微专题52 三角函数的图象与性质7种常考题型总结-2024-2025学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册） 微专题52 三角函数的图象与性质7种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 正弦函数、余弦函数的图象 题型2 三角函数的周期性及应用 题型3 三角函数的单调性及应用 题型4 三角函数的奇偶性及应用 题型5 三角函数的对称性及应用 题型6 三角函数的零点问题 题型7 三角函数中参数的求解 1、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中) 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 对称轴方程 无 递增区间 递减区间 无 2、三角函数的周期性 函数 周期 函数 周期 函数 () () () 周期 其它特殊函数，可通过画图直观判断周期 (1)函数的最小正周期．应特别注意函数的周期为，函数()的最小正周期． (2)函数的最小正周期．应特别注意函数的周期为．函数()的最小正周期均为． (3)函数的最小正周期．应特别注意函数|的周期为，函数() 的最小正周期均为． 3、三角函数的奇偶性 三角函数 取何值为奇函数 取何值为偶函数 () () () () () (1)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()； (2)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()； (3)函数是奇函数⇔()． 4、三角函数的对称性 (1)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得； (2)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得； (3)函数的图象的对称中心由)解得． 题型1 正弦函数、余弦函数的图象 【例1】利用“五点法”作函数，的图象. 【变式1】请用“五点法”作出下列函数在区间的图象： (1)； (2). 0 1 0 -1 0 1 0 -1 -2 -1 0 0 0 1 0 -1 0 0 1 0 -1 0 【变式2】函数的图象与直线交点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型2 三角函数的周期性及应用 【例2】以下函数中最小正周期为的个数是（    ）                          A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数，那么函数最小正周期为 ；对称轴方程为 . 【变式3】函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知关于x的函数的图象关于对称，则的周期为 ，实数 . 题型3 三角函数的单调性及应用 【例3】已知函数，则下列命题正确的是（    ） A．在 内单调递增 B．在 内单调递减 C．在 内单调递增 D．在内单调递减 【变式1】已知函数，则的单调递增区间是（    ） A． B． C．， D．， 【变式2】已知函数，若关于对称，则的一个单调递增区间可以是（    ） A． B． C． D． 【变式3】函数的单调递增区间为 . 【变式4】已知函数，其中，且恒成立，在上单调，则的取值范围是 . 【变式5】已知函数在上单调，且，则的取值不可能为（    ） A． B． C． D． 题型4 三角函数的奇偶性及应用 【例4】下列函数中为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】设函数，若是偶函数，则的一个可能值是 . 【变式2】已知函数.则“”是“为偶函数”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】函数，则（    ） A．若，则为奇函数 B．若，则为偶函数 C．若，则为偶函数 D．若，则为奇函数 【变式4】将函数的图象向左平移m（）个单位，所得图象关于原点对称，则m的值可以是（    ）． A． B．π C． D． 【变式5】将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为奇函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型5 三角函数的对称性及应用 【例5】若函数的最小正周期为，则的图象的一条对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】函数的图象的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列函数中，以点为对称中心的函数是（    ） A． B． C． D． 【变式3】若函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知函数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型6 三角函数的零点问题 【例6】设函数在上恰有两个零点，则 . 