精品解析：重庆十一中教育集团2024-2025学年八年级上学期期中数学试题

重庆十一中教育集团初2026级八年级（上）半期考试 数学试题 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案在答题卡上对应方框内涂黑． 1. 下列四种图案是2024年巴黎奥运会中部分运动项目的示意图，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形．熟练掌握轴对称图形的概念，是解决问题的关键．轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念逐一判断，即得． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，本选项不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，本选项不符合题意； C、该图形不是轴对称图形，本选项不符合题意； D、该图形是轴对称图形，本选项符合题意． 故选：D． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 的立方根是4 B. 16的平方根是4 C. 的算术平方根是 D. 不是正数就是负数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方根，立方根概念，熟练掌握平方根，立方根概念是解题的关键；根据平方根和立方根的概念逐项判断即可． 【详解】解：解：A、的立方根是，故本选项的说法错误； B、的平方根是，故本选项的说法错误； C、的算术平方根是，故本选项的说法正确； D、可能为，故本选项的说法错误． 故选：C． 3. 如图，在数轴上找出表示3的点A，则，过点A作直线垂直OA，在上取点B，使，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C．其中点C表示的实数是（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，计算即可求解． 【详解】解：由题意得：， 故选：D. 4. 以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，6 C. 6，8，15 D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A．，， ， 不能构成直角三角形， 故选项不符合题意； B．，， ， 不能构成直角三角形， 故选项不符合题意； C．， 不能构成三角形， 故选项不符合题意； D．，， ， 能构成直角三角形， 故选项符合题意； 故选：D． 5. 已知，且a，b是两个连续正整数，则等于（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用的近似值得出a，b的值，进而得出答案． 【详解】解：∵，且a，b为两个连续的正整数， ∴ ∴a=3，b=4， ∴a+b=7． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了估算无理数大小，正确得出的取值范围是解题关键． 6. 若函数是关于的一次函数． 则的值是（ ） A. B. C. 或 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的定义，一次函数的定义条件是：为常数，，自变量次数为1．根据一次函数的定义可知，，从而可求得k的值． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴且， 解得． 故选A． 7. 在《九章算术》中，二元一次方程组是通过“算筹”摆放的，如图1、图2所示．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．如图1所示的算筹图表示的方程组是，类似的，图2所示的算筹图表示的方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据图形，结合题目所给的运算法则列出方程组即可； 【详解】解：由题意可得， 图②所示的算筹图可以表述为：， 故选：B． 8. 如图，一次函数与正比例函数（m、n是常数，且）的图象的是（ ） A. ①和③ B. ②和③ C. ①和④ D. ②和④ 【答案】D 【解析】 【分析】利用正比例函数的图象和一次函数的图象逐一判断即可求解． 【详解】解：①、由正比例函数图象得：，由一次函数图象得：，且，则，则①错误，故不符合题意； ②、由正比例函数图象得：，由一次函数图象得：，且，则，则②正确，故符合题意； ③、由正比例函数图象得：，由一次函数图象得：，且，则，则③错误，故不符合题意； ④、由正比例函数图象得：，由一次函数图象得：，且，则，则④正确，故符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查了正比例函数的图象和一次函数的图象，熟练掌握其图象是解题的关键． 9. 如图，在中，，，，将折叠，得到折痕，且顶点B恰好与点A重合，点C落在点F处，则的长为（　　）． A. 4 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，勾股定理及其逆定理的应用．连接，先证明是直角三角形，且，再证明是的垂直平分线，得到，设，则，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，如图； ，，， ，，， ， 是直角三角形，且， 由折叠的性质得：， 顶点B恰好与点A重合， ， 是的垂直平分线， ， 设，则， 在中，， ， , ， 故选：B． 10. 对x，y定义一种新运算T，规定：（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，则下列结论正确的有（ ） ①，； ②若，则； ③若，则m，n有且仅有2组整数解； ④若无论取何值时，的值均不变，则； ⑤若对任意有理数，都成立，则． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程（组），由题意联立方程组，求出、的值，即可确定（1）正确；由已知，得到，求出即可确定（2）正确；根据，，，可确定（3）正确；根据，得出或，可确定（4）不正确；由题意列出方程，得到，由对任意有理数、都成立，则，可确定（5）正确． 【详解】解：， ， 解得，故（1）正确； ， ， ， ， ，故（2）正确； 、均取整数， ，，， ∴，，（舍去），（舍去），（舍去），（舍去） ∴m，n有2组整数解，故（3）正确； ∵，无论取何值时，的值均不变， ， ∴或，故（4）不正确； ， ， ， 对任意有理数、都成立， ，故（5）正确； 综上所述：（1）（2）（3）（5）正确， 故选：C． 二．填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：=____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，平方、算术平方根、立方根，解题关键是熟练掌握定义． 先计算平方、算术平方根和立方根，再计算加减． 【详解】解： 故答案为： 12. 如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是、长是、宽是，一只蚂蚁沿台阶从点出发爬到点，其爬行的最短线路的长度是______． 【答案】 【解析】 【分析】展开成平面图形，根据勾股定理，即可求解，本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是：利用两点之间线段最短． 【详解】解：将台阶展开成平面图形： 在中，，， ， 其爬行的最短长度， 故答案为：． 13. 下列各数3.14，，1.212212221…，，，，中，无理数的个数有________个． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的定义，根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可，关键在于了解无理数即为无限不循环小数． 【详解】∵各数3.14，，，，，，中，无理数有，，， ∴无理数的个数是3个． 故答案为：3． 14. 有理化分母：＝_____． 【答案】3﹣． 【解析】 【分析】依题意，把的分子、分母同时乘即可. 【详解】由题知： ＝ ＝； 故填：； 【点睛】本题考查分式根式的化简，关键在根式分母的有理化. 15. 已知一次函数的图像与两坐标轴围成的三角形面积为6，则k的值___________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积计算，正确计算交点，学会把坐标转换成线段长度是解题的关键． 【详解】解：一次函数与x轴的交点为，与y轴的交点坐标为， ∵一次函数的图像与两坐标轴围成的三角形面积为6， 故， ∴， 解得． 故答案为：． 16. 若关于,的方程的解满足，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】由得出，再根据即可解出值即可． 【详解】解： 由得：，即：， ∵， ∴， 可得：， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法和明确二元一次方程组的解得含义，是解题的关键． 17. 如图所示，在平面直角坐标系中，线段所在直线的函数表达式为，C是的中点，P是上一动点，则的最小值是__．  【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数求点的坐标和性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，掌握轴对称最短路径的确定方法是解题的关键． 作点O关于的对称点，连接交于点D，连接，与交于点，再求出，C的坐标，根据勾股定理求出的值，即为的最小值． 【详解】解：作点O关于的对称点，连接，与交于点，连接交于点D，如图： 此时，的值最小，最小值为的长， 线段所在直线的解析式为， ，， ， C是的中点， ， 是点O关于的对称点， ，，， 四边形是正方形， ， 的最小值是． 18. 已知任意一个三位数，百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为（其中，，，）．的前两位数字组成的两位数与的个位上的数字的和记为，交换的百位数字和十位数字并用这两位数字组成的新两位数与的个位数字的和记为．如：当时，，．则的最大值为______，当能被7整除时，所有符合条件的值的和为______． 【答案】 ①. 741 ②. 900 【解析】 【分析】由已知条件可得，，由、的取值范围得，由、、为正整数可确定得最大，即可求出的最大值；由整式加法运算化简得，，可得能被整除，由、在取值范围内分类讨论即可求解． 【详解】解：根据题意可得： ， ， ，， ， ，， 且、、为正整数， 要使的最大值， 取最大， ，， ， 解得：， 的最大值为； ， ， 能被整除， 能被整除， ①当，时 能被整除， ， 解得：， ； ②当，时 能被整除， ， 解得：， ； ③当，时 能被整除， ， 解得：， ； ； 故答案：，． 【点睛】本题考查了新定义运算，整式加减等，理解新定义，能将问题转化为能被整除，再进行分类讨论是解题的关键． 三．解答题（本大题8个小题，19题8分；20-26题每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，实数的混合运算． （1）利用加减消元法计算即可求解； （2）先根据立方根、算术平方根、乘方、绝对值的性质化简，然后再计算即可解答． 【小问1详解】 解：， 得，， 解得， 将代入①得， 解得， ∴方程组的解为； 【小问2详解】 解： ． 