专题05 三角函数（11大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（甘肃专用）

专题05 三角函数 题型一 弧度制 1、（2023上·兰州市· 高一期末）角度化成弧度为（ ） A. B. C. D. 2、（2023上·平凉市· 高一期末）（多选）下列转化结果正确的是（ ） A. 化成弧度 B. 化成角度是 C. 化成弧度是 D. 化成角度是 3、（2023上·陇南市· 高一期末）用弧度制表示为______． 题型二 终边相同的角 4、（2023上·定西市· 高一期末） 与角终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 5、（2023上·酒泉市· 高一期末）下列各角中，与角终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 6、（2023上·平凉市· 高一期末）与角终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 7、（2023上·兰州市· 高一期末）（多选）在范围内，与角终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 题型三 扇形的弧长与面积 8、（2023上·兰州市· 高一期末）（多选）下列说法错误的是（ ） A. 若终边上一点的坐标为，则 B. 若角锐角，则为钝角 C. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 D. 若，且，则 9、（2023上·嘉峪关市· 高一期末）已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形的面积是________. 10、（2023上·兰州市· 高一期末）在半径为10的圆中，圆心角为的扇形所对的弧的长度为_________. 11、（2023上·定西市· 高一期末）古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的扇面多为扇环形.已知某纸扇的扇面如图所示，其中外弧长与内弧长分别为，连接外弧与内弧的两端的线段长均为，则该扇环的圆心角的弧度数为__________. 12、（2023上·酒泉市· 高一期末）建于明朝的杜氏雕花楼被誉为“松江最美的一座楼”，该建筑内有很多精美的砖雕，砖雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖墙精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分，已知，弧，弧，则此扇环形砖雕的面积为______． 13、（2023上·陇南市· 高一期末）如图，这是某公园一条扇形闭合路，其中弧所对的圆心角为2.4，，则这条扇形闭合路的总长度为__________． 14、（2023上·白银市· 高一期末）已知扇形的半径为，弧长为，面积为，圆心角为． （1）若，求该扇形的周长和面积； （2）若扇形的周长为20，面积为9，求． 题型四 三角函数求值 15、（2023上·嘉峪关市· 高一期末） A. B. C. D. 16、（2023上·兰州市· 高一期末）坐标平面内点的坐标为，则点位于第（ ）象限. A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 17、（2023上·陇南市· 高一期末）若角的终边经过点，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 18、（2023上·酒泉市· 高一期末）（多选）若，则在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 19、（2023上·兰州市· 高一期末） __________． 20、（2023上·酒泉市· 高一期末）已知角的终边经过点，则__________. 21、（2023上·兰州市· 高一期末）计算：＝________． 22、（2023上·平凉市· 高一期末）已知角的终边上有一点，且． （1）求实数m的值； （2）求，的值． 题型五 同角三角函数的关系与诱导公式 23、（2023上·定西市· 高一期末） 已知是第三象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 24、（2023上·白银市· 高一期末）已知，且为第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 25、（2023上·陇南市· 高一期末）已知，且，则（ ） A. B. C. D. 26、（2023上·平凉市· 高一期末）已知，则（ ） A. B. 1 C. D. 27、（2023上·兰州市· 高一期末）已知：，且（），则的值是（ ） A. B. C. D. 2 28、（2023上·兰州市· 高一期末）已知为第四象限角，，则（ ） A. B. C. D. 29、（2023上·陇南市· 高一期末）（多选）已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 30、（2023上·白银市· 高一期末）已知，则实数__________． 31、（2023上·平凉市· 高一期末）已知，且为第三象限角． （1）求，的值； （2）求的值． 32、（2023上·兰州市· 高一期末）回答下列两题 （1）已知，求的值； （2）若，且，求的值． 33、（2023上·陇南市· 高一期末）已知. （1）化简； （2）若，求的值. 34、（2023上·定西市· 高一期末）如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，点的纵坐标为. （1）求的值； （2）若，求的值. 35、（2023上·酒泉市· 高一期末）（1）已知，且为第二象限角，求的值； （2）已知的值. 36、（2023上·兰州市· 高一期末）已知 （1）求的值； （2）若是第三象限角，化简，并求值. 37、（2023上·嘉峪关市· 高一期末）(1)已知，且为第三象限角，求的值 (2)已知，计算 的值. 38、（2023上·嘉峪关市· 高一期末） 已知是第三象限角，且． （1）化简； （2）若，求的值． 39、（2023上·兰州市· 高一期末）已知. （1）化简； （2）已知，求的值. 40、（2023上·兰州市· 高一期末）化简求值： （1）已知，求的值； （2）． 题型六 正弦函数的图像与性质 40、（2023上·嘉峪关市· 高一期末）下列区间中，使函数为增函数的是　　 A. B. C. D. 41、（2023上·白银市· 高一期末）（多选）已知函数，，则下列说法不正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 函数的单调递增区间为 D. 若方程有三个不同的解，则或 42、（2023上·平凉市· 高一期末）已知，则__________. 题型七 余弦函数的图像与性质 43、（2023上·兰州市· 高一期末） 函数，的最小值为（ ） A. B. C. D. 44、（2023上·白银市· 高一期末）已知函数，则满足条件的最小正整数为（ ） A. B. C. D. 45、（2023上·白银市· 高一期末）点在函数的图象上，则__________. 题型八 正切函数的图像与性质 46、（2023上·嘉峪关市· 高一期末）下列函数中，最小正周期为的是（ ） A. B. C. D. 47、（2023上·兰州市· 高一期末）已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间上是增函数 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数是奇函数 48、（2023上·定西市· 高一期末）（多选）下列函数中既是奇函数，又是最小正周期为的函数有（ ） A. B. C. D. 49、（2023上·兰州市· 高一期末）（多选）已知函数，则下列说法不正确的是（ ） A. 