精品解析：山东省日照市校际联合2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

2023级高二上学期期中校际联合考试 数学试题 2024.11 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，且，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的坐标表示可得答案. 【详解】因为向量，，且， 所以，即， 解得. 故选：C. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线斜率得到直线倾斜角. 【详解】因为该直线的斜率为，所以它的倾斜角为. 故选：D. 3. 直线过椭圆的一个焦点，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】求出焦点坐标，代入直线方程求解． 【详解】椭圆的半焦距为，焦点为或， 直线过一个焦点 则或，∴或， 故选：C． 4. 复数，在复平面内对应的点分别为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的几何意义写出复数的标准形式，结合复数的除法运算以及模长公式，可得答案. 【详解】由题意可得，， 则， . 故选：A. 5. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则（ ） A. B. 10 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与平面垂直的空间向量表示可得答案. 【详解】若直线平面，则， 即，解得. 故选：C. 6. 已知圆及直线，当直线与圆相交所得弦长最短时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定直线过圆内定点，由直线与过定点的半径垂直，求得直线斜率得直线方程． 【详解】圆标准方程是，圆心为，半径为2， 直线过定点，，在圆内部， 直线与圆相交所得弦长最短时，， ，所以， ∴的方程为，即， 故选：D． 7. 双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线的两支于，两点，为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由题意作图，根据双曲线定义表示各线段的长，利用余弦定理，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 则①，②， 在等边中，， 可得， 则， 由，则， 在中，，由余弦定理可得 ，即， 由，则，解得. 故选：C. 8. 如图，二面角的大小为，棱上有两点，线段，，，.若，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量线性运算得，两边平方得到方程，即可计算线段的长. 【详解】∵二面角的大小为，，， ∴，. 由题意得，， ， ∴， ∴，即线段的长为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知曲线.（ ） A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为 C. 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为 D. 若m=0，n>0，则C是两条直线 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线. 【详解】对于A，若，则可化为， 因为，所以， 即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确； 对于B，若，则可化为， 此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确； 对于C，若，则可化为， 此时曲线表示双曲线， 由可得，故C正确； 对于D，若，则可化为， ，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 10. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 过点且在轴上的截距是在轴上截距的倍的直线的方程为 B. 向量是直线的一个方向向量 C. 直线与直线之间的距离是 D. 圆与圆有两条公切线 【答案】BD 【解析】 【分析】根据点的坐标设出直线方程，求截距，列出方程组求解判断A，根据直线方向向量的概念判断B， 利用两平行线间的距离公式判断C，根据圆与圆的位置关系判断D. 【详解】选项A：由题意可知直线斜率存在且不为，设直线方程为， 令解得，令解得， 因为该直线在轴上的截距是在轴上截距的倍， 所以，解得或， 所以直线方程为或，A说法错误； 选项B：直线的斜率为，方向向量为，当时，B说法正确； 选项C：由得， 则直线与直线之间的距离，C说法错误； 选项D：由题意圆圆心为，半径， 圆圆心为，半径， 因为，， 所以两圆相交，有且仅有两条公切线，D说法正确； 故选：BD 11. 已知正方体的棱长为1，平面与对角线垂直，则（ ） A. 正方体的每条棱所在直线与平面所成角均相等 B. 平面截正方体所得截面面积的最大值为 C. 当平面与正方体各面都有公共点时，其截面多边形的周长为定值 D. 直线与平面内任一直线所成角的正弦值的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，建立空间直角坐标系，求出，计算出分别与所成角相等，所以与所成角也相等，A正确；B选项，作出辅助线，求出最大面积为；C选项，当与正方体各面都有公共点时，截图为六边形，由边长性质得到六边形周长为定值；D选项，与内任一直线所成角的正弦值的最小值即为直线与平面所成角的正弦值，利用空间向量公式求出最小值，再由线面垂直得到夹角为的情况，得到夹角正弦值的取值范围. 【详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系. 