相反数是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C． D．2 【解答】解：的相反数是． 故选：C． 2．（4分）下列四个微信表情图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．是轴对称图形，故此选项符合题意； D．不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：C． 3．（4分）若反比例函数（k≠0）的图象经过点A（﹣3，﹣3），则k的值为（　　） A．﹣9 B．9 C．﹣6 D．1 【解答】解：∵反比例函数（k≠0）的图象经过点A（﹣3，﹣3）， ∴k＝﹣3×（﹣3）＝9， 故选：B． 4．（4分）如图，将平行四边形ABCD的一边BC延长至点E，若∠A＝115°，则∠1＝（　　） A．115° B．65° C．55° D．45° 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝115°， ∴∠BCD＝∠A＝115°， ∴∠1＝180°﹣∠BCD＝65°． 故选：B． 5．（4分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知OA：OD＝1：2，△ABC的面积为3，则△DEF的面积为（　　） A．12 B．9 C．8 D．6 【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知OA：OD＝1：2， ∴， 又△ABC的面积为3， ∴△DEF的面积为3×4＝12， 故选：A． 6．（4分）估计的值应在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【解答】解：原式＝ ＝ ＝， ∵，即， ∴， ， ∴， ∴应该在3和4之间，即的值应在3和4之间， 故选：C． 7．（4分）如图，下列图形均是由完全相同的小圆点按照一定规律所组成的，第①个图形中一共有5个小圆点，第②个图形中一共有8个小圆点，第③个图形中一共有11个小圆点，⋯，按此规律排列下去，第⑩个图形中小圆点的个数是（　　） A．30 B．31 C．32 D．33 【解答】解：第①个图形中一共有5＝5+3×0个小圆点， 第②个图形中一共有8＝5+3×1个小圆点， 第③个图形中一共有11＝5+3×2个小圆点， 第④个图形中一共有14＝5+3×3个小圆点， ⋯， ∴第ⓝ个图形一共有5+3（n﹣1）＝（3n+2）个小圆点， ∴当n＝10时，第⑩个图形中小圆点的个数是3×10+2＝32； 故选：C． 8．（4分）如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝50°，则∠APB等于（　　） A．50° B．120° C．100° D．80° 【解答】解：连接OA、OB，如图， ∵PA、PB是⊙O切线， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°， ∴∠AOB+∠P＝180°， ∵∠AOB＝2∠ACB＝2×50°＝100°， ∴∠P＝180°﹣100°＝80°． 故选：D． 9．（4分）已知四边形ABCD为正方形，点E是边AD上一点，连接BE，过点C作CF⊥BE于点F，连接AF．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：在CF上截取CH＝BF，如图， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°， ∴∠ABF+∠FBC＝90°， ∵CF⊥BE， ∴∠BFC＝90°， ∴∠FBC+∠BCF＝90°， ∴∠ABF＝∠BCF， 又∵AB＝BC，CH＝BF， ∴△BCH≌△ABF（SAS）， ∴AF＝BH， ∵， ∴， 设BF＝1，则， 在Rt△BFH中，， 又∵CH＝BF＝1， ∴CF＝CH+FH＝2， 在Rt△BFC中，， ∴， ∵∠ABF＝∠BCF，∠EAB＝∠BFC＝90°， ∴△EAB∽△BFC， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 10．