第18讲 利用导数研究恒（能）成立问题课件-2025届高三数学一轮复习

高考数学一轮复习 第18讲 利用导数研究恒（能）成立问题 一般地,若对任意恒成立,则只需;若 对 任意恒成立,则只需.若存在,使得 成立,则只 需;若存在,使得成立,则只需 .由此构造 不等式,求解参数的取值范围. 对于分类讨论法，常见有两种情况：（1）先利用综合法,结合导函数的零点 之间的大小关系的决定条件,确定分类讨论的标准,分类后,判断不同区间函数的单 调性,得到最值,构造不等式求解;（2）直接通过导函数的式子,看出导函数值正负 的分类标准,通常导函数为二次函数或者一次函数. 考点分析 2 提示二：破解不等式求参问题,时常会通过不等式的同解变形,构造一个与背 景函数相关的函数,利用函数最值确定参数的取值范围.在构造函数或求最值的过 程中常用的放缩方法有函数放缩法、基本不等式放缩法、叠加不等式放缩法等. 提示一：求解参数范围时,一般会涉及分离参数,试题中很少碰到分离参数后 构造的新函数能直接求出最值点的情况,通常需要设出导函数的零点,难度较大. 3 探究点一 分离参数法求参数范围 例1-1 已知函数, . （1） 讨论 的单调性； ［思路点拨］（1）求出，分， 讨论即可； 解：由题意知的定义域为，， 当 时，，在上单调递减. 当时， ，所以当时，， 单调递增； 当时，，单调递减. 综上所述，当时， 在上单调递减； 当时，在上单调递增，在 上单调递减. 4 （2） 若对任意,恒成立，求实数 的取值范围. 解：若对任意,恒成立， 则 对任意 恒成立， 即对任意 恒成立. 令 ， 则 ， 令，则 ， ［思路点拨］（2）转化为对任意 恒成立，进而求函数 的最大值即可. 5 ，因为，所以， 所以在 上单调递减， 所以当时，，当时，， 所以当 时，，单调递增， 当时，， 单调递减， 所以，可得 . 例1-2 设函数,其中，若存在唯一的整数 ， 使得，则 的取值范围是( ) B A. B. C. D. ［思路点拨］ 构造函数， ,原问题转化为存在 唯一的整数，使得 ，结合导数及图象求解即可. [解析] 设， , 由题意知存在唯一的整数 ，使得 ， 7 令，可得，此时 单调递增， 令，可得，此时单调递减， 所以当时， 取得最小值 的图象恒过点，当时， ， 作出函数与 的图象，如图所示. 当时，存在无数个整数，使得，不合题意，所以 . 设过点的直线与的图象相切于点 ， 则切线方程为， 又点在切线上，所以 ，解得或. 8 当时，切线斜率为， 当 时，切线斜率为. 当时，， 所以要使存在唯一的整数 ，使得， 只需且. 由 ，可得，解得， 由，可得,解得 ， 所以，所以实数的取值范围为 .故选B. [总结反思] 1.分离参数法解决恒（能）成立问题的策略： （1）分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题. （2）恒成立 ; 恒成立 ; 能成立 ; 能成立 . 10 2.分离参数法通常有两个角度：全分离参数法和半分离参数法. 全分离参数是将含参表达式中的参数从表达式中完全分离出来，将所求参数的范 围问题转化为求函数的最值或值域问题. 半分离参数一般是将不等式变形为或 的形式，然后画 出图象，由图象的上下方关系得到不等式，从而求解. 11 变式题1 已知函数 的最大值为2. （1） 求 的值； 解：易知函数的定义域为，根据题意可得 ， 令，得 ， 当时，，在上单调递增， 当 时，，在 上单调递减， 所以，解得 . 12 （2） 若在上恒成立，求 的取值范围. 解：由（1）知， 因为，所以 可化为. 设，所以 ， 则在上恒成立，故在 上单调递减， 所以，故的取值范围是 . 13 变式题2 [2023·辽宁东北育才学校月考] 已知不等式 的解集中有且只有2个整数,则实数 的取值范围是_ ______________. [解析] 由 得, 设 ,则. 