导数与函数的极值、最值课件-2025届高三数学一轮复习

高考数学一轮复习 第17讲 导数与函数的极值、最值 1.借助函数的图象,了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件. 2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项 式函数的最大值、最小值. 3.体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系. 复习目标 2 ◆ 知识聚焦 ◆ 1.函数的极值 （1） 函数的极小值： 函数在点处的函数值比它在点 附近其他点处的函数值都 小，；而且在点附近的左侧____________，右侧____________.则 叫作函数的极小值点，叫作函数 的极小值. 3 （2） 函数的极大值： 函数在点处的函数值比它在点 附近其他点处的函数值都 大，；而且在点附近的左侧____________，右侧____________.则 叫作函数的极大值点，叫作函数 的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值. 4 2.函数的最值 （1）如果在区间上，的图象是一条连续不断的曲线，那么 必 有最大值与最小值. （2）若函数在上单调递增，则在 上的最小值为______，最大 值为______；若函数在上单调递减，则在 上的最大值为______， 最小值为______. 5 3.实际应用题 理解题意、建立函数模型，使用导数方法求解函数模型，根据求解结果回答实际 问题. 常用结论 利用导数研究不等式的关键是函数的单调性和最值,各类不等式与函数最值的关系 如下： 6 不等式类型 与最值的关系 ， ， ， ， ， ， ， ， ,, ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 7 不等式类型 与最值的关系 ， ， ， ， ， ， ， ， （注：上述的大于、小于分别改为不小于、不大于，相应与最值的关系对应的不 等号也改变） 续表 8 ◆ 对点演练 ◆ 题组一 常识题 1.［教材改编］ 函数 的极小值为_____. [解析] ，令，得或 . 当时，； 当时，； 当 时，. 故在处取得极小值 . 9 2.［教材改编］ 函数在区间 上的最大值是_______. [解析] ，令，得. 当时， ；当时，. 故函数在上单调递减，在 上单调递增， 所以在区间上的最大值是, . 10 3.［教材改编］ 将一段长为 的铁丝截成两段，一段弯成正方形，另一段 弯成圆.为了使正方形与圆的面积之和最小，则弯成圆的铁丝的长是_ _____ . [解析] 设弯成圆的铁丝的长为,则弯成正方形的铁丝的长为 , 记正方形与圆的面积之和为，则 ， .令，得 ， 当时，， 单调递减，当时，，单调递增， 故当时 取得最小值， 即当弯成圆的铁丝的长为 时，正方形与圆的面积之和最小. 11 题组二 常错题 ◆ 索引：混淆极值与极值点的概念;忽视连续函数在区间 上不一定存在最值; 混淆恒成立与能成立问题. 4.函数的极值点为 ________；函数 的极值点 __________（填“存在”或“不存在”）. 不存在 [解析] 因为， 所以当时，， 单调递增， 当时，，单调递减，所以是函数 的极小值点. 因为,即无变号零点, 所以函数 不存在极值点. 12 5.已知函数，则在上的最小值和最大值分别是_______； 在 上的最小值和最大值均_________（填“存在”或“不存在”）. 1，4 不存在 [解析] 易知在上单调递增， 故在上的最小值为 ，最大值为. 根据最值的定义,可得在 上的最小值和最大值均不存在. 13 6.对任意实数，若不等式恒成立，则实数 的取值范围是__________； 若存在实数，使不等式成立，则实数 的取值范围是____________. [解析] 对任意实数，不等式恒成立，则，即 . 存在实数，使不等式成立，则，即 . 14 探究点一 利用导数解决函数的极值问题 微点1 由图象判断函数极值 例1 设函数的导函数为，函数 的图 象如图所示，则( ) D A.的极大值为，极小值为 B.的极大值为，极小值为 C.的极大值为，极小值为 D.的极大值为，极小值为 15 ［思路点拨］ 由的图象可以得出 在各区间上的正负情况,从而可 得 在各区间上的单调性,进而可得极值. [解析] 当时，，， 单调递减； 同理可得，当时，，单调递增； 当时， ，单调递减. 