（4分）定义：如果代数式A＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与B＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数），满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则称这两个代数式A与B互为“同心式”，下列四个结论： （1）代数式：﹣2x2+3x的“同心式”为2x2﹣3x； （2）若8mx2+nx﹣5与6nx2+4x+5 互为“同心式”，则（m+n）2023的值为1； （3）当b1＝b2＝0 时，无论x取何值，“同心式”A与B的值始终互为相反数； （4）若A、B互为“同心式”，A﹣2B＝0有两个相等的实数根，则＝36a1c1； 其中，正确的结论有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：（1）代数式：﹣2x2+3x的“同心式”为2x2+3x，故（1）不正确； （2）若8mx2+nx﹣5与6nx2+4x+5互为“同心式”，则8m+6n＝0，n＝4， ∴m＝﹣3， ∴（m+n）2023＝1，故（2）正确； （3）当b1＝b2＝0时，A＝a1x2+c1，B＝a2x2+c2， ∵a1+a2＝0，c1+c2＝0， ∴a1＝﹣a2，c1＝﹣c2， ∴A＝﹣B， ∴无论x取何值，“同心式”A与B的值始终互为相反数，故（3）正确； （4）若A、B互为“同心式”， ∴A﹣2B＝（a1x2+b1x+c1）﹣2（a2x2+b2x+c2） ＝（a1﹣2a2）x2+（b1﹣2b2）x+（c1﹣2c2） ＝3a1x2﹣b1x+3c1＝0， ∵有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣b1）2﹣4•3a1•3c1＝0， ∴＝36a1c1，故（4）正确． 故选：C． 二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 11．（4分）计算：＝　2　． 【解答】解：原式＝2×+1 ＝1+1 ＝2， 故答案为：2． 12．（4分）已知2a﹣3b+5＝0，则﹣2a+3b+2024＝　2029　． 【解答】解：∵2a﹣3b+5＝0， ∴﹣2a+3b＝5， ∴﹣2a+3b+2024＝5+2024＝2029， 故答案为：2029． 13．（4分）重庆园博园内桃花盛开，一片春意盎然．周末甲、乙两名同学去游园，园内有A、B、C三条不同的赏花路线，两名同学每人随机选择一条路线，那么他们选择相同路线的概率是 　　． 【解答】解：列表如下： A B C A （A，A） （A，B） （A，C） B （B，A） （B，B） （B，C） C （C，A） （C，B） （C，C） 由表格知，共有9种等可能结果，其中他们选择相同路线的有3种结果， 所以他们选择相同路线的概率为＝， 故答案为：． 14．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有实数根，则m的取值范围为 　m≥﹣1　． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）＝4+4m≥0， ∴m≥﹣1， 故答案为：m≥﹣1． 15．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝6，∠BAD＝45°，点E是AD的中点，在AB上取一点F，以点F为圆心，FB的长为半径作圆，该圆与DC边恰好相切于点D，连接BE，则图中阴影部分面积为 　π　．（结果保留π） 【解答】解：连接DF，BD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC， ∴∠BAD+∠ADC＝180°， ∵∠BAD＝45°， ∴∠ADC＝135°， ∵以点F为圆心，FB的长为半径作圆，该圆与DC边恰好相切于点D， ∴FD⊥DC， ∴∠FDC＝90°， ∴∠ADF＝∠ADC﹣∠FDC＝135°﹣90°＝45°， ∴∠BAD＝∠ADF， ∴AF＝DF， 又∵DF＝BF， ∴AF＝BF＝DF＝AD×＝3， ∴S△AFD＝， ∵E为AD的中点， ∴S△ABE＝， ∴S△ABE＝S△AFD， ∴S阴影＝S△AFD+S扇形FDB﹣S△ABE＝S扇形FDB＝＝π． 故答案为：π． 16．（4分）若关于x的一元一次不等式组有解且至多有五个整数解，且使关于y的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 　17　． 