22.3实际问题与二次函数基础训练2024-2025学年人教版数学九年级上册

22.3实际问题与二次函数基础训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度米与小球运动的时间秒之间的关系式为若小球在第秒与第秒时的高度相同，则在下列时间中小球所在高度最高的是（   ） A．第秒 B．第秒 C．第秒 D．第秒 2．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间以（单位：）的函数解析式是y＝60t﹣t2．在飞机着陆滑行中，滑行最后的150m所用的时间是（　　）s． A．10 B．20 C．30 D．10或30 3．已知正方形ABCD的边长为4cm，动点P从A出发，沿AD边以1cm/s的速度运动，动点Q从B出发，沿BC，CD边以2cm/s的速度运动，点P，Q同时出发，运动到点D均停止运动，设运动时间为x（秒），△BPQ的面积为y（cm2），则y与x之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 4．某炮兵部队实弹演习发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间x与高度y的关系为．若此炮弹在第5秒与第16秒时的高度相等，则在下列哪一个时间段炮弹的高度达到最高．（    ） A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒 5．服装店将进价为每件100元的服装按每件x（x＞100）元出售，每天可销售（200﹣x）件，若想获得最大利润，则x应定为（　　） A．150元 B．160元 C．170元 D．180元 6．汽车刹车后行驶的距离s(单位：m)关于行驶的时间t(单位：s)的函数解析式是汽车刹车后到停下来前进的距离是（   ） A． B． C． D． 7．某冬奥官方特许商品零售店购进了一批同一型号的“冰墩墩”玩具，发现一周利润y（元）与销售单价x（元）之间的关系满足，由于某种原因，销售单价只能为，那么一周可获得的最大利润是（    ） A．1568元 B．1518 元 C．1368 元 D．50元 8．如图，这是某运动员在单板滑雪大跳台中的高度y（m）与运动时间x（min）的运动路线图的一部分，它可以近似地看作抛物线的一部分，其中表示跳台的高度，，为该运动员在空中到达的最大高度，若该运动员运动到空中点Q时，点Q的坐标为，则该运动员在空中到达的最大高度的长为（    ）    A． B． C． D． 9．在一个近似直角三角形的空地上要挖一长方形的水池，�要求长方形水池的两个边在直角三角形空地的直角边上，若测量出直角三角形的三边长分别为30m，�40m，50m，则水池的最大面积可以为（） A．300m2 B．325m2 C．400m2 D．285m2 10．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y（万元）与销售量x（辆）之间分别满足：y1＝－x2+10x，y2＝2x，若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润是（    ） A．30万元 B．40万元 C．45万元 D．46万元 二、填空题 11．用一根长为的铁丝围成一个矩形，那么这个矩形的面积可能是 .(写出1个可能的值即可）. 12．从地面竖直向上发射出的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射出时的速度．科学小组在高的实验楼前从地面竖直向上发射出小球，如图所示．若发射出小球的初速度，当小球离地面的高度与实验楼的高度相同时，的值为 ． 13．退休的李老师借助自家15米的院墙和总长度为30米的围栏，在院墙外设计一个矩形花圃种植花草．为方便进出，他在如图所示的位置安装了一个1米宽的门，如果设和墙相邻的一边长为x米，花圃面积为y平方米，则y与x之间的函数关系式为 ． 14．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线是抛物线（单位：米）的一部分．则水喷出的最大高度是 米． 15．小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为轴方向，为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从轴上的点出手，运动路径可看作抛物线，在点处达到最高位置，落在轴上的点处．则小明此次试投的成绩（线段的长度）是 米． 三、解答题 16．