20. 如图所示，平面直角坐标系中，已知，，． （1）在平面直角坐标系中画出． （2）请画出关于轴对称的，并写出各顶点坐标． （3）已知为轴上的动点，当和的面积相等时，求点的坐标． 【答案】（1） 如图，为所求 （2） 如图，为所求 ；； （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了网络作图，轴对称，平移，三角形面积等，掌握在网络图中作图，关于y轴对称的点坐标特征，点沿y轴平移的坐标特征.网络三角形面积计算是关键. (1) 根据，，，在平面直角坐标系网格图中描点，用线段顺次连接各点，得到， (2) 利用轴对称的性质分别作出A,B,C的对应点即可； (3) 把三角形的面积看成矩形的面积减去周围三个三角形面积即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设， ， ， 故或， 故点的坐标为或． 21. 如图，已知中，． （1）请用基本的尺规作图：作的角平分线交于点D，在上取一点E，使得，连接（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）： （2）在（1）所作的图形中，探究线段与之间的数量关系．小明遇到这个问题时，给出了如下的解决思路，请根据小明的思路完成下面的填空． 解：，理由如下： ∵平分， ∴ ， 在与中， ， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵， ∴． 【答案】（1）图形见解答 （2）∠EAD，DB，∠C，BD 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识． （1）根据要求作出图形即可； （2）根据证明，推出，，再证明，可得结论． 【小问1详解】 解：图形如图所示： 【小问2详解】 ，理由如下： ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 22. 如图，一根直立的旗杆高8米，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为4米． （1）求旗杆在距地面多高处折断； （2）工人在修复的过程中发现在折断点的下方1.25米的点处有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，在距离旗杆底部5米处是否有被砸伤的风险？ 【答案】（1）旗杆距地面3米处折断 （2）在距离旗杆底部5米处有被砸伤的风险 【解析】 【分析】（1）设长为米，则长为米，根据勾股定理即可得到结论； （2）设旗杆再次折断时，旗杆顶新的着地点为，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：由题意知，， 设长为米，则长为， 根据勾股定理得， 解得． 答：旗杆距地面3米处折断； 【小问2详解】 解：如图，设旗杆再次折断时，旗杆顶新的着地点为， 连接． （米）， （米）． （米）． 即距离旗杆底部周围6米的范围内有被砸伤的风险． 在距离旗杆底部5米处有被砸伤的风险． 23. 先阅读，后解答： （1）由根式的性质计算下列式子得： ①=3，②，③，④=5，⑤=0． 由上述计算，请写出的结果（a为任意实数）． （2）利用（1）中的结论，计算下列问题的结果： ①； ②化简：（x＜2）． （3）应用： 若=3，求x的取值范围． 【答案】（1）=|a|=；（2）①π﹣3.14，②2﹣x；（3）x的取值范围是5≤x≤8. 【解析】 【分析】（1）将a分为正数、0、负数三种情况得出结果； （2）①当a=3.14﹣π＜0时，根据（1）中的结论可知，得其相反数﹣a，即得π﹣3.14； ②先将被开方数化为完全平方式，再根据公式得结果； （3）根据（1）式得： =|x﹣5|+|x﹣8|，然后分三种情况讨论：①当x＜5时，②当5≤x≤8时，③当x＞8时，分别计算，哪一个结果为3，哪一个就是它的取值． 【详解】（1）=|a|=； （2）①=|3.14﹣π|=π﹣3.14， ②（x＜2）， =， =|x﹣2|， ∵x＜2， ∴x﹣2＜0， ∴=2﹣x； （3）∵=|x﹣5|+|x﹣8|， ①当x＜5时，x﹣5＜0，x﹣8＜0， 所以原式=5﹣x+8﹣x=13﹣2x； ②当5≤x≤8时，x﹣5≥0，x﹣8≤0， 所以原式=x﹣5+8﹣x=3； ③当x＞8时，x﹣5＞0，x﹣8＞0， 所以原式=x﹣5+x﹣8=2x﹣13， ∵=3， 所以x的取值范围是5≤x≤8. 【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简，明确二次根式的两个性质：①（）2=a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）；②=|a|=；尤其是第2个性质的运用，注意被开方数是完全平方式时，如第（3）小题，要分情况进行讨论． 24. 如图，数轴上有A，B两点，对应的数分别为和4，动点P，Q分别从A，B同时出发都向右运动，点P的速度为4个单位长度/秒，点Q的速度为1个单位长度/秒，设P、Q的运动时间为x秒，若用，分别表示和的长度，请回答下列问题： （1）请直接写出，与x的关系为： ， ． （2）在直角坐标系中画出，的函数图象，根据所画图象，写出一条关于函数的性质 ． （3）观察图象，直接写出不等式的解集为 ． 【答案】（1）； （2） 作图如下： 当时，随x的增大而减小，当时，随x的增大而增大 （3）或 【解析】 【分析】（1）由题意得，根据代入即可求出；分类讨论当点P在点O左侧时，根据求解；当点P在点O右侧或与点Q重合时，根据求解；当点P在点Q右侧时，根据求解即可； （2）分别选取函数图象上的两点即可作图，再根据函数的增减性写出的一条性质即可； （3）先求出，图象交点的横坐标，再根据图象求解即可． 