4.2.3 平行线的性质（8大题型提分练）（题型专练）数学新教材华东师大版七年级上册

4.2.3 平行线的性质 题型一 根据平行线的性质求角的度数 1．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，，，，，的度数是 ． 2．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）如图，将一副三角板中的两个直角顶点C放在一起，，，．点E在直线的上方，且，当这两块三角板有一组边互相平行时，的度数是 ． 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，， ，，则 ． 4．（22-23七年级下·广东·期末）如图，已知，平分，交于点． (1)求证：； (2)若于点，，求的度数． 5．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）如图，，直线分别与交于点E，F，连结．已知． (1)若，求的度数； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)若平分，试说明平分． 题型二 根据平行线的性质探究角的关系 6．（23-24七年级下·湖北孝感·单元测试）如图，，，设，，则与之间的数量关系正确的是 ． 7．（23-24七年级下·山东德州·期末）如图，，思考解决下列问题：试探究 ． 8．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）把一块含角的直角三角尺（其中，）按如图所示的方式摆放在两条平行线，之间． （1）如图1，若三角尺的角的顶点G落在上，且，则的度数为 ． （2）如图2，若把三角尺的直角顶点F落在上，角的顶点G落在上，则与的数量关系为 ． 9．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知直线，直线与直线、分别相交于C、D两点． (1)如图，有一动点P在线段之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中，又怎样的数量关系？试说明理由． (2)如图b，当动点P线段之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出新的结论并说明理由． 10．（22-23七年级上·吉林长春·期末）如图，，点E、F分别在直线、上，点P是、之间的一个动点． (1)如图①，当点P在线段左侧时，求证：，，之间的数量关系． (2)如图②，当点P在线段右侧时，，，之间的数量关系为______． (3)若，的平分线交于点Q，且，则______． 题型三 平行线的性质在实际生活中的应用 11．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图是一种躺椅及其侧面简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当时，人躺着最舒服，求此时和的度数．请补充求解过程，并在括号内添上相应的理由． 解：因为扶手与底座都平行于地面，即， 因为（已知）． 所以（     ）． 因为______（平角的定义）， 又因为（已知）， 所以______（等式的基本性质）． 因为（已知）， 所以______（     ）． 所以______（平角的定义）． 12．（23-24七年级下·全国·期中）如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图②是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角． (1)求此时支架与底座的夹角的度数； (2)求此时灯头与水平线的夹角的度数． 13．（22-23七年级下·湖南常德·期末）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，求的度数． 14．（22-23七年级下·河北保定·阶段练习）如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知，． (1)已知驱逐舰在方向上航行，巡洋舰在方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由； (2)已知驱逐舰到达点C后沿继续航行，巡洋舰到达点E后沿继续航行，且，．若驱逐舰在原航向上向左转动后，才能与巡洋舰航向相同，求的值． 15．（23-24七年级下·广西南宁·期中）阅读材料，解决问题： 【阅读材料】如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，且，这就是光的反射定律． （1）在图1中，证明； 【解决问题】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，，是平行放置的两面平面镜，是射入潜望镜的光线，是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由（1）可知，光线经过平面镜反射时，有，． （2）请问和有什么关系？并说明理由； （3）小明尝试制作一如示意图的简易潜望镜，但发现光线无法顺利通过，请思考应如何调整平面镜，的位置，并给出建议（合理即可）． 题型四 根据平行线的性质与判定求角度 16．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知，，，求的度数． 17．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，为上一点，为上一点，连接，，若，． (1)求证：； (2)若平分，，，求的度数． 18．（23-24七年级下·全国·期末）探究：如图①，，试问、、有什么关系．下面给出了这道题的解题过程，请你完成下列填空： 解：如图①，过点C作，∴（ ）．又∵，，∴ （ ）， ∴（ ）， ∴， 即 ； 应用：如图②，直线，，垂足为O，与相交于点E，若，求的度数； 拓展：如图③，，于点C，，，则 ． 19．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，已知，． (1)求证：； (2)若，的角平分线与的角平分线交于点F，与交于点M，，求的度数． 