对于A：因平面与对角线垂直，所以平面的一个法向量为， ，，， ，同理, 所以直线分别与直线所成角相等， 所以直线与平面所成角也相等， 根据正方体性质可知，正方体的每条棱所在直线与平面所成角均相等，故A正确； 对于B：如图，点分别为棱的中点， 则正六边形为平面过正方体中心时截正方体所成图形， 由正方体性质可知，当平面由此位置向或趋近时，截面面积变小， 故截面面积最大即为正六边形的面积， 其中，所以正六边形的面积为， 故B错误； 对于C，当平面与正方体各面都有公共点时，截图为六边形，如图阴影部分， ， 同理可得，故六边形周长为定值，所以C正确； 对于D，直线与平面内任一直线所成角的正弦值的最小值 即为直线与平面所成角的正弦值， 设直线与平面所成角为， 则， 设平面与平面的交线为， 因为⊥平面，平面，故⊥， 故直线与的夹角为， 故直线与平面内任一直线所成角的正弦值的最大值为1， 所成角的正弦值取值范围为，D正确. 故选：ACD 【点睛】思路点睛：平面位置变化时，平面始终与对角线垂直,截面从等边三角形到六边形，再到三角形，熟知截图的变化，找到其中不变的量如：平面与平面的交线始终平行与直线，从变化中的定量即规律，可解决本题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则_______________. 【答案】 【解析】 【分析】由复数的四则运算求解． 【详解】，则， ，， 故答案为：． 13. 已知正三棱锥的棱长都为2，则侧面和底面所成二面角的余弦值为________. 【答案】 【解析】 【分析】作出正三棱锥的图像，找出侧面与底面所成的二面角的平面角，在三角形中即可求解. 【详解】如图所示，过点S作底面ABC，点O为垂足，连接OA，OB，OC，则点O为等边三角形ABC的中心，. 延长AO交BC于点D，连接SD，则，， ∴为侧面SBC与底面ABC所成的二面角的平面角. 又在等边三角形ABC中，， ∴在中，. 【点睛】本题考查了求二面角的大小，解题的关键是作出二面角，属于基础题. 14. 已知双曲线的上、下焦点分别为，，点在上，且轴，过点作的平分线的垂线，与直线交于点，若点在圆上，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求得点坐标，结合双曲线定义，求得，在三角形中，使用两次余弦定理，求得满足的等量关系，即可求得结果. 【详解】根据题意，不妨设点在第一象限，过点的垂线与的平分线交于, 连接，作图如下： 对，令，故可得，故点坐标为； 易知三角形与三角形全等，则， 由双曲线定义可得：，即，即； 在中，， 在中，由余弦定理得：； 则，整理化简可得：，， 也即，则， 解的，又，故. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用利用双曲线的定义与垂直平分线的性质求得，从而利用与中利用余弦定理得到关于的方程，解之即可得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆过点，，圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）过点的直线交圆于两点，且，求直线的方程. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，联立方程组，即可求得圆的方程； （2）由弦心距公式，求得圆心到直线的距离，再由点到直线距离公式，求得直线的斜率，即可得到直线的方程. 【小问1详解】 设圆的标准方程为：，由题意可得： ，解之得：， 所以圆的标准方程为：； 【小问2详解】 由弦心距公式可知，圆心到直线的距离为：. 当直线斜率不存在时，的方程为，显然此时圆心到直线的距离为，不符合题意； 当直线斜率存在时，设的方程为：，即， 由点到直线的距离公式可得：， 解之得：或， 所以直线的方程为：或. 16. 如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，点为棱的中点. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可求得结果； （2）根据点到面的距离的向量求法直接求解即可. 【小问1详解】 以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， ， 即直线与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 由（1）知：，， ，，， 设平面的法向量， 则，令，则，，， 点到平面的距离. 17. 已知等腰梯形中，，，为的中点，与交于点（如图1）.将沿折起到位置，使得二面角为直角（如图2）. （1）求平面与平面所成角的余弦值； （2）设点为线段上的动点（包含端点），直线与平面所成角为，求的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）证明平面，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，由空间向量法求二面角； （2）设，求出，由向量法求得，结合函数性质得取值范围． 【小问1详解】 如图1，连接，由已知且，所以是平行四边形， 而，从而是菱形，所以， 同理是平行四边形，所以，是等边三角形， ， 图2中，，， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， ，，，， 设平面的一个法向量是， 则，取，则， 设平面的一个法向量是， 则，取，则， ， 所以面与平面所成角的余弦值为； 【小问2详解】 设，， 则， , 因为，所以， 所以． 18. 在平面直角坐标系中，点，，若以轴为折痕，将直角坐标平面折叠成互相垂直的两个半平面（如图所示），则称此时点，在空间中的距离为“点，关于轴的折叠空间距离”，记为. （1）若点，，在平面直角坐标系中的坐标分别为，，，求，的值； （2）若点，在平面直角坐标系中的坐标分别为，，已知点满足，求点在平面直角坐标系中的轨迹方程； （3）若在平面直角坐标系中，点是椭圆上的点，过点的两条直线，分别交椭圆于，两点，其斜率满足. 证明：当时，为定值，并求出该定值. 【答案】（1）； （2）或 （3） ① 当直线与轴垂直时，显然不成立； ② 当直线不与轴垂直时，设直线的方程为：，， 联立方程， ， ∵，∴ 代入韦达定理可得：，即 解得或， 当时， 直线经过点,故舍去 ∴，则，且， 当时, 由得 当过点，；当过点，. ∴点在轴的上半平面，点在轴的下半平面， 点在空间中的坐标分别为， 为定值 【解析】 【分析】（1）求得在空间中的坐标，，利用定义求解即可； （2）分点在轴的上半平面，点在轴的下半平面两种情况计算可求得结论； （3）分直线与轴垂直与直线不与轴垂直两种情况讨论求解. 