【小问1详解】 设P、Q的运动时间为x秒， 由题意得， ∵数轴上有A，B两点，对应的数分别为和4， ∴， ∵， ∴， 当点P在点O左侧时，即时， ∵， ∴， 当点P在点O右侧或与点Q重合时，即时， ∵， ∴， 当点P在点Q右侧时，即时， ∵， ∴， 综上，； 故答案为：；； 【小问2详解】 当时，；当时，； 当时，；当时，；或当时，；当时，； 当时，随x的增大而减小，当时，随x的增大而增大； 故答案为：当时，随x的增大而减小，当时，随x的增大而增大； 【小问3详解】 令，即，或 解得或， 由图象得当或时，， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，函数关系式，画一次函数图象，一次函数图象的交点，利用一次函数图象解一元一次不等式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 25. 模型探究： （1）如图1，在等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点，过作于点．求证：； 模型应用： （2）已知直线与坐标轴交于点、，将直线绕点逆时针旋转至直线，如图2，求直线的函数表达式； （3）如图3，已知点、在直线上，且．若直线与轴的交点为，为中点．试判断在轴上是否存在一点，使得是以为斜边的等腰直角三角形． 【答案】 （1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）； （3）不存在这样的点 【解析】 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）设点绕点逆时针旋转90°到点，过点作轴于点，根据（1）求出C的坐标，将A、C的坐标代入解析式即可求出答案； （3）作于点E，作于点F，先求出，．证明，求出，可得，证明，可得，假设存在这样的点，使得是以为斜边的等腰直角三角形，设，然后根据勾股定理逆定理列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）设点绕点逆时针旋转90°到点，过点作轴于点， 同（1）可正：， ∴，， ∵， 当时，，∴点， 当时，，，∴点， ∴，， ∴， ∴， 设的解析式为，把、两点坐标代入，得 ，解得， ∴的解析式：； （3）如图3，作于点E，作于点F， ∵， ∴当时，，当时，，， ∴， ∴． ∵，为中点， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 同（1）可正：， ∴， ∴． 假设存在这样的点，使得是以为斜边的等腰直角三角形，设， 则， ∴， 整理得， ∴无解， ∴假设不成立，即不存在这样的点． 【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，待定系数法求一次函数的解析式，反证法，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及反证法是解题的关键． 26. 已知为等边三角形． （1）如图1，点D为边上一点，以为边作等边三角形，连接，求证：． （2）如图2，以为腰作等腰直角三角形，取斜边的中点E，连接，交于点F．求证：． （3）如图3，若，点P是边上一定点且，若点D为射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接、，直接写出的最小值． 【答案】（1） 证明：∵等边和等边； ∴，； ∵； ∴； ∴ （2） ∵； ∴； ∵，； ∴； ∴； 即； ∵三角形是等腰直角三角形，E为中点 ∴平分； ∴； ∴； 上取一点H，使； ∴是等边三角形； ∴； 即； ∵， ， ； ∴； ∴； 即． （3） 【解析】 【分析】（1）本题主要考查全以等边三角形为背景的全等三角形的判定（手拉手模型），直接利用，两个等腰三角形的对应边相等即可证明全等． （2）本题通过，，就可以确定的形状，可以推出，进而得到，然后再线段上取一点H构造等边三角形就可证明结论了． （3）第三小问，先确定性分析，，，即对角互补，所以要把，绕着点E逆时针旋转，得到等边三角形，再根据全等的性质可以推出，最后确定点E的轨迹是在射线上运动，之后就是做对称，将军饮马问题，直接可以求出最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如下图所示，∵，； 把绕点E逆时针旋转，得到； ∵； ∴； ∴C，D，M三点共线； 由旋转的性质可知，是等边三角形； ∴; ∴点E的轨迹是射线； 作点B关于直线的对称点N； ∴； ∵； ∴； 即的最小值为． 【点睛】本题主要考等边为背景下的全等三角形的判定，旋转变换下以等腰直角三角形旋转下的全等构造，进而判定线段相等，考查全等的判定和性质，考查对角互补性的全等构造，确定动点E的轨迹，将军饮马求两条线段的最值，遇到两个共顶点等边三角形，就一定能通过公共角和差，证明全等三角形，确定性分析，构造等边三角形是解决线段和证明的有效路径，求最值，利用旋转寻找动点轨迹是解题关键，将军饮马问题巧转化，求最值也是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆十一中教育集团初2026级八年级（上）半期考试 数学试题 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案在答题卡上对应方框内涂黑． 1. 下列四种图案是2024年巴黎奥运会中部分运动项目的示意图，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 的立方根是4 B. 16的平方根是4 C. 的算术平方根是 D. 不是正数就是负数 3. 如图，在数轴上找出表示3的点A，则，过点A作直线垂直OA，在上取点B，使，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C．其中点C表示的实数是（ ） A. B. 4 C. D. 4. 