【解答】解：， 解不等式①得：x≥1， 解不等式②得：x＜a﹣4， ∵不等式组有解且至多有五个整数解， ∴1＜a﹣4≤6， ∴5＜a≤10； ， 去分母得：ay﹣16＝6（y﹣2）， ∴（a﹣6）y＝4， ∵分式方程有整数解， ∴a﹣6≠0，即a≠6， ∴是整数， ∴a﹣6＝±4或a﹣6＝﹣2或a﹣6＝±1， 解得a＝10或a＝2或a＝4或a＝7或a＝5， ∴符合题意的a的值有10、7， ∴所有满足条件的整数a的值之和是10+7＝17， 故答案为：17． 17．（4分）如图，以AB为直径的⊙O与AE相切于点A，BE与⊙O交于点D，过D作CD⊥AB于点H，连接CE交AB于点F、交⊙O于点G．若BH＝2，AH＝8，则CD＝ 　8　，AG＝ 　　． 【解答】解：连接OD，BC，如图所示： ∵BH＝2，AH＝8， ∴AB＝BH+AH＝10， ∵AB为⊙O的直径， ∴OA＝OB＝OD＝5， ∴OH＝OB﹣BH＝3， ∵CD⊥AB， ∴CH＝DH，即CD＝2DH， 在Rt△OOHD中，OH＝3，OD＝5， 由勾股定理得：DH＝＝4， ∴CD＝2DH＝8； 在Rt△BHC中，CH＝DH＝4，BH＝2， 由勾股定理得：BC＝＝， ∵以AB为直径的⊙O与AE相切于点A， ∴AE∥AB， 又∵CD⊥AB， ∴CD∥AE， ∴△BDH∽△BEA， ∴BH：AB＝DH：EA， 即2：10＝4：EA， ∴AE＝20， 设HF＝a，则AF＝AH﹣FH＝8﹣a， ∵CD∥AE， ∴△CHF∽△EAF， ∴CH：EA＝HF：AF， 即4：20＝a：（8﹣a）， 解得：a＝， ∴HF＝a＝， ∴BF＝BH+HF＝，AF＝8﹣a＝， 在Rt△AHF中，由勾股定理得：CF＝＝＝， ∵∠CBA＝CGA，∠AFB＝∠AFG， ∴△AFB∽△AFG， ∴CF：AF＝BC：AG， ∴CF•AG＝AF•BC， 即， ∴AG＝． 故答案为：8；． 18．（4分）一个四位正整数M，如果千位数字与十位数字之和的两倍等于百位数字与个位数字之和，则称M为“共进退数”，并规定F（M）等于M的前两位数所组成的数字与后两位数所组成的数字之和，G（M）等于M的前两位数所组成的数字与后两位数所组成的数字之差，如果F（M）＝60，那么M各数位上的数字之和为 　15　； 有一个四位正整数N＝1101+1000x+10y+z（0≤x≤4，0≤y≤9，0≤z≤8，且为整数）是一个“共进退数”，且F（N）是一个平方数，是一个整数，则满足条件的数N是 　3105　． 【解答】解：设”共进退数“M为， 根据题意得：2（a+c）＝b+d，F（M）＝10a+b+10c+d，G（M）＝10a+b﹣10c﹣d； ∵F（M）＝10（a+c）+（b+d）＝12（a+c）＝60， ∴a+c＝5，b+d＝10， 则a+b+c+d＝15； N＝1101+1000x+10y+z＝1000（x+1）+100+10y+（z+1）， 根据题意得：2（x+1+y）＝1+z+1，化简得到：z＝2x+2y； F（N）＝10（x+1）+1+10y+z+1＝6z+12， ∵0≤z≤8， ∴12≤F（N）≤60， 因F（N）是一个平方数，则F（N）＝36，z＝4，x+y＝2； G（N）＝10（x+1）+1﹣10y﹣z﹣1， 将y＝2﹣x代入该式，化简得：G（N）＝20x﹣14， 因是一个整数，所以G（N）＝26，x＝2，y＝0； 因此，N＝3105． 故答案为：15；3105． 三．解答题（共8小题，满分78分） 19．（8分）计算： （1）（x﹣y）2﹣y（y﹣2x）； （2）÷（1﹣）． 【解答】解：（1）原式＝x2﹣2xy+y2﹣y2+2xy ＝x2； （2）原式＝÷ ＝ ＝． 20．（10分）学习了菱形后，小美进行了拓展性研究，她发现：菱形对角线将菱形分成四个三角形，在其中一组相对三角形中，作一组对应锐角的角平分线与所对的对角线相交，那么以这两个交点为端点的线段被菱形另一条对角线垂直平分．她的解决思路是：通过证明对应三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，作∠CBO的角平分线交OA于点F（只保留作图痕迹） 已知：如图，四边形ABCD是菱形，AC、BD是对角线，交于点O，DE平分∠ADO，BF平分∠CBO．求证：OF＝OE，BD⊥EF． ∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD，OB＝OD，BC∥AD∴∠CBO＝∠ADO． ∵BF平分∠CBO ∴　∠OBF　＝∠CBO． ∵DE平分∠ADO ∴∠EDO＝∠ADO． ∴　∠OBF＝∠EDO　． 