如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与点O的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，AB是高度为3米的防御墙．若以点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求石块运动轨迹所在抛物线的解析式； (2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB； (3)在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面OA的最大距离． 17．如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”    (1)试猜想筝形的对角线有什么位置关系，然后用全等三角形的知识证明你的猜想； (2)已知筝形的对角线的长度为整数值，且满足．设的长为x，四边形的面积为S，试求x为多少时，S有最大值，最大值是多少？ 18．某药店在口罩销售中发现：一款进价为10元/盒的口罩，销售单价为15元/盒时，每天可售出40盒，药店在销售中发现：若销售单价每降价1元，则每天可多售出10盒．设每盒降价x元（且x为整数）． (1)降价后每盒盈利______元，每天可售出_______盒（用含x的式子表示）； (2)在满足药店正常销售的情况下，每盒降价多少元时，每天的销售利润最大?并求此时最大利润． 19．如图，要建一个圆形喷水池，在池中心竖直安置一根水管，在水管的顶端A安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m．以水管与地面的交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，每个单位长度表示1m．    (1)求水管的长度． (2)如图2，是图中抛物线上一动点，点与点P关于y轴对称，画出点所在的抛物线的草图，并直接写出点所在抛物线的解析式及自变量的取值范围． (3)将水管OA喷水头往上平移m，求水柱落地处离池中心的距离． 20．如图，某公司要在办公楼前的广场修建一个圆形的喷水池，在池中心竖直安装一根水管，并且在距离池中心地面高的水管处安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱与池中心的水平距离为4m时达到最高，高度为．建立如图所示的平面直角坐标系，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度． (1)求抛物线的解析式； (2)求水柱落地处与池中心的水平距离．（结果保留两位小数，参考数据：）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B B A D A B A D 1．B 【分析】根据题意可以求得该函数的对称轴，根据二次函数的性质，即可解答本题． 【详解】解：由题意可得， 当时，取得最大值， 当时，取得最大值， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 2．A 【分析】由于飞机着陆，不会倒着跑，所以当y取得最大值时，t也取得最大值，求得t的取值范围，然后解方程即可得到结论． 【详解】解：当y取得最大值时，飞机停下来， 则y＝60t﹣1.5t2＝﹣1.5（t﹣20）2+600， 此时t＝20，飞机着陆后滑行600米才能停下来． 因此t的取值范围是0≤t≤20； 即当y＝600﹣150＝450时， 即60t﹣t2＝450， 解得：t＝10，t＝30（不合题意舍去）， ∴滑行最后的150m所用的时间是20﹣10＝10， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程综合运用,关键在于解一元二次方程. 3．B 【分析】根据题意，Q点分别在BC、CD上运动时，形成不同的三角形，分别用x表示即可. 【详解】（1）当0≤x≤2时， BQ＝2x 当2≤x≤4时，如下图 由上可知 故选B. 【点睛】本题是双动点问题，解答时要注意讨论动点在临界两侧时形成的不同图形，并要根据图形列出函数关系式. 4．B 【分析】二次函数是一个轴对称图形，到对称轴距离相等的两个点所表示的函数值也是一样的． 【详解】解：根据题意可得：函数的对称轴为直线， 与差值最小， 即当时函数达到最大值． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的对称性，理解“如果两个点到对称轴距离相等，则所对应的函数值也相等”是解决这个问题的关键． 5．A 【分析】设获得的利润为y元，由题意得关于x的二次函数，配方，写成顶点式，利用二次函数的性质可得答案． 