的极大值是，极小值是 .故选D. 16 [总结反思] 可导函数在极值点处的导数一定为零,是否为极值点以及是极大值点还是极小值点 要看在极值点左、右两侧导数的符号. 17 微点2 已知函数求极值 例2（1） [2024·九省联考] 已知函数f(x)=ln x+x2+ax+2的图象在点(2,f(2))处的切 线与直线2x+3y=0垂直. ①求a; 解：f'(x)=+2x+a,则f'(2)=+a,又直线2x+3y=0的斜率为-, ∴·=-1,∴a=-3. 18 解：由(1)知f(x)=ln x+x2-3x+2, 则f'(x)=+2x-3==,令f'(x)=0,得x=或1, 当0<x<时,f'(x)>0,当<x<1时,f'(x)<0,当x>1时,f'(x)>0, ∴f(x)在上单调递增,在上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, ∴f(x)极大值=f=-ln 2+,f(x)极小值=f(1)=0. 故f(x)的单调递增区间为,(1,+∞),单调递减区间为; f(x)的极大值为-ln 2+,极小值为0. ②求f(x)的单调区间和极值. 19 （2） 已知函数，讨论函数 的极值点个数. ［思路点拨］（2）根据函数极值点的定义，结合一元二次方程根的判别式分类 讨论进行求解即可. 解，，令, 关于 的方程的判别式 . ①当，即时，，在上单调递增， 无极值点. ②当，即时，函数有两个零点， . 当时，，， 当时，， 单调递减， 当时，，单调递增， 有一个极值点； 20 当时，，， 当时，， 单调递增， 当时，，单调递减， 当 时，，单调递增， 有两个极值点. 综上，当时，无极值点； 当时，有两个极值点； 当 时， 有一个极值点. [总结反思] 求函数极值的一般步骤:①先求函数的定义域,再求函数 的导函数;②求 的根;③判断在的根的左、右两侧 的符号,确定极值点;④求 出具体极值. 22 微点3 已知极值求参数 例3（1） 函数在处取得极值10，则 _____. ［思路点拨］（1）由在处取得极值10得解得 或 进行检验即可求解. [解析] 由函数，可得 ， 因为在处取得极值10，所以 23 解得 或 经检验知，当,时， ， 此时函数为增函数，无极值点，不符合题意，舍去； 当, 时，， 当时，， 单调递增， 当时，，单调递减， 当 时，，单调递增， 故当时，函数 取得极小值，符合题意.所以 . 24 （2） 已知函数有两个极值点，则实数 的取值范围是 _ __________. ［思路点拨］（2）将函数有两个极值点转化为 有两个不同的实数 根，令，则问题等价于函数与 的图象有两个不同的交 点，数形结合求得 的取值范围即可. [解析] 函数，则 ， 因为函数有两个极值点，所以 有两个不同的实数根， 即关于的方程有两个不同的实数根. 25 令 ，则函数与的图象有两个不同的交点. 因为 ，所以当时，，单调递增， 当时，， 单调递减，所以当时，取得最大值. 作出函数 的图象如图所示，由图可知，，解得， 所以实数的取值范围是 . 26 [总结反思] 根据函数的极值情况求参数的两个要领： ①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求 解. ②验证:求解后验证根的合理性. 27 1.【微点1】已知函数，其导函数 的图象如图所 示，则( ) C A. 有2个极值点 B.在 处取得极小值 C. 有极大值，没有极小值 D.在 上单调递减 [解析] 由题图得，在上单调递增， 在 上单调递减， 有一个极大值，没有极小值，故选C. 28 2.【微点3】（多选题）[2023· 新课标Ⅱ卷] 若函数 既有极大值也有极小值，则( ) BCD A. B. C. D. [解析] 函数的定义域为， ， 由函数既有极大值也有极小值，得方程在 上有两个不等实根. 令，则在 上有两个不等实根， 故所以,,，故选 . 29 3.【微点2、微点3】若是函数的极值点，则 的 极小值为_____. [解析] 由，得 ， 因为是函数 的极值点， 所以，即 ， 解得.可得， 令 ，得或，当时，，函数单调递增， 当 时，，函数单调递减， 当时，，函数 单调递增， 所以当时，函数取得极小值 . 30 4.