安徽省阜阳市第一中学2024-2025学年高二上学期期中数学试题

第 1 页 共 5 页 阜阳一中 2024—2025 学年高二年级（上）月考试卷 说明：1. 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 考试时间：2024.11 2. 答题前请把答题卷上的所有信息填写完整，并把所有答案填写在答题卷上。 一、选择题Ⅰ（本大题共 8题，每题 5 分，共计 40 分。在每小题列出的四个选 项中，只有一项最符合题目要求。） 1.直线 = − − y x y x1 1 的倾斜角是（ ） A.  4 B.  3 C.  4 3 D.不存在 2.已知圆 − + − =x a y r1 22 2)()( 关于直线 = +y x b对称，则 + =a b （ ） A. r 2 B.1 C. r D.0 3.已知椭圆 + =   a b a b x y 1 0 2 2 2 2 )( 的一个短轴端点与两个焦点构成的三角形的内切圆半径 为 b 3 ，则椭圆的离心率为（ ） A. 2 1 B. 3 1 C. 4 1 D. 5 1 4.如图，在正方体 −ABCD A B C D1 1 1 1 中， E 为C D1 1的中点，则 AE AC =1 （ ） A. 2 AB 2 7 B. 2 AB3 C. 2 AB 2 5 D. 2 AB2 5.从点P a b, )( 向圆 − + − =O x y r: 1 2 2 2 2 )()( 引两条切线PA ，PB ，切点分别为 A ，B ， 且四边形OAPB的面积为 2 ，则不满足条件的 P 点所在区域的面积为（ ） A. B. 4 C. 16 D. 64 6.已知O 为坐标原点，抛物线 =E y x: 4 2 的焦点为 F ，过点 F 的直线 l 与 E 交于 A ，B 两 A D CB 1B 1A 1D 1C E 第 2 页 共 5 页 点，若 10OABS = ，则线段 AB 中点的横坐标为（ ） A.3 B. 4 C.5 D.6 7.如图，在三棱锥 P ABC− 中，“ 2 2 2 2PB AC PA BC+ = + ”是“ PC AB⊥ ”的（ ） A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 8.已知双曲线 ( ) 2 2 2 2 : 1 0, 0 x y C a b a b − =   的左、右顶点分别为 1A 、 2A ，左、右焦点分别 为 1F 、 2F .现有如下命题：①右支上存在点 P 满足 1 2PA A 为等腰三角形， 2 2 3 PF A   = ， 且 2 1 23 4 PF A b S = ；②右支上不存在点 P 满足 1 2PA A 为等腰三角形， 1 4PF a= ，且 3e = . 那么下列判断正确的是（ ） A.①②都是真命题 B.①是真命题，②是假命题 C.①是假命题，②是真命题 D.①②都是假命题 二、选择题Ⅱ（本大题共 3题，每题 6 分，共计 18 分。在每小题列出的四个选 项中，有多个选项符合题目要求。全部选对的得 6 分，选对但不全的得部分分， 有选错的得 0分。） 9.已知直线 : 2l ax y a+ = ，圆 ( ) 2 2: 1 2C x y− + = ，则（ ） A. l 不过定点 B. l 与⊙C 相交 C.圆心C 到 l 的距离的最大值为1 D. ( ),1p a= 是 l 的一个方向向量 A C B P 第 3 页 共 5 页 10.如图，在四棱锥P ABCD− ，PB ⊥平面 ABCD，底面 ABCD是平行四边形，AC 与 BD 交于点O ，则（ ） A. ( ) 1 4 PO PA PB PC PD= + + + B. 2 2 PD AC AD CD = − C.点C 到OP 的距离为 ( ) 2 2 2 PC PO PC PO  − D. cos BC AB ABC PA BC  =  11.已知曲线 2 2 3: x y xy x + + = ，其中 1y  ，则（ ） A.曲线关于原点对称 B.曲线上存在横坐标大于1的点 C.若 0xy ，曲线与 x轴围成的面积大于 4  D. 5 1 0, 2 y  −     三、填空题（本大题共 3题，每题 5 分，共计 15分。） 12.将直线 y x= 绕点 ( )1,1 顺时针旋转75得到的直线方程是 . 13.空间中 ( )0,1,2P ， ( )2, ,1Q y ， ( )1,1,1R ， ( ),1,1S y ， ( )0, 1,0T − ，且 ST 平面PQR ， 则 y = . 14.已知曲线 : 3xy = 与圆 ( )2 2 2: 0x y r r + =  交于 A ，B ，C ，D 四个点，且四边 形 ABCD的面积为 4 ，则圆的面积为 . O C A D B P 第 4 页 共 5 页 四、解答题（本大题共 5题，共计 77 分。） 15.已知向量 ( )1,2,1p = ， ( ), , 1q a b= − ， ( )1,1,r a= ，且 q r q r− = + . （1）求b ； （2）若向量 p 与 2q r+ 垂直，求 2q r− . 16.已知直线 1 :l y kx b= + ， 2 :l x ky b= + ， ( )0,1k ， 0b  . （1）证明： 1l 与 2l 的交点不在 x轴上； （2）已知 1l 与 2l 交于 A 点， 1l ， 2l 分别与 x 轴交于 B ，C 点，记 ABC 的面积为 S ，求 2 S b 的取值范围. 17.已知点 ( )1,0A ， ( )1,0B − ，动点 ( )( ), 0, 0P x y x y 满足 2PA PB+ = ，记其轨迹为， 与 y 轴交于C 点，过 P （异于C 点）作直线PC 的垂线 l . （1）求曲线的方程； （2）记 A 到 l 的距离为 1d ， B 到 l 的距离为 2d ，证明： 2 1 22d d PC+ 为定值. 18.如图，多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD为等腰梯形，四边形BCEF 为矩形，G 为 AD 上一点，且 1 2 2 AB BC CD AD= = = = ， 2EF DG= . （1）证明：平面BCEF ⊥平面CEG ； （2）若二面角D EF C− − 为直二面角，当三棱锥E CDG− 的体积最大时，求： ①多面体 ABCDEF 的体积； ②平面 ABF 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值. C F E A B D G 第 5 页 共 5 页 19.如图，已知抛物线 = y px p: 2 0 2 )( ，直线 = +l x ky a:1 依次与， x 轴交于点 A ， B ， E ，直线 = +l x ky b:2 依次与， x 轴交于点C ，D ， F ，其中 k 0，  b a 0 . （1）若 = =b a p2 2 ，且 =   S S ACF ACE 2 3 ，求 k ； （2）若 AB DC= ，点C 关于 y 轴的对称点为G ，证明： ① ⊥AC BD ；②  = CE DG AF BG . F E A C O B D G y x