在△BFO与△DEO中 ∴△BFO≌△DEO（ASA） ∴　OE＝OF　． 又∵BD⊥AC ∴BD⊥EF． 小美再进一步研究发现：分别连接这两个交点与菱形另一对角线的两个端点所形成的四边形是 　菱形　． 【解答】解：如图，BF即为所求， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OB＝OD，BC∥AD，AO＝CO， ∴∠CBO＝∠ADO． ∵BF平分∠CBO ∴． ∵DE平分∠ADO ∴． ∴∠OBF＝∠EDO． 在△BFO与△DEO中， ， ∴△BFO≌△DEO（ASA）， ∴OE＝OF． 又∵BD⊥AC， ∴BD⊥EF． 连接BE，DF， ∵OE＝OF，AO＝CO， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∵∴BD⊥EF， ∴平行四边形BEDF是菱形， 故答案为：∠OBF，∠OBF＝∠EDO，OE＝OF，菱形． 21．（10分）为了解A、B两款饮水机的用户体验情况，小南随机调查了购买A、B两款饮水机的各10名用户，记录下他们的体验评分（单位：分），并对数据进行整理、描述和分析（体验评分用x表示，共分为三个等级：差评0≤x＜4，中评4≤x＜9，好评9≤x≤10），下面给出了部分信息． 购买A款饮水机的10名用户体验评分：2，6，6，7，8，8，9，9，9，10． 购买B款饮水机的10名用户体验评分中“中评”等级包含的所有数据为：5，7，7，7，8，8． 购买这两款饮水机的被调查用户体验评分统计表 类别 平均数 众数 中位数 方差 A 7.4 a 8 4.84 B 7.4 7 b 4.24 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的a＝　9　，b＝　7.5　，m＝　30　； （2）根据以上数据，你认为哪款饮水机用户体验情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若购买A款饮水机的用户有2000名，购买B款饮水机的用户有1500名，估计对A、B两款饮水机好评的用户共有多少名？ 【解答】解：（1）A款饮水机的10名用户体验评分的众数a＝9， B款饮水机的10名用户体验评分中“差评”等级人数为10×10%＝1（人）， 所以评分数据的第5、6个数据分别为7、8， 所以其中位数b＝＝7.5， m%＝×100%＝30%，即m＝30， 故答案为：9、7.5、30； （2）A款饮水机用户体验情况更好， A款饮水机用户体验评分的中位数大于B款饮水机， 所以A款饮水机用户体验评分得高分人数多于B款， 所以A款饮水机用户体验情况更好（答案不唯一）； （3）2000×+1500×＝1050（名）， 答：估计对A、B两款饮水机好评的用户共有1050名． 22．（10分）列方程解应用题： 人们提倡“节能减排，低碳出行”，随着新能源电动汽车的迅猛发展，在很多高速公路服务区里既有加油站同时又配有充电桩． （1）在某个服务区，新能源电动汽车的充电桩比燃油汽车的加油枪多4个，爱观察的小萌发现：在1个小时内，平均每个充电桩可以为2辆电动车充电，平均一个加油枪可以为7辆燃油车加油，这样在这1小时内共为80辆车提供了充电、加油的服务．那么这个服务区的充电桩和加油枪分别有多少个？ （2）一般情况下，在高速公路上行驶时燃油汽车平均每公里的汽油费是新能源电动汽车平均每公里电费的倍，两位车主在服务区分别花250元给燃油车加油、花60元给新能源电动车充电，最后燃油汽车可行驶的里程比新能源电动汽车可行驶的里程多100公里，那么新能源汽车在高速路上行驶时平均每公里费用为多少元？ 【解答】解：（1）设这个服务区的充电桩有x个，则加油枪有（x﹣4）个， 根据题意得：2x+7（x﹣4）＝80， 解得：x＝12， ∴x﹣4＝12﹣4＝8（个）． 答：这个服务区的充电桩有12个，加油枪有8个； （2）设新能源汽车在高速路上行驶时平均每公里费用为y元，则燃油汽车在高速路上行驶时平均每公里费用为y元， 根据题意得：﹣＝100， 解得：y＝0.15， 经检验，y＝0.15是所列方程的解，且符合题意． 答：新能源汽车在高速路上行驶时平均每公里费用为0.15元． 23．（10分）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．E在线段AC上，且CE＝3．动点P从点E出发，以每秒2.5个单位长度的速度沿折线E→A→B运动．