5.2.1三角函数的概念第2课时教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五章 三角函数 5.2.1三角函数的概念 第2课时   一、教学目标 1．进一步理解三角函数的定义，熟练掌握三角函数在各象限的符号； 2．能够根据三角函数的定义和象限角的特点，推导诱导公式一，并运用其进行简单的三角函数值求值； 3．通过对三角函数在各象限符号的讨论和诱导公式一的推导，培养学生的逻辑推理能力和分析问题能力； 4．在运用同角三角函数基本关系解决问题的过程中，提高学生的数学运算能力和转化思想的应用能力  二、教学重难点 重点：掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号，利用公式一进行化简求值． 难点：理解任意角三角函数在个象限符号的规律以及公式一的识记与应用．   三、教学过程 （一）创设情境 回顾：任意角的三角函数的定义是什么？ 答：设是一个任意角，它的终边OP与单位圆相交于点， （1）把点的纵坐标y叫做的正弦函数，记做，即； （2）把点P的横坐标x叫做的余弦函数，记做，即； （3）把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切函数，记做，即. 也是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数． 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为 正弦函数； 余弦函数 正切函数 设计意图：通过复习任意角的三角函数的定义，引入本节新课，建立知识间的联系，提高学生概括推理的能力. 通过上节课的学习，从定义与实例都可以看出，任意角的正弦、余弦与正切，都既有可能是正数，也有可能是负数，还可能为0．它们的符号与什么有关？一起来探究吧！ （二）探究新知 任务1：探究三角函数值在各象限的符号 探究1：根据任意角的三角函数定义，将正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域填入表5.2-1. 表5.2-1 三角函数 定义域 sin α cos α tan α 师生活动：教师提出问题后，学生独立思考，完成表5.2-1． 三角函数 定义域 sin α cos α R tan α 设计意图：任意角的三角函数定义的应用，培养学生的归纳概括能力. 思考：根据任意角的三角函数定义，的符号取决于什么？ 师生活动：学生先独立思考，再汇报展示. 答：根据任意角的三角函数定义，的符号取决于角的终边与单位圆交点纵坐标的符号、横坐标的符号以及纵坐标与横坐标比值的符号. 探究2：由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，你能得到各三角函数在各象限内的符号吗？将这三种函数的值在各象限的符号填入下图中的括号. y y y （ ） + （ ） （ ） （ ） （ ）O O x x O x （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） sin α cos α tan α 师生活动：教师提出问题后，学生进行讨论. 设计意图：从特殊到一般，使学生确认三角函数值在各象限的符号. 结论：简记口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 思考：终边在坐标轴上的角的三角函数正负如何？ 师生活动：学生先独立思考，再合作交流. 答：终边落在x轴非负半轴时，,0； 终边落在y轴非负半轴时，0,不存在； 终边落在x轴非正半轴时，,0； 终边落在y轴非正半轴时，0,不存在. 任务2：探索诱导公式一 思考：根据三角函数的定义，终边相同的角的同一三角函数值有何关系？ 要求：先独立思考，再合作交流 答：终边相同的角，其同一三角函数的值相等． 师生活动：给出问题后，教师引导学生根据三角函数的定义进行分析，再让学生尝试归纳诱导公式一. 总结：公式一： ，其中. 利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为0～2π(或0°～360°)角的三角函数值． 设计意图：在问题的引导下，让学生自己尝试归纳总结诱导公式一，使学生对公式一有更深刻的理解. （三）应用举例 例1 求证：角为第三象限角的充要条件是 证明：先证充分性，即如果式都成立，那么为第三象限角. 因为式成立，所以角的终边可能位于第三或第四象限，也可能与轴的负半轴重合； 又因为式成立，所以角的终边可能位于第一或第三象限. 因为式都成立，所以角的终边只能位于第三象限.于是角为第三象限角. 再证必要性，即如果第三象限角，则①②式都成立. 因为第三象限角，所以角的终边与单位圆的交点的横坐标与纵坐标都是负数，根据三角函数的定义知，. 综上所述：角为第三象限角的充要条件是 例2 确定下列三角函数值的符号，然后用计算工具验证： (1) cos 250°；(2)；(3)tan (-672°)； (4). 解：(1)因为250°是第三象限角，所以 cos 250°＜0. (2)因为是第四象限角，所以<0； (3)因为, 而是第一象限角，所以； (4)因为, 而的终边在轴上，所以. 请同学们自己完成用计算工具验证. 总结：判断三角函数值在各象限符号的攻略 (1)基础：准确确定各角所在象限； (2)关键：准确记忆三角函数在各象限的符号； (3)注意：用弧度制给出的角常常不写单位,不要误当作角度导致象限判断错误. 注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限的符号. 设计意图： 通过例1、例2，让学生熟练掌握三角函数值在各个象限的符号，同时例2也涉及简单的诱导公式一的运用. 例3 求下列三角函数值： (1)（精确到0.001）；(2)(3). 解：(1) (2)； (3)= 总结：诱导公式一的应用思路 1.诱导公式一的实质是终边相同的角的同名三角函数值相等． 2.利用诱导公式一可将负角或大于等于2π的角的三角函数化为0～2π之间的角的同名三角函数，实现了“负化正，大化小”． 设计意图：让学生进一步了诱导公式一的应用思路，提高学生分析问题、解决问题的能力. 例4 化简下列各式： (1)a2sin(－1 350°)＋b2tan 405°－2abcos(－990°)； (2)sin＋cosπ·tan 4π. 解：(1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcos(－3×360°+90°) ＝a2sin 90°＋b2tan 45°－2abcos 90° ＝a2＋b2. (2)sin＋cosπ·tan 4π ＝sin＋cos·tan 0＝sin＋0＝. 总结：利用公式一进行化简求值的步骤： (1) 定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0,2π)，k∈Z. (2) 转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值． (3) 求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值. 设计意图： 通过例题巩固本节所学知识，培养学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识. （四）课堂练习 1.若，，则可以是(    ) A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 解：，角的终边在第一、三象限， 又，角的终边在第一象限， 即，，，， 当为偶数时，的终边在第一象限 当为奇数时，的终边在第三象限， 综上所述，可以是第一、三象限角． 故选：． 2.下列四个选项中正确的有(    ) A. 若点在第三象限，则是第二象限角 B. 若三角形的两内角，，满足，则此三角形必为钝角三角形 C. D. 解：对于，由题意知，且，所以是第二象限角，故A正确； 对于，，，所以，， 故角为钝角，故B正确； 对于，因为是第二象限角，所以， 因为， 所以是第二象限角， 所以， 所以，故C错误； 对于，因为，，， 所以，，， 则，故D正确． 故选ABD． 3.判断的符号． 解：，， ，， ，， ．  4.求下列各式的值． ； ； ． 解：原式   ； 原式 ； 原式 ．  5.若角的终边过点， Ⅰ求的值 Ⅱ试判断的符号． 解：Ⅰ角的终边过点， ，，． ，． 当时，，． 当时，，． Ⅱ当时，，， 则； 当时，，， 则． 综上，当时，的符号为负； 当时，的符号为正． 设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固三角函数在各象限的符号以及诱导公式一，能够灵活运用. （五）归纳总结 通过本节课的研究，大家学到了哪些知识和方法，说说你的体会？ 学科网（北京）股份有限公司 $$