若的最小正周期是，则 B. 当时，图象的对称中心的坐标都可以表示为 C. 当时， D. 若在区间上单调递增，则 题型一 三角函数图像的变换 50、（2023上·陇南市· 高一期末）要得到的图象，可以将函数的图象上所有的点（ ） A. 向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 B. 向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 C. 横坐标缩短到原来的，再把所得图象上各点向左平移个单位长度 D. 横坐标缩短到原来的，再把所得图象上各点向右平移个单位长度 51、（2023上·嘉峪关市· 高一期末）要得到的图象，需要将函数的图象 A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 52、（2023上·定西市· 高一期末）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数的图象关于轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 53、（2023上·酒泉市· 高一期末）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则的值为（ ） A. B. C. D. 54、（2023上·兰州市· 高一期末）把函数的图象上各点向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得图象的解析式是，则的解析式是（　　） A. B. C. D. 55、（2023上·陇南市· 高一期末）（多选）将函数的图象上的每一点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到的图象，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 题型一 的图像与性质 56、（2023上·兰州市· 高一期末）已知函数与直线的交点中，距离最近的两点间距离为，那么此函数的周期是（ ） A. B. π C. 2π D. 4π 57、（2023上·嘉峪关市· 高一期末） 函数的部分图象如图，则、可以取的一组值是（　　） A B. C D. 58、（2023上·兰州市· 高一期末）已知函数的图象过点，且在区间内不存在最值，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 59、（2023上·兰州市· 高一期末）（多选）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在单调递减 D. 该图象向右平移个单位可得的图象 60、（2023上·酒泉市· 高一期末）（多选）已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数为偶函数 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在上的最小值为 61、（2023上·兰州市· 高一期末）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 单调减区间为 C. 图象的一条对称轴方程为 D. 点是图象的一个对称中心 62、（2023上·白银市· 高一期末）（多选）函数是奇函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递增 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数的图象关于点对称 63、（2023上·定西市· 高一期末）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 是函数的图象的对称轴 C. 函数在上单调递增 D. 恒成立 64、（2023上·兰州市· 高一期末）（多选）已知函数的图象关于直线对称，则（ ） A. 函数为奇函数 B. 函数在上单调递增 C. 若，则的最小值为 D. 函数的图象关于中心对称 65、（2023上·陇南市· 高一期末）若函数在上恰好存在2个不同的满足，则的取值范围是________. 66、（2023上·陇南市· 高一期末）设函数，其中．，且，则的最小值为______． 67、（2023上·兰州市· 高一期末）已知函数是的一个零点. （1）求； （2）当时，求的值域. 68、（2023上·兰州市· 高一期末）已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）先将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象.当时，求的值域. 69、（2023上·陇南市· 高一期末）已知函数的部分图象如图所示. （1）求，，的值； （2）求函数的单调递减区间. 70、（2023上·兰州市· 高一期末）已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的值域． 71、（2023上·定西市· 高一期末）已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）求在区间上的最值，并求出取最值时的值. 72、（2023上·嘉峪关市· 高一期末）已知函数的最大值为，最小值为． （1）求a，b的值； （2）求函数的最小值，并求出取最小值时的取值集合． 73、（2023上·嘉峪关市· 高一期末）函数在同一个周期内，当时取最大值，当时，取最小值. （1）求函数的解析式； （2）函数的图象经过怎样的变换可得到的图象. 74、（2023上·陇南市· 高一期末）已知函数的图象的一条对称轴是. （1）求单调减区间； （2）求的最小值，并求出此时的取值集合. 75、（2023上·定西市· 高一期末）已知点是函数图象上的任意两点，，且当时，的最小值为. （1）求的解析式； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 76、（2023上·兰州市· 高一期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示，其中的图象与轴的一个交点的横坐标为. （1）求这个函数的解析式，并写出它的单调区间； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 77、（2023上·酒泉市· 高一期末）已知点，是函数图象上的任意两点，，且当时，的最小值为. （1）求的解析式； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围. 题型二 三角函数的应用 78、（2023上·兰州市· 高一期末）如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s（单位:cm）和时间t（单位:s）的函数关系为，那么单摆摆动的频率为________，第二次到达平衡位置O所需要的时间为________s． 79、（2023上·定西市· 高一期末）已知函数若满足（，互不相等），则的取值范围是__________. 80、（2023上·白银市· 高一期末）主动降噪耳机工作的原理：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同､相位相反的声波来抵消噪声（如图所示）.已知某噪声的声波曲线，其中振幅为，且经过点. （1）求该噪声声波曲线的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式； （2）求函数的单调递减区间与图象的对称中心. 