动点Q从点E出发，以每秒1.5个单位长度的速度沿折线E→C→B运动，点P、Q同时从点E出发，当点P运动到点B时，两点同时停止运动．设点P的运动时间为x秒，点P、Q的距离为y． （1）请直接写出y1关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围； （2）若函数y2＝（x＞0），请在图2的平面直角坐标系中分别画出函数y1、y2的图象，并根据图象写出函数y1的一条性质； （3）根据函数图象，直接估计当y1＝y2时x的取值．（结果保留1位小数，误差不超过0.2） 【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6． ∴AB＝＝10， 当0＜x≤2时， y＝2.5x+1.5x＝4x， 当2＜x≤6时， BQ＝9﹣1.5x， ，即，整理得：y＝﹣2x+12． 综上分析，y1关于x的函数表达式为； （2）作图如下： 一次函数性质：当0≤x≤2时，y随x增大而增大，当2＜x≤6时，y随x的增大而减小． （3）由图象可知，当y1＝y2时，x≈1.4或x≈5.2． 24．（10分）如图，一货船从港口A出发，以40海里/小时的速度向正北方向航行，经过1小时到达B处，测得小岛C在B的东北方向，且在点A的北偏东30°方向．（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80） （1）求BC的距离（结果保留整数）； （2）由于货船在B处突发故障，于是立即以30海里/小时的速度沿BC赶往小岛C维修，同时向维修站D发出信号，在D处的维修船接到通知后立即准备维修材料，之后以50海里/小时的速度沿DC前往小岛C，已知D在A的正东方向上，C在D的北偏西37°方向，通知时间和维修船准备材料时间一共6分钟，请计算说明维修船能否在货船之前到达小岛C． 【解答】解：（1）过C作CM⊥AB交AB延长线于M， 由题意得，AB＝40×1＝40海里， 在Rt△BCM中，∠CBM＝45°， ∴MC＝MB， 设 MC＝MB＝x海里，则MA＝（x+40）海里， 在Rt△ACM中，， ∴， 解得， ∴海里， 在Rt△MBC中，MB2+MC2＝BC2， ∴海里； （2）∵海里， ∴海里， ∵AM∥CH， ∴∠1＝∠CAM＝30°， ∴， ∴海里， ∵CH∥DN，∠NDC＝37°， ∴∠2＝∠NDC＝37°， ∴， ∴海里， 货船从B到C用时：（小时）， ∵6分钟＝小时， ∴（小时）， ∴（海里）， ∵（海里）， ∴能在货船之前到达小岛C． 25．（10分）已知抛物线y＝ax2+2x+6与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧，点B在原点O右侧），与y轴交于点C，且OB＝OC． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点P是直线BC上方抛物线上一点，过点P作PQ平行于y轴交BC于点Q，点D是PQ的中点，过点D作BC的平行线交y轴于点F，过点C作CH平行于x轴交DF于点H，点R在直线BC上，当PQ+2CH取最大值时，求此时点P的坐标及AR﹣PR的最大值． （3）如图2，点E坐标为E（0，﹣2），将原抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，得到新抛物线y1，在抛物线y1是否存在点M，满足∠BEM＝∠ACO，若存在，直接写出点M的坐标并写出其中一个点的求解过程，若不存在请说明理由． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝6， ∴C（0，6）， ∴OC＝6， ∵OB＝OC， ∴OB＝6， ∴B（6，0）， 把B（6，0）代入y＝ax2+2x+6，得0＝36a+12+6， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）设直线BC的表达式为y＝kx+b， 则， 解得， ∴直线BC的表达式为y＝﹣x+6， 设，则Q（t，﹣t+6）， ∵点D是PQ的中点， ∴， ∴， ∵DF∥BC， 设直线DF的表达式为y＝﹣x+b′， ∴， ∴， ∴， 当y＝6时，， 解得 ∵CH∥x轴， ∴， ∴， ∴PQ+2CH＝2DQ+2CH， ＝ ＝﹣t2+6t ＝﹣（t﹣3）2+9， ∵点P是直线BC上方抛物线上一点， ∴0＜t＜6， ∴当t＝3时，PQ+2CH的最大值为9，此时； 