【微点3】已知函数的极小值小于0，则实数 的取值范围为 _ _________. [解析] 由题意得,, 当时，，函数 在上单调递增，没有极值， 不符合题意，故.当 时，，函数单调递增， 当时，，函数 单调递减， 故当时，函数取得极小值，所以 ， 解得，所以.故实数的取值范围为 . 31 探究点二 利用导数解决函数的最值问题 例4 已知函数, . （1） 若函数在上的最小值是，求 的值； ［思路点拨］（1）求导后，分，， 讨论求得最小值，从而 可求得的值； 解：,. 若，则在上恒成立，所以 在上单调递增， 所以在上的最小值为 ，不满足题意； 32 若，则当时，令，解得， 令 ，解得 ， 所以函数在上单调递减，在 上单调递增， 所以在上的最小值为，解得 ，满足题意； 若，则在 上恒成立， 所以在上单调递减，所以在上的最小值为 ， 解得 ，不满足题意. 综上所述， . 33 （2） 讨论在 上的最大值. 解：由（1）可知若，则在上单调递增， 所以在 上的最大值为； 若，则在上单调递减，在 上单调递增， 当，即时，在上的最大值为 , 当，即时，在上的最大值为； 若 ，则在上单调递减，所以在上的最大值为 . 综上，当时，在上的最大值为; 当时， 在上的最大值为 . ［思路点拨］（2）分，，，讨论求得 在 上的最大值. 34 [总结反思] （1）连续函数在闭区间上的最值在端点处或区间内的极值点处取得,上述值中最 小（大）的即为最小（大）值.如果连续函数在一个区间上（不论区间的类型）有 唯一的极值点,则该点也是最值点.（2）由函数的最值确定参数的值（或范围）,一 般是利用最值或最值点列出含参数的方程（或不等式）,解方程（或不等式）即可. （3）注意把不等式恒成立问题转化为函数的最值问题. 35 变式题（1） [2023·北京西城区二模] 已知函数 ，则 在区间 上的最大值为___，最小值为__________. 0 [解析] 函数， ， 当时，，在区间上单调递增， 在区间上的最小值为，最大值为 . 36 （2） 已知函数在区间上存在最大值，则实数 的取值范围是_ ________. [解析] 由题意得， 令，得，令 ，得或， 所以在上单调递减，在和 上单调递增， 故的极大值为.令，得 ， 解得或，所以， 所以要使在 上存在最大值， 则有解得 . 37 探究点三 利用导数解决实际问题 例5（1） 某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8 万斤，每种植一斤藕，成本增加0.5元. 已知销售额函数是 （ 是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万 元； 是常数），若种植2万斤莲藕，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年需种 植莲藕( ) A A.6万斤 B.8万斤 C.3万斤 D.5万斤 ［思路点拨］（1）根据题意得利润为,根据 得 ，再利用导数研究其单调性即可得答案. 38 [解析] 设利润为 万元， 则 ， ，由题意得，解得 ， ，. 易知函数 在上单调递增，在上单调递减, 当时，函数 取得极大值，也是最大值，故选A. 39 （2） 做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是 ，且用料最省，则圆柱 的底面半径为___. 3 [解析] 设圆柱的高为，底面半径为， 则由圆柱的体积公式可得 ，即， 则无盖圆柱的表面积 . 易知， 令,可得，令 ,可得， 在上单调递减，在上单调递增， 则当 时， 取得最小值，即用料最省. ［思路点拨］（2）将无盖圆柱的表面积表示成关于圆柱底面半径的函数，利用 导数求函数的最值，从而可得结果. 40 [总结反思] （1）利用导数研究生活中的优化问题的关键:理清数量关系、选取合适的自变量 建立函数模型. （2）注意:函数的定义域由实际问题确定,最后要把求解的数量结果“翻译”为实际 问题的答案. 41 变式题（1） [2023·广东汕尾期末] 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料， 一个瓶子的制造成本是分，其中（单位： ）是瓶子的半径.已知每出售 的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为 ， 则每瓶饮料的利润最大时，瓶子的半径为( ) D A. B. C. D. 42 [解析] 设每瓶饮料的利润为 分， 则 ， 所以. 