2.5.1直线与圆的位置关系同步练习-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1　直线与圆的位置关系 1.直线x+2y+3=0与圆x2+(y+1)2=1的位置关系是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 2.[2024·江苏徐州铜山区高二期中] 圆心为M(2,-1),且与直线x-2y+1=0相切的圆的方程为 (　 ) A.(x-2)2+(y-1)2=5 B.(x-2)2+(y+1)2=5 C.(x-2)2+(y+1)2=25 D.(x-2)2+(y-1)2=25 3.[2024·辽宁鞍山一中高二期中] 已知直线x+y+2=0与圆x2+y2=9相交于A,B两点,则弦AB的长为 (　 ) A. B.2 C. D.2 4.若直线ax+by-1=0与圆C:x2+y2=1相离,则过点P(a,b)的直线与圆C的位置关系是 (　 ) A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定 5.[2024·驻马店高二期中] 已知点A(-2,0),B(2,0),如果直线3x-4y+m=0(m>0)上有且只有一个点P,使得PA⊥PB,那么实数m的值为 (　 ) A.20 B.4 C.2 D.10 6.[2024·山东青岛二中高二期中] 若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P,Q两点,且∠POQ=(其中O为原点),则k的值为　　　　.  7.圆x2+y2-4x=0在点P(1,)处的切线方程为　　　　.  8.[2024·重庆十八中高二期末] 已知圆C的方程为(x-3)2+(y+1)2=4. (1)若直线l:x-y+a=0与圆C相交于A,B两点,且|AB|=2,求实数a的值; (2)过点M(1,2)作圆C的切线,求切线的方程. 9.圆C的圆心在x轴的负半轴上,圆C与y轴的一个交点为A(0,),且直线y=-x被圆C截得的弦长为4,则圆C的方程为 (　 ) A.(x+2)2+y2=9 B.(x+1)2+y2=10 C.(x+2)2+y2=10 D.(x+1)2+y2=9 10.[2024·陕西西安高二期中] 从圆x2-2x+y2-2y+1=0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦值为 (　 ) A. B. C. D.0 11.(多选题)[2024·安徽六安高二期中] 若圆C:(x-1)2+(y+2)2=4上恰有四个点到直线l:2x+y+m=0的距离等于1,则m的值可能是 (　 ) A.0 B.1 C.2 D.3 12.(多选题)[2024·江苏太湖高级中学高二期中] 已知直线l:kx-y-k=0,圆M:x2+y2+Dx+Ey+1=0的圆心坐标为(2,1),则下列说法正确的是 (　 ) A.直线l恒过点(1,0) B.D=-4,E=-2 C.直线l被圆M截得的最短弦长为2 D.若点P(x,y)是圆M上一动点,则x-y的最小值为-2 13.圆x2+y2+2y-3=0的半径为　　　　.若直线y=x+b与圆x2+y2+2y-3=0交于不同的两点,则实数b的取值范围是　　　　　　.  14.有一座圆拱桥,当水面在如图所示的位置时,拱顶离水面2 m,水面宽为12 m,当水面下降1 m后,水面宽为　　　　 m.  15.已知圆C的半径为3,圆心C在射线y=-2x(x≥0)上,直线x+y-1=0被圆C截得的弦长为3. (1)求圆C的方程; (2)过点P(2,0)的直线l与圆C交于M,N两点,且△OMN(O为坐标原点)的面积是6,求直线l的方程. 16.(多选题)瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC,|AB|=|AC|=4,B(-1,3),C(4,-2),且其“欧拉线”与圆M:(x-3)2+y2=r2(r>0)相切,则下列结论正确的是 (　 ) A.圆M上的点到直线x-y+3=0的最小距离为2 B.圆M上的点到直线x-y+3=0的最大距离为3 C.若点(x,y)在圆M上,则x+y的最小值是3-2 D.圆M上到直线BC的距离为的点有且仅有2个 17.