20．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，分别是，上的点，，是上的点，连接，，．，． (1)求证：； (2)若是的平分线，，求的度数． 题型五 根据平行线的性质与判定证明 21．（24-25八年级上·广西梧州·期中）如图，已知点在直线上，射线平分，过点作，是射线上一点，连接，满足. (1)求证：； (2)若，求证：. 22．（23-24七年级下·云南曲靖·阶段练习）如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 23．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知，试回答下列问题： (1)如图①，判断是否平行． (2)如图②，若点在上，且满足，并且平分．求的度数． (3)在（2）的条件下，若平行移动，如图③，那么与的度数之比是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值． 24．（24-25八年级上·江西吉安·开学考试）两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图1，，点C、B分别在直线、上，点A在直线、之间． (1)求证：； (2)如图2，已知直线，P为平面内一点，连接，．若，，求的度数． 题型六 利用绝对值的几何意义求最值 25．（22-23七年级下·广西来宾·期中）点，分别在直线，上，且，点到的距离为，则点到的距离（   ） A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 26．（23-24八年级下·福建厦门·期末）如图，直线，点在上，点在上，若，则下列线段的长度是到的距离的是（　　） A． B． C． D． 27．（23-24八年级下·山东济宁·期末）已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离是，与之间的距离是，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 28．（21-22七年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，直线，与，分别交于点，，且，交直线于点． (1)若，求的度数； (2)若，，求直线与的距离． 题型七 利用平行线之间的距离解决问题 29．（24-25七年级上·吉林·开学考试）如图，平行线之间有两个图形，阴影部分面积的关系是（    ） A．无法比较 B．①与②相等 C．①是②的2倍 D．①是②的3倍 30．（24-25七年级上·河南南阳·开学考试）在下图中，平行线之间的三个图形的面积相比，正确的是（    ）．    A．平行四边形的面积最大 B．三角形的面积最大 C．梯形的面积最大 D．三个图形的面积都相等 31．（23-24七年级下·贵州铜仁·期中）如图，在梯形中，，若，那么等于（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 32．（23-24七年级下·河北沧州·期末）如图，点P在直线m上移动，A，B是直线n上的两个定点，且直线．对于下列各值，不会随点P的移动而变化的是（    ）    A．的大小 B．的周长 C．的面积 D．以上答案都不对 33．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，对角线，交于点O，若的面积为8，求的面积．    题型八 利用绝对值的几何意义求最值 34．（23-24七年级下·安徽芜湖·期末）【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化． 已知直线，P为平面内一点，连接，． （1）如图1，已知，则的度数为______； （2）如图2，设，猜想α，β，之间的数量关系，并证明； （3）如图3，，，交于点O，，求的度数． 35．（23-24七年级下·山西晋中·期中）综合与实践 【阅读理解】：两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如:（1）如图1，， ， ， 求的度数． 小明的思路是：过点作，通过平行线性质来求． 按小明的思路，易求得的度数为 度；  (直接写出答案) 【类比应用】： （2）如图2，， 点在直线、之间． 则，， 存在一定的数量关系，请认真思考后得出结论，并进行证明． 【解决问题】 （3）小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用．他发现家中的护眼灯是一款长臂折叠型的如图所示， 与桌面 垂直．当发光的灯管 恰好与桌面平行时， 若，，则的度数为 ． 36．（23-24七年级下·山西运城·期中）综合与实践 【问题情境】在数学活动课上探索了平行线中的“拐点”问题．归纳模型：若，如图①“”型和如图②铅笔型．试猜想，，之间的数量关系． 【独立思考】 （1）如图①，，之间的数量关系是________． （2）如图②，，之间的数量关系是________． 【问题迁移】 （3）如图③，，，分别是，的角平分线，探索，之间的数量关系是________． （4）如图④，，、分别是、的角平分线，探索、之间的数量关系是________． 【联想拓展】如图⑤，已知直线，将一个含的直角三角板，使顶点落在直线上，过点作直线，且满足． （5）请你探索直线与具有怎样的位置关系，并说明理由． 37．（22-23七年级下·湖北随州·期末）经过平行线中的拐点作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路．已知，点，分别在直线，上，点在，之间．    (1)如图1，过点作，利用平行线的性质可以轻松的得出，，之间数量关系为__________； (2)如图2，若，，试判断与的位置关系，并说明理由； (3)如图3，若，为锐角，为直线下方一点，平分，平分，在以下两个结论：①；②为定值中，有且只有一个一定成立，请指出这个结论，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.2.3 平行线的性质 题型一 根据平行线的性质求角的度数 1．