【小问1详解】 如图建立空间直角坐标系，则点在空间中的坐标分别为，，， ∴； . 【小问2详解】 由题意可知，点在空间中的坐标为，对点分类讨论， ①当点在轴的上半平面，即时，点在空间中的坐标为， ∴，化简得：， 因此，在平面直角坐标中，点在轴的上半平面的轨迹为以为圆心，以1为半径的半圆. ②点在轴的下半平面，即时，点在空间中的坐标为， 化简得：， ∴点的轨迹方程为：或 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：对空间折叠距离的理解，求得折叠后的点的坐标是关键，平面解析几何的方程思想的应用. 19. 在平面直角坐标系中，、、、，若动点、满足，，直线与直线相交于点. （1）求点的轨迹方程； （2）已知过点的直线（与轴不重合）和点轨迹交于、两点，过点作直线的垂线，垂足为点.设直线与轴交于点，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，借助向量共线用表示点、，再求出直线、的方程，联立消去参数即得； （2）设出直线的方程，与点的轨迹方程联立，借助韦达定理求出点坐标，再建立三角形面积的函数关系，并求出最大值即得. 【小问1详解】 依题意，、、、， 设点，、， 由，得，即点， 由，得，即点， 当时，直线的方程为，直线的方程为， 联立直线、的方程，消去参数得， 即， 当时，得交点，满足上述方程， 所以直线与直线交点的轨迹方程为. 【小问2详解】 过点的直线可设为， 由消去得，即， 设、，则，， 依题意，，直线的方程为， 令，得点横坐标， 又，， 则， 因此直线过定点，显然， 而， 令， ， 当且仅当时，即当时，即取等号，此时， 所以面积的最大值为. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横（纵）坐标为变量，建立函数关系求解作答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级高二上学期期中校际联合考试 数学试题 2024.11 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，且，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 直线过椭圆的一个焦点，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 复数，在复平面内对应的点分别为，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则（ ） A. B. 10 C. D. 6. 已知圆及直线，当直线与圆相交所得弦长最短时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线的两支于，两点，为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 3 8. 如图，二面角的大小为，棱上有两点，线段，，，.若，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知曲线.（ ） A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为 C. 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为 D. 若m=0，n>0，则C是两条直线 10. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 过点且在轴上的截距是在轴上截距的倍的直线的方程为 B. 向量是直线的一个方向向量 C. 直线与直线之间的距离是 D. 圆与圆有两条公切线 11. 已知正方体的棱长为1，平面与对角线垂直，则（ ） A. 正方体的每条棱所在直线与平面所成角均相等 B. 平面截正方体所得截面面积的最大值为 C. 当平面与正方体各面都有公共点时，其截面多边形的周长为定值 D. 直线与平面内任一直线所成角的正弦值的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则_______________. 13. 已知正三棱锥的棱长都为2，则侧面和底面所成二面角的余弦值为________. 14. 已知双曲线的上、下焦点分别为，，点在上，且轴，过点作的平分线的垂线，与直线交于点，若点在圆上，则的值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆过点，，圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）过点的直线交圆于两点，且，求直线的方程. 16. 如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，点为棱的中点. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离. 17. 已知等腰梯形中，，，为的中点，与交于点（如图1）.将沿折起到位置，使得二面角为直角（如图2）. （1）求平面与平面所成角的余弦值； （2）设点为线段上的动点（包含端点），直线与平面所成角为，求的取值范围. 18. 在平面直角坐标系中，点，，若以轴为折痕，将直角坐标平面折叠成互相垂直的两个半平面（如图所示），则称此时点，在空间中的距离为“点，关于轴的折叠空间距离”，记为. （1）若点，，在平面直角坐标系中的坐标分别为，，，求，的值； （2）若点，在平面直角坐标系中的坐标分别为，，已知点满足，求点在平面直角坐标系中的轨迹方程； （3）若在平面直角坐标系中，点是椭圆上的点，过点的两条直线，分别交椭圆于，两点，其斜率满足. 证明：当时，为定值，并求出该定值. 19. 在平面直角坐标系中，、、、，若动点、满足，，直线与直线相交于点. （1）求点的轨迹方程； （2）已知过点的直线（与轴不重合）和点轨迹交于、两点，过点作直线的垂线，垂足为点.设直线与轴交于点，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $