22.3实际问题与二次函数进阶训练2024-2025学年人教版数学九年级上册

22.3实际问题与二次函数进阶训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．向空中发射一枚炮弹，第x秒时的高度为y米，且高度与时间的关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．若此炮弹在第6秒与第18秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（　　） A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒 2．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）近似满足函数关系式y＝ax2+bx+c（a≠0），如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋较角度约为（　　）度． A．36 B．45 C．50 D．42 3．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加（   ） A． B． C． D． 4．某种品牌的服装进价为每件元，当售价为每件元时，每天可卖出件，现需降价处理，且经市场调查：每件服装每降价元，每天可多卖出件．在确保盈利的前提下，若设每件服装降价元，每天售出服装的利润为元，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 5．已知一个直角三角形两直角边的和为10，设其中一条直角边为x，则直角三角形的面积y与x之间的函数关系式是(         ) A．y=-0.5x2+5x B．y=-x2+10x C．y=0.5x2+5x D．y=x2+10x 6．如图①，正方形，的中心，都在直线上．，，正方形以的速度沿直线向正方形移动，当点与的中点重合时停止移动，设移动时间为时，这两个正方形的重叠部分的面积为，与之间的函数关系图象如图②．当重叠部分的面积为时，的值为（    ） A．1 B．2 C．1或7 D．7 7．如图是一种轨道示意图，其中分别是菱形的四个顶点，．现有两个机器人(看成点)分别从两点同时出发，沿着轨道以相同的速度匀速移动，其路线分别为和．若移动时间为，两个机器人之间距离为．则 与之间的函数关系用图象表示大致为（    ） A． B． C． D． 8．如图，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（ ） A． B． C． D． 9．如图：点P（x，y）为平面直角坐标系内一点，PB⊥x 轴，垂足为B， A为（0，2），若PA=PB，则以下结论正确的是（    ）． A．点P在直线上 B．点P在抛物线上 C．点P在抛物线上 D．点P在抛物线上 10．如图，等腰直角与正方形DEFG位于直线l上，点B与点G重合，.将沿l向右以每秒1个单位的长度平移，直到点A与点D重合为止.记平移的时间为x（秒），与正方形DEFG重叠部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（    ）    A．   B．   C．   D．   二、填空题 11．一般抛物线 （a≠0） 的顶点是最低（高） 点，当x＝时，二次函数 有最小（大） 值y＝ ． 12．投掷铅球是中考体育测试选择项目之一，体育老师为提高小明同学的体育成绩，对其推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度与水平距离之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是 m. 13．某种商品每件进价为10元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（10≤x≤20且x为整数）出售，可卖出（20﹣x）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为 元． 14．如图，在矩形中，，点E是的中点，连接，点M是上一动点，取的中点为N，连接，则的最小值是 ． 15．如图1，剪刀式升降平台由三个边长为4m的菱形和两个腰长为4m的等腰三角形组成，其中，AM∥A0N，B，B0在AM和A0N上可以滑动，A1、C1、B0始终在同一条直线上． （1）这种升降平台设计原理利用了四边形的 性质； （2）如图2是一个抛物线型的拱状建筑物，其底部最大跨度为8米，顶部的最大高度为24米．如图3，当该平台在完成挂横幅作业时，其顶部A，M两点恰好同时抵住抛物线，且AM＝8米，则此时∠B1的度数为 ． 三、解答题 16．已知，在△ABC中，，D是直线BC上的一点（不与点B，C重合），连结AD，以AD为一边在AD右侧作，使，，连结CE， (1)如图1，点D在线段BC上，求证：； 图1 (2)如图2，点D在线段CB的延长线上，求证：； 图2 (3)如图3，，，当点D在线段BC上运动时，直接写出E面积的最大值．      图3 17．某公司成功研制出一种产品，经市场调研，年销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系如图所示，其中曲线为反比例函数图像的一部分，为一次函数图像的一部分． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)已知每年该产品的研发费用为40万元，该产品成本价为4元/件，设销售产品年利润为w(万元)，当销售单价为多少元时，年利润最大?