【变式1】已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 【变式2】已知函数在上恰有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型7 三角函数中参数的求解 【例7】已知函数（，，）的图象关于轴对称，且在区间上不单调，则的可能取值有（　　） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【变式1】【多选】已知函数的图象过点，且在区间上具有单调性，则的取值范围可以为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知偶函数的图像关于点中心对称，且在区间上单调，则 ． 【变式3】【多选】已知函数在区间上单调递减，且在区间上有且仅有一个零点，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知函数，若，在区间上没有零点，则的取值共有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 $$2024-2025学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册） 微专题52 三角函数的图象与性质7种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 正弦函数、余弦函数的图象 题型2 三角函数的周期性及应用 题型3 三角函数的单调性及应用 题型4 三角函数的奇偶性及应用 题型5 三角函数的对称性及应用 题型6 三角函数的零点问题 题型7 三角函数中参数的求解 1、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中) 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 对称轴方程 无 递增区间 递减区间 无 2、三角函数的周期性 函数 周期 函数 周期 函数 () () () 周期 其它特殊函数，可通过画图直观判断周期 (1)函数的最小正周期．应特别注意函数的周期为，函数()的最小正周期． (2)函数的最小正周期．应特别注意函数的周期为．函数()的最小正周期均为． (3)函数的最小正周期．应特别注意函数|的周期为，函数() 的最小正周期均为． 3、三角函数的奇偶性 三角函数 取何值为奇函数 取何值为偶函数 () () () () () (1)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()； (2)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()； (3)函数是奇函数⇔()． 4、三角函数的对称性 (1)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得； (2)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得； (3)函数的图象的对称中心由)解得． 题型1 正弦函数、余弦函数的图象 【例1】利用“五点法”作函数，的图象. 【答案】答案见解析 【分析】利用“五点法”作函数的图象即可. 【详解】时，，所以， 时，，所以， 时，，所以， 时，，所以， 时，，所以， 时，，所以， 时，，所以， 时，，所以， 时，，所以， 可得函数，的图象如下图. 【变式1】请用“五点法”作出下列函数在区间的图象： (1)； (2). 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析. 【分析】（1）（2）先用列表，然后五点法画出函数的图，然后再利用偶函数的对称性，画出的完整的图即可. 【详解】（1）列表如下： 0 1 0 -1 0 1 0 -1 -2 -1 0 描点连线，画出函数的图，如下图所示： 因为是偶函数，利用函数的奇偶性画出的完整的图，如下图所示： （2）列表如下： 0 0 1 0 -1 0 0 1 0 -1 0 描点连线，画出函数的图，如下图所示： 因为是偶函数，利用函数的奇偶性画出的完整的图，如下图所示： 【变式2】函数的图象与直线交点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】画出的图象，观察其与直线的交点个数即可. 【详解】的图象如图所示， 由图可知其与直线有2个交点. 故选：C. 题型2 三角函数的周期性及应用 【例2】以下函数中最小正周期为的个数是（    ）                          A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】对于A，直接画出函数图象验证即可；对于BCD，举出反例推翻即可. 【详解】画出函数的图象如图所示：    由图可知函数的最小正周期为，满足题意； 对于而言，，即函数的最小正周期不是，不满足题意； 对于而言，，即函数的最小正周期不是，不满足题意； 对于而言，，即函数的最小正周期不是，不满足题意； 综上所述，满足题意的函数的个数有1个. 故选：A. 