[2024·江西部分学校高二月考] 已知斜率为1的直线l与圆M:(x-1)2+y2=18交于A,B两点,P为弦AB的中点,若P的横坐标为m,则m的取值范围为　　　　.  18.已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,O为坐标原点,动点P在圆C外,过P作圆C的切线,设切点为M. (1)若点P运动到点(1,5)处,求此时切线l的方程; (2)若|PO|=|PM|,求点P的轨迹方程. 2.5.1　直线与圆的位置关系 1.A　[解析] 因为圆x2+(y+1)2=1的圆心(0,-1)到直线x+2y+3=0的距离d==,且圆x2+(y+1)2=1的半径为1,所以直线x+2y+3=0与圆x2+(y+1)2=1的位置关系是相交.故选A. 2.B　[解析] 由题意知,半径r==,所以所求圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=5.故选B. 3.B　[解析] 圆x2+y2=9的圆心为(0,0),半径r=3,圆心(0,0)到直线x+y+2=0的距离d==,故弦AB的长为2=2×=2.故选B. 4.C　[解析] 易知圆C的半径r=1,∵直线ax+by-1=0与圆C:x2+y2=1相离,∴圆心C(0,0)到直线的距离d>r,即>r=1,∴a2+b2<1,∴P(a,b)在圆C:x2+y2=1内,∴过点P(a,b)的直线与圆C相交,故选C. 5.D　[解析] 根据题意可知,以AB为直径的圆与直线3x-4y+m=0(m>0)相切,如图所示,所以圆心(0,0)到直线的距离等于半径,即d==2,解得m=±10,又m>0,所以m=10.故选D. 6.±1　[解析] 由∠POQ=可得|OP|cos=,则=,解得k=±1. 7.x-y+2=0 　[解析] 由题意得点P在圆上且P为切点.因为点P与圆心(2,0)连线的斜率为=-,所以切线的斜率为,所以切线方程为y-=(x-1),即x-y+2=0. 8.解:(1)圆C的方程为(x-3)2+(y+1)2=4,则圆C的圆心为(3,-1),半径为2.又直线l:x-y+a=0与圆C相交于A,B两点,且|AB|=2,所以=,解得a=-2或-6. (2)当切线的斜率不存在时,切线的方程为x=1.当切线的斜率存在时,可设切线的方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0,由=2,解得k=-,故切线的方程为5x+12y-29=0. 综上所述,切线的方程为x=1或5x+12y-29=0. 9.C　[解析] 依题意,设圆C的标准方程为(x-a)2+y2=r2(a<0),由圆C经过点A(0,),得r2=a2+6.设圆心C到直线y=-x的距离为d,则d=,又直线y=-x被圆C截得的弦长为4,所以4=2=2,解得a2=4,又a<0,故a=-2,于是圆C的方程为(x+2)2+y2=10.故选C. 10.B　[解析] 如图,设圆的圆心为C,过点P向圆C作切线,切点分别为A,B,连接PC,CA,CB.由x2-2x+y2-2y+1=0得(x-1)2+(y-1)2=1,∴圆心C(1,1),半径r=1.又|PC|==,∴sin∠APC=,又∠APB=2∠APC,∴cos∠APB=1-2sin2∠APC=1-2×=,则两切线夹角的余弦值为.故选B. 11.ABC　[解析] 由题意可知,圆C:(x-1)2+(y+2)2=4的圆心C(1,-2),半径r=2.若圆C上恰有四个点到直线l的距离等于1,则圆心C(1,-2)到直线l的距离d<r-1=1,则<1,解得-<m<,显然0,1,2∈(-,),3∉(-,).故选ABC. 12.AB　[解析] 圆M:x2+y2+Dx+Ey+1=0的圆心坐标为M(2,1),故-=2,-=1,解得D=-4,E=-2,圆M的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.对于选项A,直线l:y=k(x-1)恒过点A(1,0),故A正确;对于选项B,D=-4,E=-2,故B正确;对于选项C,当直线l与AM垂直时,弦长最短,又|AM|=,故最短弦长为2×=2,故C错误;对于选项D,设x-y=a,即x-y-a=0,当直线x-y-a=0与圆M相切时,=2,解得a=1-2或a=1+2,故x-y∈[1-2,1+2],故D错误.