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，，，，，的度数是 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质和已知求出，即可得出答案．解此题的关键是求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）如图，将一副三角板中的两个直角顶点C放在一起，，，．点E在直线的上方，且，当这两块三角板有一组边互相平行时，的度数是 ． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：①当时，②当时,根据平行线的性质即可求解． 本题主要考查了平行线的性质，分类讨论是解题的关键． 【详解】解：①当时，， 则， 则； ②当时, ． 故答案为：或． 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，， ，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，角的和差，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．过点作，过点作， 由平行线的性质可知，，由，和等量代换可得到和的数量关系，继而即可求解． 【详解】解：过点作，过点作， ∵， ∴，， ∴，， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴  ， 即． 故答案为：． 4．（22-23七年级下·广东·期末）如图，已知，平分，交于点． (1)求证：； (2)若于点，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】此题主要考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键． （1）由角平分线的定义得到，由可得，根据等量代换可得； （2）由垂直的定义得出，可得，由平行线的性质得出，根据角平分线的定义即可得解． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ． 5．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）如图，，直线分别与交于点E，F，连结．已知． (1)若，求的度数； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)若平分，试说明平分． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)平分，理由见解析 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质求出关系角的度数，再根据对顶角的性质求出答案； （2）根据平行线的性质和已知条件求出内错角相等两直线平行； （3）根据（2）得出的结论求出关系角，推出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）， 证明：∵， ∴， ∵， ∴在和中， ∴． （3）∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴平分． 题型二 根据平行线的性质探究角的关系 6．（23-24七年级下·湖北孝感·单元测试）如图，，，设，，则与之间的数量关系正确的是 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，关键是过C作，得到，由平行线的性质来解决问题． 过C作，得到，因此，，由垂直的定义得到，由邻补角的性质即可得到答案． 【详解】解：过C作， ∵， ∴， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 7．（23-24七年级下·山东德州·期末）如图，，思考解决下列问题：试探究 ． 【答案】 【分析】本题主要考查学生归纳总结找规律的能力，利用平行线的性质的解答本题的关键.分别过、…作直线平行于，利用平行线的性质即可求出各组的值；再根据规律，归纳总结得到． 【详解】当有个角时，根据两直线平行同旁内角互补， 得出， 当有个角时，过点作直线平行于，同理可得， 当有个角时，分别过点、作直线平行于，同理可得， 根据规律，可得当有个角时， ， 故答案为：． 8．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）把一块含角的直角三角尺（其中，）按如图所示的方式摆放在两条平行线，之间． （1）如图1，若三角尺的角的顶点G落在上，且，则的度数为 ． （2）如图2，若把三角尺的直角顶点F落在上，角的顶点G落在上，则与的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线性质是解题关键． （1）根据平行线的性质可知，依据，可求出结果； （2）依据，可知，再根据，即可求出结果． 【详解】解：（1）， ， ， ， 解得， ； （2）， ， 即， 整理得， 故答案为：，． 9．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知直线，直线与直线、分别相交于C、D两点． (1)如图，有一动点P在线段之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中，又怎样的数量关系？试说明理由． (2)如图b，当动点P线段之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出新的结论并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)不成立，，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键． （1）过点作，则，则，，再根据角度和差计算求解即可； （2）同（1）即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下， 过点作， ， ， ，， ， ． （2）解：上述结论不成立．新结论：，理由如下： 过点作． ， ∴ ， ， ，即． 10．