【详解】解：设获得的利润为y元，由题意得： ∵a＝﹣1＜0 ∴当x＝150时，y取得最大值2500元． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确地写出函数关系式，并明确二次函数的性质，是解题的关键． 6．D 【分析】求出函数的最大值即可得求解． 【详解】∵s＝15t−6t2＝−6（t−）2＋， ∴当t＝时，S取得最大值， 即汽车刹车后到停下来前进的距离是m， 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，根据题意理解其最大值的实际意义是解题的关键． 7．A 【分析】本题考查了二次函数的基本应用及二次函数的最值问题，熟练掌握基本知识是解题关键． 先根据二次函数解析式求出开口方向和对称轴，再通过的取值范围求出最大值即可． 【详解】解：∵一周利润y（元）与销售单价x（元）之间的关系满足， 函数开口向下，对称轴为，当时，函数取到最大值为1568， 所以当时，函数取到的最大值为1568， ∴可获得的最大利润为1568元． 故选：A． 8．B 【分析】本题考查了二次函数的应用，把点A的坐标确定，代入解析式，确定抛物线，求出顶点坐标即可． 【详解】根据题意，得， 把，分别代入解析式，得， 解得， 故抛物线解析式为， 故 ， 故顶点坐标为， 故最大高度为， 故选B． 9．A 【详解】如图所示, 设DF=x,DE=y,在△ABC中,DF∥AB,可得,即, 同理可得,即, 由AD+CD=AC,可得:,则矩形花园的面积, 当且仅当x=15,y=20时,,则AD=CD=25,即点D为AC的中点时,矩形花园的面积最大,且为300,故选A. 10．D 【分析】首先根据题意得出总利润与x之间的函数关系式，进而求出最值即可． 【详解】解：设在甲地销售x辆，则在乙地销售（15﹣x）辆，根据题意得出： W＝y1+y2＝﹣x2+10x+2(15﹣x)＝﹣x2+8x+30， ∴最大利润为：＝＝46（万元）， 故选D． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，得出函数关系式进而利用最值公式求出是解题关键． 11．10（不唯一，） 【分析】设矩形的一边长是xcm，则邻边的长是(10−x)cm，则矩形的面积S即可表示成x的函数，根据函数的性质即可求解． 【详解】解：设矩形的一边长是xcm，则邻边的长是(10−x)cm. 则矩形的面积S=x(10−x)，即S=−x2+10x， 当x= =5时，S有最大值是25cm2. ∴， ∵写出1个可能的值即可， 故答案为10. 【点睛】本题考查了二次函数的性质，求最值得问题常用的思路是转化为函数问题，利用函数的性质求解． 12．1或3/3或1 【分析】本题考查二次函数的实际应用，理解题意是解题关键．将，代入求解即可． 【详解】解：将，代入，得：， 解得：，． 所以当小球离地面的高度与实验楼的高度相同时，的值为1或3． 故答案为：1或3． 13． 【分析】由总长度为30米的围栏围成矩形的三边，据此写出矩形的长，用含x的代数式表示，再根据矩形的面积公式解题． 【详解】解：根据题意得，矩形的宽为x米，则长为：米，且 花圃面积为y=， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的应用，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 14．9 【分析】根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线的顶点坐标的纵坐标，利用配方法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案． 【详解】解：水在空中划出的曲线是抛物线， 喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线的顶点坐标的纵坐标， ， 顶点坐标为：， 喷水的最大高度为9米， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题． 15． 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，根据图中信息可设抛物线表达式为，再将点A坐标代入表达式中可求出a值，以此即可求出抛物线的表达式，再根据题意解方程即可解答． 【详解】解：根据图中信息可设抛物线表达式为， 由抛物线过点， 得， 解得：， ∴铅球路径所在抛物线的表达式为； 令，则， 解得：， ∵点C在x轴正半轴上， ∴， ∴米， 故答案为： 16．(1)y＝﹣x2＋x（0≤x≤40） (2)能飞越，理由见解析 (3)8.1米 【分析】（1）设石块运行的函数关系式为y＝a（x﹣20）2+10，用待定系数法求得a的值即可求得答案； （2）把x＝30代入y＝﹣x2+x，求得y的值，与6作比较即可； （3）用待定系数法求得OA的解析式为y＝x，设抛物线上一点P（t，﹣t2+t），过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，则Q（t，t），用含t的式子表示出d关于t的表达式，再利用二次函数的性质可得答案； 【详解】（1）解：设石块的运动轨迹所在抛物线的解析式为y＝a（x﹣20）2＋10． 把（0，0）代入，得400a＋10＝0，解得a＝﹣． ∴y＝﹣（x﹣20）2＋10．即y＝﹣x2＋x（0≤x≤40）． （2）解：把x＝30代入y＝﹣x2＋x，得y＝﹣×900＋30＝7.5． ∵7.5＞3＋3，∴石块能飞越防御墙AB． （3）解：设直线OA的解析式为y＝kx（k≠0）． 把（30，3）代入，得3＝30k， ∴k＝． 故直线OA的解析式为y＝x． 设直线OA上方的抛物线上的一点P的坐标为（t，﹣t2＋t）． 过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，则Q（t，t）． ∴PQ＝﹣t2＋t﹣t＝﹣t2＋t＝﹣（t﹣18）2＋8.1． ∴当t＝18时，PQ取最大值，最大值为8.1． 答：在竖直方向上，石块飞行时与坡面OA的最大距离是8.1米． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 17．(1)垂直，理由见解析； (2)当时，有最大值，最大值为 【分析】（1）证可得，再证即可得，故可求证； （2）根据即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，，, ∴ ∴， ，， ∴， ∴， ， ∴， ∴ （2）解：， ∵，的长为x ∴ ∴ ∴当时，有最大值，最大值为 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、二次函数的实际应用等．掌握相关知识是解题关键． 18．(1)， (2)当每盒降价1元时，可取得最大利润，且最大利润为元 【分析】（1）每盒降价x元，则利润也降x元，由原利润与降价之差即得现在每盒的利润；由降价而增加的销售量与原有销售量之和即为现在每天的销售量； （2）设每天的利润为y元，可得到关于x的二次函数，根据二次函数关系式可求得利润的最大值． 【详解】（1）解：未降价前，每盒的利润为（元），降价后每盒的利润为元； 因销售单价每降价1元，则每天可多售出10盒， 所以销售单价降价x元，则可增加销售盒， 所以现在每天的销售量为盒； 故答案为：，； （2）解：设每天的利润为y元，由可得：， 整理得：， ∵且x为整数，， ∴当时，函数有最大值； 答：当每盒降价1元时，可取得最大利润，且最大利润为元． 【点睛】本题是销售与利润实际问题，考查了列代数式、二次函数的最值，理解题意，列出函数关系式是解题的关键． 19．(1) (2)图像如图所示， (3) 【分析】对于（1），根据题意可知图象的顶点坐标为，经过点，再设顶点式并求出，令可得答案； 对于（2），先画出图象，再确定点的坐标，进而得出关系式，并求出自变量取值范围； 对于（3），先求出平移后的关系式，再令，可得答案． 【详解】（1）根据题意可知图象的顶点坐标为，经过点． 设二次函数的关系式为，根据题意，得 ． 又∵图象经过点， ∴， 解得， ∴二次函数的关系式为． 当时，， ∴m． （2）如图所示．    由（1），得二次函数的关系式为． 则点关于y轴对称的点的坐标为， ∴点所在抛物线的关系式为（）； （3）将水管喷头往上平移，可得关系式为． 令，得， 解得或（舍）． 所以水柱落地后离中心的距离是． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，画二次函数图像，二次函数图像的平移，二次函数的对称性等，选择适当的关系式是解题的关键． 20．(1) (2)水柱落地处与池中心的水平距离为米 【分析】本题考查二次函数的实际运用，解题的关键是掌握二次函数顶点式，函数的性质． （1）设抛物线的解析式为：，把顶点代入，再把，代入，即可； （2）根据（1）中得函数解析式，当时，求出的值，即可． 【详解】（1）设抛物线的解析式为：， ∵顶点坐标为：， ∴， ∵点， ∴， 解得：， ∴函数的解析式为：． （2）由（1）得，函数解析式为：， ∴当时，， 解得：，（舍）， ∴， 答：水柱落地处与池中心的水平距离为：米． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$