2.4.2圆的一般方程同步练习-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.4.2　圆的一般方程 1.已知圆的方程为x2+y2+x+2y-10=0,则圆心坐标为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.(1,-1) B. C.(-1,2) D. 2.过三点A(4,-2),B(1,-1),C(1,4)的圆的一般方程为 (　 ) A.x2+y2+7x-3y+2=0 B.x2+y2+7x+3y+2=0 C.x2+y2-7x+3y+2=0 D.x2+y2-7x-3y+2=0 3.[2024·北京牛栏山一中高二期中] 若方程x2+y2+4x-2y-m=0表示圆,则m的取值范围是 (　 ) A.(5,+∞) B.(-∞,5) C.(-∞,-5) D.(-5,+∞) 4.(多选题)下列结论正确的是 (　 ) A.任何一个圆的方程都可以写成一个二元二次方程 B.圆的一般方程和标准方程可以互化 C.方程x2+y2+2x-6y+10=0表示圆 D.若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则++Dx0+Ey0+F>0 5.(多选题)已知圆x2+y2-4x-1=0,则下列说法正确的是 (　 ) A.该圆关于点(2,0)对称 B.该圆的半径为 C.该圆关于直线x+3y+2=0对称 D.该圆关于直线x-y-2=0对称 6.已知圆C的一般方程为x2+y2-2x-2my=0.若圆C过点(0,2),则m=　　　　;若圆心C在直线2x-y=0上,则m=　　　　.  7.已知点A(-1,0),B(3,0),动点P满足|PB|=3|PA|,则动点P的轨迹方程为　　　　　　　　　　　　.  8.已知点P(5,0)和圆C:x2+y2-4x-4y+3=0. (1)写出圆C的标准方程,并求这个圆的圆心坐标和半径; (2)设Q为圆C上的点,求|PQ|的取值范围. 9.[2024·抚顺高二期中] 已知圆x2+y2-2ax+4ay+5a2-9=0上所有点都在第二象限,则a的取值范围是 (　 ) A.(-∞,-3) B.(-∞,-3] C. D. 10.已知A,B为圆C:x2+y2-2x-4y+3=0上的两个动点,若∠ACB=120°,则△ABC的面积为 (　 ) A. B. C. D.2 11.[2024·广东东莞实验中学高二月考] 已知线段AB的端点B的坐标为(4,3),端点A在圆x2+y2-4=0上运动,则线段AB的中点M的轨迹所围成图形的面积为 (　 ) A.4π B.π C.π D. 12.(多选题)已知圆C:x2+y2-4x-14y+45=0及点Q(-2,3),则下列说法正确的是 (　 ) A.圆心C的坐标为(2,7) B.点Q在圆C外 C.若点P(m,m+1)在圆C上,则直线PQ的斜率为 D.若M是圆C上任一点,则|MQ|的取值范围为[2,6] 13.(多选题)已知曲线C:ax2+ay2-2x+4a2y=0,下列结论正确的是 (　 ) A.当a=0时,曲线C是一条直线 B.当a≠0时,曲线C是一个圆 C.当曲线C是圆时,它的面积的最小值为2π D.当曲线C是面积为5π的圆时,|a|=1 14.已知圆x2+y2=4与圆x2+y2-6x+2y+m=0关于直线l对称,则m=　　　　,直线l的方程为　　　　　　.  15.过圆O:x2+y2=16外一点M(2,-6)任意引一条割线交圆于A,B两点,求弦AB的中点C的轨迹方程. 16.[2024·北京大兴区高二期中] 已知等腰三角形ABC中,两腰的交点为A(4,2),底边的一个端点为B(5,3),则底边的另一个端点C的轨迹方程为　　　　　　　.  17.在平面直角坐标系中,直线y=kx+m(k≠0)与x轴和y轴分别交于A,B两点,|AB|=2,则线段AB的中点到原点的距离等于 　　　　;若CA⊥CB,则当k,m变化时,点C到点(1,1)的距离的最大值为　　　　.  18.某镇有A,B两所卫生院,分别位于镇政府的西侧和东侧,都距镇政府1公里,为使居民打疫苗有序且不拥挤,规定:若某地P到A院的距离小于到B院距离的2倍,则在A院打疫苗;若P到A院的距离大于到B院距离的2倍,则在B院打疫苗;若P到A院的距离等于到B院距离的2倍,则在A,B两院都可打疫苗. (1)在A,B两院都可打疫苗时,求P的轨迹C的形状; (2)求在B院打疫苗的居民距B院的最远距离. 2.4.2　圆的一般方程 1.D　[解析] x2+y2+x+2y-10=0可化为+(y+1)2=,故圆心坐标为,故选D. 2.D　[解析] 设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将A,B,C三点的坐标代入方程,整理可得 解得故所求的圆的一般方程为x2+y2-7x-3y+2=0,故选D. 3.D　[解析] 因为方程x2+y2+4x-2y-m=0表示圆,所以42+(-2)2+4m>0,解得m>-5,所以m的取值范围是(-5,+∞).故选D. 4.ABD　[解析] 选项A和B显然正确;选项C中的方程可化为(x+1)2+(y-3)2=0,所以表示点(-1,3);选项D正确.故选ABD. 