四川省宜宾市三中教育集团2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

宜宾市三中教育集团20242025学年秋期高2023级半期质量检测 数学学科 （全卷满分150分，完成时间120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．经过，两点的直线的倾斜角为 A． B． C． D． 2．已知等轴双曲线过点，则该双曲线方程为 A B． C． D． 3．已知点、是椭圆:的左、右焦点，若过焦点的直线交椭圆于A ，B 两点，则∆的周长为 A．4 B．9 C．4 D．12 4．若正方体的棱长为3，则点B与到平面的距离为 A． B． C． D． 5．已知直线经过定点且与直线平行，若点到直线的距离相等，则实数的值为 A． B． C．或 D．或 6. 19世纪法国著名数学家加斯帕尔•蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展. 椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆 的蒙日圆方程为x2+y2＝a2+b2．若圆＝与椭 圆 + y2＝1的蒙日圆有且仅有两个公共点，则的取值范围是 A.（3，+） B.（，7） C.（3，7） D.（7，+） 7．已知A，B两点的坐标分别为，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，点M形成的轨迹内有一点P，设某条弦过点P且以P为中点，那么这条弦所在直线的方程为 A． B． C．4 D． 8.已知为椭圆的两个焦点，过原点O的直线交椭圆于A ，B 两点，且|A|2|，|AB||， 则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知方程表示曲线，则下列结论正确的是 A．若曲线是圆，则该圆的半径为 B．若曲线是椭圆，则且 C．若曲线是双曲线，则 D．若曲线是双曲线，则 10．已知圆:和直线，点P在直线上运动，直线PA ，PB分别与圆相切于点A，B，则下列说法正确的是 A．切线长最小值为    B．四边形PACB的面积最小值为          C．最短时，弦AB所在的直线方程为 D．弦长|AB|的最小值为 11. 六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途. 六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体). 如图所示，正八面体，下列说法中正确的有 A．平面EAD //平面FCB B．平面EAD 平面ECB C．异面直线与所成的角为60° D．若点P为棱上的动点，则直线AP与平面FAD 成的角的 正弦值的范围是 . 二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．请把答案直接填在答题卡对应题中横线上.(注意: 在试题卷上作答无效) 12.已知直线，，若，则实数 ▲ . 13.过点，0的直线l与曲线 y 相交于A，B 两点，O为坐标原点，则∆AOB面积的最大值为 ▲ . 14.已知双曲线的左，右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线，垂足为A，延长与另一条渐近线交于点，若2为坐标原点，则该双曲线的渐进线方程为 ▲ . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15. （本小题满分13分） 已知平面内两点. (1)求过点且与直线垂直的直线的方程； (2)若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程. 16．（本小题满分15分） 已知椭圆:的焦点是，，且，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆与直线交于M，N两点，且，求实数的值. 17． （本小题满分15分） 已知圆，点P是直线上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B． （1）当四边形PAMB的面积为时，求点P的坐标； （2）若的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由. 18.（本小题满分17分） 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，在平面内的射影为. （1）求证：平面； （2）若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围. 19.（本小题满分17分） 已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为，长轴长为，直线的倾斜角为. (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆上的两动点A，B均在轴上方，且，求证：的值为定值；(3)在（2）的条件下求四边形的的面积的取值范围. 宜宾市三中教育集团20242025学年秋期高2023级半期质量检测 数学学科答案 1-8:DCDA CCBB 9. ABC 10. BC 11.ACD 12. 0或1 13.8 14. 15.解：（1）由题意得，则直线的斜率为，............................................3分 过点且与直线垂直的直线的方程为：， 即.................................................................................................................5 （2）的中点坐标为，由（1）可知线段垂线的斜率为， 所以线段垂直平分线的方程为，即...............................6 因为是以为顶点的等腰直角三角形，所以点在直线上， 故设点为，.....................................................................................................7 由可得，解得或， 所以点坐标为或，..........................................................................................9 当点坐标为时，，所以，即；.........11 当点坐标为时，，所以，即； 因此直线的方程为或......................................................13 16.解（1）由题意得：，，解得，.......................................3 故，.....................................................................................................4 故椭圆C的方程为；.........................................................................................6 （2）联立与得，， -------------------------8 ，解得，.....................................................9 设，则，-------------------------------10 故 ，---------------------------------------------13 又，所以，解得，满足， 故实数的值为-----------------------------------------------------------------------------------15 17.解（1）由题可知，圆M的半径，设，-------------- --------------------------1 因为PA是圆M的一条切线，所以， 四边形面积=rPA=,于是PA=，--------------------------------------------------------3 所以， 解得或，------------------------------------------------------------------------------6 所以点P的坐标为或．--------------------------------------------------7 （2）设，因为，所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径， 其方程为，--------------------------------------------10 即， ---- ----------------------------------------------------12 由，解得或， 所以圆过定点，．---------------------------------------------------------------15 18.证明（1）连接，因为为等边三角形，为中点，则， 由射影可知，则平面平面， 平面平面，平面，所以平面， 则平面，可得， ----------------------------------------------------3 由题设知四边形为菱形，则， 因为，分别为，中点，则，可得， -----------------5 且，，平面，所以平面.-------------------------7 （2）以为坐标原点，，，所在直线为，，轴， 可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，， --------------------9 设，， 则，可得 ---------10 由（1）知：平面的一个法向量--------11 设平面的法向量，则， 令，则，，可得；------------------------------------------13 则，令，则， 可得，----------------------------------------------15 因为，-则，可得， 所以锐二面角的余弦值的取值范围为- ----------------------------17 19.解（1）由长轴长为，可得，.-------------------------------------------1 因为点上顶点，直线的倾斜角为， 所以中，，则，---------------------------------2 又，则. ---------------------------------------------------------------3 椭圆的方程为.----------------------------------------------------------------------4 （2） 设，，，，设关于原点的对称点， 由对称性可知三点共线，且.-------------------------------------------6 设代入椭圆方程得， ，，. -------------------------------------8 ， ----------------------------9 ，-------------------------------------10 .---------------------------------------------11 （3）四边形为梯形，-------------------------------------------12 --------------------------------------------13 ------------------------------------------------------------14 令，则 -（当即时等号成立） ----------------16 四边形的的面积的取值范围是（0，]. ----------------------------17 学科网（北京）股份有限公司 $$