5.2.1三角函数的概念第1课时教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五章 三角函数 5.2.1三角函数的概念 第1课时   一、教学目标 1．理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，能准确表述定义内容； 2．会根据角终边上点的坐标，求该角的三角函数值，反之，能根据已知的三角函数值，确定角的终边上的点的坐标的可能情况； 3．掌握特殊角（30°、45°、60°、90°等）的三角函数值； 4．经历从锐角三角函数到任意角三角函数定义的推广过程，体会从特殊到一般、类比等数学思想； 5．通过在单位圆中分析角的终边与点的坐标关系，来构建三角函数的定义，培养学生观察、分析和归纳能力，提高学生的数学运算和逻辑推理能力．   二、教学重难点 重点：任意角的三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数）的定义． 难点：任意角的三角函数概念的建构过程．   三、教学过程 （一）创设情境 回顾： 在初中，我们通过直角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦、正切这三个三角函数，如图所示，在直角三角形中，如何定义锐角的正弦函数、余弦函数和正切函数？ 答： 思考：该定义中的三个三角函数,对于同样大的一个锐角来说,如果三角形的大小发生了改变，其三角函数值是否也改变呢? 答：不变． 设计意图：通过复习初中所学锐角的三角函数的定义，用类比的方法、联系的观点引入本节新课．建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力． 情境： 在弧度制下，我们已经将角的范围扩展到全体实数.下面借助这些知识研究上一节开头提出的问题：圆周运动是一种常见的周期性变化现象，如图所示：⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，如何刻画点P的位置变化呢？ 不失一般性，先研究单位圆上点的运动.现在的任务是：建立一个数学模型，刻画点P的位置变化情况． （二）探究新知 任务1：探究三角函数的定义 根据研究函数的经验，我们利用直角坐标系来研究上述问题． 如图所示，以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A的坐标为(1，0)，点P的坐标为(x，y) .射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP. 探究1：当时，点P的坐标是什么？当或时，点P的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？ 师生活动：教师提出问题后，学生进行讨论.利用勾股定理可以发现，当=时，点P的坐标是；当或时，点P的坐标分别是(0，1)和．它们都是唯一确定的． 设计意图：先研究特殊角下点P坐标，再研究任意角下点P坐标.体现由特殊到一般的思想. 探究2：一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？ 师生活动：教师提出问题后，学生进行讨论.因为单位圆的半径不变，点P的坐标只与角的大小有关，当角确定时，点P的坐标是也唯一确定. 思考：观察角的终边与单位圆的交点P的坐标，有什么发现？能运用函数的语言刻画这种对应关系吗？ 师生活动：对任意一个实数，它的终边OP与单位圆的交点P的横、纵坐标都是唯一确定的.　 一般地，任意给定一个角，它的终边OP与单位圆交点P的坐标，无论是横坐标x，还是纵坐标y，都是唯一确定的.所以，点P的横坐标x、纵坐标y都是角的函数. 设计意图:以函数的对应关系为指向，从特殊到一般，使学生确认相应的对应关系满足函数的定义，角的终边与单位圆的交点的横、纵坐标都是圆心角(弧度)的函数，为引出三角函数的定义做好铺垫. 下面给出三角函数的定义： 师生活动：教师给出图示，学生结合图中信息给出三个定义，设是一个任意角，它的终边OP与单位圆相交于点，那么把点的纵坐标y叫做的正弦函数，记做，即； 把点P的横坐标x叫做的余弦函数，记做，即； 把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切函数，记做，即. 可以看出，当=（）时，的终边在y轴上，这时点P 的横坐标 x 等于0，所以无意义．除此之外，对于确定的角，的值也是唯一确定的．所以，也是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数． 追问：任意角三角函数的定义域分别是什么呢? 学生进行讨论.正弦函数和余弦函数的定义域都是实数集，即，对于正切函数而言，要求点P的横坐标，即角的终边OP不能位于y轴上，那么正切函数的定义域为. 设计意图：在问题的引导下，通过阅读教科书使学生对三角函数定义有更深刻的理解. 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数； 余弦函数 正切函数 任务2：三角函数定义的推广 探究：设α是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为(x，y)，点与原点的距离为，如何用点P的坐标定义角α的正弦、余弦和正切？ 自变量 幂函数 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 9 4 1 0 1 4 9 16 25 -27 -8 -1 0 1 8 27 64 125 0 1 2 -1 1 要求：先独立思考，再合作交流 师生活动：给出问题后，教师可以引导学生分析问题，再让学生尝试解决. 证明：如图，设角的终边与单位圆交于交点分别过点，作轴的垂线，垂足分别为则： ，，，， 于是，，即.因为与同号，所以 即同理可得， 设计意图： 通过问题引导，使学生找到，并利用它们的相似关系，根据三角函数的定义得到证明. 三角函数定义的推广： 一般地，对于任意角α，角α终边上任意一点P的坐标为（x，y），它到原点O的距离为， 那么. 显然任意角α的三角函数值不会随终边上点P位置的变化而变化． 设计意图：让学生进一步了解三角函数的定义，提高学生分析问题、概括能力． （三）应用举例 例1 求的正弦、余弦和正切值. 解：在直角坐标系中，作易知的终边与单位圆的交点坐标为.所以有： 设计意图: 通过例题让学生学会根据三角函数的定义，求角的三角函数值，提高学生解决问题的能力． 例2 (1)已知角α的终边过点P（-6，-8)，求角α的三角函数值． (2)已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且，求的值． 解：(1)点P到原点O的距离为 则. (2)∵角α的终边经过点P(－x，－6)，且， ，解得， ， 则. 例2 若角α的终边在直线上，求sin α，cos α，tan α的值． 解：设)(a≠0)是其终边上任一点， 则， ， 当时， 当时，， 所以或. 总结：利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况： (1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值． (2)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)是单位圆上点，则. (3)若已知角α终边上一点P(x，y)不是单位圆上一点，则先求，再求. (4)若已知角α终边上点的坐标含参数，则需进行分类讨论． 设计意图： 通过例题巩固本节所学知识，培养学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识． （四）课堂练习 1.角的终边上一点的坐标为，且，则(    ) A. B. C. D. 解：， 解得， 所以． 故选A． 2.下列各式中，与的值相等的是(    ) A. B. C. D. 解：因，，，，． 故选：． 3.已知角的终边上一点，且，则           ． 解：由角  的终边上一点  ，且  ， 可得  ，解之得  或  舍 故答案为：  4.如图所示，设角的始边在轴正半轴上，终边在第二象限，点为其终边上一点，则由图中有关数据可知，其余弦值          ． 解：，，．故答案为：． 5.已知角的终边过点，若，求，，的值． 已知是角的终边上一点，且，求的值． 解：角的终边过点，且， ， 故． 解：是角的终边上一点，且 ， 且，解得．  6.已知角的终边在直线上，求，，的值． 解：角的终边在直线上， 在角的终边上任取一点， 则，， ． 当时，， ，， ； 当时，， ，， ． 综上可知， ，，； 或者，，．  设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固三角函数的概念，能够灵活运用. （五）归纳总结 通过本节课的研究，大家学到了哪些知识和方法，说说你的体会？ 设计意图：通过课堂总结，帮助学生系统梳理本节知识，搭建知识框架. 学科网（北京）股份有限公司 $$