第四章图形的相似同步练习 2024-2025学年北师大版数学九年级上册

第四章图形的相似 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图,已知：在边长为12的正方形ABCD中,有一个小正方形EFGH,其中E、F、G分别在AB、BC、FD上.若BF＝3,则BE长为（ ） A．1 B．2.5 C．2.25 D．1.5 2．在中，AF、BE 是其两条中线，满足 AF BE ，若 CA=3，CB=4，那么 AB 的长 为（    ） A． B．5 C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A的坐标为，顶点D的坐标为，延长交x轴于点，作正方形，延长交x轴于点，作正方形，…，按这样的规律进行下去，第个正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，且∠DCE＝∠B．那么下列各判断中，错误的是（　　） A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACD C．△DEC∽△CDB D．△ADE∽△DCB 5．如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为30cm，到屏幕的距离为90cm，且幻灯片中的图形的高度为7cm，则屏幕上图形的高度为（　　） A．6cm B．12cm C．21cm D．24cm 6．如图，中，，、是，上两点，将沿折叠，使点落在边上点处，并且，若，，则的长是（    ） A． B．15 C． D．9 7．下列命题中，正确的是（    ） A．有一个角相等且有两边对应成比例的两个三角形相似 B．的三边长为3、4、5，的三边长为、、，则 C．若两个三角形相似，且有一对应边相等，则它们的相似比为1 D．都有一内角为的两个等腰三角形相似 8．如图，是的中位线，是的中位线，连结、、．已知，，，．则的长度为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 9．如图，小东设计两个直角，来测量河宽DE，他量得AD＝2m，BD＝3m，CE＝9m，则河宽DE为(    ) A．5m B．4m C．6m D．8m 10．如图，已知∠C=∠E，则不一定能使△ABC∽△ADE的条件是 A．∠BAD=∠CAE B．∠B=∠D C． D． 11．若，则的值为（           ） A． B． C． D． 12．如图，直线，直线分别交，，于点A，B，C，直线分别交，，于点D，E，F，若，，则的值等于（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 13．已知，则 ． 14．如图，已知AD是△ABC的中线，AE＝EF＝FC，下面给出三个关系式：①AG：AD＝1：2；②GE：BE＝1：3；③BE：BG＝4：3，其中正确的为 ．（填序号） 15．在一张比例尺为1：50000的地图上，如果一块多边形地的周长是320cm，那么这块地的实际周长是 km. 16．已知线段a＝2，c＝6，线段a是b、c的比例中项，则线段b的值为 17．若，则 ． 三、解答题 18．杭州市西湖风景区的雷峰塔又名“皇妃塔”，某校社会实践小组为了测量雷峰塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，雷峰塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，雷峰塔的塔尖点B正好又在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米，请你根据以上数据，计算雷峰塔的高度．    19．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°． （1）请在图中用尺规作图的方法作出AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E （不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，连接AD，求证：△ABC∽△EDA． 20．某“创意设计”组设计了一组光源测高仪器，仪器是一根圆柱，在顶部处设计一对投射光源，射出的光线根据所需可进行角度调整．如图，这是在晚上对校园旗杆测量的示意图，，，测量时两束光源恰好垂直，即．已知，，，．求旗杆的高度（结果精确到整数）．      21．综合与实践 主题：某数学实践小组以标准对数视力表为例，探索视力表中的数学知识 操作：步骤一：用硬纸板复制视力表中视力为0.1，0.2所对应的“E”，并依次编号为①，②，垂直放在水平桌面上，开口的底部与桌面的接触点为，； 步骤二：如1图所示，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点，与点O在一条直线上为止． 结论：这时我们说，在处用①号“E”测得的视力与在处用②号“E”测得的视力相同． 探究：（1）①如1图，与之间存在什么关系？请说明理由； ②由标准视力表中的，，可计算出时，___________mm； 运用：（2）如果将视力表中的两个“E”放在如2图所示的平面直角坐标系中，两个“E”字是位似图形，位似中心为点O，①号“E”与②号“E”的相似比为，点P与点Q为一组对应点．若点Q的坐标为，则点P的坐标为___________． 22．咸阳奥体中心（图1）的设计理念是“鼎立咸阳”，建筑形体取九鼎之行、将士之甲、高台之意．最终形成绿坡高台、殿堂廊柱、屋面重檐的效果．小军想利用所学知识测量咸阳奥体中心的高度，如图2，他拿着一根长为的木棒站在离咸阳奥体中心的地方（即点到AB的水平距离为）．他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住奥体中心（即E、C、A在一条直线上，E、D、B在一条直线上）时，点E到木棒距离为．已知，求咸阳奥体中心的高度． 23．矩形中，为上的一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 24．综合与实践 问题情境：数学活动课上，李老师出示了一个问题： 如图1，在中，点E，D分别在边，上，连接，． 求证：． 独立思考：（1）请解答李老师提出的问题． 实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，李老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答． “如图2，延长至点F，连接，使，延长交于点H，点G在上，，．在图中找出与相等的线段，并证明．” 问题解决：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当时，点G与点A重合．若给出中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求．该小组提出下面的问题，请你解答． “如图3，在（2）的条件下，若，，，求的长．” 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B D C C C B B D 题号 11 12 答案 C A 1．C 【详解】试题分析：先根据∠BFE+∠CFD=∠CFD+∠CDF=90°,得到：∠BFE=∠CDF再由∠B=∠C=90°,得出△BEF∽△CFD,从而 ,根据题意知：BF＝3,CF＝BC-BF=12-3=9,CD＝12．所以. 故选C． 考点：三角形相似的应用. 2．C 【分析】连接根据中位线定理以及中线的性质得到EF//AB, 即可证明 根据相似三角形的性质得到设 则根据勾股定理得到关于的方程组，得到的长，即可求出的长. 【详解】如图：连接 AF、BE是的两条中线， EF//AB, 设 则 AF BE， 【点睛】考查三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，综合性比较强，对学生要求较高. 3．B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、规律型点的坐标，解决本题的关键是根据相似三角形对应边成比例得到的正方形面积寻找规律．由题意得：可求出；根据图形可推出，，求出第个正方形的边长为，以此类推得第个正方形的边长为，即可求解； 【详解】解：由题意得： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴第个正方形的边长为， ∴， ∴第个正方形的边长为， 同理可得：， ∴第个正方形的边长为， ．．．． 以此类推，第个正方形的边长为， ∴第个正方形的边长为 故选：B 4．D 【分析】由相似三角形的判定方法得出A、B、C正确，D不正确；即可得出结论． 【详解】∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC，∠BCD=∠CDE，∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB， ∵∠DCE=∠B，∴∠ADE=∠DCE， 又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD； ∵∠BCD=∠CDE，∠DCE=∠B，∴△DEC∽△CDB； ∵∠B=∠ADE，但是∠BCD<∠AED，且∠BCD≠∠A， ∴△ADE与△DCB不相似； 正确的判断是A、B、C，错误的判断是D； 故选D． 【点睛】考查了相似三角形的判定方法；熟练掌握相似三角形的判定方法，由两角相等得出三角形相似是解决问题的关键． 5．C 【分析】根据题意可画出图形，再根据相似三角形的性质对应边成比例解答． 【详解】如图所示：∵DE∥BC， ∴△AED∽△ABC ∴, 设屏幕上的图形高是x，则 , 解得：x＝21． 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形性质的应用．解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 6．C 【分析】由折叠得到，，根据，得到，设，得到，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出与的长，由与平行，得到一对内错角相等，等量代换得到一对同位角相等，进而确定出与平行，由平行得比例，即可求出的长． 【详解】解：由折叠得到，， 在中，设，得到， 根据勾股定理得：，即， 解得：， ，， ， ， ， ， ， 则． 故选：C． 【点睛】此题考查了翻折变换（折叠问题），涉及的知识有：勾股定理，平行线的判定与性质，平行线分线段成比例，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键． 7．C 【分析】根据相似三角形的判定方法逐项分析即可. 【详解】A.有两边对应成比例，且夹角相等的的两个三角形相似，故不正确； B. ∵的三边长为3、4、5，与的三边长为、、不一定成比例，∴与不一定相似，故不正确； C. 若两个三角形相似，且有一对应边相等，则它们的相似比为1，正确； D. 当一个等腰三角形的顶角为80°，另一个等腰三角形的底角为80°时，两个三角形不相似，故不正确. 故选C. 【点睛】本题考查了命题的真假，以及相似三角形的判定方法，相似三角形的判定方法有：①对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形；②平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；③两角相等的两个三角形相似；④两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似判定即可；⑤三边对应成比例的两个三角形相似. 8．B 【分析】本题主要考查了中位线的性质和位似图形的判定与性质，熟练掌握位似图形的判定与性质是解题的关键．通过中位线的性质得出，再证明，得出相似比为，即可得到，从而得出答案． 【详解】解： 是的中位线，是的中位线， ，， ，，， ， 相似比为， ， ， ， 故选：B． 9．B 【分析】根据题意可得△ABD∽△ACE，根据相似三角形的性质可求得AE=6m，再由DE=AE-AD即可求得DE的长. 【详解】根据题意，BD⊥AE，CE⊥AE， ∴△ABD∽△ACE， 又AD=2m，BD=3m，CE=9m． ∴，即， ∴AE=6m， ∴DE=AE-AD=4m． 故选B. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，解决本题要把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的对应边成比例解答即可． 10．D 【详解】试题分析：根据相似三角形的判定方法依次分析各选项即可作出判断. A．∠BAD=∠CAE，B．∠B=∠D，C．，均能使△ABC∽△ADE，不符合题意； D．，不一定能使△ABC∽△ADE，本选项符合题意. 考点：相似三角形的判定 点评：相似三角形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考常见题，一般难度不大，需熟练掌握. 11．C 【分析】用a表示出b，然后代入比例式进行计算即可得解． 【详解】∵， ∴b=， ∴=． 故选C． 【点睛】本题考查了比例的性质，用a表示出b是解题的关键． 12．A 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，直接利用平行线分线段成比例定理求解． 【详解】解：∵，，， ∴． 故选A． 13． 【分析】根据比例的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 14．①③ 【分析】根据三角形中线的性质，可得，根据，可得是的中位线，则，进而可得，，，即可判断①，进而根据，设，则，即可得，BE：BG＝4：3即可判断②③ 【详解】解：∵AD是△ABC的中线， ∴ AE＝EF＝FC， 是的中位线， ，， ， 则①正确； ， 设，则， ，BE：BG＝4：3 故②不正确，③正确 故答案为：①③ 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，三角形中位线的性质与判定，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 15．160 【分析】地图与实际的多边形按照比例放大与缩小，根据相似多边形的相似比求解即可． 【详解】解：∵周长之比等于相似比， ∴这个地区的实际周长是320×50000=16000000cm=160km； 故答案为160． 【点睛】本题考查相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解决本题的关键． 16． 【分析】由题意可得，，代入数值求解即可． 【详解】解：线段a是b、c的比例中项 ∴，即，解得 故答案为 【点睛】此题考查了比例中项的性质，根据题意列出式子是解题的关键． 17． 【分析】已知和比值，用未知量分别表示出和．代入原式中即可得出结果． 【详解】 解：根据题意，设，， 则原式， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了比例的性质，掌握表示出x，y是解题关键． 18．雷峰塔的高度为米 【分析】先证明，利用相似比得到①，再证明，利用相似比得到②，由①②得，解得的长，据此求解即可求出的长． 【详解】解：根据题意得米，米，米，米， ∵， ∴， ∴，即①， ∵， ∴， ∴，即②， 由①②得，解得（米）， 把代入①得，解得（米）， 答：雷峰塔的高度为米． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题． 19．（1）见解析；（2）见解析. 【分析】（1）用尺规按要求作图即可； （2）利用线段垂直平分线的性质得DA＝DC，所以∠CAD＝∠C＝30°，根据两角对应相等，即可证明Rt△ABC∽Rt△EDA． 【详解】解：（1）如图，DE为所作； （2）证明：∵点D在AC的垂直平分线上， ∴DA＝DC， ∴∠CAD＝∠C＝30°， ∵∠DEA＝∠BAC＝90°， ∴△ABC∽△EDA． 【点睛】本题考查了尺规作线段的垂直平分线、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和相似三角形的判定，考查的知识点虽多，但难度不大，熟知基本作图和相关定理是解题的关键. 20． 【分析】如图，过点作交于点，交于点．先证四边形，四边形，四边形是平行四边形，，，，进而证明，得．即，求解即可得解． 【详解】解：如图，过点作交于点，交于点．    ∵，， ∴四边形，四边形，四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，，，，即． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴．即， 解得，则． 答：旗杆的高度约为． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定，垂直定义，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 21．（1）①相等，见解析；②43.2；（2） 【分析】本题考查了相似三角形的的应用，位似的性质． （1）①根据题意证明，从而得到，即可得到；②把，，，代入即可求解． （2）根据位似比为，代入数据计算即可． 【详解】解：（1）①． 由题意得， ∴， ∴， ， ； ②，，，， ． ． 故答案为：． （2）①号“E”与②号“E”的相似比为，点P与点Q为一组对应点．若点Q的坐标为， 点P的坐标为，即， 故答案为：． 22．咸阳奥体中心的高度为50． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，延长交于点，利用平行线的性质可得，，从而可得，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，延长交于点， ， ， 由题意得：，，， ， ，， ， ， ， 解得：， 善咸阳奥体中心的高度为50． 23．(1)见解析 (2)的长为 【分析】（1）由矩形的性质可得，由翻折的性质可得，进而推出，即可得证； （2）由题意可知，，，，设长为，则，由勾股定理可得，再根据相似三角形的性质进行计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， 是翻折得到， ， ， ， ， ； （2）解：由题意可知，，，， 设长为，则， 在中，， ， ，即， 解得：， 的长为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 24．独立思考：（1）见解析；实践探究：（2），见解析；问题解决：（3） 【分析】（1）利用三角形内角和定理证明即可； （2）以点为圆心，为半径画弧，交延长线于点，证明，再证明，从而可证，得出，然后以点为圆心，为半径画弧，交于点，证明，，证明，即可得出； （3）过点做于点，证明，从而可证，可得，设，则，由（2）可得，证明可得，从而求出，在判断为等腰直角三角形，即可求． 【详解】（1）， ， ， ； （2）． 如图1，以点为圆心，为半径画弧，交延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 以点为圆心，为半径画弧，交于点， ， ， ， ， ， 由（1）同理可得， ， ， ， ； （3）如图2，过点做于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适的辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$