5.ABD　[解析] x2+y2-4x-1=0可化为(x-2)2+y2=5,即该圆的圆心为(2,0),半径为,由圆的性质可知该圆关于点(2,0)对称,故A,B均正确;因为圆心(2,0)不在直线x+3y+2=0上,所以该圆不关于直线x+3y+2=0对称,故C错误;因为圆心(2,0)在直线x-y-2=0上,所以该圆关于直线x-y-2=0对称,故D正确.故选ABD. 6.1　2　[解析] 圆C的一般方程为x2+y2-2x-2my=0,若圆C过点(0,2),则4-4m=0,解得m=1.由题意可得圆心为C(1,m),又圆心C在直线2x-y=0上,所以2-m=0,解得m=2. 7.x2+y2+3x=0　[解析] 设P(x,y),∵|PB|=3|PA|,∴|PB|2=9|PA|2,即(x-3)2+y2=9[(x+1)2+y2],化简得x2+y2+3x=0,即点P的轨迹方程为x2+y2+3x=0. 8.解:(1)由x2+y2-4x-4y+3=0得(x-2)2+(y-2)2=5, 因此这个圆的圆心坐标为(2,2),半径r=. (2)因为|PC|==>,所以点P在圆C外.又Q为圆C上的点,所以|PC|-r≤|PQ|≤|PC|+r,即-≤|PQ|≤+,故|PQ|的取值范围是[-,+]. 9.A　[解析] 由x2+y2-2ax+4ay+5a2-9=0,得(x-a)2+(y+2a)2=9,所以圆心坐标为(a,-2a),半径为3.因为圆x2+y2-2ax+4ay+5a2-9=0上所有点都在第二象限,所以得a<-3,故选A. 10.B　[解析] 由题知圆C:(x-1)2+(y-2)2=2,则圆心为C(1,2),半径为,所以S△ABC=|CA|×|CB|sin 120°=×××=.故选B. 11.C　[解析] 设M(x,y),A(x0,y0),则即又因为端点A在圆x2+y2-4=0上运动,所以+-4=0,即(2x-4)2+(2y-3)2-4=0,整理得(x-2)2+=1,所以点M的轨迹是以为圆心,r=1为半径的圆,所以该圆的面积S=πr2=π.故选C. 12.AB　[解析] 对于A,由x2+y2-4x-14y+45=0,得(x-2)2+(y-7)2=8,圆心C的坐标为(2,7),A选项说法正确;对于B,因为(-2-2)2+(3-7)2>8,所以点Q在圆C外,B选项说法正确;对于C,当点P(m,m+1)在圆C上时,有(m-2)2+(m+1-7)2=8,得m=4,即P(4,5),所以直线PQ的斜率为=,C选项说法不正确;对于D,因为|CQ|==4,圆C的半径为2,所以4-2≤|MQ|≤4+2,即2≤|MQ|≤6,D选项说法不正确.故选AB. 13.AB　[解析] 对于A选项,当a=0时,曲线C的方程为x=0,此时曲线C是一条直线,A正确;对于B选项,当a≠0时,曲线C的方程可化为x2+y2-x+4ay=0,因为+16a2=+16a2>0,所以曲线C是一个圆,B正确;对于C选项,当曲线C是圆时,其半径r==≥=2,当且仅当4a2=,即a=±时,等号成立,即r的最小值为2,因此,当曲线C是圆时,它的面积的最小值为π×22=4π,C错误;对于D选项,当曲线C是面积为5π的圆时,其半径r==,即4a2+=5,解得a=±1或a=±,D错误.故选AB. 14.6　3x-y-5=0　[解析] 由x2+y2-6x+2y+m=0可得(x-3)2+(y+1)2=10-m,则圆心为(3,-1),由两圆关于直线l对称可得,两个圆的半径相等,即4=10-m,可得m=6.由两式相减得3x-y-5=0,即直线l的方程为3x-y-5=0. 15.解:设C(x,y),连接OC,OA,OB,如图,由|OA|=|OB|,|AC|=|CB|,可得OC⊥AB,即OC⊥MC,得·=0.又=(x,y),=(x-2,y+6),所以x(x-2)+y(y+6)=0,得点C的轨迹方程为x2+y2-2x+6y=0. 16.x2+y2-8x-4y+18=0(x-y-2≠0)　[解析] 设底边的另一个端点C的坐标为(x,y),则=,化简可得x2+y2-8x-4y+18=0.因为A,B,C三点为三角形的顶点,所以A,B,C三点不共线且B,C不重合.当A,B,C三点共线时,kAC=kAB==1,由直线的点斜式可得直线AC的方程为y-2=1×(x-4),化简可得x-y-2=0.易知直线x-y-2=0与圆x2+y2-8x-4y+18=0的交点为(3,1),(5,3),所以点C的轨迹方程为x2+y2-8x-4y+18=0(x-y-2≠0). 17.　3　[解析] ∵直线y=kx+m(k≠0)与x轴和y轴分别交于A,B两点,∴A,B( 0,m),故线段AB的中点为.∵|AB|=2==·,∴线段AB的中点到原点的距离等于=·=.∵CA⊥CB,∴·=0,设C(x,y),则x+y(y-m)=0,整理得+=,即点C的轨迹为圆,设圆心为(x',y'),则x'=-,y'=,又|AB|2=+m2=8,∴x'2+y'2=2,易知点C的轨迹的半径r==,∴C到点(1,1)的距离的最大值为++=3. 18.解:(1)如图,以镇政府为坐标原点,向东、向北方向分别为x,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0),设P(x,y),则|PA|=2|PB|.∵|PA|=,|PB|=,∴=2,化简得x2+y2-x+1=0,即+y2=,∴P的轨迹是以C为圆心,为半径的圆. (2)显然当P在圆C上及其内部时,该地的居民在B院打疫苗,在B院打疫苗的居民距B院的最远距离,即为圆C上的点到B院的最远距离,为|CB|+=-1+=2. 学科网（北京）股份有限公司 $$