（22-23七年级上·吉林长春·期末）如图，，点E、F分别在直线、上，点P是、之间的一个动点． (1)如图①，当点P在线段左侧时，求证：，，之间的数量关系． (2)如图②，当点P在线段右侧时，，，之间的数量关系为______． (3)若，的平分线交于点Q，且，则______． 【答案】(1)，证明见详解 (2) (3)或 【分析】本题考查了平行性的性质，平行公理的推论，角平分线的定义等知识． （1）作，证明，即可得到，，根据等量代换即可证明； （2）作，证明，即可得到，，从而证明； （3）分点P在线段左侧和点P在线段右侧两种情况，分别画出图形，结合（1）、（2）结论，根据角平分线的定义进行角的代换即可求解． 【详解】（1）解：如图①，作，             图① ∵ ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：如图②，作，              图② ∵ ∴， ∴， ∴， 即； 故答案为：； （3）解：如图③，当点P在线段左侧时，            图③ 由（2）得，， ∵， ∴， ∵、分别是，的平分线， ∴， ∴由（1）得； 如图④，当点P在线段右侧时，                图④ 由（1）得，， ∵， ∴， ∵、分别是，的平分线， ∴， ∴由（1）得； 故答案为：或． 题型三 平行线的性质在实际生活中的应用 11．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图是一种躺椅及其侧面简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当时，人躺着最舒服，求此时和的度数．请补充求解过程，并在括号内添上相应的理由． 解：因为扶手与底座都平行于地面，即， 因为（已知）． 所以（     ）． 因为______（平角的定义）， 又因为（已知）， 所以______（等式的基本性质）． 因为（已知）， 所以______（     ）． 所以______（平角的定义）． 【答案】两直线平行，同位角相等；；；；两直线平行，同位角相等； 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质完成证明过程，即可求解． 【详解】解：因为扶手与底座都平行于地面，即， 因为（已知）． 所以（两直线平行，同位角相等）． 因为 （平角的定义）， 又因为（已知）， 所以 （等式的基本性质）． 因为（已知）， 所以 （两直线平行，同位角相等）． 所以 （平角的定义）． 故答案为：两直线平行，同位角相等；；；；两直线平行，同位角相等；． 12．（23-24七年级下·全国·期中）如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图②是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角． (1)求此时支架与底座的夹角的度数； (2)求此时灯头与水平线的夹角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质求解即可； （2）根据平行线的性质及角的和差求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ． 13．（22-23七年级下·湖南常德·期末）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，求的度数． 【答案】 【分析】过点作，因为，所以，再根据平行线的性质可以求出，，进而可求出，再根据平行线的性质即可求得． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ． ， ． ． ． 【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算． 14．（22-23七年级下·河北保定·阶段练习）如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知，． (1)已知驱逐舰在方向上航行，巡洋舰在方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由； (2)已知驱逐舰到达点C后沿继续航行，巡洋舰到达点E后沿继续航行，且，．若驱逐舰在原航向上向左转动后，才能与巡洋舰航向相同，求的值． 【答案】(1)不会，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的判定证明，利用平行线的定义判断即可； （2）判断出若与巡洋舰航向相同，则，利用平行公理得到，求出，即可求出的值． 【详解】（1）解：不会，理由是： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴这两艘舰艇不会相撞； （2）如图，若要驱逐舰与巡洋舰航向相同， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，平行公理，解题的关键是读懂题意，了解实际情景的意义． 15．（23-24七年级下·广西南宁·期中）阅读材料，解决问题： 【阅读材料】如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，且，这就是光的反射定律． （1）在图1中，证明； 【解决问题】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，，是平行放置的两面平面镜，是射入潜望镜的光线，是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由（1）可知，光线经过平面镜反射时，有，． （2）请问和有什么关系？并说明理由； （3）小明尝试制作一如示意图的简易潜望镜，但发现光线无法顺利通过，请思考应如何调整平面镜，的位置，并给出建议（合理即可）． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）调整平面镜，使得两面镜子达到平行（合理即可） 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． （1）根据等角的余角相等解答即可； （2）根据平行线的性质求解即可； （3）根据潜望镜的原理，平行线的性质进行分析即可． 