作A点关于直线BC的对称点A'，连接A'P与直线BC的交点即为R点，连接BA'， ∴RA＝RA'， ∴RA﹣RP≤A'P， ∵OB＝CO＝6， ∴∠ABC＝45°， ∴BA'⊥x轴， ∵AB＝8， ∴A'（6，8）， ∴A'P＝， ∴RA﹣RP的最大值为； （3）存在点M，满足∠BEM＝∠ACO，理由如下： ， 对于，当y＝0时，， 解得x1＝﹣2，x2＝6， ∴A（﹣2，0）， ∴AO＝2， ∴， ∵抛物线沿射线CB方向平移个单位长度， ∴抛物线沿x轴正半轴平移2个单位长度，沿y轴负半轴平移2个单位长度， ∴平移后的抛物线表达式为， ∵E（0，﹣2）， ∴EO＝2， ∴， ∴， ∴∠ACO＝∠OBE， 当ME∥BO时，∠BEM＝∠OBE＝∠ACO， 当y＝﹣2时，，解得x1＝8，x2＝0， ∴M（8，﹣2）； 设BE的垂直平分线与x轴交于点G，连接GE，如图， ∴GB＝GE， ∴∠BEG＝∠OBE＝∠ACO 在Rt△OEG中，GE2＝OE2+OG2， ∴（6﹣OG）2＝22+OG2， 解得， ∴， 设直线EG表达式为y＝mx+n， 则， 解得， ∴直线EG表达式为， 联立方程组， 解得y＝﹣2或， ∴， 综上，M的坐标为（8，﹣2）或． 26．（10分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，△ADE为等边三角形，且点C，D，E共线， （1）如图1，当点C为DE中点时，AD与BC交于点F，AE＝4，求BE的长； （2）如图2，当点C在DE的延长线上时，连接BE交AD于点G，请用等式表示AG与CD的数量关系，并证明； （3）如图3，当点C在DE上，∠CAD＝45°，点M、N分别是线段AC、射线DA上的点，满足，连接MN，将MN绕点M逆时针旋转90°得MP，连接DP、CP，请直接写出当△CDP为等腰三角形时∠DCP的度数． 【解答】解：（1），△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，△ADE为等边三角形，且点C，D，E共线，点C为DE中点，如图，过点B作BH⊥ED延长线于点H， ∴∠CAE＝∠DAC＝30°，∠ACD＝90°，∠ADE＝60°，AE＝DE＝AD＝4， ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∠BAF＝∠BAC﹣∠CAD＝90°， ∴∠FCD＝∠ACD﹣∠ACB＝60°， ∴△CDF是等边三角形， ∴CF＝CD＝DF＝2，∠CFD＝60°， ∴∠AFB＝60°，AF＝AD﹣FD＝2， ∴∠ABF＝30°， ∴BF＝2AF＝4， ∴BC＝BF+CF＝6， ∵∠FCD＝60°，BH⊥ED， ∴∠CBH＝30°， ∴， ∴EH＝CE+CH＝2+3＝5，， ∴； （2），理由如下： 如图2，在BA延长线上截取AK＝AC，连接CK，EK， ∵∠BAC＝120°， ∴∠CAK＝180°﹣∠BAC＝60°， ∵△ADE为等边三角形， ∴∠DAE＝∠ADE＝60°，AE＝DE＝AD， ∴∠CAK＝∠DAE， ∴∠CAK+∠CAE＝∠DAE+∠CAE， 即∠DAC＝∠EAK， 在△DAC和△EAK中， ， ∴△DAC≌△EAK（SAS）， ∴CD＝EK，∠ADC＝∠AEK＝60°， ∴∠AEK＝∠DAE＝60°， ∴AG∥EK， ∵AB＝AC＝AK， ∴BG＝EG， ∴， ∴； （3）当点C在DE上，∠CAD＝45°，点M、N分别是线段AC、射线DA上的点，满足，将MN绕点M逆时针旋转90°得MP，如图3，过点M作MQ⊥AM交AD于点Q，连接PQ， ∴∠AQM＝∠QAM＝45°， ∴AM＝MQ，， ∵， ∴AQ＝DN， 由旋转得MN＝MP，∠PMN＝90°， ∴∠AMQ＝∠PMN＝90°， ∴∠AMQ+∠QMN＝∠PMN+∠QMN， 即∠AMN＝∠QMP， 在△AMN和△QMP中， ， ∴△AMN≌△QMP（SAS）， ∴AN＝QP，∠NAM＝∠PQM＝45°， ∴QP＝AN＝AQ+QN＝DN+QN＝DQ，∠AQP＝∠AQM+∠PQM＝90°， ∴∠PQD＝90°， ∴∠QDP＝∠QPD＝45°， ∴∠PDC＝∠ADE﹣∠QDP＝15°． ①当PD＝PC时，如图3： ∴∠DCP＝∠PDC＝15°； ②当PD＝CD时，如图4： ∴； ③当CP＝CD时，如图5： ∴∠DCP＝180°﹣2∠PDC＝150°； 综上，∠DCP的度数为15°或82.5°或150°． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$