湖北省武汉市青山区2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2024~2025学年度青山区第一学期期中质量检测 九年级数学试卷 首山区教育科学研究院命制 2024.11 (请将答案写在答题卡上满分：120分时间：120分钟) 第I卷（选择题，共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑. 1.将一元二次方程3x2+1=6x化成一般形式后，二次项系数为正，则一次项系数是() A.1 B.6 C.-6 D.-1 2.下列用七巧板拼成的图案中，为中心对称图形的是() B 3.用配方法解一元二次方程x2-6x+4=0,此方程可化为() A.（x+3)2-1 B.(x3)2-13 C.(x+3)2-9 D.(x3)2=5 4.将下列抛物线向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，能得到抛物线y2的 是() A.y=(x3)2+5 B.=(x+5)243 C.y=(x+3)2-5 D.y=(x5)2-3 5.如图，AB是O0的直径，∠BOD=110°，则∠AED=() 第5题图 A.28° B.30° C.35° D.40° 6.若名，是方程52+x-5=0的两个根，则上+1的值为《） A X1 X2 B A.-1 B. 5 1 C C.5 D. 第7题图 7.如图，矩形OABC的顶点A,C分别在y轴和x轴上，点B的坐标为(2,4)，将矩形 OABC绕点O逆时针旋转90°，得到矩形OA'B'C',则点B的坐标为（) A.(-4,-2) B.(-4,2) C.(2,4) D.(4,2) 数学试卷第1页（共6页） 8。为执行国家药品降价政策，给人们群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价 由48元降为27元，设平均每次降价的百分率是x,则可列方程为（) A.48(1-x)2=27 B.48(1+x)2=27 C.48(1+2x=27 D.48(1-2x)=27 9.如图，△ABC内接于⊙O,将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE,点C的对应 B 点E在⊙0上，连接BE.若AB=17N2,BC-10,则AC的长为() D A.132 B.13 C.26 D.24 第9题图 10.定义：若二次函数y=ax2+bx+c的图象上有一点的横坐标与纵坐标相等，则称这个 点是这个函数的不动点.比如，函数y=x2图象上的点(1,1)，(0,0)都是y=x2的不 动点，若函数y=-x2+mx-m在-2≤x≤2的范围内总有两个不同的不动点，则m的 取值范围是() A.-2<m<3-2N2 3 B.-2≤m<6 3 C.m>6或a<-号 2-2≤m<3-25 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卡的指定位置。 11.点A(a,-5)关于原点对称的点是B(3,b),则a+b= 12.若关于x的一元二次方程x2-8+c=0有两个相等的实数根，则实数c= 13,如图，是一个隧道的横截面，它的形状是以O为圆心的圆 的一部分，C0⊥AB,垂足为M,路面AB宽为6m,若圆 的半径为5m,则隧道的最大高度CMm. 14.《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下： 第13题图 今有门，不知其高宽：有竿，不知其长短.横放，竿比门宽长出4尺：竖放，竿比门高 长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等.则门高尺。 数学试卷第2页（共6页） 15.如图，在□ABCD中，∠BAD=120°，AB=2,BC-3,点E是边BC上的动点，连接AE, 将AE绕点E顺时针旋转60°到FE,连接CF和DF,则CF4DF的最小值 为 D B E 第15题图 第16题图 16.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(m,0),点B(3,0),与y轴交于点C. 则下列四个结论： ① abc0; ② 3a+c>0: ③ 当-2<x<2时，a(x+1)3+b(x+1)+c>0: ④点D6,p,B+1,g)在抛物线上，当-2<m<-3时，总有p>g,则≥二 其中一定正确的是 (填写正确序号)， 三、解答题（共8小题，共72分） 下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形。 17.(本题满分8分) 解方程：x2+4x-7=0. 18.(本题满分8分) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A-60°，将△ABC绕点C顺时针旋转a°得 到△DEC,点D恰好落在边AB上. B (1)求a的值； (2)点F是边DE上一点，DE-mDF,连接CF. 当m=时，四边形ACFD为平行四边形. C 19.(本题满分8分) 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：每降价1元， 每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，求降价多少元，可使每星期获 得的总利润为6120元？ 20.(本题满分8分) 如图，△ABC内接于⊙O,AC=C,ADLBC于点E,交C于点D.连接C0并 延长分别交AD,AB于点F,G. C (1)若∠ACG=38°，求∠AFG的度数： (2)若AF=√i,AB=2万，求⊙0的半径. B G 21.(本题满分8分) 如图，是由边长为1的小正方形组成的7X6网格，每个小正方形的顶点叫做格点， △ABC的顶点A,C都是格点，顶点B是网格线上的一点，点M是边AC与网格线的 交点.仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果 用实线表示， (1)在图1中，先将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AD,再在线段AB上画点 N,使得∠AN=45°； (2)在图2中，先画点P,使得点A绕点P逆时针旋转90°得到点C,再画点B关于直 线PM的对称点2， B 图1 图2 22.(本题满分10分) 如图，是某公园的一座抛物线形拱桥，夏季正常水位时拱桥的拱顶到水面AB的距离 为1.8m,秋季水位会下降约0.2m,此时水面CD宽度约为4.0m. (1)如图1，以AB的中点O为原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，请 求抛物线的解析式： (2)一天小明妈妈带着小明乘坐脚踏游船想要从桥下通过，已知游船的宽度约为1.6m, 船顶高出水面约为13m,为保证安全，游船要尽量从桥下正中间通过，且船顶与拱 桥至少要间隔0.1m,请问当水位处于正常水位（即水面为AB)时，游船是否能够通 过？并说明理由； (3)如图2，国庆节期间为装点节日的气氛，公园决定在拱桥上挂一串小彩灯，这串彩灯 在拱桥中间部分与水面接近平行，两边自然垂下且关于抛物线的对称轴对称，彩灯两 端的最低点到水面CD的距离为1.4m,求这串彩灯的最大长度. A 图1 图2 23.(本题满分10分) 【问题背景】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，求证：BD=CE: 【尝试运用】如图2，在△ABC中，AB=AC,∠BAC150°，边AC绕点C逆时针旋转 90°到DC,E为边BC上不与点C重合的点，且DE=DC,M为BE的中 点，连接AM,DM.求∠DAM的度数； 【拓展创新】如图3，在△ABC和△ADE中，∠ABC=∠ADE=90°，BA=BC=a,DA=DE=b, 连接BD,CE,点F,G分别为CE,BD的中点，若∠CAE=30°，请直接写出线段FG 的长（用含a和b的式子表示）. D B M E G E B B 图1 图2 图3 24.(本题满分12分) 已知，抛物线y=2+bx+3与x轴交于点A,B,其中点A的坐标为A(1,0),与y轴 交于点C,且抛物线的对称轴为直线x1. (1)求抛物线的解析式： (2)若直线DE:y=2x+t交y轴于点D,交第一象限的抛物线于点E. ①如图1，当=1时，连接BC,CE,BE,求△BCE的面积： ②如图2，直线DE:y=2+t交抛物线于另一点T,P为抛物线上一点，直线PE,PT分 别与y轴交于点M,N,求证：CM=CW. E D B 0 图2 图1一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的请将正确答案的标号填在下面的表格中，) 题号 2 3 4 6 7 8 10 答案 B D B D B D 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分把答案填在题中横线上） 11.21 12.16_ 13.9: 14.8: 15.V7: 16.②③④. 三、解答题：（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.解：=1，b4,c7.…(3分) △=b2-4ac=16-4×1×(-7)=44>0…(4分) 方程有两个不等的实数根 x=-b±B2-4ac 2a s-4±V44 =-2士V行…(6分) 2×1 即x=-2+1,x2=-2-厅…(8分) 注：本题其它解法参照评分， 18.(1)DC是由AC旋转得到的， ∴CD=CA.…(2分) ,∠A=60 D .△ACD为等边三角形.…(4分) .∠ACD=∠A=60°. .a=60.…(5分) (2)当m=2时，四边形ACFD为平行四边形.…(8分) 19.解：设降价x元，可使每星期获得的总利润为6120元.…（1分) 20-x)(300+20x)=6120,…(5分) 整理得：x2-5x+6=0 解得：x=2,x2=3…（7分) O夸克扫描王 极速扫描，就是高效 答：降价2元或3元时，可使每星期获得的总利润为6120元.·(8分) 20.(1)连接0A,OB. C=8C, AC-BC.…(1分) OA=OB ∴CG⊥AB,且AG-BG.…(2分) .∠BCG-∠ACG-38°，…(3分) ,AD⊥BC .∠FEC-90° 、∠AFG∠CFE-(90-38)°=52°.…(4分) B (2)延长CG交⊙O于点H,连接AH. AE⊥BC,CG⊥AB H .