【详解】（1）证明：， ，， ； （2），理由如下： ，，， ， ， ； （3）因为潜望镜它是根据光的折射，而潜望镜是要改变光的传播方向的，光线无法顺利通过，说明没有与光线平行，需要调整平面镜，的位置，使得两面镜子，达到平行（合理即可）． 题型四 根据平行线的性质与判定求角度 16．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了利用平行线的性质求角的度数，过点E作，则，由平行线的性质可得，，代入数据计算即可得解． 【详解】解：如答图，过点E作， ∵， ∴， ∴，． ∵，， ∴，， ． 17．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，为上一点，为上一点，连接，，若，． (1)求证：； (2)若平分，，，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了平行线的性质和判定、角平分线的性质等知识点，理解题意学会分析是解决此类问题的关键． （1）要证明，可通过与互补求得，利用平行线的性质说明可得结论； （2）要求的度数，可通过平角和求得，利用（）的结论及角平分线的性质求出及的度数即可． 【详解】（1）证明：∵， ， ． ∵， ． ∴； （2）解：， ， 平分，， ． ∵，， ， ． ． 18．（23-24七年级下·全国·期末）探究：如图①，，试问、、有什么关系．下面给出了这道题的解题过程，请你完成下列填空： 解：如图①，过点C作， ∴（ ）． 又∵，， ∴ （ ）， ∴（ ）， ∴， 即 ； 应用：如图②，直线，，垂足为O，与相交于点E，若，求的度数； 拓展：如图③，，于点C，，，则 ． 【答案】探究：两直线平行，内错角相等；；同平行于一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；  应用：  拓展： 【分析】本题考查平行线的性质，，熟练掌握平行线的性质是关键． 探究：过点C作，可以得到，然后得到，即可解题； 应用：根据垂直的定义得到，然后根据对顶角相等得到，然后利用探究结论解题； 拓展：过点作，过点作，得到，，，然后根据角的和差解题即可． 【详解】探究：解：如图①，过点C作， ∴（两直线平行，内错角相等）． 又∵，， ∴（同平行于一条直线的两条直线互相平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴， 即； 应用：∵， ∴， 又∵， ∴， 根据探究结论可得：； 拓展：如图，过点作，过点作， 又∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 19．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，已知，． (1)求证：； (2)若，的角平分线与的角平分线交于点F，与交于点M，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质探究角的关系以及平行线的性质与判定的综合，正确作出辅助线是解题的关键． （1）先由平行线的性质，得出，再进行角的等量代换，得，即可作答． （2）过点F作直线，得，结合角平分线的定义，得，，再通过角的差运算，即可作答． 【详解】（1）解：如图： ∵ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）解：如图：过点F作直线， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，分别是，上的点，，是上的点，连接，，．，． (1)求证：； (2)若是的平分线，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义， （1）由两直线平行，内错角相等得出，再根据题意可得出，最后根据同旁内角互补，两直线平行，即可得出； （2）根据题意可求出的大小，再根据角平分线的定义，得出，最后根据两直线平行，同位角相等，即可求出的大小． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴． 题型五 根据平行线的性质与判定证明 21．（24-25八年级上·广西梧州·期中）如图，已知点在直线上，射线平分，过点作，是射线上一点，连接，满足. (1)求证：； (2)若，求证：. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了垂线的定义、角平分线的定义、平行线的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂线的定义得出，结合平角的定义得出，结合即可得证； （2）由角平分线的定义得出，由垂线的定义得出即，结合得出，从而得出，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵射线平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．（23-24七年级下·云南曲靖·阶段练习）如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质； （1）由，，得出，利用“同旁内角互补，两直线平行”可证出； （2）由得出，由得出，利用“内错角相等，两直线平行”可证出，进而可得出． 【详解】（1）证明：，， ， ； （2）解：， ， 又， ， ， ． 23．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知，试回答下列问题： (1)如图①，判断是否平行． (2)如图②，若点在上，且满足，并且平分．求的度数． (3)在（2）的条件下，若平行移动，如图③，那么与的度数之比是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值． 【答案】(1) (2) (3)与的度数之比不发生变化，与的度数之比是，理由见解析 【分析】贝泰妮主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）根据平行线的性质得到，进而得到，则； （2）由平行线的性质得到，由角平分线的定义得到，再由，可得； （3）由平行线的性质得到，则可得到，则与的度数之比是． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； （3）解：与的度数之比不发生变化，为，理由如下： ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴与的度数之比是． 24．（24-25八年级上·江西吉安·开学考试）两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图1，，点C、B分别在直线、上，点A在直线、之间． (1)求证：； (2)如图2，已知直线，P为平面内一点，连接，．若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． （1）过点作，由平行线的性质可得，，即可得解； （2）过点作，根据平行线的性质计算即可得解． 【详解】（1）证明：过点作，如图1， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：过点作，如图2， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 题型六 利用绝对值的几何意义求最值 25．（22-23七年级下·广西来宾·期中）点，分别在直线，上，且，点到的距离为，则点到的距离（   ） A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据平行线之间的距离此处相等即可解题． 本题考查了平行线间的距离，属于简单题，熟悉平行线间距离的概念是解题关键． 【详解】解：∵，点到的距离为， ∴到的距离等于． 故选C． 26．（23-24八年级下·福建厦门·期末）如图，直线，点在上，点在上，若，则下列线段的长度是到的距离的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线之间的距离，根据平行线之间的距离的定义即可判断求解，理解平行线之间的距离的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，点在上，点在上， ∴的长度是到的距离， 故选：． 27．（23-24八年级下·山东济宁·期末）已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离是，与之间的距离是，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查平行线间的距离，分直线在直线，外，直线在直线，之间两种情况讨论求解，熟练掌握平行线间的距离及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】如图，直线在直线，外时，      ∵与之间的距离是，与之间的距离是， ∴与之间的距离为； 如图，直线在直线，之间时，      ∵与之间的距离是，与之间的距离是， ∴与之间的距离为； 综上所述，与之间的距离为或， 故选：． 28．（21-22七年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，直线，与，分别交于点，，且，交直线于点． (1)若，求的度数； (2)若，，求直线与的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由直线，根据平行线的性质得出，再由，根据垂直的定义即可得到结果； （2）过作于，根据，即可求解． 【详解】（1） ∵ ∴ 又∵ ∴ （2）如图，过作于，则的长即为直线与的距离 ∵，， 是直角三角形 ∵ ∴ ∴直线与的距离 【点睛】本题考查了平行线的性质及三角形的面积，解题的关键是掌握：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离． 题型七 利用平行线之间的距离解决问题 29．（24-25七年级上·吉林·开学考试）如图，平行线之间有两个图形，阴影部分面积的关系是（    ） A．无法比较 B．①与②相等 C．①是②的2倍 D．①是②的3倍 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线间间距相等可知三角形和梯形的高相等，据此分别表示出两个图形的面积即可得到答案． 【详解】解：设两平行线间的距离为h， ∴三角形面积为，梯形面积为， ∴①的面积是②的面积的2倍， 故选：C． 30．（24-25七年级上·河南南阳·开学考试）在下图中，平行线之间的三个图形的面积相比，正确的是（    ）．    A．平行四边形的面积最大 B．三角形的面积最大 C．梯形的面积最大 D．三个图形的面积都相等 【答案】D 【分析】本题考查平行线间的距离，根据平行线间的距离处处相等，结合图形的面积公式进行判断即可． 【详解】解：设两平行线间的距离为， 由图可知：平行四边形的面积为：，三角形的面积为，梯形的面积为； 故三个图形的面积都相等； 故选D． 31．（23-24七年级下·贵州铜仁·期中）如图，在梯形中，，若，那么等于（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】本题考查平行线间的距离，根据平行线间的距离处处相等，以及同底等高的三角形的面积相等，即可得出结果． 【详解】解：设点到的距离为， ∵， ∴点到的距离也为， ∴； 故选B． 32．（23-24七年级下·河北沧州·期末）如图，点P在直线m上移动，A，B是直线n上的两个定点，且直线．对于下列各值，不会随点P的移动而变化的是（    ）    A．的大小 B．的周长 C．的面积 D．以上答案都不对 【答案】C 【分析】本题考查了点到直线的距离、等底等高的三角形的面积相等、平行线间的距离的定义等知识点,熟记相关定义和性质是解答本题的关键．根据平行线间的距离、三角形的周长、面积以及角的定义逐项排查即可． 【详解】解：A．∵直线，点P在直线m上移动， ∴是随的运动而变化的，故A不符合题意； B．∵、的长度随点P的移动而变化， ∴的周长会随点P的移动而变化,即B不符合题意； C．∵，则点P到直线n的距离不变，的大小不变， ∴的面积不变，即C符合题意； D．以上答案都不对是错误的，即D不符合题意． 故选：C． 33．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，对角线，交于点O，若的面积为8，求的面积．    