令 ，即 ，得, 即当时,函数单调递增; 令 ，即，得,即当时,函数单调递减. 当 时,，当 时, . 14 设，则 的图象过定点, 易知时不符合题意，故. 作出的图象与 的图象，如图所示. 由图可知，只需即 解得 ， 故实数的取值范围为 . 15 探究点二 分类讨论法求参数范围 例2 [2023·厦门一中模拟] 已知函数 . ［思路点拨］（1）求出，根据的分子构造新函数，判断 的单调性， 从而得出在和 上单调递减，需注意单调性在各个区间上分开描 述； （1） 若，，讨论函数 的单调性； 16 解：当时， ， . 令，则 ， 令，可得，令，可得， 在 上单调递增，在上单调递减， 当时，，故 ， 在和 上单调递减. 17 （2） 令，若存在，使得，求 的取值范围. 解：由题意知，， 函数的定义域为 ， . ［思路点拨］ （2）求出，分，，三种情况，当， 时，讨论在上的最小值，使，解出 的取值范围，当时，可得 ，最后取并集即可. 18 ①当时，，则当时，， 函数在 上单调递增， 若存在，使得，则只需，即 ， 即，又，故只需 ， 解得，此时 . ②当时，， 则当时，，函数在 上单调递减； 当时，，函数在 上单调递增. 若存在，使得，则只需 ， 19 而 ，不符合题意，舍去. ③当时， ，满足题意. 综上可得，的取值范围是 . 20 [总结反思] 在给出的含参数的恒成立或能成立的不等式中，如果参数不易分离，可以考虑分 类讨论法求参，通过讨论参数不同取值下函数的单调区间和函数的最值（或值 域），进而确定参数的范围.解决此类问题的关键是对参数合理分类,在参数的每 一段取值上判断是否满足题意. 21 变式题 [2023·阜阳模拟] 已知函数 . （1） 当时，讨论 的单调性； 解：当时，,的定义域为， , 则当时，， 当时， ， 所以在上单调递减，在 上单调递增. 22 （2） 当时，恒成立，求 的取值范围. 解， . 令 ， 则， . ①当，即时， 因为，所以存在 ，使得当时，， 所以在上单调递增，即在 上单调递增， 因为，所以在 上单调递增， 则当时， ，与题意矛盾，舍去. 23 ②当，即时，在 上恒成立， 只需证明在上恒成立即可， 即证 在上恒成立. 令 ，则， 所以在 上单调递减，所以， 所以，即 . 综上可得，的取值范围为 . 24 探究点三 双变量的恒（能）成立问题 例3 已知函数， 是自然对数的底数. （1） 当,时，若函数在区间上存在零点，求整数 的值； 解：当，时，， ， ，当时，，，故在 上单调递增， 同理在上单调递减， 又, ,， 且当时，， ［思路点拨］（1）求出函数的导数，判断函数 的单调性，结合函数零点 存在定理，求整数 的值即可； 25 当时，函数 的零点在内， 满足条件. 同理，当时，函数的零点在 内， 满足条件. 综上，或 . 26 （2） 若存在,,使得，求 的取值范围. 解： 由题意得，当 时， . . ①当时，由，可知，,, ； ②当时，由，可知，,, ； ③当时，在上单调递减，上单调递增， 当时，,, . ［思路点拨］（2）将存在性问题转化为 ，利用导数判断函数的单调性，并求函数的最值，代入不等式， 进而求解 的取值范围. 27 ，设 , （当且仅当时取等号）， 在上单调递增， 又 ， 当时，，即当时， ， ,， ， 即. 设，则 ， 在 上单调递增， 由得，即的取值范围是 . [总结反思] 常见的双变量不等式能成立问题（有解问题）与恒成立问题类型（其中 ， ）； （1），， （2），， （3），， （4），， 29 变式题 已知函数， . （1） 讨论 的单调性； 解：，. 当时， 恒成立，在上单调递减； 当时，由，得,故 在上单调递增， 由，得，故在 上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在 上单调递减，在 上单调递增. 30 （2） 当时，若对于任意的，总存在 ，使得 ，求 的取值范围. 解： 当时，由（1）知 . 当时，恒成立，故在 上单调递增， 所以在上的最小值 ， 由题意知，即 . 设，则， 所以 为增函数，又，所以 ， 即的取值范围是 . 31 提升习题 32 【备选理由】例1、例2通过分类讨论法，考查含参不等式恒成立求参问题,综合 考查导数的应用，转化思想及运算能力;例3考查双变量不等式的能成立问题,考查 转化思想,考查逻辑推理能力；例4考查不等式恒成立问题，考查导数的综合应用. 33 例1 ［配例2使用］ [2023·泰安一模] 已知函数 ， . （1） 若，求 的单调区间； 解：当时，，的定义域为 ， . 设，则 ， 令，解得 ， 当时，， 单调递减， 当时，， 单调递增， 所以，则在 上恒成立， 所以函数的单调递增区间为 ，无单调递减区间. 34 （2） 当时，恒成立，求 的取值范围. 解：当时，恒成立， 等价于在 上恒成立， 设 ， 则 ， 设 ， 则的图象是开口向上，对称轴为直线 的抛物线的一部分， 当时，，在上单调递增，且 ， 35 所以在上恒成立，即在上恒成立， 则函数 在 上单调递增， 又因为，所以在 上恒成立，满足题意. 当时，， ， 所以方程有两个相异实根， 设为，，且 ，则 ， 当时，，，故在 上单调递减， 又因为，所以当时， ， 所以在 上不恒成立，不满足题意. 综上，的取值范围为 . 例2 ［配例2使用］ 已知函数 . （1） 求函数 的极值点个数； 解：由 ， 可得 . 令，则 ， 函数单调递减，且当时，， 故函数在 上单调递增，在 上单调递减， 当 时，,， ， ， 37 当时， ， 由函数零点存在定理知，函数恰有一个零点，且 , 当时，，当时，， 函数 的极值点个数为1. （2） 当时，若不等式恒成立，求 的最大整数值. 解：由变形得 ， 整理得 . 令，,则， ， ， 若，则恒成立，即在区间 上单调递增， 由，得，解得，， 此时 的最大整数值为2. 39 若，则令，得， 令 ，得 ， 在区间上单调递减，在区间 上单调递增， 在区间上有最小值，且 ， 原问题转化为成立，求 的最大整数值. 令，,则， 当时， ， 单调递减， 当时，,单调递增， 在 处取得最大值，，， ， ，, ， 此时 的最大整数值为4.综上， 的最大整数值为4. 例3 ［配例3使用］ [2024·郑州三检] 已知函数 , . （1） 当时，求函数 的单调区间； 解：由题可知函数的定义域为 . 因为，所以 . 当时， . 所以当时，，函数在 上单调递减； 当时，，函数在 上单调递增. 所以的单调递增区间为,的单调递减区间为 . 41 （2） 若对任意的，都存在，使得 成立，求 实数 的取值范围. 解：因为，所以 ， 当时，，故函数在 上单调递增， 所以在上的最小值为 . 原问题等价于对任意的,恒成立，即 恒成立， 即 恒成立. 令,，则 , . 令，则，解得 . 42 当时，，所以函数在 上单调递增； 当时，，所以函数在 上单调递减. 所以，所以 ， 故实数的取值范围是 . 43 例4 ［补充使用］ [2024·常州模拟] 已知函数 , 其中 . （1） 讨论 的单调性； 解：由题意可知的定义域为 ， 且 ， 当时，恒成立，则在 上单调递减； 当时，令，得，令，得 ， 则在上单调递减，在 上单调递增. 综上所述，当时，在 上单调递减； 当时，在上单调递减，在 上单调递增. 44 （2） 设，若对任意的，不等式恒成立，求 的取 值范围. 解：当时，由（1）可知在上单调递减，在 上单调递增， 故的最小值为 . 因为对任意的，不等式 恒成立， 所以只需 . 设 ，则的定义域为， 且 恒成立，可知在 上单调递增. 45 因为，所以等价于， 可得 ，即 ，故的取值范围是 . 46 $$