81、（2023上·白银市· 高一期末） 给出以下三个条件：①直线是函数图象的一条对称轴；②点，是函数图象的相邻的对称中心，且；③．从这三个条件中任选两个将下面的题目补充完整并按要求进行解答． 已知函数满足条件__________与__________． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，再向左平移个单位长度，纵坐标扩大到原来的2倍，得到函数的图象，若存在，使得不等式成立，求实数的最大值．注：如果选择多种情况解答，则按照第一个解答计分． 题型三 三角函数新定义 82、（2023上·兰州市· 高一期末）把符号称为二阶行列式，规定它的运算法则为．已知函数． （1）若，，求的值域； （2）函数，若对，，都有恒成立，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 三角函数 题型一 弧度制 1、（2023上·兰州市· 高一期末）角度化成弧度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合，即可求解. 【详解】根据题意，. 故选：A. 2、（2023上·平凉市· 高一期末）（多选）下列转化结果正确的是（ ） A. 化成弧度 B. 化成角度是 C. 化成弧度是 D. 化成角度是 【答案】AD 【解析】 【分析】根据，计算判断即可． 【详解】因为，所以选项A正确； 因为，所以选项B不正确； 因，所以选项C不正确； 因为，所以选项D正确， 故选：AD． 3、（2023上·陇南市· 高一期末）用弧度制表示为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用弧度制与角度值的转化即可得到答案. 【详解】因为弧度，所以（弧度）． 故答案为： 题型二 终边相同的角 4、（2023上·定西市· 高一期末） 与角终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据终边相同的角即可求解. 【详解】与角终边相同的集合为, 经检验当时，，符合题意. 故选：B 5、（2023上·酒泉市· 高一期末）下列各角中，与角终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据终边相同的角相差周角的整数倍即可求解. 【详解】记与角终边相同的角为， 则， 当时，得. 故选：C 6、（2023上·平凉市· 高一期末）与角终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由终边相同的角的性质即可求解. 【详解】与角终边相同的角是，， 令，可得或， 当时，这个角为， 当时，这个角为， 只有选项D满足. 故选：D 7、（2023上·兰州市· 高一期末）（多选）在范围内，与角终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用终边相同的角的定义求解. 【详解】因为，， 所以与角终边相同的角是和， 故选：AC． 题型三 扇形的弧长与面积 8、（2023上·兰州市· 高一期末）（多选）下列说法错误的是（ ） A. 若终边上一点的坐标为，则 B. 若角锐角，则为钝角 C. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 D. 若，且，则 【答案】AB 【解析】 【分析】由三角函数的定义可判断A；取可判断B；由扇形的面积公式可判断C；对两边同时平方可得，可得或，再由可判断D. 【详解】对于A，到原点的距离为， 若时，；若时，，故A错误； 对于B，若，则B错误； 对于C，设扇形的半径为，则，解得：， 所以扇形面积，故C正确； 对于D，因为，则， 所以， 所以，解得或. 因为，，且， 所以，所以，故D正确. 故选：AB. 9、（2023上·嘉峪关市· 高一期末）已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形的面积是________. 【答案】 【解析】 【分析】先将角度转化成弧度制，再利用扇形面积公式计算即可. 【详解】扇形的圆心角为120°，即，故扇形面积. 故答案为：. 10、（2023上·兰州市· 高一期末）在半径为10的圆中，圆心角为的扇形所对的弧的长度为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】将圆心角化为弧度制角，再根据弧长公式计算可得； 【详解】解：因为，即，又， 所以弧长. 故答案为： 11、（2023上·定西市· 高一期末）古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的扇面多为扇环形.已知某纸扇的扇面如图所示，其中外弧长与内弧长分别为，连接外弧与内弧的两端的线段长均为，则该扇环的圆心角的弧度数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用扇形弧长与扇形的中心角的关系，求得，进而可得该扇形的中心角的弧度数. 【详解】依题意可得弧的长为，弧的长为，设扇形的中心角的弧度数为， 如图， 则，则，即． 因为，所以，则， 所以该扇形的中心角的弧度数． 故答案为：. 12、（2023上·酒泉市· 高一期末）建于明朝的杜氏雕花楼被誉为“松江最美的一座楼”，该建筑内有很多精美的砖雕，砖雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖墙精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分，已知，弧，弧，则此扇环形砖雕的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据弧长公式和扇形的面积公式可求出结果. 【详解】设圆心角为，则， 所以，解得，所以， 所以此扇环形砖雕的面积为 . 故答案为： 13、（2023上·陇南市· 高一期末）如图，这是某公园一条扇形闭合路，其中弧所对的圆心角为2.4，，则这条扇形闭合路的总长度为__________． 【答案】352 【解析】 【分析】根据弧长公式，可计算扇形的周长. 【详解】根据弧长公式可知，的长度为， 所以扇形闭合路的总长度为. 故答案为： 14、（2023上·白银市· 高一期末）已知扇形的半径为，弧长为，面积为，圆心角为． （1）若，求该扇形的周长和面积； （2）若扇形的周长为20，面积为9，求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）确定，再计算周长和面积得到答案. （2）确定方程组，解得答案，再验证即可. 【小问1详解】 ，所以，所以扇形的周长为． ． 【小问2详解】 扇形的周长为20，面积为9，所以，解得或． 当时，，此时（不合题意，舍去）； 当时，，此时． 综上所述：． 题型四 三角函数求值 15、（2023上·嘉峪关市· 高一期末） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：根据终边相同的角正弦值相等，将的正弦化成的正弦，，即可求出结果. 详解：由诱导公式可得，，，故选A. 点睛：本题着重考查了终边相同的角、诱导公式，特殊角的三角函数值等知识，属于简单题. 16、（2023上·兰州市· 高一期末）坐标平面内点的坐标为，则点位于第（ ）象限. A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】B 【解析】 【分析】利用角的范围，得出三角函数值的正负，判断出点所在的象限． 【详解】，， 则点位于第二象限， 故选：B 17、（2023上·陇南市· 高一期末）若角的终边经过点，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知得出为第二象限角，求出满足条件的一个的值，即可得出答案. 