最大年利润是多少?(说明：年利润年销售利润研发费用) 18．如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，，分别以，，，，为斜边依次在轴的左右两边按如图所示的规律作等腰直角三角形．    (1)已知点，，，关于轴的对称的点分别为，，，． ①列表：根据规律补全表格中横线的内容． （______，______） ②描点、连线：在图中描出，，关于轴的对称的点，，，再画出平滑的曲线，已知依次经过，，，，，，各点． ③猜想是何种曲线，并直接写出曲线的解析式． (2)将曲线上的点，，，，，，，，的横坐标扩大2倍，纵坐标不变，得到系列点，，，，，，，，，平滑的曲线依次经过点，，，，，，．（不需要在图中画出） ①直接写出曲线的解析式，并证明点在曲线上． ②直线在第一象限与曲线，分别交于点，，求的值． 19．如图1，公园的一组同步喷泉由间隔2米的6个一样的喷泉组成，呈抛物线形的水流从垂直于地面且高为1m的喷嘴中向同一侧喷出，其最高点随时间匀速变化，发现由最高变为最低用时5s，然后从最低变为最高，又用时5s，重复循环．建立如图2所示的平面直角坐标系，变化的抛物线的对称轴始终为直线，水流最高时距地面2m，水流在地面的落点距喷嘴最远水平距离为3m．    (1)求水流最高时所对应的抛物线解析式； (2)水流最低时，对应抛物线的顶点坐标为_________，在喷泉水流高低变化过程中，水流始终经过对称轴右侧一点，该点的坐标为____________． (3)当水流最高时，淇淇以2m/s的速度从喷泉最高处的正下方跑过，若淇淇的身高为1.6m，请通过计算说明，他是否会被淋湿? 20．为应对近年冬季出现的寒冷天气，农科所在某蔬菜基地试用新型保温大棚技术．大棚横截面为抛物线型，一端固定在距离地面的墙体A处．另一端固定在对面墙体上距离地面的B处，现建立平面直角坐标系（如图所示）．已知大棚上某处离地面的高度y（单位：m）与其离墙体的水平距离x（单位：m）之间的关系满足：，两墙体之间的距离．    (1)求y关于x的函数关系式； (2)现打算在大棚顶部最高处安装照明设备，试计算设备安装位置距离地面的高度； (3)为了避免大雪压垮顶棚，现打算加装一根长度为的支撑立柱（立柱位于墙体和墙体之间），立柱距离两边墙体的水平距离不少于，直接写出立柱长度t的范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C A A C A A C A 1．C 【分析】先根据题意求出抛物线的对称轴，即可得出顶点的横坐标，从而得出炮弹所在高度最高时的值． 【详解】解：此炮弹在第6秒与第18秒时的高度相等， 抛物线的对称轴直线是：， 抛物线开口向下， 时，函数值最大， 即第12秒炮弹所在高度最高， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，在解题时要能根据题意求出抛物线的对称轴得出答案是本题的关键． 2．D 【分析】根据题意和二次函数的性质，可以确定出对称x的取值范围，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可知，物线开口向上， 从18和72两个点可以看出对称轴 ， 最终对称轴的范围是36＜x＜45， 即对称轴位于直线x＝36与直线x＝45之间， 此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为42°． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 3．C 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立平面直角坐标系，则可确定顶点坐标为，，再把解析式设为顶点式，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y经过中点O且经过C点，则通过画图可得知O为原点， 由题意得：抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，和为的一半,即2米，抛物线顶点C坐标为， ∴点B的坐标为， ∴这个抛物线的解析式为， 把点B坐标代入到抛物线解析式得：, ∴， ∴抛物线解析式为， 当水面下降2米， 当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离， 可以通过把代入抛物线解析式得出：， 解得：   ∴水面宽度增加到米， ∴比原先的宽度当然是增加了米， 故选：C． 4．A 【分析】设每件服装降价x元，每件的销售利润为元，每天可卖出件，利用每天售出服装的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出y关于x的函数关系式，再结合要确保盈利且日销售量为整数，即可得出x的取值范围． 【详解】设每件服装降价x元，每件的销售利润为元，每天可卖出件，每天售出服装的利润为y元，由题意得： ， 又∵要确保盈利，且日销售量为整数， ∴，且x为偶数， ∴y关于x的函数解析式为（，x为偶数）． 故选：A． 【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式是解题的关键． 5．A 【分析】一条直角边为x，则另一条直角边为10-x，再利用三角形面积公式即可列式. 【详解】解：由题意得，，故选择A. 【点睛】本题考查了运用三角形面积公式列二次函数表达式. 6．C 【分析】依题意，求出每段的函数解析式，把y＝1代入函数关系式为相关的函数的解析式，求出时间即可． 