以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，6 C. 6，8，15 D. 5，12，13 5. 已知，且a，b是两个连续正整数，则等于（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 若函数是关于的一次函数． 则的值是（ ） A. B. C. 或 D. 无法确定 7. 在《九章算术》中，二元一次方程组是通过“算筹”摆放的，如图1、图2所示．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．如图1所示的算筹图表示的方程组是，类似的，图2所示的算筹图表示的方程组是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一次函数与正比例函数（m、n是常数，且）的图象的是（ ） A. ①和③ B. ②和③ C. ①和④ D. ②和④ 9. 如图，在中，，，，将折叠，得到折痕，且顶点B恰好与点A重合，点C落在点F处，则的长为（　　）． A. 4 B. C. 5 D. 10. 对x，y定义一种新运算T，规定：（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，则下列结论正确的有（ ） ①，； ②若，则； ③若，则m，n有且仅有2组整数解； ④若无论取何值时，的值均不变，则； ⑤若对任意有理数，都成立，则． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二．填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：=____________． 12. 如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是、长是、宽是，一只蚂蚁沿台阶从点出发爬到点，其爬行的最短线路的长度是______． 13. 下列各数3.14，，1.212212221…，，，，中，无理数的个数有________个． 14. 有理化分母：＝_____． 15. 已知一次函数的图像与两坐标轴围成的三角形面积为6，则k的值___________________． 16. 若关于,的方程的解满足，则______． 17. 如图所示，在平面直角坐标系中，线段所在直线的函数表达式为，C是的中点，P是上一动点，则的最小值是__．  18. 已知任意一个三位数，百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为（其中，，，）．的前两位数字组成的两位数与的个位上的数字的和记为，交换的百位数字和十位数字并用这两位数字组成的新两位数与的个位数字的和记为．如：当时，，．则的最大值为______，当能被7整除时，所有符合条件的值的和为______． 三．解答题（本大题8个小题，19题8分；20-26题每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 如图所示，平面直角坐标系中，已知，，． （1）在平面直角坐标系中画出． （2）请画出关于轴对称的，并写出各顶点坐标． （3）已知为轴上的动点，当和的面积相等时，求点的坐标． 21. 如图，已知中，． （1）请用基本的尺规作图：作的角平分线交于点D，在上取一点E，使得，连接（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）： （2）在（1）所作的图形中，探究线段与之间的数量关系．小明遇到这个问题时，给出了如下的解决思路，请根据小明的思路完成下面的填空． 解：，理由如下： ∵平分， ∴ ， 在与中， ， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵， ∴． 22. 如图，一根直立的旗杆高8米，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为4米． （1）求旗杆在距地面多高处折断； （2）工人在修复的过程中发现在折断点的下方1.25米的点处有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，在距离旗杆底部5米处是否有被砸伤的风险？ 23. 先阅读，后解答： （1）由根式的性质计算下列式子得： ①=3，②，③，④=5，⑤=0． 由上述计算，请写出的结果（a为任意实数）． （2）利用（1）中的结论，计算下列问题的结果： ①； ②化简：（x＜2）． （3）应用： 若=3，求x的取值范围． 24. 如图，数轴上有A，B两点，对应的数分别为和4，动点P，Q分别从A，B同时出发都向右运动，点P的速度为4个单位长度/秒，点Q的速度为1个单位长度/秒，设P、Q的运动时间为x秒，若用，分别表示和的长度，请回答下列问题： （1）请直接写出，与x的关系为： ， ． （2）在直角坐标系中画出，的函数图象，根据所画图象，写出一条关于函数的性质 ． （3）观察图象，直接写出不等式的解集为 ． 25. 模型探究： （1）如图1，在等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点，过作于点．求证：； 模型应用： （2）已知直线与坐标轴交于点、，将直线绕点逆时针旋转至直线，如图2，求直线的函数表达式； （3）如图3，已知点、在直线上，且．若直线与轴的交点为，为中点．试判断在轴上是否存在一点，使得是以为斜边的等腰直角三角形． 26. 已知为等边三角形． （1）如图1，点D为边上一点，以为边作等边三角形，连接，求证：． （2）如图2，以为腰作等腰直角三角形，取斜边的中点E，连接，交于点F．求证：． （3）如图3，若，点P是边上一定点且，若点D为射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接、，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $