专题04 基本初等函数（9大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（甘肃专用）

专题04 基本初等函数 题型一 根式与分数指数幂 1、（2023上·白银市· 高一期末）（多选）下列各式正确的有（ ） A. B. C. D. 2、（2023上·兰州市· 高一期末）求值：__________． 3、（2023上·陇南市· 高一期末）设，则的值为________. 4、（2023上·白银市· 高一期末）计算下列各式： （1） ； （2） 题型二 指数函数 ①指数函数的定义 5、（2023上·嘉峪关市· 高一期末）函数是指数函数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 6、（2023上·兰州市· 高一期末）写出一个同时具有下列三个性质的函数：___________.①函数为指数函数；②单调递增；③. ②指数函数的图像 7、（2023上·兰州市· 高一期末）如果，那么函数的图象在 A. 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、二、四象限 8、（2023上·兰州市· 高一期末）（多选）若，则函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. ③指数函数的性质 9、（2023上·陇南市· 高一期末）已知函数的最小值大于4，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10、（2023上·兰州市· 高一期末）已知指数函数（且）在区间上的最大值是最小值的2倍，则______． 11、（2023上·酒泉市· 高一期末）已知函数（，且）的部分图象如图示． （1）求的解析式； （2）若关于x的不等式在上有解，求实数m的取值范围． 题型三 对数函数 ①对数运算 12、（2023上·白银市· 高一期末）方程＝的解是（ ） A. x＝ B. x＝ C x＝ D. x＝9 13、（2023上·兰州市· 高一期末）已知，则（ ） A. B. C. D. 14、（2023上·定西市· 高一期末）2023年2月27日，学堂梁子遗址入围2022年度全国十大考古新发现终评项目.该遗址先后发现石制品300多件，已知石制品化石样本中碳14质量随时间（单位：年）的衰变规律满足（表示碳14原有的质量）.经过测定，学堂梁子遗址中某件石制品化石样本中的碳14质量约是原来的倍，据此推测该石制品生产的时间距今约（ ）（参考数据：） A. 8370年 B. 8330年 C. 3850年 D. 3820年 15、（2023上·陇南市· 高一期末） 大多数居民在住宅区都会注意噪音问题.记为实际声压，通常我们用声压级（单位：分贝）来定义声音的强弱，声压级与声压存在近似函数关系：，其中为常数,且常数为听觉下限阈值.若在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压为穿软底鞋走路的声压的倍，且穿硬底鞋走路的声压级为分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级的倍.若住宅区夜间声压级超过分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情况下的声压为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 16、（2023上·陇南市· 高一期末）国家新能源车电池衰减规定是在质保期内，电池的性能衰减不能超过，否则由厂家免费为车主更换电池．某品牌新能源车动力电池容量测试数据显示：电池的性能平均每年的衰减率为，该品牌设置的质保期至多为（ ）（参考数据：，） A. 12年 B. 13年 C. 14年 D. 15年 17、（2023上·兰州市· 高一期末）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过（ ）天.（参考数据：) A. 70 B. 80 C. 90 D. 100 18、（2023上·兰州市· 高一期末）（多选）下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 19、（2023上·兰州市· 高一期末）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据的满足.已知某同学视力的小数记录法数据为，则其视力的五分记录法的数据约为______. 20、（2023上·白银市· 高一期末）计算下列各式： （1） ． （2） 21、（2023上·酒泉市· 高一期末）由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些高科技公司的打压，为突破西方的技术封锁和打压，我国的一些科技企业积极实施了独立自主､自力更生的策略，在一些领域取得了骄人的成绩.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司2020年全年投入芯片制造方面的研发资金为120亿元，在此基础上，计划以后每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元的年份是（ ）参考数据：. A. 2024年 B. 2025年 C. 2026年 D. 2027年 ②对数函数的图像 22、（2023上·兰州市· 高一期末） 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. ③对数函数的性质 23、（2023上·白银市· 高一期末）已知函数，且在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 24、（2023上·嘉峪关市· 高一期末）若，则实数a的取值范围是_______． 25、（2023上·白银市· 高一期末）已知函数（且）. （1）求的定义域； （2）若在上恒成立，求实数a的取值范围. 26、（2023上·兰州市· 高一期末）已知函数，且的图象过点. （1）求的值及的定义域； （2）求在上的最小值； （3）若，比较与的大小. 27、（2023上·陇南市· 高一期末）设（，且）. （1）若，求实数的值及函数的定义域； （2）求函数的值域. 题型四 幂函数 ①幂函数的定义 28、（2023上·白银市· 高一期末）已知幂函数的图象过点，则__________． ②幂函数的性质 29、（2023上·兰州市· 高一期末）若是幂函数，且在上单调递增，则的值为（ ） A. 或 3 B. 1 或 C. D. 3 30、（2023上·兰州市· 高一期末）（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是奇函数 C. 是偶函数 D. 在上单调递增 31、（2023上·定西市· 高一期末） 若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是__________.（只要写一个即可）. 32、（2023上·兰州市· 高一期末）已知幂函数，且在上是减函数． （1）求的解析式； （2）若，求的取值范围． 33、（2023上·陇南市· 高一期末） 已知幂函数满足. （1）求的解析式； （2）判断函数的奇偶性，并说明理由. 34、（2023上·酒泉市· 高一期末）已知幂函数上单调递减. （1）求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 35、（2023上·平凉市· 高一期末）已知函数是幂函数，且． （1）求实数m的值； （2）若，求实数a的取值范围． 36、（2023上·兰州市· 高一期末）已知函数是幂函数，且． （1）求实数m的值； （2）若，求实数a的取值范围． 题型一 基本初等函数的图像 37、（2023上·定西市· 高一期末）（多选）已知且，则函数与的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 题型二 二分法求方程的近似解 38、（2023上·平凉市· 高一期末）小胡同学用二分法求函数在内近似解的过程中，由计算可得，，，则小胡同学在下次应计算的函数值为（ ） A. B. C. D. 题型三 函数图像过定点 39、（2023上·嘉峪关市· 高一期末）已知函数=的图象恒过定点,则点的坐标是 A. ( 1,5 ) B. ( 1, 4) C. ( 0,4) D. ( 4,0) 40、（2023上·平凉市· 高一期末）函数（且）的图象恒过定点________. 题型四 利用函数的性质比较大小 41、（2023上·陇南市· 高一期末）已知，，，则（ ） A. B. C. D. 42、（2023上·兰州市· 高一期末）设，则（ ） A. B. C. D. 43、（2023上·白银市· 高一期末）已知，，，则（ ） A. B. C. D. 44、（2023上·酒泉市· 高一期末）已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 45、（2023上·兰州市· 高一期末）已知，，，则a，b，c大小关系为（ ） A. B. C. D. 46、（2023上·兰州市· 高一期末）已知，，，则（ ） A. B. C. D. 47、（2023上·陇南市· 高一期末）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 48、（2023上·兰州市· 高一期末）（多选）下列选项中，正确的有（ ） A. B. C. D. 49、（2023上·定西市· 高一期末）（多选） 已知，则（ ） A. B. C. D. 题型五 函数的应用 50、（2023上·白银市· 高一期末）某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为__________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为__________万元. 51、（2023上·陇南市· 高一期末）2023年8月8日，为期12天的第31届世界大学生夏季运动会在成都圆满落幕.“天府之国”以一场青春盛宴，为来自世界113个国家和地区的6500名运动员留下了永恒的记忆.在这期间，成都大熊猫繁育研究基地成为各参赛代表团的热门参观地，大熊猫玩偶成为了颇受欢迎的纪念品.某大熊猫玩偶生产公司设计了某款新产品，为生产该产品需要引进新型设备.已知购买该新型设备需要5万元，之后每生产万件产品，还需另外投入原料费及其他费用万元，且，已知每件产品的售价为20元且生产的该产品可以全部卖出. （1）写出利润（万元）关于产量（万件）的函数解析式. （2）该产品产量为多少万件时，公司所获的利润最大？其最大利润为多少万元？ 52、（2023上·兰州市· 高一期末）“宸宸”“琮琮”“莲莲”是2023年杭州亚运会吉祥物，组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文､自然生态和创新基因.某中国企业可以生产杭州亚运会吉祥物“宸宸”“琮踪”“莲莲”，根据市场调查与预测，投资成本x（百万元）与利润y（百万元）的关系如下表： （百万元） 2 4 12 （百万元） 0.4 12.8 当投资成本不高于12（百万元）时，利润（百万元）与投资成本（百万元）的关系有两个函数模型与可供选择. （1）当投资成本不高于12（百万元）时，选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； （2）当投资成本高于12（百万元）时，利润（百万元）与投资成本（百万元）满足关系，结合第（1）问的结果，要想获得不少于一千万元的利润，投资成本（百万元）应该控制在什么范围.（结果保留到小数点后一位）（参考数据：） 53、（2023上·定西市· 高一期末）某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，1月底测得凤眼莲的覆盖面积为月底测得凤眼莲的覆盖面积为，凤眼莲的覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型：与. （1）分别使用这两个函数模型对本次研究进行分析，求出对应的函数解析式； （2）若测得6月底凤眼莲的覆盖面积约为，判断上述两个函数模型中哪个更合适. 54、（2023上·兰州市· 高一期末）秋冬季是流感的高发季节，为了预防流感，某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，药熏开始前要求学生全部离开教室.已知在药熏过程中，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）与药熏时间（小时）成正比：当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）达到最大值.此后，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）与时间（小时）的函数关系式为（为常数，）.已知从药熏开始，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）关于时间（小时）的变化曲线如图所示. （1）从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式； （2）据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于毫克时，学生方可进入教室，那么从药薰开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室. 55、（2023上·陇南市· 高一期末）国庆黄金周期间，旅游潮、探亲潮必将形成高交通压力现象已知某火车站候车厅，候车人数与时间相关，时间单位：小时满足，经测算，当时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数为人，当，候车人数相对于满厅人数会减少，减少人数与成正比，且时间为点时，候车人数为人，记候车厅候车人数为． （1）求的表达式，并求当天中午点时，候车厅候车人数 （2）铁路系统为了体现“人性化”管理，每整点时会给旅客提供的免费面包数量为，则当为何值时需要提供的免费面包数量最少. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 基本初等函数 题型一 根式与分数指数幂 1、（2023上·白银市· 高一期末）（多选）下列各式正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】运用根式的化简方法直接求解即可. 【详解】 A项错误； B项正确； C项正确； D项正确． 故选：BCD 2、（2023上·兰州市· 高一期末）求值：__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用分式指数幂的运算公式，即可化简求值. 【详解】原式， . 故答案为： 3、（2023上·陇南市· 高一期末）设，则的值为________. 【答案】100 【解析】 【分析】对于多层指数幂的计算题，一般考虑从内到外的顺序依次求幂的值即可. 【详解】因为，所以，则. 故答案：100 4、（2023上·白银市· 高一期末）计算下列各式： （1） ； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据幂的运算法则计算可得 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 原式= 题型二 指数函数 ①指数函数的定义 5、（2023上·嘉峪关市· 高一期末）函数是指数函数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由指数函数的定义可得且，，解方程验证可得． 【详解】解：函数是指数函数， 且，， 由解得或， ， 故选． 【点睛】本题考查指数函数的定义，属于基础题． 6、（2023上·兰州市· 高一期末）写出一个同时具有下列三个性质的函数：___________.①函数为指数函数；②单调递增；③. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据给定条件①可得函数的解析式，再利用另两个条件判断作答. 【详解】因函数是指数函数，则令，且，于是得， 由于单调递增，则，又，解得，取， 所以. 故答案为：（答案不唯一） ②指数函数的图像 7、（2023上·兰州市· 高一期末）如果，那么函数的图象在 A. 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、二、四象限 【答案】B 【解析】 【详解】∴y=的图象过第一、第二象限,且是单调增函数,经过(0,1)， 的图象可看成把y=的图象向下平移−b(−b>1)个单位得到的， 故函数的图象经过第一、第三、第四象限，不经过第二象限， 故选B. 8、（2023上·兰州市· 高一期末）（多选）若，则函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，结合对数函数单调性解，再根据指数函数单调性分析判断. 【详解】由，可得： 当时，∵在定义域内单调递减， ∴， 此时，且在定义域内单调递减，B成立，D错误； 当时，∵在定义域内单调递增， ∴， 此时，且在定义域内单调递增，A错误，C成立． 故选：BC. ③指数函数的性质 9、（2023上·陇南市· 高一期末）已知函数的最小值大于4，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式求函数最小值，由最小值大于4，解不等式得的取值范围. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即，即时，等号成立， 所以的最小值为. 由，得，则的取值范围是. 故选：D 10、（2023上·兰州市· 高一期末）已知指数函数（且）在区间上的最大值是最小值的2倍，则______． 【答案】或2 【解析】 【分析】先讨论的范围确定的单调性，再分别进行求解. 【详解】①当时，，得；②当时，，得，故或2． 故答案为：或2. 11、（2023上·酒泉市· 高一期末）已知函数（，且）的部分图象如图示． （1）求的解析式； （2）若关于x的不等式在上有解，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）结合图象，利用待定系数法即可得解； （2）将问题转化为在有解，结合函数的单调性即可得解. 【小问1详解】 由图象可知函数经过点和， 所以，解得， 所以函数的解析式是． 【小问2详解】 由（1）知，， 根据题意知，即在有解， 设，则， 因为和在上都是单调递增函数， 所以在上是单调递增函数，故， 所以，实数m的取值范围是． 题型三 对数函数 ①对数运算 12、（2023上·白银市· 高一期末）方程＝的解是（ ） A. x＝ B. x＝ C x＝ D. x＝9 【答案】A 【解析】 【分析】先化简为，再通过对指互化即得解. 【详解】由题得. 故选：A 【点睛】本题主要考查对指互化，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 13、（2023上·兰州市· 高一期末）已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数的运算性质即可结合换底公式求解. 【详解】， 故选:B. 14、（2023上·定西市· 高一期末）2023年2月27日，学堂梁子遗址入围2022年度全国十大考古新发现终评项目.该遗址先后发现石制品300多件，已知石制品化石样本中碳14质量随时间（单位：年）的衰变规律满足（表示碳14原有的质量）.经过测定，学堂梁子遗址中某件石制品化石样本中的碳14质量约是原来的倍，据此推测该石制品生产的时间距今约（ ）（参考数据：） A. 8370年 B. 8330年 C. 3850年 D. 3820年 【答案】D 【解析】 【分析】根据碳14质量随时间的衰变公式代入条件，对指数式两边取对数，代入近似值即得. 【详解】依题意得：，等式两边取以为底的对数并整理得：，解得：， 代入即得：. 故选：D. 15、（2023上·陇南市· 高一期末） 大多数居民在住宅区都会注意噪音问题.记为实际声压，通常我们用声压级（单位：分贝）来定义声音的强弱，声压级与声压存在近似函数关系：，其中为常数,且常数为听觉下限阈值.若在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压为穿软底鞋走路的声压的倍，且穿硬底鞋走路的声压级为分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级的倍.若住宅区夜间声压级超过分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情况下的声压为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】由结合对数运算可求得的值，由于，可得出、，结合对数函数的单调性可出结论. 【详解】由题意，得， 则，因此， ，则， ，则. 故选：A. 16、（2023上·陇南市· 高一期末）国家新能源车电池衰减规定是在质保期内，电池的性能衰减不能超过，否则由厂家免费为车主更换电池．某品牌新能源车动力电池容量测试数据显示：电池的性能平均每年的衰减率为，该品牌设置的质保期至多为（ ）（参考数据：，） A. 12年 B. 13年 C. 14年 D. 15年 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出不等式，两边取对数，即可求解. 【详解】设该品牌设置的质保期至多为年， 由题意可得，，则， 两边取对数，即，则， 即，则， 因为，所以，则，又因为，所以， 故选：C. 17、（2023上·兰州市· 高一期末）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过（ ）天.（参考数据：) A. 70 B. 80 C. 90 D. 100 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列方程，然后取对数求解. 【详解】设天后当“进步”的值是“退步”的值的5倍，则，即， 两边同时取对数，化简得， 所以，即. 故当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过80天. 故选：B. 18、（2023上·兰州市· 高一期末）（多选）下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用指数幂和对数的运算法则即可求解. 【详解】对于选项A，，故选项A正确； 对于选项B，，故选项B不正确； 对于选项C，，故选项C正确； 对于选项D，，故选项D不正确. 故选：AC. 19、（2023上·兰州市· 高一期末）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据的满足.已知某同学视力的小数记录法数据为，则其视力的五分记录法的数据约为______. 【答案】4.9 【解析】 【分析】根据对数的运算法则及所给数据求出，最后代入所给公式计算可得. 【详解】解：由，当时， ， 所以. 故答案为： 20、（2023上·白银市· 高一期末）计算下列各式： （1） ． （2） 【答案】 （1） 5（2）8 【解析】 【分析】根据对数的运算性质计算可得. 【详解】 （1） ． （2）原式 . 21、（2023上·酒泉市· 高一期末）由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些高科技公司的打压，为突破西方的技术封锁和打压，我国的一些科技企业积极实施了独立自主､自力更生的策略，在一些领域取得了骄人的成绩.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司2020年全年投入芯片制造方面的研发资金为120亿元，在此基础上，计划以后每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元的年份是（ ）参考数据：. A. 2024年 B. 2025年 C. 2026年 D. 2027年 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出不等关系，然后结合对数运算化简求出年份即可. 【详解】设2020年后第年该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元， 由得， 两边同取常用对数，得， 所以，所以从2026年开始，该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元. 故选：C ②对数函数的图像 22、（2023上·兰州市· 高一期末） 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合函数奇偶性，以及对数函数的图像性质，即可求解. 【详解】根据题意，由，可知函数是偶函数，函数图象关于y轴对称，因此CD错误；又由，知恒成立，可知B错误. 故选：A. ③对数函数的性质 23、（2023上·白银市· 高一期末）已知函数，且在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，判断其单调性，根据复合函数的单调性，可判断的单调性，结合对数的真数大于0，解不等式，即可得答案. 【详解】令，则，因为，所以在上是增函数， 根据复合函数的单调性知需为减函数，所以. 又在上需满足恒大于0，所以，即. 综上，实数的取值范围是. 故选：B 24、（2023上·嘉峪关市· 高一期末）若，则实数a的取值范围是_______． 【答案】（0，）∪（1，＋∞） 【解析】 【分析】对分类讨论，再解不等式即得解. 【详解】当时，不等式为. 当时，不等式为. 综上所述，实数a的取值范围是（0，）∪（1，＋∞） 故答案为（0，）∪（1，＋∞） 【点睛】本题主要考查对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 25、（2023上·白银市· 高一期末）已知函数（且）. （1）求的定义域； （2）若在上恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）当时，函数的定义域为；当时，函数的定义域为（2） 【解析】 【分析】 (1)根据函数解析式，得到，分别讨论和两种情况，解对应不等式，即可得出定义域； (2)分类讨论和两种情况，根据对数型函数单调性，即可得出结果. 【详解】(1)因为，所以， 因为且， 当时，，解不等式可得； 当时，，解不等式可得； 综上，当时，函数的定义域为；当时，函数的定义域为； (2)当时，，，所以函数在定义域内单调递减；又且在上恒成立， 所以只需，无解； 当时，，，所以函数在定义域内单调递减；又在上恒成立， 所以只需，即，解得， 综上所述实数a的取值范围为. 【点睛】思路点睛：求解对数型不等式时，一般根据对数函数的单调性，结合题中条件，列出不等式（组）求解；列式时，要注意定义域. 26、（2023上·兰州市· 高一期末）已知函数，且的图象过点. （1）求的值及的定义域； （2）求在上的最小值； （3）若，比较与的大小. 【答案】21. ， 22. 23. 【解析】 【分析】（1）由求得，由对数函数的定义得定义域. （2）函数式化简为只含有一个对数号，然后由二次函数性质及对数函数性质得最小值. （3）指数式改写为对数式，然后比较的大小，并由已知得出的范围，在此范围内由的单调性得大小关系． 【小问1详解】 依题意，，因此， 由，解得，所以的定义域为. 【小问2详解】 由（1）知，， ，当时，则， 所以，因此当时，函数， 所以在上的最小值. 【小问3详解】 ，，则，， 显然，，即有， 于是，而，则，， 又，则，，即， ，，从而，， 因为函数在上增函数，又在上是减函数，则在上是减函数， 所以. 【点睛】结论点睛：函数在区间上单调，函数在区间上单调，并且在上函数值集合包含于区间，则函数在区间上单调；如果与单调性相同，那么是增函数，如果与单调性相反，那么是减函数. 27、（2023上·陇南市· 高一期末）设（，且）. （1）若，求实数的值及函数的定义域； （2）求函数的值域. 【答案】（1）， （2）①当时，函数的值域为，②当时，函数的值域为. 【解析】 【分析】（1）根据求得，根据函数定义域求法求得的定义域. （2）先求得的定义域，结合二次函数的知识求得的值域. 【小问1详解】 因为，且， 所以，解得， 所以的定义域需满足， 解得，即函数的定义域为. 【小问2详解】 ， 由，根据二次函数的性质可得， ①当时，在上递增，函数的值域为， ②当时，在上递减，函数的值域为. 题型四 幂函数 ①幂函数的定义 28、（2023上·白银市· 高一期末）已知幂函数的图象过点，则__________． 【答案】8 【解析】 【分析】设出解析式，代入点的坐标，求出，再代入求值即可. 【详解】令，由题意得，即， 解得，故， 则． 故答案为：8 ②幂函数的性质 29、（2023上·兰州市· 高一期末）若是幂函数，且在上单调递增，则的值为（ ） A. 或 3 B. 1 或 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数的性质即可求解. 【详解】因为是幂函数， 则，则或， 当，，不符合题意， 当，，则在区间上是单调递增函数，符合题意，则； 故选：D. 30、（2023上·兰州市· 高一期末）（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是奇函数 C. 是偶函数 D. 在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据幂函数经过的点得其表达式，结合幂函数的性质即可根据选项逐一求解. 【详解】因为函数的图象过点，所以，即，所以，故A正确： ，定义域为，关于原点对称，所以，所以是偶函数，故B错误，C正确： 又，所以在上单调递减，又是偶函数，所以在上单调递增，故D正确． 故选：ACD． 31、（2023上·定西市· 高一期末） 若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是__________.（只要写一个即可）. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】举例，验证其满足题意即可. 【详解】举例，即，因为其定义域为，关于原点对称， 且，则为奇函数， 又易知其在上单调递减，则满足题意. 故答案为：（答案不唯一） 32、（2023上·兰州市· 高一期末）已知幂函数，且在上是减函数． （1）求的解析式； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）或． 【解析】 【分析】 （1）根据幂函数的定义和单调性建立条件关系即可得到结论， （2）令，根据其单调性即可求解结论． 【详解】解：（1）函数是幂函数， ， 即， 解得或， 幂函数在上是减函数， ， 即， ， （2）令，因为的定义域为，，，且在和上均为减函数， ， 或或， 解得或， 故的取值范围为：或． 33、（2023上·陇南市· 高一期末） 已知幂函数满足. （1）求的解析式； （2）判断函数的奇偶性，并说明理由. 【答案】（1） （2）偶函数，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由待定系数法可求得结果； （2）根据函数奇偶性定义判断. 【小问1详解】 设， 由，得， 解得，所以. 【小问2详解】 由（1）知，为偶函数. 理由如下： 的定义域为， 又， 所以为偶函数. 34、（2023上·酒泉市· 高一期末）已知幂函数上单调递减. （1）求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性即可求得. （2）构造函数，根据其单调性即可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为幂函数，所以， 即，解得或， 又因为幂函数在上单调递减，所以，即， 则（舍去），所以. 【小问2详解】 因为，，则， 因为在上单调递增，所以，则， 所以实数的取值范围为. 35、（2023上·平凉市· 高一期末）已知函数是幂函数，且． （1）求实数m的值； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数定义可求得实数m的所有可能取值，再根据即可得出结果；（2）根据幂函数的解析式可求得其定义域，再利用幂函数的单调性即可求出实数a的取值范围. 【小问1详解】 因为是幂函数，所以， 解得或． 当时，，此时，，显然不符合题意： 当时，，此时，，满足，符合题意． 综上，； 【小问2详解】 因为，所以的定义域为，且在上单调递增， 由， 得，解得， 即实数a的取值范围为 36、（2023上·兰州市· 高一期末）已知函数是幂函数，且． （1）求实数m的值； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数定义可求得实数m的所有可能取值，再根据即可得出结果；（2）根据幂函数的解析式可求得其定义域，再利用幂函数的单调性即可求出实数a的取值范围. 【小问1详解】 因为是幂函数，所以， 解得或． 当时，，此时，，显然不符合题意： 当时，，此时，，满足，符合题意． 综上，； 【小问2详解】 因为，所以的定义域为，且在上单调递增， 由， 得，解得， 即实数a的取值范围为 题型一 基本初等函数的图像 37、（2023上·定西市· 高一期末）（多选）已知且，则函数与的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】分和两种情况，结合函数的单调性和图象特征，判断选项. 【详解】若，则函数的图象单调递减且过点， 函数的图象单调递减且过点； 若，则函数的图象单调递增且过点， 而函数的图象单调递增且过点； 只有BD的图象符合． 故选：BD. 题型二 二分法求方程的近似解 38、（2023上·平凉市· 高一期末）小胡同学用二分法求函数在内近似解的过程中，由计算可得，，，则小胡同学在下次应计算的函数值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二分法的计算方法即可判断. 【详解】因为，，，则根应该落在区间内， 根据二分法的计算方法，下次应计算的函数值为区间中点函数值，即. 故选：D. 题型三 函数图像过定点 39、（2023上·嘉峪关市· 高一期末）已知函数=的图象恒过定点,则点的坐标是 A. ( 1,5 ) B. ( 1, 4) C. ( 0,4) D. ( 4,0) 【答案】A 【解析】 详解】令=，得x=1，此时y=5． 所以函数=的图象恒过定点(1，5)．选A． 点睛： （1）求函数（且）的图象过的定点时，可令，求得的值，再求得，可得函数图象所过的定点为． （2）求函数（且）的图象过的定点时，可令，求得的值，再求得，可得函数图象所过的定点为． 40、（2023上·平凉市· 高一期末）函数（且）的图象恒过定点________. 【答案】 【解析】 【分析】令可求出过定点的横坐标，代入函数中可求出其纵坐标，从而可求得结果. 【详解】令，解得，又， 所以函数（且）的图象恒过定点. 故答案为： 题型四 利用函数的性质比较大小 41、（2023上·陇南市· 高一期末）已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中间值0与指数、对数函数的单调性判断大小即可. 【详解】由对数函数的单调性可知，，即. 函数在R上是减函数，于是，即. 所以． 故选：C. 42、（2023上·兰州市· 高一期末）设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性，借助媒介数比较大小即得. 【详解】由，得，由，得， 即，而， 所以. 故选：B 43、（2023上·白银市· 高一期末）已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数和对数的关系以及对数函数的性质判断可得； 【详解】解：由，得．由，得．又，，所以． 故选：D． 44、（2023上·酒泉市· 高一期末）已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用幂函数的单调性可比较a，c，再由对数函数性质可知，即可得答案. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以，即， 又，所以. 故选：C 45、（2023上·兰州市· 高一期末）已知，，，则a，b，c大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数函数单调性及指数运算，再借助“媒介数”判断作答. 【详解】，，，而，即， 所以. 故选：D 46、（2023上·兰州市· 高一期末）已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指、对、幂函数的单调性求出，，，进而可得结果. 【详解】由题意，，即； ，即， ，故， 故选：B 47、（2023上·陇南市· 高一期末）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合指数函数、对数函数性质可大致判断，进而比大小. 【详解】因为，，， 故，所以. 故选：B. 48、（2023上·兰州市· 高一期末）（多选）下列选项中，正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据对数运算法则和对数函数的单调性，结合基本不等式、对勾函数的单调性判断． 【详解】，所以，A正确； 因为，所以，即，B错误； ，C正确； 由于对勾函数在上减函数，， 所以，即，D正确． 故选：ACD． 49、（2023上·定西市· 高一期末）（多选） 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用零点存在定理判断得，利用换底公式与对数函数的性质判断得，利用基本不等式判断得，从而检验各选项即可得解. 【详解】令，易知在上单调递增， 又，， 所以在在存在唯一零点， 因为，所以是的零点，则； 因为，所以，即，则， 又，所以； 因为，又，等号不成立， 所以； 综上：，故AC正确，BD错误. 故选：AC. 【点睛】关键点睛：本题值范围限定的关键是利用换底公式求得，从而得解. 题型五 函数的应用 50、（2023上·白银市· 高一期末）某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为__________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为__________万元. 【答案】 ①. 2 ②. 20 【解析】 【分析】先由题意设出运费和仓储费的解析式，条件代入确定运费与仓储费之和的表达式，运用基本不等式求解即得. 【详解】设工厂和仓库之间的距离为千米，运费为万元，仓储费为万元， 依题意可设. 工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元， 代入求得：于，运费与仓储费之和为万元， 因，由，当且仅当， 即时，运费与仓储费之和最小，最小为20万元. 故答案为：2；20. 51、（2023上·陇南市· 高一期末）2023年8月8日，为期12天的第31届世界大学生夏季运动会在成都圆满落幕.“天府之国”以一场青春盛宴，为来自世界113个国家和地区的6500名运动员留下了永恒的记忆.在这期间，成都大熊猫繁育研究基地成为各参赛代表团的热门参观地，大熊猫玩偶成为了颇受欢迎的纪念品.某大熊猫玩偶生产公司设计了某款新产品，为生产该产品需要引进新型设备.已知购买该新型设备需要5万元，之后每生产万件产品，还需另外投入原料费及其他费用万元，且，已知每件产品的售价为20元且生产的该产品可以全部卖出. （1）写出利润（万元）关于产量（万件）的函数解析式. （2）该产品产量为多少万件时，公司所获的利润最大？其最大利润为多少万元？ 【答案】（1）； （2）当该产品产量为100万件时，利润最大，最大利润为271万元． 【解析】 【分析】（1）由销售额与成本费用之差，计算利润； （2）利用配方法和函数单调性，求最大值. 【小问1详解】 当时，. 当时，， 所以. 【小问2详解】 当时，， 则当时，取得最大值，最大值195； 当时，，且单调递减， 则当时，取得最大值，最大值为271. 综上，当该产品产量为100万件时，利润最大，最大利润为271万元. 52、（2023上·兰州市· 高一期末）“宸宸”“琮琮”“莲莲”是2023年杭州亚运会吉祥物，组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文､自然生态和创新基因.某中国企业可以生产杭州亚运会吉祥物“宸宸”“琮踪”“莲莲”，根据市场调查与预测，投资成本x（百万元）与利润y（百万元）的关系如下表： （百万元） 2 4 12 （百万元） 0.4 12.8 当投资成本不高于12（百万元）时，利润（百万元）与投资成本（百万元）的关系有两个函数模型与可供选择. （1）当投资成本不高于12（百万元）时，选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； （2）当投资成本高于12（百万元）时，利润（百万元）与投资成本（百万元）满足关系，结合第（1）问的结果，要想获得不少于一千万元的利润，投资成本（百万元）应该控制在什么范围.（结果保留到小数点后一位）（参考数据：） 【答案】（1）最符合实际的函数模型为，解析式为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合表格中的数据，将点，分别代入两个函数的解析式，求得的值，结合时，求得的值，即可得到答案； （2）根据题意得到利润与投资成本关系式，结合要获得不少于一个亿的利润，得出不等式，分类讨论，即可求解. 【小问1详解】 解：最符合实际的函数模型为， 理由如下： 若选函数，将点代入可得， 解得，所以， 当时，可得，与实际数据差别较大； 若选函数， 将点代入可得，解得， 所以，当时，可得，符合题意， 综上可得，最符合实际的函数模型为. 【小问2详解】 解：由题意知，利润与投资成本满足关系式, 要获得不少于一个亿的利润，即， 当时，即，即， 又因为，所以； 当时，即，可得， 解得，又因为，所以， 综上可得，， 所以要获得不少于一个亿的利润，投资成本（千万）的范围是. 53、（2023上·定西市· 高一期末）某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，1月底测得凤眼莲的覆盖面积为月底测得凤眼莲的覆盖面积为，凤眼莲的覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型：与. （1）分别使用这两个函数模型对本次研究进行分析，求出对应的函数解析式； （2）若测得6月底凤眼莲的覆盖面积约为，判断上述两个函数模型中哪个更合适. 【答案】（1）， （2）函数模型更合适 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可得解； （2）将分别代入比较即可得解. 【小问1详解】 依题意，可知时，；时，， 对于函数模型，有，解得， 所以. 对于函数模型，有，解得， 所以 故两函数模型的解析式为，； 【小问2详解】 对于， 当时，， 对于， 当时，， 由于比更接近， 所以函数模型更合适. 54、（2023上·兰州市· 高一期末）秋冬季是流感的高发季节，为了预防流感，某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，药熏开始前要求学生全部离开教室.已知在药熏过程中，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）与药熏时间（小时）成正比：当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）达到最大值.此后，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）与时间（小时）的函数关系式为（为常数，）.已知从药熏开始，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）关于时间（小时）的变化曲线如图所示. （1）从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式； （2）据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于毫克时，学生方可进入教室，那么从药薰开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室. 【答案】（1） （2）至少需要经过后，学生才能回到教室 【解析】 【分析】（1）根据图象利用待定系数法计算函数关系式即可； （2）根据指数函数的单调性解不等式计算即可. 【小问1详解】 依题意，当时， 可设，且，解得， 又由，解得， 所以； 【小问2详解】 令， 即，解得， 即至少需要经过后，学生才能回到教室. 55、（2023上·陇南市· 高一期末）国庆黄金周期间，旅游潮、探亲潮必将形成高交通压力现象已知某火车站候车厅，候车人数与时间相关，时间单位：小时满足，经测算，当时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数为人，当，候车人数相对于满厅人数会减少，减少人数与成正比，且时间为点时，候车人数为人，记候车厅候车人数为． （1）求的表达式，并求当天中午点时，候车厅候车人数 （2）铁路系统为了体现“人性化”管理，每整点时会给旅客提供的免费面包数量为，则当为何值时需要提供的免费面包数量最少. 【答案】（1），人 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，设出函数，建立方程，解得函数解析式，则求得函数值，可得答案； （2）由（1）的函数解析式，分段整理函数解析式，求得最值，比较可得答案. 【小问1详解】 当时，设，，则， ， 故当天中午点时，候车厅候车人数为人. 【小问2详解】 当，，当且仅当时等号成立； 当时，． 又，所以当时，需要提供的面包数量最少． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$