【详解】当点与点重合时，， ∴正方形的面积为． ∴正方形的边长为， ∴． 当时，，此时． 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，解得（负值已舍）； 或，解得或（不合题意，舍去）． 综上，或7， 故选C． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是通过图形获取信息，要理清图象的含义即会识图． 7．A 【分析】设菱形的边长为，根据菱形的性质求出关于两个机器人之间的距离的解析式，再利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：①设，如图所示， ∵移动时间为，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴在中，； ②设，如图所示， ∵移动时间为，， ∴，，，， ∴， ∴ 在中，， ∴函数图像为两个二次函数图象； ③当从出发的机器人在点，从出发的机器人在点，此时距离是；从出发的机器人在点，从出发的机器人在点，此时距离是； ∵设，， ∴，， ∴， ∴， ∴函数图象的起点和终点高于中间点； 综上所述：项符合题意； 故选． 【点睛】本题考查了二次函数图象的实际应用，菱形的性质，掌握二次函数图象的特点是解题的关键． 8．A 【详解】当F在PD上运动时，△AEF的面积为y=AE•AD=2x（0≤x≤2）， 当F在DQ上运动时，△AEF的面积为y=AE•AF==（2＜x≤4）， 图象为： 故选A． 9．C 【详解】试题分析：如图，过点A作AC⊥PD， 根据题意得：PC=y-2，AC=x，PA=PB=y， 在Rt△ABC中，PC2+AC2=PA2，故：（y-2）2+x2=y2，即：． 故选C． 考点：二次函数的应用． 10．A 【分析】根据题意，根据图形的边长的关系和运动情况，可分为四种情况进行分析讨论，分别求出每一段函数的关系式，即可得到答案. 【详解】解：设等腰直角与正方形DEFG交于点H， 当时，如图，    ，是等腰直角三角形， . . ； 当时，如图，      ，是等腰直角三角形， . . ； 当时，如图，    ，是等腰直角三角形， .. ； 当时，如图，    ，是等腰直角三角形， . . . 综上所述，函数图象如选项A所示. 故选：A. 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象、正方形及等腰直角三角形的性质．解题的关键是根据图形的特点，分段求函数关系式．错因分析  较难题.失分的原因是：1.不能根据x的值正确判断出H点在BC或AC上的位置；2.不能根据H点的位置求出阴影部分面积的关系式；3.不能根据y与x的关系式判断函数的图象. 11． 【解析】略 12．10 【分析】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．根据铅球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求的值即可． 【详解】解：令函数式中，， ， 解得，（舍去）， 即铅球推出的距离是． 故答案为：10． 13．15 【分析】本题是营销问题，基本等量关系：利润＝每件利润×销售量，每件利润＝每件售价﹣每件进价．再根据所列二次函数求最大值． 【详解】解：设利润为w元， 则w＝（20﹣x）（x﹣10）＝﹣（x﹣15）2+25， ∵10≤x≤20， ∴当x＝15时，二次函数有最大值25， 故答案是：15． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 14． 【分析】如图（见解析），先根据矩形的性质可得，再根据一次函数的性质可设点的坐标为，从而可得，然后利用两点之间的距离公式可得，最后利用二次函数的性质即可得． 【详解】以点为原点，建立平面直角坐标系，如下图所示： 在矩形中，，点是的中点， ， ∴， 直线的函数解析式为， 设点的坐标为， 点是上一动点， ， 点是的中点， ， 由两点之间的距离公式得：， 由二次函数的性质得：在内，随的增大而增大， 则当时，取得最小值，最小值为36， 因此，的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形与坐标、二次函数的性质等知识点，正确建立平面直角坐标系是解题关键． 15． 不稳定性 90° 【分析】（1）根据四边形具有不稳定性，可以解答本题； （2）根据题意，画出合适的平面直角坐标系，然后利用二次函数的性质、菱形的性质和勾股定理的逆定理，即可得到∠B1的度数． 【详解】解：（1）这种升降平台设计原理利用了四边形的具有不稳定性． 故答案为：不稳定性； （2）以地面为x轴，顶部所在垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系， 设y＝ax2+24， ∵点（4，0）在该抛物线上， ∴0＝a×（4）2+24， 解得，a＝-， ∴y＝﹣x2+24， 当x＝﹣4时，y＝﹣×（﹣4）2+24＝16， ∴菱形竖直的对角线长为16÷4＝4， 又∵菱形的边长为4，42+42＝（4）2， ∴∠B1＝90°， 故答案为：90°． 【点睛】本题考查二次函数的应用、菱形的性质、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 16．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用SAS证明△ABD≌△ACE得出结果； （2）通过证明△ABD≌△ACE得出结论； （3）CE=BD=x，则S= ，然后求出S的最大值． 【详解】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE， 即∠BAD＋∠CAD＝∠CAE＋∠CAD． ∴∠BAD＝∠CAE． ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴． ∴BD＝CE． （2）证明：∵∠DAE＝∠BAC， 即∠BAD＋∠BAE＝∠CAE＋∠BAE． ∴∠BAD＝∠CAE． ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴． ∴∠ABD＝∠ACE． ∵∠ABD＝∠BAC＋∠ACB， ∠ACE＝∠BCE＋∠ACB， ∴∠BAC＝∠BCE． （3）由（1）知，△ABD≌△ACE， ∴∠B=∠ACE，BD=CE， 又∵∠B+∠ACB=90°， ∴∠ACE+∠ACB=90°， 即∠ECD=90°， 设CE=BD=x，则CD=6-x， ∴S= ， 当x=3时，S最大值= ， 故答案为（或4.5）． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及利用二次函数求最大值，列出函数关系式是解决问题的关键． 17．(1) (2)当销售单价为16元时，该产品利润最大，最大利润是104万元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，反比例函数的实际应用，二次函数的实际应用，理解题意是解决问题的关键． （1）分两段：当时，当时，利用待定系数法解答，即可求解； （2）设利润为w元，分两段：当时，当时，求出w关于x的函数解析式，再根据反比例函数以及二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：当时，设y与x的函数关系式为， ∵点在该函数图象上， ∴， 解得：， ∴当时，y与x的函数关系式为， 当时，设y与x的函数关系式为， ， 解得， 即当时，y与x的函数关系式为， 综上所述，y与x的函数关系式为； （2）当时，， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴w随x的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，此时， 当时，， ∴当时，w取得最大值，此时， ∵， ∴当销售单价为16时，该产品利润最大，最大利润是104万元， 答：当销售单价为16元时，该产品利润最大，最大利润是104万元． 18．(1)①；②描点连线见解析；③曲线是抛物线， ； (2)①，证明见解析；② 【分析】（1）①由表格中前面几个点揭示的规律可得：的纵坐标是横坐标的平方，横坐标的绝对值等于序号，结合符号可得答案；② 把各点在坐标系内描点，再连线即可；③ 根据纵坐标是横坐标的平方可得函数解析式； （2）①由坐标变换的规律可得解析式为：；由，（n为奇数时，取负号，n为偶数时，取正号）可得，（n为奇数时，取负号，n为偶数时，取正号），从而可得结论；② 利用函数解析式建立方程组求解E，F的坐标，再利用勾股定理求解，，从而可得答案． 【详解】（1）解：①由表格中前面几个点揭示的规律可得： 的纵坐标是横坐标的平方，横坐标的绝对值等于序号，结合符号填表如下： ②如图，先描点，再连线即可；    ③由规律可得：解析式为：，曲线是抛物线； （2）①由（1）得：曲线上的点，，，，，，，的横坐标扩大2倍，纵坐标不变，得到系列点，，，，，，，，， ∴，，，，，，， 由坐标变换的规律可得解析式为：； ∵，（n为奇数时，取负号，n为偶数时，取正号） ∴，（n为奇数时，取负号，n为偶数时，取正号） 当时，， ∴在的图象上； ②∵，解得，， ∴， ∴， ∵，解得：，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是点的坐标规律的探究，轴对称的性质，画二次函数的图象，求解二次函数与正比例函数的交点坐标，勾股定理的应用，灵活选择解题方法的解本题的关键． 19．(1) (2)， (3)会被淋湿 【分析】（1）根据题意可得顶点坐标，设解析式，代入求解即可； （2）设解析式，代入求解即可； （3）通过计算淇淇跑过喷泉的时间和喷泉从最高到最低的时间，结合淇淇的身高进行判断即可． 【详解】（1）由对称轴为直线，水流最高时距地面2m，可得顶点坐标为 设抛物线的解析式为 将喷嘴坐标代入 得 解得 ∴抛物线的解析式为 （2）设水流最低时对应抛物线的解析式为 由题意，得 解得 ∴水流最低时对应抛物线的解析式为 令，得 故顶点坐标为 喷泉的形状一直是抛物线，对称轴始终为直线，且始终经过点 所以喷泉始终经过点A关于对称轴的对称点 故答案为：；． （3）淇淇跑过喷泉用时为（s） 而喷泉从最高2米到最低米用时5s ∵ ∴淇淇会被淋湿 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质等，求二次函数的解析式是解题的关键． 20．(1) (2) (3) 【分析】， （1）首先根据题意得到，，然后代入求解即可； （2）将抛物线解析式转化成顶点式求解即可； （3）将和代入函数表达式求解即可． 【详解】（1）由题意可得，，， 将，代入得， 解得 ∴； （2）∵ ∴顶点坐标为 ∵，图象开口向下， ∴函数有最大值 ∴设备安装位置距离地面的高度为； （3）∵立柱距离两边墙体的水平距离不少于， ∴当时， 当时， ∵ ∴． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$