5.1.1任意角教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五章 三角函数 1.1.1任意角   一、教学目标 1.理解任意角、象限角、相反角等相关概念并会用集合语言表示终边相同的角； 2.会建立直角坐标系讨论任意角，能判断象限角，会书写终边相同角的集合; 掌握区间角的集合的书写； 3.通过对任意角相关概念的学习，体会角的概念的必要性，促进对数学知识形成过程的认识，用数学知识认识世界，从而培养善于思考、勤于动手的良好品质，提升数学抽象、直观想象等核心素养．   二、教学重难点 重点：任意角的概念，角的加减与旋转角，象限角的表示. 难点：终边相同角的表示，区间角的集合书写.   三、教学过程 （一）创设情境 情境：现实生活中，你接触过超出0°~360°范围的角吗？请举例说明. 答：1.体操中有“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”这样的动作名称，这里不仅有超出0°~360°范围的角，而且旋转的方向也不相同. 2.被动轮与主动轮中OA 绕点O 旋转所成的角与O'B 绕点O' 旋转所成的角就会有不同的方向. 3.钟表慢了 2小时，校准后分针转过的角度 师生活动：学生思考，教师多媒体出示出示体操比赛、齿轮传动以及时钟的图片.(体操:“前空翻转体度”，“后空翻转体度”.齿轮：被动轮与主动轮的旋转方向相反(顺、逆时针).时钟：慢了 2小时，校准后分针转过的角度) 设计意图：创设课堂情境，使学生产生认知上的冲突，说明角的概念的推广的必要性，从而点明本节课的内容，同时激发学生的学习兴趣和主动探究的精神. （二）探究新知 任务1：任意角的概念 思考1：初中学过角的概念是什么？范围是多大?有哪些种类？ 情境：定义：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 角的范围：0°~360° 角的种类：锐角、直角、钝角、平角、周角 设计意图：通过复习初中角的概念，引入本节新课，建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力.通过复习初中角的概念，引入本节新课.建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力. 说一说：用旋转来描述角，需要考虑什么？ 答：旋转中心、旋转方向和旋转角度 设计意图：通过探究学习，培养学生数学抽象的核心素养. 思考2：根据情境中的案例，该如何度量生活中超出0°~360°范围的角？ 答：上述案例中，角的度数已经不再局限在360°内，所以角的概念需进行推广. 旋转所成的角就会有不同的方向，因此要准确地描述这些现象，不仅要知道旋转的度数，还要知道旋转的方向，这就需要对角的概念进行推广. 总结：(一)角的分类 1.三类不同角： 正角：一条射线绕其端点逆时针旋转形成的角.如：α=60º，α=425º. 负角：一条射线绕其端点顺时针旋转形成的角.如：α=﹣540º，α=﹣120º. 零角：一条射线没作任何旋转.(零角的始边与终边重合) 2.两类特殊角： 相等角：旋转方向相同，旋转量相同，称α=β. 相反角：旋转方向不同，旋转量相同的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为−α. (二)角的计算 1.角的加法：设α，β是任意两个角，我们规定，把角α的终边再旋转角β，这时终边所对应的角是α+β. 2.角的减法：减去一个角等于加上这个角的相反角.即：α−β=α+(−β). 角的减法转化为角的加法，角的“±”表示旋转方向：“﹢逆﹣顺” 设计意图：让学生尝试定义角的相等和加减法，体会定义的合理性． 任务2：象限角与终边相同的角 我们通常在直角坐标系讨论角，为了方便，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角. 注意：如果角的终边落在坐标轴上，则该角称为轴线角. 设计意图：通过探究学习，使学生掌握象限角的判断方法，强化数学抽象的核心素养. 探究： 在直接坐标系中给定一个角有唯一的终边与之对应.反之，对于直角坐标系内任意一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系？ 各抒己见：请同学们先认真思考，再表达出自己的想法 答：不难发现，在图中，如果−32°角的终边是OB，那么328°，−392°，⋯角的终边都是OB，并且与−32°角终边相同的这些角都可以表示成−32°的角与k个(k∈Z)周角的和，如： 328°=−32°+360°(这里k=1) −392°=−32°−360°(这里k=−1) 设S={β|β=−32°+k∙360°，k∈Z}，则328°， −392°角都是S的元素，−32°角也是S的元素(此时k=0). 因此，所有与−32°角终边相同的角，连同−32°角在内，都是集合S的元素；反过来，集合S的任一元素显然与−32°角的终边相同. 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合：S={β│β=α+k∙360°，k∈Z} 即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 如果角α与角β的终边相同，则：α−β=k∙360°，k∈Z. 在直角坐标系中，角的终边绕原点旋转360°后回到原来的位置.因此，在直角坐标系中讨论角可以很好地表现角的“周而复始”的变化规律. 设计意图：通过思考，进一步理解象限角的概念，让学生明确“锐角”“第一象限角”“小于的角”之间的关系，提高学生解决问题的能力，并让学生观察终边相同的角之间的关系，提高学生的观察、概括能力. 任务3：象限角和轴线角的集合 思考：请分别写出象限角和轴线角的集合 象限角 角的集合表示 第一象限角 {x|k∙360°<x<90°+k∙360°，k∈Z} 第二象限角 {x|90°+k∙360°<x<180°+k∙360°，k∈Z} 第三象限角 {x|180°+k∙360°<x<270°+k∙360°，k∈Z} 第四象限角 {x|270°+k∙360°<x<360°+k∙360°，k∈Z} 角α终边的位置 角α的集合表示 在x轴的非负半轴上 {α|α=k∙360°，k∈Z} 在x轴的非正半轴上 {α|α=180°+k∙360°，k∈Z} 在y轴的非负半轴上 {α|α=90°+k∙360°，k∈Z} 在y轴的非正半轴上 {α|α=270°+k∙360°，k∈Z} 在x轴上 {α|α=k∙180°，k∈Z} 在y轴上 {α|α=90°+k∙180°，k∈Z} 在坐标轴上 {α|α=k∙90°，k∈Z} 设计意图：通过思考，让学生观察终边相同的角之间的关系，提高学生的观察、概括能力. （二）应用举例 例1：在0°~ 360°范围内，找出与−950°12′角终边相同的角，并断定它是第几象限角. 解：因为−950°12′=129°48′−3×360°， 所以在0°~ 360°范围内与−950°12′角终边相同的角是129°48′， 它是第二象限角. 设计意图：通过例题的讲解让学生进一步理解象限角，提高学生解决与分析问题的能力. 例2：写出终边在轴上的角的集合. 解：在范围内，终边在轴上的角有两个，即. 因此，所有与角终边相同的角构成集合， 而所有与270°角终边相同的角构成集合， 于是，终边在轴上的角的集合： 设计意图：通过例题的讲解让学生进一步理解终边相同的角，提高学生解决与分析问题的能力. 例3：写出终边在y=x上的角的集合S.S中满足不等式−360°≤β≤720°的元素β有哪些？ 解：如图，在直角坐标系中画出直线， 可以发现它与轴的夹角是45°，在0360°范围内， 终边在直线上的角有两个，45°，225°. 因此，终边在直线上的角的集合： 中适合不等式的元素有： ， ， ， ， ， . 总结：要表示终边在某一位置的角，可以先表示出终边在该位置的0°∼360°间的一个角，然后再加上k·360°. 设计意图：通过例题的讲解让学生进一步理解终边相同的角，提高学生解决与分析问题的能力. 例4：如图，分别写出适合下列条件的角的集合： 终边落在射线上； 终边落在直线上； 终边落在阴影区域内含边界． 解：终边落在射线上的角的集合为 终边落在射线反向延长线上的角的集合为， 则终边落在直线上的角的集合为 ， ， (3) 同理，得终边落在直线上的角的集合为，故终边落在阴影区域内含边界的角的集合为 设计意图：通过分析解题思路，给出解答示范，提升学生推理论证的能力，提高学生的数学运算及逻辑推理的核心素养. （4） 课堂练习 1.下列说法正确的是(    ) A. 第二象限角比第一象限角大 B. 角与角是终边相同角 C. 三角形的内角是第一象限角或第二象限角 D. 将表的分针拨慢分钟，则分针转过的角的弧度数为 2.终边与坐标轴重合的角的集合是(    ) A. B. C. D. 3.如果是第二象限角，那么和都不是(    ) A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 4.终边为一、三象限角平分线的角的集合是(    ) A. B. C. D. 5.若角的终边落在如图所示的阴影部分内，则角的取值范围是(    ) A. B. C. D. 6.已知第一象限角，锐角，小于的角，那么，，关系是(    ) A. B. C. D. 答：DDBDDA 设计意图：通过习题，让学生进一步巩固本节所学内容，并便于教师对学生掌握情况进行了解. （五）归纳总结 通过本节课的研究，大家学到了哪些知识和方法，说说你的体会？ 设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识. 学科网（北京）股份有限公司 $$