令，得， 当时, ，单调递减， 当时,，单调递增， 所以是 的极小值点， 当时，，，于是当时， 取得最大值. 故选D. 43 （2） 随着大数据时代的到来，越来越多的网络平台开始使用推荐系统来给用 户提供更加个性化的服务.某公司在研发平台软件的推荐系统时发现，当收集的数 据量为万条时，推荐系统的准确率约为 ，平台软件收入为 元.已知每收集1万条数据，公司需要花费成本100元，则当收集的数据量 为_____万条时，该软件能获得最高收益. [解析] 设收益为元，则,所以 . 令，得；令，得. 故函数 在上单调递增，在 上单调递减. 故当收集的数据量为19万条时，该软件能获得最高收益. 44 提升习题 45 【备选理由】例1考查利用导函数的图象判断函数的单调性和极值,考查学生识图 和用图的能力;例2考查利用导数求极值，因为函数中有参数，所以在判断极值的 符号时需要对参数进行分类讨论；例3考查已知极值求参数，并综合了数列知识; 例4考查利用导数解决函数的最值问题，本题中的求函数取值范围、不等式恒成 立都需要转化为求函数的最值;例5考查利用导数解决实际问题,考查分析问题和解 决问题的能力. 46 例1 ［配例1使用］ （多选题）如图所示是 的导 函数 的图象，则下列结论中正确的是( ) ABC A.在区间, 上单调递增 B.是 的极小值点 C.在区间 上单调递减 D.是 的极小值点 [解析] 由图可知当时，， 函数在 ,上单调递增， 当时，，函数在 ,上单调递减， 所以当时，取得极小值，即是 的极小值点， 当时，取得极大值， 即是 的极大值点，故A,B,C正确，D错误.故选 . 47 例2 ［配例2使用］ （多选题）[2023·重庆巴蜀中学月考] 已知函数 （ 是不为零的常数），则( ) ACD A.函数的极大值点为负 B.函数 的极小值点为正 C.函数的极大值为正 D.函数 的极小值为负 [解析] 函数的定义域为 ， 求导得，设 ， 因为， 所以方程一定有两个根, ，不妨令，则. 显然当或时，，当 时，， 因此函数的极大值点为负，A正确. 48 可正可负，因此函数的极小值点可正可负，B错误. 函数在, 上单调递增，在上单调递减，且， 无论 是正还是负，均有， 因此函数的极小值 为负，D正确. 因为,所以函数有两个零点， 当 小于最小的零点时，,，即恒有. 由，可得 或. 当时，的最小零点为0，因为，所以 ； 当时，的最小零点为，，而，即 , 所以,从而小于 最小的零点，即有. 综上，的极大值为正，C正确.故选 . 49 例3 ［配例3使用］ 已知实数,,,成等比数列，且当 时函数 取得极大值，则 _____. [解析] 函数的定义域为， , 当时，，函数在上单调递增， 当 时，，函数在上单调递减， 所以当 时，函数取得极大值，极大值为， 所以, ，故. 又,,,成等比数列，所以 . 50 例4 ［配例4使用］ 已知函数, . （1） 当时，求函数在区间 上的取值范围； 解：当时， , ， 当时，，函数 单调递减， 当时，，函数 单调递增， 函数在区间上的最小值为 . 又,, , 函数在区间上的最大值为 ， 因此函数在区间上的取值范围为 . 51 （2） 若关于的不等式在上恒成立，求 的取值范围. 解：由，得 ， 对任意 恒成立. 设,，则 , ,, , , 函数在 上单调递减， , 因此,即的取值范围是 . 52 例5 ［配例5使用］ [2024·上海曹杨二中模拟] 某网球中心欲在10 000平方米 的土地上建造数块连成片的网球场，每块网球场的面积为1000平方米.当该中心建 造块网球场时，每平方米的平均建造费用 （单位：元）满足 ，此外该中心还需为该工程一次性向政府缴纳环保费用 1 280 000元. 53 （1） 请写出该网球中心建造 块网球场时，该工程每平方米的平均综 合费用 （单位：元）的表达式，并指出其定义域（综合费用是建造费用与环 保费用之和）； 解：由题意可知，, , 每平方米的平均环保费用为 （元）， 所以 , 其定义域为 . 54 （2） 为了使该工程每平方米的平均综合费用最少，该网球中心应建造多少块 网球场？ 解：由（1）可知 , 设 , 则 ， 令，得 ， 当时，,所以在 上单调递减， 当时，,所以在 上单调递增， 所以当时， 取得极小值,也是最小值， 则当时， 取得最小值， 所以当该网球中心建造8块网球场时，该工程每平方米的平均综合费用最少. 55 $$