故选AB. 13.2　(-2-1,2-1)　[解析] 由x2+y2+2y-3=0得圆的标准方程为x2+(y+1)2=4,所以圆的圆心坐标为(0,-1),半径r=2.因为直线y=x+b与圆x2+y2+2y-3=0交于不同的两点,所以圆心(0,-1)到直线的距离小于半径,则<2,解得-2-1<b<2-1,故实数b的取值范围是(-2-1,2-1). 14.2　[解析] 以圆拱拱顶为坐标原点,以水平与圆拱相切的直线为x轴,以过拱顶的垂线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设圆的标准方程为x2+(y+r)2=r2(r>0),因为拱顶离水面2 m,水面宽为12 m,所以A(6,-2)在圆上,将其坐标代入圆的标准方程中,得62+(-2+r)2=r2,解得r=10,所以圆的标准方程为x2+(y+10)2=100.当水面下降1 m后,设A'(x0,-3)(x0>6),将其坐标代入圆的方程中,得+72=100,可得x0=,所以此时水面宽为2 m. 15.解:(1)根据题意可设C(a,-2a)(a≥0),∵圆C的半径为3,∴圆C的方程为(x-a)2+(y+2a)2=9,又直线x+y-1=0被圆C截得的弦长为3, ∴3=2,可得a=2,∴圆C的方程为(x-2)2+(y+4)2=9. (2)①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=2,原点O到直线l的距离为2,且|MN|=2×3=6, ∴S△OMN=×6×2=6,满足题意; ②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-2),圆心C(2,-4)到直线l的距离为,∴|MN|=2=2,又原点O到直线l的距离为,∴S△OMN=×2×=6,化简得25k2+9=0,此时方程无解.综上所述,直线l的方程为x=2. 16.AC　[解析] 因为|AB|=|AC|,所以△ABC的外心、重心、垂心均在线段BC的垂直平分线上,所以△ABC的“欧拉线”即为线段BC的垂直平分线,又B(-1,3),C(4,-2),所以线段BC的中点坐标为.又直线BC的斜率kBC==-1,所以线段BC的垂直平分线的斜率k=1,所以线段BC的垂直平分线的方程为y-=x-,即x-y-1=0.因为圆M:(x-3)2+y2=r2的圆心为(3,0),半径为r,“欧拉线”与圆M相切,所以==r,所以圆M的标准方程为(x-3)2+y2=2.对于A,B,因为圆M的圆心(3,0)到直线x-y+3=0的距离d==3,所以圆M上的点到直线x-y+3=0的最小距离为3-=2,最大距离为3+=4,故A正确,B错误;对于C,令z=x+y,即x+y-z=0,当直线x+y-z=0与圆M相切时,圆心(3,0)到直线x+y-z=0的距离等于半径,所以=,解得z=3+2或z=3-2,则x+y的最小值是3-2,故C正确;对于D,直线BC的方程为y-3=-(x+1),即x+y-2=0,圆M的方程为(x-3)2+y2=2,圆心M到直线BC的距离为=,又圆M的半径为,-=>,故圆M上到直线BC的距离为的点有且仅有4个,故D错误.故选AC. 17.(-2,4)　[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),P(m,n).由得(x1-x2)(x1+x2-2)+(y1-y2)(y1+y2)=0,则(2m-2)+2n×=(2m-2)+2n×1=0,得n=1-m.因为P(m,1-m)在圆M内,所以(m-1)2+(1-m)2<18,解得-2<m<4. 18.解:把圆C的方程化为标准方程,即为(x+1)2+(y-2)2=4,∴圆心为C(-1,2),半径r=2. (1)当l的斜率不存在时,l的方程为x=1,此时圆心C到l的距离d=2=r,满足条件;当l的斜率存在时,设斜率为k,得l的方程为y-5=k(x-1),即kx-y+5-k=0,则=2,解得k=,∴l的方程为y-5=(x-1),即5x-12y+55=0.综上,满足条件的切线l的方程为x=1或5x-12y+55=0. (2)设P(x,y),则|PO|2=x2+y2,|PM|2=|PC|2-|MC|2=(x+1)2+(y-2)2-4.∵|PO|=|PM|,∴x2+y2=(x+1)2+(y-2)2-4,整理得2x-4y+1=0,∴点P的轨迹方程为2x-4y+1=0. 学科网（北京）股份有限公司 $$