【详解】由点位于第二象限可得，角为第二象限角. 又， 则当时，有. 所以，与终边相同的角的集合为. 因为满足，不满足，不满足，不满足. 故选：A. 18、（2023上·酒泉市· 高一期末）（多选）若，则在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】AC 【解析】 【分析】 根据角的象限，结合正弦和余弦的符号，分类讨论，即可求解. 【详解】当角为第一象限角时，此时，可得，符合题意； 当角为第二象限角时，此时，可得，不符合题意； 当角为第三象限角时，此时，可得，符合题意； 当角为第四象限角时，此时，可得，不符合题意. 故选：AC. 19、（2023上·兰州市· 高一期末） __________． 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得. 【详解】. 故答案为： 20、（2023上·酒泉市· 高一期末）已知角的终边经过点，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数定义直接计算即可. 【详解】角的终边经过点，则点到原点距离， 所以. 故答案为： 21、（2023上·兰州市· 高一期末）计算：＝________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据诱导公式和特殊角的三角函数值求出答案. 【详解】 ． 故答案为：1 22、（2023上·平凉市· 高一期末）已知角的终边上有一点，且． （1）求实数m的值； （2）求，的值． 【答案】（1）；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）由可得解； （2）分和两种情况，利用三角函数的定义直接求解即可. 【详解】（1）由三角函数的定义有，， 解得． 故实数m的值为． （2）①当时，，， ②当时，，． 题型五 同角三角函数的关系与诱导公式 23、（2023上·定西市· 高一期末） 已知是第三象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式和同角三角函数关系即可得到答案. 【详解】，又因为是第三象限角， 所以， 故选：D. 24、（2023上·白银市· 高一期末）已知，且为第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先用诱导公式，将已知和要求的因式都转化成单角形式，即只含有的形式，再用同角三角函数基本关系式转化即可. 【详解】因为，所以， 且. 因为为第二象限角，所以. 则， 故选：D. 25、（2023上·陇南市· 高一期末）已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合同角三角函数及诱导公式即可求解. 【详解】由，，得， 则，故. 故选：A 26、（2023上·平凉市· 高一期末）已知，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系式即可求得结果． 【详解】， 故选：B． 27、（2023上·兰州市· 高一期末）已知：，且（），则的值是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先化简得，再化简得解. 【详解】∵， ∴． 又（）， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系和诱导公式化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 28、（2023上·兰州市· 高一期末）已知为第四象限角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据为第四象限角且可得：，然后利用完全平方即可求解. 【详解】因为为第四象限角且，所以， 也即，将两边同时平方可得： ，所以， 则， 故选：. 29、（2023上·陇南市· 高一期末）（多选）已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AC，利用完全平方公式与三角函数的基本关系式即可求得所求，从而得以判断； 对于B，结合选项A中结论，判断得，从而求得的取值范围，由此判断即可； 对于D，利用选项C中的结论求得，进而求得，据此解答即可. 【详解】对于A，因为， 所以， 所以，故A正确； 对于B，由选项A知， 因为，所以，故， 所以，即，故B正确； 对于C，由选项B可知，，，所以， 因为， 所以，故C错误； 对于D，因为，， 所以，故，故D正确. 故选：ABD. 30、（2023上·白银市· 高一期末）已知，则实数__________． 【答案】2或3 【解析】 【分析】根据计算得到答案. 【详解】因为，，所以， 解得或． 故答案为：2或3 31、（2023上·平凉市· 高一期末）已知，且为第三象限角． （1）求，的值； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求解； （2）利用诱导公式化简求值. 【小问1详解】 因为，， 所以，又为第三象限角， 所以，所以； 【小问2详解】 由诱导公式化简得： ． 32、（2023上·兰州市· 高一期末）回答下列两题 （1）已知，求的值； （2）若，且，求的值． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）将原式变形，根据，即可求解； （2）首先将条件等式两边平方求，再根据和的关系，即可求解. 【小问1详解】 ，则， 即，所以； 【小问2详解】 ，两边平方得， 所以，又，则， 所以， 因为， 所以， 联立，得，， 所以 33、（2023上·陇南市· 高一期末）已知. （1）化简； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助诱导公式与三角函数基本关系化简即可得； （2）借助三角函数中商数关系将弦化切后计算即可得. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 . 34、（2023上·定西市· 高一期末）如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，点的纵坐标为. （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义得到，再利用基本关系式即可得解； （2）由条件得，利用三角函数的诱导公式即可得解. 【小问1详解】 因为点的纵坐标为，所以， 又，所以. 小问2详解】 因为，， 所以，则， 所以， ， 故. 35、（2023上·酒泉市· 高一期末）（1）已知，且为第二象限角，求的值； （2）已知的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用正余弦的同角平方关系化简即可求解；（2）利用弦化切即可求解． 【详解】解：（1）因为，且为第二象限角， 则，即的值为； （2）因为，则 36、（2023上·兰州市· 高一期末）已知 （1）求的值； （2）若是第三象限角，化简，并求值. 【答案】17. 2； 18. 详见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用齐次式法计算即得. （2）利用平方关系化简给定式子，再结合（1）利用同角公式求值即得. 【小问1详解】 由，得，解得， 所以的值为2. 【小问2详解】 由（1）知，，即，而，于是， 而是第三象限角，即，因此， 所以 37、（2023上·嘉峪关市· 高一期末）(1)已知，且为第三象限角，求的值 (2)已知，计算 的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由，结合为第三象限角，即可得解； （2）由，代入求解即可. 