【变式1】下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由三角函数周期性，奇偶性逐一判断每一选项即可求解. 【详解】对于A，是奇函数不满足题意，故A错误； 对于B，若，首先定义域为关于原点对称， 且，所以是偶函数， 又，所以是周期函数，故B正确； 对于C，画出函数的图象如图所示： 由此可知函数不是周期函数，故C错误； 对于D，若，则，所以不是偶函数，故D错误. 故选：B. 【变式2】已知函数，那么函数最小正周期为 ；对称轴方程为 . 【答案】 【分析】 根据二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，继而利用周期公式及整体代入法求解对称轴即可. 【详解】因为 ， 所以函数的最小正周期， 令, 得， 所以函数的对称轴为. 故答案为：；. 【变式3】函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由余弦和角公式、倍角公式、降幂公式可得 ， 所以的最小正周期为．故选：C 【变式4】已知关于x的函数的图象关于对称，则的周期为 ，实数 . 【答案】 【分析】利用辅助角公式化解函数，判断函数的周期，再结合对称性与最值的关系，即可求解 【详解】，其中， 所以函数的周期, 若函数的图象关于对称， 所以，即，两边平方后， 整理为，得. 故答案为：； 题型3 三角函数的单调性及应用 【例3】已知函数，则下列命题正确的是（    ） A．在 内单调递增 B．在 内单调递减 C．在 内单调递增 D．在内单调递减 【答案】B 【解析】由 当，则，易知单调递减； 当，则，易知不单调； 所以A、C、D错，B对.故选：B 【变式1】已知函数，则的单调递增区间是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】D 【分析】利用余弦函数的性质求解即可. 【详解】，可化为， 故单调增区间满足：，， 解得，. 令，，令，， ， 所以的单调递增区间是，. 故选：D 【变式2】已知函数，若关于对称，则的一个单调递增区间可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正弦型函数的对称性计算可得，结合正弦型函数的单调性计算即可得解. 【详解】关于对称，则，， ，，又，， ∴， 由，， 得，， 当时，得， 即的一个单调递增区间可以是． 故选：D. 【变式3】函数的单调递增区间为 . 【答案】， 【解析】， 令，， 故，故的单调增区间为，. 【变式4】已知函数，其中，且恒成立，在上单调，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意知，，则，即，解得. 由，，得， 即， 若函数在上单调递增，则， 即，，解得，则不等式组无解； 若函数在上单调递减，则， 即，，解得，则， 所以实数的取值范围为. 【变式5】已知函数在上单调，且，则的取值不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由在上单调，，故， 而，则， 又，如下图依次讨论对应为点四种情况， 若，则，满足； 若，则，满足； 由，若，则，满足； 若，则，不满足，其它情况均不符合； 综上，B不可能，A、C、D可能.故选：B 题型4 三角函数的奇偶性及应用 【例4】下列函数中为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A：由函数定义域为，不关于原点对称，不可能为偶函数； B：由，故不为偶函数； C：且定义域为R，故为偶函数； D：且定义域为R，故为奇函数.故选：C 【变式1】设函数，若是偶函数，则的一个可能值是 . 【答案】（答案不唯一） 【解析】∵，∴， ∵是偶函数，∴，，即，， 则的一个可能值是. 故答案为：（答案不唯一）. 【变式2】已知函数.则“”是“为偶函数”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若，则，， 若为偶函数，则，得， 因为， 所以“”是“为偶函数”的充分不必要条件.故选：A 【变式3】函数，则（    ） A．若，则为奇函数 B．若，则为偶函数 C．若，则为偶函数 D．若，则为奇函数 【答案】B 【解析】的定义域为， 对A：若，， 若为奇函数，则，而不恒成立，故不是奇函数； 对B：若，， ，故为偶函数，B正确； 对C：若，，， 故不是偶函数，故C错误； 对D：若，， 若为奇函数，则，而不恒成立， 故不是奇函数；故选：B 【变式4】将函数的图象向左平移m（）个单位，所得图象关于原点对称，则m的值可以是（    ）． A． B．π C． D． 【答案】D 【分析】先求平移后图象的解析式，然后根据正弦函数的对称性可得. 【详解】将函数的图象向左平移m个单位， 得的图象， 因为的图象关于原点对称， 所以，即， 当时，得， 使，，的整数不存在. 故选：D 【变式5】将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为奇函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意利用函数的图象变换规律，三角函数的奇偶性，的取值范围，进而即可求得的值． 【详解】由将函数的图象向右平移个单位长度后， 所得函数为为奇函数， 则，得， 又，则，， 故选：B． 