∠AEC∠AGC-90°. ,∠AFC-∠AEC+∠FCE-∠AGC+∠FAG .∠FCE-∠FAB=∠BAH,∠AFH∠AFHF. ∴A=A=·…(5分) AB2N万， AG=BG=万· 在Rt△AGH中 由勾股定理得：GH2=AH2-AG2=4, ,GH>0 8GH2.…(6分) 设⊙0的半径为： 在Rt△AOG中 A02=0G2+AG2 .r2=(r-2)2+7…(7分) 解得：= .…(8分) 注：本题两问其它做法参照评分， 4 ▣▣ 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 21.(1)如图1所示，线段AD,点N即为所求；…(4分)注：每小问2分，共4分 (2)如图2所示，点P,点2即为所求.…(8分)每小问2分，共4分 注：木题几问其它解法参照评分， 图1 图2 22.解：(1)依题意可知：抛物线过点(0,1.8)，(2,02). 设抛物线的解析式为：y=ax2+h, h=1.8 则有： …(1分) 4a+h=-0.2 a=- 解得： 2…2分) h=1.8 ∴抛物线的解折式为：y=-x+1.8.…B分) 2 (2)依题意有：当x=-0.8时，y=-x0.82+1.8=1,48…6分) 2 148>13+0.1 .当水位处于正常水位（即水面为AB)时，游船能够通过.…(6分） (3)设这串彩灯在拱桥中间部分与抛物线的右交点为P化，-2+1.8)，这串彩灯的长度为1， 依题意有：k2-2+1.8+02-1,4)+21…8分 整理得：=-12+2t+1.2 =-(0-1)2+2.2…(9分) a=-1<0,图象开口向下，有最高点，即抛物线的顶点. ·当1=1时，1k2.2m.…(10分) 注：本问其它解法参照评分。 。夸克扫描王 可▣ 极速扫描，就是高效筒 23.【问题背景】，△ABC和△MDE都是等边三角形 .AB=AC、AD=AE、∠BAC=∠DAE=60°(I分) .∠BAD=∠CAE…(2分） .△ABD≌△ACE .BD=CE:…(3分)》 C 【尝试运用】解：延长AM至点A,使得AM=AM,连接AE,AD. AB=AC,∠BAC-1S0°， ∴.∠ABC∠ACB-15° :边AC绕点C逆时针旋转90°到DC,DE=DC ∴，∠DCE=∠DEC=75°，∠EDC-30°，DE=DC=ACAB,∠ACD-90°…(4分) D,点M为BE的中点，即EBM 又T∠AE=∠AMB,AM=AM ∴，△AME2△AMB(SAS) :AE=AB=AC,∠AEM=∠ABC=15· ∠AED=180。-∠AEM-∠DEC-90°=∠ACD,…(5分) 又，DO=AC=DE=AE ∴MD=√2DE=√2DC=AD,…(6分) ∠ADE=∠ADC=45·,（或者△ADE≌△ADC) .∠ADA=∠CDE=30·, ∴.∠DAM=∠DAM-75°.…（门分） 【拓晨创新】GP= √a2-ab+b …(10分) ,2 注：本题几问其它解法参评分。 24.(1)抛物线y=2+x+3过点A(1,0),且抛物线的对称轴为直线=l. a-b+3=0 .1b (自分)》 -=1 2a a=-1 解得： …(么分) b=2 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣6 …抛物线的解析式为：2+2+3.…(3分) (2)当=1时，联立直线DE与抛物线的解析式得： y=-x2+2x+3 y=2x+1 .-x2+2x+3=2x+1 整理得：x2=2 “x=2,x2=-2 点E(2,22+1),…(4分) :抛物线y一242+3与x轴交于点A,B,与y轴交于点C, )千2：克呢 易得：点B(3,0)和点C(0,3) 设直线BC的解析式为：=+b(k≠0，且k,b为常数) 球得E(F,2h) k=-1 则有： b=3 b=3 BCE-SoCG tSoBSo bol ,直线BC的解析式为：yx3 ·wete-g 过E作EF∥y轴交BC于点F,则点F(互，3-√互) :亚+4-名 EF=(22+1y3-V反上3N5-2…(6分) 8a=Sa+8.a=xEFx+×BFxk,-xg） 1 9-3 2 2 r无)0E-2x3--3.-分 2 2 (3)设点E(xe,yg),T（x,yr), 联立直线DE与抛物线的解析式{ y=2x+t y=-x2+2x+3 则xe,名，是方程：x2+1-3=0的两根 xg+x=0,xg‘名=1-3…(8分) 设直线PE:=Mx+bi 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 y=kx+b 联立直线PE与抛物线的解析式 y=-x2+2x+3 则xg,xp是方程：x2+(化-2)x+b-3=0的两根 E xE'xp=b-3①…(9分) 同理：设直线PT:y=k2x+b2: y=kax+b 联立直线PT与抛物线的解析式 y=-x2+2x+3 则x8,x是方程：x2+(化2-2)x+b,-3=0的两根 .为xp=b2-3②…(10分) ①+②得：xp(xs+xr)=b-3+b2-3=0 .b-3=3-b2 .M0,b),C0,3),N0,b2), ∴.CMCN.…(12分) 注：本小题其它解法参照评分， 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效