【详解】（1）,∴,又∵是第三象限. ∴ （2）. 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，属于基础题. 38、（2023上·嘉峪关市· 高一期末） 已知是第三象限角，且． （1）化简； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）由诱导公式化简； （2）由诱导公式化简已知式得，再由平方关系求得即可得． 【详解】（1）； （2），，是第三象限角，所以， 所以． 39、（2023上·兰州市· 高一期末）已知. （1）化简； （2）已知，求的值. 【答案】（1）； （2）3. 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的诱导公式化简即得； （2）根据同角关系式结合条件即得. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为，所以， ∴. 40、（2023上·兰州市· 高一期末）化简求值： （1）已知，求的值； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先用诱导公式化简，再用同角三角函数的平方关系求解； （2）先用诱导公式化简，再代入特殊三角函数值计算即可. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 题型六 正弦函数的图像与性质 40、（2023上·嘉峪关市· 高一期末）下列区间中，使函数为增函数的是　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 依据正弦函数的性质对四个选项进行判断，即可找出正确选项． 【详解】解：由函数的性质知，其在区间上是增函数， 对进行赋值，当时所得的区间是 故选：． 【点睛】本题考查正弦函数的单调性，考查其单调区间的判断，解答本题的关键是熟练掌握正弦函数的单调性，熟知其单调区间的形式，从而依据性质得出正确选项，属于基础题． 41、（2023上·白银市· 高一期末）（多选）已知函数，，则下列说法不正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 函数的单调递增区间为 D. 若方程有三个不同的解，则或 【答案】AC 【解析】 【分析】对A、B：由，可得，即可得或；对C、D：可画出函数图象，由图象即可判断. 【详解】由，可得， 由，得，即可得， 解得或，故A不正确，B正确； 在坐标系中画出函数的图象， 如图所示，由函数图象可知函数的单调递增区间为和， 故C不正确； 由方程有三个不同的解，可知或，故D正确． 故选：AC. 42、（2023上·平凉市· 高一期末）已知，则__________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据任意角三角函数的定义分析求解. 【详解】因为，所以或. 故答案为：或. 题型七 余弦函数的图像与性质 43、（2023上·兰州市· 高一期末） 函数，的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由的图像，即可得出时的最小值． 【详解】由的图像可知，时，， 所以， 故选：D． 44、（2023上·白银市· 高一期末）已知函数，则满足条件的最小正整数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式结合条件可得，然后利用余弦函数的性质结合条件验证即得. 【详解】因为， 所以． 由， 可得， 则，即， 而，不满足题意， ，，满足题意， 所以满足条件的最小正整数为2. 故选：C. 45、（2023上·白银市· 高一期末）点在函数的图象上，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】将点的坐标代入计算即得参数值. 【详解】由题意得，则. 故答案为：. 题型八 正切函数的图像与性质 46、（2023上·嘉峪关市· 高一期末）下列函数中，最小正周期为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简各选项中函数解析式，利用三角函数的周期公式可得出合适的选项. 【详解】A选项的函数最小正周期为， B选项中，最小正周期为， C选项函数的最小正周期为， D选项函数的最小正周期为． 故选：D. 47、（2023上·兰州市· 高一期末）已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间上是增函数 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数是奇函数 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的函数，结合正切函数的图象、性质逐项判断即得. 【详解】对于A，由于，，因此，A错误； 对于B，当时，，则函数在区间上减函数，B错误； 对于C，， 因此函数的图象关于直线对称，C正确； 对于D，由于，因此函数是偶函数，不是奇函数，D错误. 故选：C 48、（2023上·定西市· 高一期末）（多选）下列函数中既是奇函数，又是最小正周期为的函数有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据三角函数的奇偶性和周期性逐项分析判断. 【详解】对于选项A：奇函数，最小正周期，故A正确； 对于选项B：为偶函数，最小正周期，故B错误； 对于选项C：为奇函数，最小正周期，故C错误； 对于选项D：为奇函数，最小正周期，故D正确； 故选：AD. 49、（2023上·兰州市· 高一期末）（多选）已知函数，则下列说法不正确的是（ ） A. 若的最小正周期是，则 B. 当时，图象的对称中心的坐标都可以表示为 C. 当时， D. 若在区间上单调递增，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A.根据正切函数最小正周期公式计算即可；对于B.整体代入正切函数的对称中心公式计算即可；对于C.写出函数解析式代入计算即可；对于D.整体代入正切函数的单调区间，求出关于的单增区间，再根据题意列出不等式计算出取值范围. 【详解】当的最小正周期是时，，则，故A选项正确； 当时，，所以令，，解得，，所以函数的对称中心的坐标为，故B选项不正确； 当时， ，，故C选项不正确； 令，，解得，所以函数的单调递增区间为，因为在区间上单调递增，所以，解得，，另一方面，，所以，又因为，所以由，得，由，得，所以的取值范围是，故D选项不正确． 故选:BCD 题型一 三角函数图像的变换 50、（2023上·陇南市· 高一期末）要得到的图象，可以将函数的图象上所有的点（ ） A. 向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 B. 向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 C. 横坐标缩短到原来的，再把所得图象上各点向左平移个单位长度 D. 横坐标缩短到原来的，再把所得图象上各点向右平移个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】由题意利用三角函数的图象变换规律，得出结论． 【详解】将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度得到， 再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的得到． 也可以将函数的图象上所有的点横坐标缩短到原来的得到， 再向左平移个单位长度得到． 故选：A. 51、（2023上·嘉峪关市· 高一期末）要得到的图象，需要将函数的图象 A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】D 【解析】 【分析】 由“左加右减上加下减”的原则可确定函数到的路线，进行平移变换，推出结果． 【详解】解：将函数向右平移个单位，即可得到的图象，即的图象； 故选：． 【点睛】本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为“左加右减上加下减”．注意的系数，属于基础题． 52、（2023上·定西市· 高一期末）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数的图象关于轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象的平移可得表达式，即可根据偶函数的性质求解. 【详解】由题意可得， 由于的图象关于轴对称，故为偶函数，所以, 故，由于，所以的最小值， 故选：C 53、（2023上·酒泉市· 高一期末）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平移求出平移后的函数解析式，利用函数相等可求答案. 【详解】将的图象向右平移个单位长度后得到的解析式为， 由题意， 所以，，即，. 因为，所以. 故选：B. 54、（2023上·兰州市· 高一期末）把函数的图象上各点向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得图象的解析式是，则的解析式是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用图像的平移变换和周期变换的结论，根据结果反向变换即可得出结果. 【详解】将上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，得到， 再将上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到， 将上所有点向左平移个单位，得到， 故选：A. 55、（2023上·陇南市· 高一期末）（多选）将函数的图象上的每一点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到的图象，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 【答案】BC 【解析】 【分析】利用给定变换求出函数的解析式，再逐项分析判断作答. 【详解】依题意可得， A，当时，，则不为对称轴，A错误； B，当时，，则为对称中心，B正确； C，当时，，则为对称轴，C正确； D，当时，，则不是对称中心，D错误； 故选：BC 题型一 的图像与性质 56、（2023上·兰州市· 高一期末）已知函数与直线的交点中，距离最近的两点间距离为，那么此函数的周期是（ ） A. B. π C. 2π D. 4π 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦型函数的图形性质可知，相邻两个与的交点中，最短的距离为，进而可求出周期. 【详解】 令或 ， 令，得 故选：B 【点睛】本题考查了三角函数图像的性质，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目. 57、（2023上·嘉峪关市· 高一期末） 函数的部分图象如图，则、可以取的一组值是（　　） A B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象可得周期，继而可求出，把点代入解析式可求出. 【详解】由， ，解得， 由， 所以， 则， 或1时，或， 又，而， 所以、可以取的一组值是，. 故选：. 58、（2023上·兰州市· 高一期末）已知函数的图象过点，且在区间内不存在最值，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将点代入，求得，由在区间内不存在最值，得是单调区间的真子集，利用数轴法得到不等式组，解之即可得到的取值范围. 【详解】因为函数过点， 所以，即，故， 因，所以，故， 由得，所以的单调递增区间为， 同理：的单调递增区间为， 因为在区间内不存在最值，所以是单调区间的真子集， 当时，有，解得，即， 又因为，，显然当时，不等式成立，且； 当时，有，解得，即， 又因为，，显然当时，不等式成立，且； 综上：或，即 故选：D. 59、（2023上·兰州市· 高一期末）（多选）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在单调递减 D. 该图象向右平移个单位可得的图象 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定的三角函数的图象，得到函数的解析式为，结合三角函数的性质，以及三角函数的图象变换，逐项判定，即可求解. 【详解】解：根据函数的部分图象， 可得，可得， 由，解得，所以， 对于A中，当，可得， 所以不是函数的对称中心，所以A错误； 对于B中，当时，可得，即函数的最小值， 所以函数的图象关于直线对称，所以B正确； 对于C中，当，可得， 根据余弦函数的性质，可得在函数在先减后增，所以C不正确； 对于D中，将函数该图象向右平移个单位， 可得的图象，所以D正确. 故选：BD. 60、（2023上·酒泉市· 高一期末）（多选）已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数为偶函数 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在上的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，由函数图象的顶点坐标求出A，再由周期求出即可判断；选项B，由五点法求出，进而得出的解析式，再求出即可判断；选项C，根据正弦函数的性质即可判断；选项D，在上单调，求出最小值即可. 【详解】由函数的图象可得，由，解得，从而A正确； 再根据五点法可得， 又因为，解得， 从而，所以， 即函数为奇函数，从而B错误； 当时，，所以是最值，所以C正确； 因为时，， 因为，所以单调递增， 所以当时，从而D正确. 故选：ACD 61、（2023上·兰州市· 高一期末）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 单调减区间为 C. 图象的一条对称轴方程为 D. 点是图象的一个对称中心 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题可知，解得，又在的图象上，结合得，得，即可判断A；根据三角函数的性质可判断B、C、D. 【详解】由题可知，所以，解得， 所以，又在的图象上，所以， 所以，所以，又，所以， 所以，故A正确； 令，解得， 所以的单调减区间为，故B正确； 令，解得，当时，，故C正确； 令，解得，令，则，故D错误. 故选：ABC. 62、（2023上·白银市· 高一期末）（多选）函数是奇函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递增 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数的图象关于点对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先利用函数的奇偶性确定的值，再将中的看成整体角，结合正弦函数的图象特征逐一判断函数单调性和对称性. 【详解】因为函数是奇函数，所以因，故得，所以. 对于A选项，当时，，函数在区间上不单调，故A项错误； 对于B选项，因，函数的图象关于直线对称，故B项正确； 对于C选项，当时，，函数在区间上单调递增，故C项正确； 对于D选项，，函数的图象关于点对称，故D项正确. 故选：BCD. 63、（2023上·定西市· 高一期末）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 是函数的图象的对称轴 C. 函数在上单调递增 D. 恒成立 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过观察函数的图像，可得函数图像经过点，且半周期为，从而可得函数解析式，再根据该正弦型函数在周期，对称轴，单调性和给定区间上的值域分别判断即得. 【详解】由函数图像知其经过点，故得：，即，因，则，故， 又图像经过点，则，由正弦函数的图像可得：或, 解得：或（*）， 由图像的对称性可知，该函数的周期满足：，即得，解得，满足（*），故得：. 对于选项A，因周期,故A项错误； 对于选项B，当时，，此时，故B项正确； 对于选项C，当时，易得，此时函数为增函数，故C项正确； 对于选项D，取，则当时，，则在上单调递减， 故有，此时有，故D项正确. 故选：BCD. 64、（2023上·兰州市· 高一期末）（多选）已知函数的图象关于直线对称，则（ ） A. 函数为奇函数 B. 函数在上单调递增 C. 若，则的最小值为 D. 函数的图象关于中心对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先求出的值，即可得到函数解析式，再利用正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【详解】解：函数的图象关于直线对称， ，，因为，所以，所以．函数为奇函数，故正确； 当，，函数没有单调性，故错误； 若，因为，所以或，则的最小值，故正确； ，所以函数的图象关于中心对称，故正确 故选：． 65、（2023上·陇南市· 高一期末）若函数在上恰好存在2个不同的满足，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】求得的范围，结合方程有两个不等根，列出不等式即可求解. 【详解】当时，， 令，得， 要使方程在上恰有2个根， 则需满足，解得. 故答案为： 66、（2023上·陇南市· 高一期末）设函数，其中．，且，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先由得到或，又由得到关于对称，从而得到，分类讨论的取值情况，结合的取值范围即可求得的最小值. 【详解】因为，， 所以，则或，， 因为，且， 若要使最小，则结合正弦函数的对称性可知关于对称， 所以，则，， 当时，，则，其中，， 因为，所以，则，又， 所以，则，故； 当时，，则，其中，， 因为，所以，则，又， 所以，则，故； 综上：. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题通过，则或，，再利用得到函数关于对称，从而将点代入函数解析式得，则得到，，最后对或，分类讨论即可. 67、（2023上·兰州市· 高一期末）已知函数是的一个零点. （1）求； （2）当时，求的值域. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的零点，结合特殊角的三角函数值求出. （2）由（1）求出的解析式，再利用正弦函数性质求出值域即得. 【小问1详解】 依题意，，即，则，而， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，当时，， 而正弦函数在上单调递增，在上单调递减， 因此当，即时，取得最小值， 当，即时，取得最大值1，则，， 所以的值域是. 68、（2023上·兰州市· 高一期末）已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）先将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象.当时，求的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据最值求出，再根据周期求出，最后根据对称中心求出，可得解析式； （2）先根据平移伸缩求出，再根据求出值域即可. 【小问1详解】 根据图像可得， ，则， 因为，所以 将代入的解析式，得， 则，得 因为，所以， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 将的图像向左平移个单位长度 得的图象， 再将所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍， 得的图像， 因为，所以， 则 所以, 故在上的值域为 69、（2023上·陇南市· 高一期末）已知函数的部分图象如图所示. （1）求，，的值； （2）求函数的单调递减区间. 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）由函数图象的最大值算出A，由周期算，由最大值点求； （2）利用整体代入法求函数单调递减区间. 【小问1详解】 由图可得. 因为，所以. 由图可知，当时，取得最大值，则， 即，因为，所以. 【小问2详解】 由（1）知. 由， 得. 故的单调递减区间为. 70、（2023上·兰州市· 高一期末）已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的值域． 【答案】（1）增区间为；减区间为 （2） 【解析】 【分析】(1)利用正弦型函数的单调性直接求即可. (2)整体代换后利用正弦函数的性质求值域. 【小问1详解】 令，有， 令，有， 可得函数的增区间为；减区间为； 【小问2详解】 当时，，， 有， 故函数在区间上的值域为． 71、（2023上·定西市· 高一期末）已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）求在区间上的最值，并求出取最值时的值. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用整体代入法，结合正弦型函数的单调性即可得解； （2）利用正弦型函数的性质进行求解即可. 【小问1详解】 因为， 令，得， 所以的单调递增区间为； 【小问2详解】 当时，， 所以当时，即当时，函数有最大值，最大值， 当时，即当时，函数有最小值，最小值为. 72、（2023上·嘉峪关市· 高一期末）已知函数的最大值为，最小值为． （1）求a，b的值； （2）求函数的最小值，并求出取最小值时的取值集合． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据余弦函数的范围易得与，联立方程可得; （2）根据易得的最小值,此时，进而求得的取值集合. 小问1详解】 由题意，易知, ∵，∴，∴; 【小问2详解】 由（1）知，，∴， ∵，∴, ∴的最小值为，此时，则，， ∴，， 故小值时的取值集合为． 73、（2023上·嘉峪关市· 高一期末）函数在同一个周期内，当时取最大值，当时，取最小值. （1）求函数的解析式； （2）函数的图象经过怎样的变换可得到的图象. 【答案】（1）（2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用周期公式得出，结合，得出，即可得出函数的解析式； （2）根据三角函数图象的平移变换以及伸缩变换，可得到的图象. 【详解】（1）， 又因为，所以 因为，所以 即 （2）的图象向右平移个单位得的图象，再由的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图象. 【点睛】本题主要考查了由正弦函数的性质确定解析式以及描述三角函数图象变换的过程，属于中档题. 74、（2023上·陇南市· 高一期末）已知函数的图象的一条对称轴是. （1）求单调减区间； （2）求的最小值，并求出此时的取值集合. 【答案】（1） （2）最小值是，此时的取值集合是 【解析】 【分析】（1）由题意可得，再结合可求得，从而可求得，然后由可求出的单调减区间； （2）由正弦函数的性质可得当时，，由此可求出的取值集合. 【小问1详解】 因为的图象的一条对称轴是， 所以， 解得，又，所以， 所以， 令， 解得， 所以的单调减区间是； 【小问2详解】 当时，， 令， 解得， 所以的最小值是，此时的取值集合是. 75、（2023上·定西市· 高一期末）已知点是函数图象上的任意两点，，且当时，的最小值为. （1）求的解析式； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】22. 23. 【解析】 【分析】（1）根据求，由题求周期，然后可得，即可得解析式； （2）先求的范围，然后分离参数，利用对勾函数即可得. 【小问1详解】 由题知，，即， 又，所以，显然函数， 由，得一个为最大值点，另一个为最小值点， 又的最小值为，因此函数的周期有，即， 所以，. 【小问2详解】 当时，， 所以，所以， 令，则当时，恒成立， 等价于时，恒成立， ， 根据对勾函数单调性知在上单调递增， 所以， 所以，即实数的取值范围为. 【点睛】关键点睛：本题第二问采用换元法，设，并求出其范围，再利用分离参数法结合对勾函数单调性即可求出的范围. 76、（2023上·兰州市· 高一期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示，其中的图象与轴的一个交点的横坐标为. （1）求这个函数的解析式，并写出它的单调区间； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1），递增区间是；递减区间是 （2）最大值是，最小值是. 【解析】 【分析】（1）根据函数图象可得及周期，即可求出，再利用待定系数法求出,利用正弦函数的单调性即可求解； （2）根据正弦函数的性质由整体代换法求解. 【小问1详解】 由图，知， ， ， 因为，，则， ， 由，可得， 故递增区间是； 由，可得， 故的递减区间是 【小问2详解】 当时，， 当，即时，取得最大值为； 当，即时，取得最大值为； 在区间上的最大值是，最小值是. 77、（2023上·酒泉市· 高一期末）已知点，是函数图象上的任意两点，，且当时，的最小值为. （1）求的解析式； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据求，由题求周期，然后可得，即可得解析式； （2）先求的范围，然后分离参数，利用基本不等式可得. 【小问1详解】 由题知，，即， 又，所以， 因为时，的最小值为， 所以，即， 所以， 【小问2详解】 当时，， 所以，所以， 令，则当时，恒成立， 等价于时，恒成立， ， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 又当时，， 所以 所以，即实数的取值范围为. 题型二 三角函数的应用 78、（2023上·兰州市· 高一期末）如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s（单位:cm）和时间t（单位:s）的函数关系为，那么单摆摆动的频率为________，第二次到达平衡位置O所需要的时间为________s． 【答案】 ①. ##0.5 ②. 【解析】 【分析】由周期得出频率，进而得出第二次到达平衡位置O所需要的时间. 【详解】单摆摆动的频率 当时，，故第一次到达平衡位置O的所需要的时间为． 所以第二次到达平衡位置O所需要的时间为 故答案为：；. 79、（2023上·定西市· 高一期末）已知函数若满足（，互不相等），则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意作出函数图像，要使出现五个满足的不同的的值，只需作出一条与轴平行且与图像有五个交点的直线，利用函数对称性和解析式计算即可求得的范围. 【详解】 如图，作出函数的图像，要满足（，互不相等），只需再作一条直线， 使其与函数的图像有五个交点即可. 根据正弦函数的对称性，显然，而由可解得：，则由题意知， 故的范围是. 故答案为：. 80、（2023上·白银市· 高一期末）主动降噪耳机工作的原理：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同､相位相反的声波来抵消噪声（如图所示）.已知某噪声的声波曲线，其中振幅为，且经过点. （1）求该噪声声波曲线的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式； （2）求函数的单调递减区间与图象的对称中心. 【答案】（1）， （2）单调递减区间为，对称中心为 【解析】 【分析】（1）利用函数的振幅可求得的值，由结合的值，可得出函数的解析式，再利用两个函数的图象关于轴对称可求得函数的解析式； （2）求出函数的解析式，利用余弦型函数的对称性可求得函数的单调递减区间，利用余弦型函数的对称性可求得函数的对称中心坐标. 【小问1详解】 解：因为函数的振幅为，且，则，所以，， 由题意可得，可得， 因为，则，所以，，解得， 所以，. 易知与的图象关于轴对称，所以，. 【小问2详解】 解：由（1）知， ， 由，可得， 故函数的单调递减区间为. 令，可得， 故函数的图象的对称中心为. 81、（2023上·白银市· 高一期末） 给出以下三个条件：①直线是函数图象的一条对称轴；②点，是函数图象的相邻的对称中心，且；③．从这三个条件中任选两个将下面的题目补充完整并按要求进行解答． 已知函数满足条件__________与__________． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，再向左平移个单位长度，纵坐标扩大到原来的2倍，得到函数的图象，若存在，使得不等式成立，求实数的最大值．注：如果选择多种情况解答，则按照第一个解答计分． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合三角函数的图像性质即可求解；（2）应用图像平移及整体代换法即可求解. 【小问1详解】 选择条件①与②． 易知，则，又，即， ，则． 选择条件①与③． 易知， 两式相减得，，则， ，则． 选择条件②与③． 易知，则， 得，即，则． 【小问2详解】 由题意知． ，则，设， 则存在，使得不等式成立， 即当时，，易知函数在上单调递减， 在上单调递增，，则的最大值为． 题型三 三角函数新定义 82、（2023上·兰州市· 高一期末）把符号称为二阶行列式，规定它的运算法则为．已知函数． （1）若，，求的值域； （2）函数，若对，，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据新定义运算、同角三角函数的基本关系式、二次函数的性质求得的值域. （2）先求得的最小值，由此转化不等式，利用换元法，结合二次函数的性质求得正确答案. 【小问1详解】 ，， 则， 的开口向下，对称轴为， 因为，所以； 【小问2详解】 ， ∵，∴，令，则， 函数转化为函数，， 函数在上单调递增，故当时，， 即函数的最小值为1， 由题知，，即对于恒成立， 即对于恒成立， 令，则，记，，故只要， ①当时，，解得，∴， ②当时，，解得，∴， ③当时，，解得，∴． 综合①②③得，． 【点睛】二次函数在闭区间上取得最值时的，只能是其图像的顶点的横坐标或给定区间的端点．因此，影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素:抛物线的开口方向、对称轴以及给定区间的位置．在这三大因素中，最容易确定的是抛物线的开口方向（与二次项系数的正负有关)，而关于对称轴与给定区间的位置关系的讨论是解决二次函数在给定区间上的最值问题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$