【答案】8 【分析】本题考查平行线间距离相等，三角形面积公式．根据题意过点B，C分别作的垂线，交直线于点E，F，可得，继而得到，再减去公共部分三角形即，即可得到答案． 【详解】解：过点B，C分别作的垂线，交直线于点E，F，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 题型八 利用绝对值的几何意义求最值 34．（23-24七年级下·安徽芜湖·期末）【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化． 已知直线，P为平面内一点，连接，． （1）如图1，已知，则的度数为______； （2）如图2，设，猜想α，β，之间的数量关系，并证明； （3）如图3，，，交于点O，，求的度数． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线定义理解．注意掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用． （1）过点P作，根据平行线的公理得出，根据平行线的性质得出，，最后求出； （2）过点P作，则，根据平行线的性质得出，，求出，得出，得出，即可得出答案； （3）根据，得出，求出，得出，根据，得出，即可得出答案． 【详解】解：（1）过点P作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）过点P作， ， ， ，， ，， ， ． （3）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 35．（23-24七年级下·山西晋中·期中）综合与实践 【阅读理解】：两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如:（1）如图1，， ， ， 求的度数． 小明的思路是：过点作，通过平行线性质来求． 按小明的思路，易求得的度数为 度；  (直接写出答案) 【类比应用】： （2）如图2，， 点在直线、之间． 则，， 存在一定的数量关系，请认真思考后得出结论，并进行证明． 【解决问题】 （3）小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用．他发现家中的护眼灯是一款长臂折叠型的如图所示， 与桌面 垂直．当发光的灯管 恰好与桌面平行时， 若，，则的度数为 ． 【答案】（1）（2），理由见解析（3） 【分析】本题考查了平行线的性质与判定； （1）过点作，得出，进而根据平行线的性质可得，即可求解； （2）过点作,根据平行线的性质可得 ，进而得出； （3）过点作得出，进而根据（1）的结论，即可求解． 【详解】（1）过点作， ∵， ∴， ∵ ， ， （2） 理由如下: 如图所示, 过点作, ， 即 ； （3）如图所示，过点作 与桌面 垂直． ∴ ∵ ∴ 由（1）可得 故答案为：． 36．（23-24七年级下·山西运城·期中）综合与实践 【问题情境】在数学活动课上探索了平行线中的“拐点”问题．归纳模型：若，如图①“”型和如图②铅笔型．试猜想，，之间的数量关系． 【独立思考】 （1）如图①，，之间的数量关系是________． （2）如图②，，之间的数量关系是________． 【问题迁移】 （3）如图③，，，分别是，的角平分线，探索，之间的数量关系是________． （4）如图④，，、分别是、的角平分线，探索、之间的数量关系是________． 【联想拓展】如图⑤，已知直线，将一个含的直角三角板，使顶点落在直线上，过点作直线，且满足． （5）请你探索直线与具有怎样的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5），理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、等角的余角相等，作平行线求解是解答的关键． （1）过E作，则，根据平行线的性质证明，即可作出判断； （2）过E作，则，根据平行线的性质证明，，进而可作出结论； （3）先根据角平分线定义得到，，再根据（1）和（2）中结论可作出判断； （4）根据角平分线的定义得到，，再根据（1）中结论可作出判断； （5）过C作，根据平行线的性质和等角的余角相等得到，则有，进而可得结论． 【详解】解：（1）如图①，过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）如图2，过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图③， ∵，分别是，的角平分线， ∴，， 由（1）得， 由（2）得， ∴， 则， 故答案为：； （4）如图④，∵、分别是、的角平分线， ∴，， ∴， 由（1）得，， ∴， 故答案为：； （5），理由： 如图⑤，过C作，则， ∵， ∴，又， ∴， ∴， ∴ 37．（22-23七年级下·湖北随州·期末）经过平行线中的拐点作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路．已知，点，分别在直线，上，点在，之间．    (1)如图1，过点作，利用平行线的性质可以轻松的得出，，之间数量关系为__________； (2)如图2，若，，试判断与的位置关系，并说明理由； (3)如图3，若，为锐角，为直线下方一点，平分，平分，在以下两个结论：①；②为定值中，有且只有一个一定成立，请指出这个结论，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)②，理由见解析 【分析】（1）利用平行线的性质，两直线平行，内错角相等即可得出； （2）根据题意，利用邻补角的性质及得，再根据，最后根据平行线的性质可证； （3）根据题意，过点作，设，利用角平分线的性质和平行线的性质得，，即可得出结论． 【详解】（1）解： ，， ， ， ； （2）解：，， ， 又， 由（1）可得， ； （3）过点作（如图），    设， ， 由（1）得， 平分，平分， ，， ，， ， ，， ， 为定值， ②一定成立．． 【点睛】本题考查了平行线的综合问题及垂直的定义，熟练运用平行线的性质及角平分线的性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$