5.2.1三角函数的概念第1课时 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.2.1 三角函数的概念（第一课时） 第五章三角函数 logo 1 01 知识回顾 2 函数的概念： 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称 f：A→B为从集合A到集合B的一个函数记作： y=f(x) x∈A． 高中函数的概念是什么？ 任 意 唯一 确定 02 新知探索 4 函数是刻画客观世界中变量关系和规律的重要语言和工具.在现实生活中有这样一类现象，昼夜更替、月亮圆缺、潮汐变化、四季轮回、钟摆、摩天轮等，这类现象有什么样的共同特点？ 一、情境引入 2024年5月3日，嫦娥六号成功发射，它是中国嫦娥探月计划第六个探测器.月球作为地球的卫星，它不仅见证了地球的历史，对地球的稳定、气候、生物圈等方面有着重要的意义.在日常生活中，每个月都可以看到月亮圆缺的变化.我们已学过的函数模型能否刻画这种现象呢？ 这是一幅月相图，月亮在运动的过程中，它的位置变化可以用什么来刻画？假设月亮绕地球旋转的轨迹是个圆，地球在圆心O处，月亮的位置记为P，它到地球的距离为单位1，则点P以A为起点做逆时针方向旋转，能否建立一个函数模型，刻画点P的位置变化情况？ 如图，以单位圆的圆心O为原点， 以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，则点A的坐标为(1，0)，点P的坐标为(x，y)，射线OA从x轴非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角 ，终止位置为OP． 二、构建模型 8 【探究1】当 时，点P的坐标是什么？当 或 时，点P的坐标又是什么？给定一个角 ，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标是唯一确定的吗？ 利用勾股定理可以发现，当 时，点P的坐标是 ；当 或 时，点P的坐标分别是 和 ，它们都是唯一确定的(如图).                   9 【探究2】任意给定一个角 ，观察它的终边OP与单位圆的交点P的坐标，你有什么发现？ 【探究3】你认为点 P 的坐标 是角 的函数吗? 如果是, 你能用集合与对应语言来刻画这种函数关系吗？ f :实数 (弧度)对应于点P的纵坐标y A集合 B集合 g:实数 (弧度)对应于点P的横坐标 h :实数 (弧度)对应于点P的 纵坐标y与横坐标的比值 , 自变量 函数值 对应关系 【结论】一般地，任意给定一个角 ，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标，无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的.所以，点P的横坐标x和纵坐标y都是角 的函数．下面给出这些函数的定义． 设α是一个任意角， ，它的终边与单位圆相交于点P(x，y) (1)把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y=sinα； (2)把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cosα，即x=cosα； (3)把点P的纵坐标和横坐标的比值 叫做α的 ,记作 ,即 (x≠0). 三、生成概念 12 设 是一个任意角， ，它的终边与单位圆相交于点P(x，y)， 可以看出，当 时，α的终边始终在y轴上，这时P点的横坐标x等于0，所以 无意义.除此之外，正切tanα与实数α是一一对应的，所以它们之间也是函数关系，称为正切函数． 13 角确定→角的终边唯一确定→角的终边与单位圆的交点确定→角的三角函数值（正弦值、余弦值、正切值）确定，所以角的三角函数值是关于角的函数，通常我们把自变量角记为x，对应的函数值记为y． 我们把正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常把它们记为： 正弦函数：y=sinx， x∈R； 余弦函数：y=cosx， x∈R； 正切函数：y=tanx， ． 14 O x y P(x，y) α 1 M 利用锐角三角函数概念可得： 与按本节三角函数定义求得的结论是相同的． 【探究4】在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，设 ，把按锐角三角函数的定义求得的锐角x的正弦值记为z1，并把按本节三角函数定义求得的x的正弦值记为y1，那么z1与y1相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？ 15 【例1】求 的正弦、余弦和正切值． O x y 1 M 【解析】在坐标系中作出∠AOB= ，易知: ∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为 ， 所以 如何求 角的三角函数值? 借助解直角三角形求得 终边与单位圆交点的坐标，再通过三角函数的定义求出 的三角函数值． 四、应用新知 16 【例2】如图，设 是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r．求证： 【解析】设 的终边与单位圆交于点P0(x0，y0)，分别过点P，P0作x轴的垂线PM，P0M0，垂足分别为M，M0，则: |P0M0|＝|y0|，|PM|＝|y|，|OM0|＝|x0|，|OM|＝|x|，ΔOMP∽ΔOM0P0 17 思考：根据例2，若已知点P 为角 终边上异于原点的任意一点，那 么 的各个三角函数值是否可以确定？ 故只要知道角 终边上任意一点，那么就可以求得角 的各个三角函数值，显然任意角 的三角函数值仅与有关，而与点P在角的终边上的位置无关. 18 03 拓展提升 19 三角学与天文学 雷格蒙塔努斯，最早将三角学从天文学中独立出来的数学家，著作《论各种三角形》.2卷平面三角形，明确使用正弦定理.3卷球面三角形，给出球面三角形的正弦定理和余弦定理.为三角学在平面、球面几何中的应用奠定了基础.对16世纪的数学家产生了极大影响. 哥白尼的学生雷提库斯将传统的弧与弦的关系改进为三角函数的关系，把三角函数定义为直角三角形的边的比，使平面三角从球面三角中独立出来，定义了正弦、余弦、正切、余切、正割，余割六个三角函数.大大推动了三角学的发展. 韦达将平面三角形和斜三角形的公式汇集在一起，补充了自己发现的正切公式，和差化积公式，将斜三角形中的问题转化为直角三角形的问题，平面三角形与球面三角系统转化工作，使三角学得到进一步发展. 04 归纳总结 21 1、单位圆：以单位长度为半径的圆. 2、任意角的三角函数概念 3、思想方法：数形结合思想 若点P 为角α终边上异于原点的任意一点，则 05 课后作业 23 1.利用三角函数定义，求 的三个三角函数值. 2. 已知角 的终边过点 , 求角 的三角函数值。 3. 在平面直角坐标系中，角 的终边在直线 上，求 ， ， 的值． $$