题型5 三角函数的对称性及应用 【例5】若函数的最小正周期为，则的图象的一条对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的周期性求得，进而求得的对称轴. 【详解】依题意，由， 得，所以的图象的一条对称轴为， D选项正确，ABC选项错误. 故选：D 【变式1】函数的图象的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用正切型函数的性质，准确运算，即可求解. 【详解】由函数，令，解得， 令，可得，所以函数的一个对称中心有，其它不是对称中心. 故选：B． 【变式2】下列函数中，以点为对称中心的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦、余弦、正切函数的性质计算可得. 【详解】对于A：函数，令，解得， 所以函数的对称中心为，，故A错误； 对于B：函数，令，解得， 所以函数的对称中心为，，故B错误； 对于C：函数，令，解得， 所以函数的对称中心为，，故C错误； 对于D：函数，令，解得， 所以函数的对称中心为，，故D正确. 故选：D 【变式3】若函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由余弦函数的对称性直接求解. 【详解】 因为的图象关于直线对称， 所以，得， 因为，所以. 故选：C. 【变式4】已知函数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据题意可知为的对称中心，结合余弦函数对称性分析求解. 【详解】因为，可知为的对称中心， 则，可得， 解得， 且，可知：当时，取到最小值. 故选：A. 题型6 三角函数的零点问题 【例6】设函数在上恰有两个零点，则 . 【答案】或 【解析】由题得， 因为函数在上恰有两个零点， 所以方程在上恰有两个根， 所以函数与图象在上恰有两个交点， 令， 即函数的对称轴方程为， 所以在上有两条对称轴为和，如图， 所以由函数的图象性质可知或. 【变式1】已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 令，则有3个根， 令，则有3个根，其中， 结合余弦函数的图像性质可得，故， 故答案为：. 【变式2】已知函数在上恰有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得. 令，解得， 因为，所以. 因为在上恰有两个零点， 所以，解得.故选：B. 题型7 三角函数中参数的求解 【例7】已知函数（，，）的图象关于轴对称，且在区间上不单调，则的可能取值有（　　） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】C 【分析】根据题意，得到，此时，结合函数在区间上不单调，求得，即可求解. 【详解】由函数的图像关于轴对称，可得， 因为，可得，所以， 又由，可得， 当时，可得，可得在上单调递减，不符合题意； 当时，可得，可得在上单调递减，不符合题意； 当时，可得，可得在上不单调，符合题意； 当时，可得，可得在上单调递增，不符合题意； 当时，则函数的最小正周期为，此时， 所以函数在上不是单调函数，符合题意， 所以，所以满足条件的有9个. 故选：C. 【变式1】【多选】已知函数的图象过点，且在区间上具有单调性，则的取值范围可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由函数的图象过点求得，根据函数的单调性，结合三角函数的性质列式求得的范围，即可得解. 【详解】因为函数的图象过点，所以，得， 因为，所以，所以， 当时，， 因为在区间上具有单调性， 所以，， 即且，， 则，， 因为，得， 因为，所以时，，则，故A正确； 当时，，故C正确；B、D错误. 故选：AC. 【变式2】已知偶函数的图像关于点中心对称，且在区间上单调，则 ． 【答案】/1.5 【分析】 根据题意，再由对称中心求出，最后根据函数单调性确定. 【详解】因为偶函数，所以，， 即或， 又的图像关于点中心对称， 所以，即， 所以， 因为函数单调，所以，即， 所以当时，符合条件. 故答案为： 【变式3】【多选】已知函数在区间上单调递减，且在区间上有且仅有一个零点，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】结合函数在给定区间上的单调性和零点个数，可确定的取值范围，从而确定正确的选项. 【详解】由，，. 又函数在区间上单调递减，所以， 又因为，，所以，， 因为，所以， 因为在区间上有且仅有一个零点， 所以在区间上有且仅有一个实数根， 所以，解得， 综上，，故BC正确，AD错误. 故选：BC 【变式4】已知函数，若，在区间上没有零点，则的取值共有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】根据可得，根据在区间上没有零点可得，即可求出的取值有几个. 【详解】由题意，在中，， ∴ ,所以， 两式相减得， 所以，即，， 因为，所以 ， 令， ， 由题意知在上无零点， 故，， 所以，即， 两式相加得，所以， 又， 所以，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，， 所以的取值有5个. 故选：B. $$