专题03 函数的概念与性质（13大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（甘肃专用）

专题03 函数的概念与性质 题型一 函数的定义域 1、（2023上·兰州市· 高一期末）函数的定义域是 A. (0,1] B. C. D. 2、（2023上·嘉峪关市· 高一期末）函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 3、（2023上·酒泉市· 高一期末）函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4、（2023上·陇南市· 高一期末）函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5、（2023上·兰州市· 高一期末）函数的定义域为______． 6、（2023上·嘉峪关市· 高一期末）函数的定义域为____________. 题型二 求函数的解析式 7、（2023上·平凉市· 高一期末）已知函数，则（ ） A. B. C. 3 D. 8、（2023上·陇南市· 高一期末）已知，则______. 9、（2023上·兰州市· 高一期末）已知，则______． 10、（2023上·兰州市· 高一期末）设函数是定义在上的奇函数，且．则函数的解析式为__________． 11、（2023上·陇南市· 高一期末）已知函数． （1）求的解析式； （2）若函数，，，，求的取值范围． 12、（2023上·白银市· 高一期末）已知为偶函数，为奇函数，且满足. （1）求； （2）若方程有解，求实数的取值范围. 题型三 函数的图像 13、（2023上·陇南市· 高一期末）函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 题型四 求函数的值域 14、（2023上·嘉峪关市· 高一期末）函数的值域为（ ） A. [0,3] B. [-1,0] C. [-1,3] D. [0,2] 题型五 分段函数 15、（2023上·兰州市· 高一期末）已知函数，则（ ） A. B. C. 0 D. 16、（2023上·酒泉市· 高一期末）已知函数，对，，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 17、（2023上·兰州市· 高一期末）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 存在实数，函数无最小值 B. 对任意实数，函数都有零点 C. 当时，函数在上单调递增 D. 对任意，都存在实数，使关于的方程有3个不同的实根 18、（2023上·兰州市· 高一期末）已知函数，其中且，若的值域为，则实数a的取值范围是______． 19、（2023上·白银市· 高一期末）已知函数 （1）求的值； （2）当方程有且仅有三个不同的解时，求实数的取值范围. 题型六 函数的性质 20、（2023上·酒泉市· 高一期末）（多选）设函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 在上单调递减 D. 在上单调递减 21、（2023上·酒泉市· 高一期末）已知函数，且，． （1）求、的值； （2）试判断函数在上的单调性，并证明； （3）求函数在上的最大值和最小值． ①奇偶性 22、（2023上·平凉市· 高一期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 23、（2023上·兰州市· 高一期末）（多选）下列函数是奇函数的有（ ） A. B. C. D. 24、（2023上·陇南市· 高一期末） 已知是定义在上的奇函数，，则________. 25、（2023上·兰州市· 高一期末）定义在R上的奇函数满足，且在上，则=______ 26、（2023上·兰州市· 高一期末）已知函数． （1）若是偶函数，求的值； （2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． ②单调性 27、（2023上·嘉峪关市· 高一期末）如果函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 28、（2023上·兰州市· 高一期末）已知函数，在R上单调递增，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 29、（2023上·白银市· 高一期末）（多选）已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 在上单调递减 D. 在上单调递增 30、（2023上·酒泉市· 高一期末）已知函数，，则的取值范围是__________． 31、（2023上·白银市· 高一期末）已知函数. （1）判断的单调性，并用单调性的定义证明； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围. ③函数的最值 32、（2023上·兰州市· 高一期末） 设函数(且)是定义在上的奇函数. （1）若，求使不等式对恒成立的实数的取值范围； （2）设函数的图像过点，函数.若对于任意的，都有，求的最小值. 33、（2023上·陇南市· 高一期末） 已知函数. （1）若a=0，求函数的值域； （2）求函数的最大值. 题型一 利用函数的性质解不等式 34、（2023上·定西市· 高一期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 35、（2023上·兰州市· 高一期末）设函数是定义在上的偶函数，在区间上是减函数，且图象过原点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 36、（2023上·白银市· 高一期末）（多选）已知函数，若，则整数的值可以为（ ） A. B. C. 0 D. 1 37、（2023上·平凉市· 高一期末）已知函数是定义在上的偶函数，在区间上单调递增，且，则不等式的解集为__________. 38、（2023上·兰州市· 高一期末）已知函数，设函数．若对任意都有成立，求实数的取值范围__________． 39、（2023上·嘉峪关市· 高一期末）函数是定义域在上的奇函数，且在区间上单调递减，求满足的的集合． 题型二 函数的零点 40、（2023上·酒泉市· 高一期末）函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 41、（2023上·兰州市· 高一期末）函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 42、（2023上·白银市· 高一期末）已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 43、（2023上·陇南市· 高一期末）函数的所有零点之和为（ ） A. B. C. D. 44、（2023上·白银市· 高一期末），的零点为，，的零点为，，的零点为，则，，的大小关系是 A. B. C. D. 45、（2023上·兰州市· 高一期末）（多选）已知函数 ，则方程实数根的个数可以为 （ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 9 46、（2023上·陇南市· 高一期末）（多选）已知函数只有两个零点，则（ ） A. B. C. D. 47、（2023上·兰州市· 高一期末）（多选）已知函数是偶函数，且当时，，那么函数的零点个数可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 48、（2023上·白银市· 高一期末）已知函数，则函数零点的个数为_________． 49、（2023上·白银市· 高一期末）设函数，若函数有且只有两个零点，则实数的取值范围是__________． 50、（2023上·白银市· 高一期末）已知函数． （1）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围； （2）试讨论函数的零点的个数． 题型三 复合函数的性质 51、（2023上·定西市· 高一期末）函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 52、（2023上·酒泉市· 高一期末）（多选）若，则下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 53、（2023上·嘉峪关市· 高一期末）函数=的单调递增区间是______ 54、（2023上·定西市· 高一期末）已知函数的图象经过点. （1）求实数的值； （2）求函数的定义域和值域. 55、（2023上·平凉市· 高一期末）已知函数． （1）若，求实数x的取值范围； （2）求的值域． 56、（2023上·陇南市· 高一期末）已知函数． （1）若值域为，求的取值范围； （2）设对恒成立，求的取值范围． 57、（2023上·平凉市· 高一期末）已知函数． （1）若的定义域为，求实数a的取值范围； （2）若在上单调递增，求实数a的取值范围． 题型四 抽象函数的定义域 58、（2023上·白银市· 高一期末）已知函数的定义域是，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 59、（2023上·兰州市· 高一期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 题型五 抽象函数的性质 60、（2023上·白银市· 高一期末）（多选）已知函数对于任意实数，都有成立，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数图象关于直线轴对称 C. D. 61、（2023上·酒泉市· 高一期末）如果函数对任意的正实数a，b，都有，则这样的函数可以是______（写出一个即可） 题型六 函数新定义 62、（2023上·陇南市· 高一期末）（多选）定义：在平面直角坐标系中，若某一个函数的图象向左或向右平移若干个单位长度后能得到另一个函数的图象，则称这两个函数互为“原形函数”．下列四个选项中，函数和函数互为“原形函数”的是（ ） A. B. C. D. 63、（2023上·兰州市· 高一期末）对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”.若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是__________. 64、（2023上·白银市· 高一期末）研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当时，曲线是二次函数图像的一部分；当时，曲线是函数图像的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”. （1）求函数的解析式； （2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟） 题型七 函数综合问题 65、（2023上·兰州市· 高一期末）已知函数. （1）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （2）记函数，证明：函数在上有唯一零点. 66、（2023上·兰州市· 高一期末）已知函数为偶函数，当时，. （1）求函数的值域； （2）求关于的方程：的解集. 67、（2023上·兰州市· 高一期末）已知函数，，其中且. （1）若， （i）求函数的定义域； （ii）时，求函数的最小值； （2）若当时，恒有，试确定的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 函数的概念与性质 题型一 函数的定义域 1、（2023上·兰州市· 高一期末）函数的定义域是 A. (0,1] B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意知 ，则函数的定义域是. 故选D. 2、（2023上·嘉峪关市· 高一期末）函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】按照根式函数和对数函数的定义域求解. 【详解】因为， 所以 所以， 解得， 故选：D 【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，属于基础题. 3、（2023上·酒泉市· 高一期末）函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，列出不等式求出定义域即得. 【详解】函数有意义，则有，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A 4、（2023上·陇南市· 高一期末）函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用具体函数定义域的求法，结合指数幂的性质求解即可. 【详解】因为， 所以，解得，故或， 所以的定义域为：. 故选：C. 5、（2023上·兰州市· 高一期末）函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据具体函数的定义域满足的条件得到不等式组，解之即可求出结果. 【详解】由题意得解得，所以函数定义域为， 故答案为：. 6、（2023上·嘉峪关市· 高一期末）函数的定义域为____________. 【答案】 【解析】 【详解】解：因为的定义域为 故答案为： 题型二 求函数的解析式 7、（2023上·平凉市· 高一期末）已知函数，则（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】令得，代入解析式求解. 【详解】令得， 故， 故选：D 8、（2023上·陇南市· 高一期末）已知，则______. 【答案】12 【解析】 【分析】通过配凑得，再代入值即可得到答案. 【详解】，则， 则. 故答案为：12. 9、（2023上·兰州市· 高一期末）已知，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据函数表达式整体代换计算．也可用换元法求得解析式再计算． 【详解】，． 故答案为：0． 10、（2023上·兰州市· 高一期末）设函数是定义在上的奇函数，且．则函数的解析式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据，求，再根据，求，即可求得函数的解析式. 【详解】由奇函数的性质可知，，即， 又，得， 所以. 故答案为： 11、（2023上·陇南市· 高一期末）已知函数． （1）求的解析式； （2）若函数，，，，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用换元法求函数解析式即可. （2）分别求出两个函数值域，后转化为子集问题解决即可. 【小问1详解】 令，则， 则， 所以的解析式为 【小问2详解】 因为在上单调递增， 所以 因为在上单调递减， 所以 因为，，，所以， 所以 解得，所以的取值范围是. 12、（2023上·白银市· 高一期末）已知为偶函数，为奇函数，且满足. （1）求； （2）若方程有解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，联立方程组，即可求解； （2）令，得到，根据题意，转化为有解，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 因为，可得， 又因为为偶函数，为奇函数，所以， 联立方程组，解得，， 【小问2详解】 令，因为， 当且仅当时，即时，等号成立，所以， 则， 由方程有解，可得在上有解， 当时，不成立； 当时， ，当且仅当，即时取等号， 故实数的取值范围为. 题型三 函数的图像 13、（2023上·陇南市· 高一期末）函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的定义域，探讨其奇偶性，再结合时函数值为正即可判断作答. 【详解】由，得，即函数的定义域为， 显然，，即函数是奇函数，其图象关于原点对称，AB不满足； 当时，，于是，其图象在第一象限，C不满足，D满足. 故选：D 题型四 求函数的值域 14、（2023上·嘉峪关市· 高一期末）函数的值域为（ ） A. [0,3] B. [-1,0] C. [-1,3] D. [0,2] 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：二次函数对称轴为，此时取得最小值，当时取得最大值3,故选C. 考点：二次函数最值 题型五 分段函数 15、（2023上·兰州市· 高一期末）已知函数，则（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用给定的函数关系，依次代入计算即得. 【详解】函数， 所以. 故选：A 16、（2023上·酒泉市· 高一期末）已知函数，对，，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据解析式求出其值域，分类讨论求出的值域，结合两值域的关系可得答案. 【详解】因为 所以时，，时，， 综上. 当时，，， 由题意，，即，解得； 当时，，符合题意； 当时，，， 由题意，，即，解得； 综上可得. 故选：D. 17、（2023上·兰州市· 高一期末）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 存在实数，函数无最小值 B. 对任意实数，函数都有零点 C. 当时，函数在上单调递增 D. 对任意，都存在实数，使关于的方程有3个不同的实根 【答案】ABD 【解析】 【分析】取特值结合单调性判断A；分段讨论判断B；举特值分析单调性判断C；分析函数性质，结合图象判断D. 【详解】函数的定义域为R， 函数图象由函数的图象向右平移1个单位而得，函数在R上是增函数， 对于A，当时，函数在上单调递增，当时，， 当时，，此时函数无最小值，A正确； 对于B，当时，由，得，解得，当时，由，得，解得， 因此对任意实数，函数都有零点，B正确； 对于C，取，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，而， 此时函数上不单调，C错误； 对于D，对任意，函数在上单调递减，函数值集合为， 在上单调递增，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为， 显然恒有，当时，直线与函数的图象有3个交点， 因此方程有3个不同的实根，D正确. 故选：ABD 思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答. 18、（2023上·兰州市· 高一期末）已知函数，其中且，若的值域为，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】运用一次函数和指数函数的图象和性质，可得值域，讨论，两种情况，即可得到所求a的范围． 【详解】函数函数， 当时，时，， 时，递减， 可得， 的值域为，可得， 解得； 当时，时，， 时，递增， 可得， 则的值域为成立，恒成立． 综上可得． 故答案． 【点睛】本题考查函数方程的转化思想和函数的值域的问题解法，注意运用数形结合和分类讨论的思想方法，考查推理和运算能力，属于中档题． 19、（2023上·白银市· 高一期末）已知函数 （1）求的值； （2）当方程有且仅有三个不同的解时，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据分段函数的要求代入求解即得； （2）作出分段函数的图像，求出关键点，将方程有三个不同的解的问题转化成两函数有三个不同的交点问题，借助于图像即得. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 方程有且仅有三个不同的解，即函数的图象与直线的图象仅有三个不同的交点. 作出函数的图象，如图. 由可得：当时，，图像顶点为， 故由图可知，当时，函数的图象与的图象有三个不同的交点， 此时函数有且仅有三个零点，方程有且仅有三个不同的解，实数的取值范围是. 题型六 函数的性质 20、（2023上·酒泉市· 高一期末）（多选）设函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 在上单调递减 D. 在上单调递减 【答案】AC 【解析】 【分析】求出函数定义域，利用奇偶函数的定义判断AB；判断指定区间上的单调性判断CD. 【详解】函数的定义域为R， ，则是奇函数，不是偶函数，A正确，B错误； 对于C，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，因此在上单调递减，C正确； 对于D，当时，在上单调递增，D错误. 故选：AC 21、（2023上·酒泉市· 高一期末）已知函数，且，． （1）求、的值； （2）试判断函数在上的单调性，并证明； （3）求函数在上的最大值和最小值． 【答案】（1）， （2）函数在上为减函数，证明见解析 （3）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可得出关于实数、的方程组，即可得解； （2）根据反比例函数的单调性可得出函数在上的单调性，然后任取、且，作差，通分、因式分解后判断的符号，即可证得结论成立； （3）根据函数在上的单调性可求得在上的最大值和最小值． 【小问1详解】 解：由已知可得，解得. 【小问2详解】 解：由（1）可知，，函数在上为减函数，证明如下： 任取、且，则，，， ，， 所以，函数在上为减函数. 【小问3详解】 解：由（2）可知，函数在上为减函数， 当时，，. 故函数在上的最大值为，最小值为. ①奇偶性 22、（2023上·平凉市· 高一期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由偶函数的性质得列式求解． 【详解】因为函数是定义在上的偶函数， 所以，解得． 故选：D 23、（2023上·兰州市· 高一期末）（多选）下列函数是奇函数的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，结合函数奇偶性的定义和判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由函数定义域为， 可得，所以函数为奇函数，符合题意； 对于B中，由函数定义域为，且， 所以函数是偶函数，不符合题意； 对于C中，由函数定义域， 且，所以为奇函数，符合题意； 对于D中，由函数，可得，不是奇函数，不符合题意. 故选：AC. 24、（2023上·陇南市· 高一期末） 已知是定义在上的奇函数，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数性质即可求解 【详解】因为， 则. 故答案为： 25、（2023上·兰州市· 高一期末）定义在R上的奇函数满足，且在上，则=______ 【答案】 【解析】 【分析】先化简并确定其范围，再把利用及奇函数条件变换到内求函数值即可得解. 【详解】，即， 因，且是R上的奇函数， 则， 因在上，，于是得， 所以. 故答案为： 26、（2023上·兰州市· 高一期末）已知函数． （1）若是偶函数，求的值； （2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助偶函数的性质，计算即可得； （2）参变分离后换元求解即可的. 【小问1详解】 因为是偶函数，所以， 即，故． 【小问2详解】 由题意知在上恒成立， 则， 又因为，所以，则， 令，则， 可得， 又因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即a取值范围是． ②单调性 27、（2023上·嘉峪关市· 高一期末）如果函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合二次函数的性质分析即可求解. 【详解】函数,开口方向向上，对称轴为， 函数在区间上是减函数，则，即. 故选：B 28、（2023上·兰州市· 高一期末）已知函数，在R上单调递增，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合分段函数的单调性，以及指数、对数的图像性质，即可求解. 【详解】根据题意，易知，解得. 故选：C. 29、（2023上·白银市· 高一期末）（多选）已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 在上单调递减 D. 在上单调递增 【答案】AD 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性定义判断奇偶性，再根据函数解析式的构成推理即得函数单调性. 【详解】的定义域为，且是上的奇函数，所以A对B错； 又是上的增函数，是上的减函数，函数是上的增函数，所以C错D对. 故选：AD. 30、（2023上·酒泉市· 高一期末）已知函数，，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，探求出的关系，再利用对勾函数的性质求解作答. 【详解】函数的定义域为，由，得，即有，解得，即， 又，因此，， 而函数在上单调递增，于是， 所以的取值范围是. 故答案为： 31、（2023上·白银市· 高一期末）已知函数. （1）判断的单调性，并用单调性的定义证明； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调递减，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先将函数式运用分离常数法化简，判断并用函数单调性的定义证明即得； （2）利用函数的奇偶性和单调性将抽象不等式化简成含参的不等式恒成立问题，运用参变分离法即可求得参数范围. 【小问1详解】 由 可知在上单调递减. 证明如下：任取，且，则， 因为函数在上增函数，且，所以，又， 所以，即，所以函数在上单调递减. 【小问2详解】 由（1）知可得，所以是奇函数，从而不等式 等价于（*）.由（1）知在上单调递减. 故由（*）式可得，即对一切有恒成立，设， 令，则有，所以，故， 即的取值范围为. ③函数的最值 32、（2023上·兰州市· 高一期末） 设函数(且)是定义在上的奇函数. （1）若，求使不等式对恒成立的实数的取值范围； （2）设函数的图像过点，函数.若对于任意的，都有，求的最小值. 【答案】（1）；（2）最小值为. 【解析】 【分析】 （1）根据是奇函数可求得，由可得，继而判断是增函数，将不等式化为，利用单调性可得对恒成立，即可求解； （2）由点求得，可判断在上单调递增，进而可得，求出的最大最小值即可. 【详解】解：（1）∵是定义在上的奇函数， ∴，∴，解得， 则，此时，满足题意， 而等价于， 若，则，结合且，解得， 则为增函数， 结合，可得， 根据题意，对恒成立， 则，解得； （2）∵函数的图像过点，∴， 解得(不符，舍去)或， ∴， 在上单调递增， 在上单调递增， ∵对于任意的，都有， 且在区间上恒有，∴， 则，， 则，即的最小值为. 【点睛】本题考查利用奇偶性解不等式，解题的关键是判断出函数的单调性，利用奇函数的性质将不等式化为，利用单调性求解. 33、（2023上·陇南市· 高一期末） 已知函数. （1）若a=0，求函数的值域； （2）求函数的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1) 先求定义域，再令，则，结合定义域可求的值域； (2)先由题意求出函数定义域，结合(1)将原函数化为，分别讨论，，三种情况，根据二次函数的单调性，即可求出结果. 【小问1详解】 当a=0时，由题意可得：，解得，即定义域为； 令，则，因为，所以， 因此，即的值域为. 【小问2详解】 由题意可得：，解得，即定义域为； 由(1)可知函数可转化为函数， 当时，，函数开口向上，所以在上单调递增，设最大值为，因此； 当时，在上单调递增，此时； 当时，，函数开口向下，若，即时，函数在上单调递减，因此； 若，即时，在上单调递增，在上单调递减，因此； 若，即时，在上单调递增，因此； 综上所述， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查求函数的最值问题，熟记二次函数的性质，灵活运用转化与化归的思想，以及分类讨论的思想，即可求解，属于常考题型. 题型一 利用函数的性质解不等式 34、（2023上·定西市· 高一期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意分析的性质，进而分类讨论，与三种情况即可得解. 【详解】因为当时，，则， 而与在上都单调递减，故在上单调递减， 因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递减， 且，， 因为，故不考虑的情况， 当时，，则，故； 当时，，则，故； 当时，，则，故； 综上，或. 故选：A. 35、（2023上·兰州市· 高一期末）设函数是定义在上的偶函数，在区间上是减函数，且图象过原点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先判断函数的对称性和单调性，再结合函数的零点，即可求解不等式. 【详解】函数向右平移1个单位得到函数， 由题意可知，函数关于直线对称，函数的定义域为， 因为在区间上是减函数，所以在区间上是增函数， 且，根据对称性可知，，在区间， 在区间，， 上图是满足函数性质图象， 不等式，等价于或，即或， 得或， 所以不等式的解集为. 故选：C 36、（2023上·白银市· 高一期末）（多选）已知函数，若，则整数的值可以为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】BC 【解析】 【分析】令，判断出函数的单调性和奇偶性，再根据函数的单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】令， 因为，所以为奇函数， 因为函数都是减函数， 所以函数是减函数， 若，则有， 即， 所以，解得， 故B，C项正确． 故选：BC. 37、（2023上·平凉市· 高一期末）已知函数是定义在上的偶函数，在区间上单调递增，且，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由偶函数的性质及在区间上单调递增，分别解不等式，，进而可得出答案. 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以， 又在区间上单调递增， 由，得，解得. 由，得，解得或. 所以，即或解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 38、（2023上·兰州市· 高一期末）已知函数，设函数．若对任意都有成立，求实数的取值范围__________． 【答案】或 【解析】 【分析】首先由题意转化为，讨论两个函数的单调性，求函数的最值，即可求解. 【详解】， 若对任意都有成立，则， ， 当时，，设， ， 当，，，则，即， 则，即， 所以在区间上单调递增，即， 所以的值域为， 即在区间的最大值为2， ， 当时，在单调递增，的最小值为， 当时，函数的图象如下图，函数在上单调递增，的最小值为， 当时，的图象如下图， 当时，函数在上单调递增，的最小值为， 当时，函数的最小值为， 所以，当时，的最小值为，， 即，解得：或，即； 当时，函数的最小值为，，即 ，解得：或，即； 综上可知，或 故答案为：或 【点睛】关键点点睛：本题的关键是求函数的最小值，需讨论，结合函数的图象，判断单调性，求函数的最值. 39、（2023上·嘉峪关市· 高一期末）函数是定义域在上的奇函数，且在区间上单调递减，求满足的的集合． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的单调性和奇偶性求得不等式的解集. 【详解】依题意，函数是定义域在上的奇函数，且在区间上单调递减， 所以在上单调递减， 由于， 所以， ， ， 解得， 所以满足的的集合为. 题型二 函数的零点 40、（2023上·酒泉市· 高一期末）函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】得到函数单调性，结合特殊点的函数值，由零点存在性定理得到答案. 【详解】的图象是一条连续不断的曲线，则在上递增， 而，，，，， 可得，满足零点存在性定理， 故零点所在的区间是. 故选：C. 41、（2023上·兰州市· 高一期末）函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别验证每个区间端点值的正负符号，由零点存在定理可判断出结果. 【详解】易知函数在其定义域上连续不断， 且，则函数的零点在区间上． 故选：B． 42、（2023上·白银市· 高一期末）已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，转化为与的图象有两个不同的交点，画出的图象，结合图象，即可求解. 【详解】由有两个不同的零点，即方程有两个不同的解， 即函数与的图象有两个不同的交点， 画出函数的图象，如图所示， 结合图象可得或，解或，即. 故选：B. 43、（2023上·陇南市· 高一期末）函数的所有零点之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，根据分段函数解析式，求出方程的解，即可得到函数的零点，从而得解. 【详解】解：因为， 当时，由，解得（舍去）或，则； 当时，由，解得，满足题意， 所以函数有个零点分别为和，所以函数的所有零点之和为. 故选：A 44、（2023上·白银市· 高一期末），的零点为，，的零点为，，的零点为，则，，的大小关系是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三个函数等于，得到两个函数的交点的位置得到三个函数的零点的位置，根据零点所在的区间和区间的位置，得到大小关系． 【详解】解：在坐标系中画出：，，，的图象．如图： ，的函数的零点在且靠近， 函数的零点在之间， ，函数的零点在之间且靠近， 、、的大小关系为． 故选B． 【点睛】本题考查函数的零点，本题解题的关键是把函数的零点的问题转化为两个函数的交点的问题，注意基本初等函数的图形的应用． 45、（2023上·兰州市· 高一期末）（多选）已知函数 ，则方程实数根的个数可以为 （ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 9 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，分别讨论，，，或，方程的实数根个数，从而可得答案. 【详解】设，则，则， 画出函数的图象， ①若时，方程没有实数根， ②若时，方程有个实数根，或， 当时，函数的图象与直线没有交点， 当时，函数的图象与直线有4个交点， 所以时，方程实数根的个数为. ③若时，方程有个实数根， 令，解得：或， 由图象观察可知，，，，， 函数的图象分别与直线有个交点， 所以若时，方程实数根的个数为. ④若时，函数有个实数根， 则或或或， 函数的图象分别与直线有个交点， 所以若时，方程实数根的个数为. ⑤若时，方程有个实数根 由图象观察可知，，，， 函数的图象分别与直线有个交点， 所以若时，方程实数根的个数为. 故选：ACD. 46、（2023上·陇南市· 高一期末）（多选）已知函数只有两个零点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】函数的零点，转化为函数与图象交点的横坐标，利用对称性求出的值，利用零点存在定理求零点所在区间. 【详解】，由，得. 设函数，，的零点为这两个函数图象交点的横坐标， 因为，， 所以与的图象都关于点对称，有，B选项错误，D选项正确. 因为，所以，又，，，， 所以，，AC选项均正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛： 函数零点的求解与判断方法： (1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．对于非基本函数零点的和，要关注函数图象的对称性. 【点睛】关键点晴：本题的关键在于令，将题意转化为方程的实数根个数，分类讨论的范围，画出函数的图象，结合图象求解. 47、（2023上·兰州市· 高一期末）（多选）已知函数是偶函数，且当时，，那么函数的零点个数可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】BC 【解析】 【分析】函数零点可转化为方程根的个数问题，利用偶函数的对称性，可转化为研究时根的情况，从而求出定义域上根的个数. 【详解】因为时，， 时，可得， 当时，令，即， 若时，显然无解， 若时，，即时，在上有一个零点， 当时，在上没有零点， 综上，由函数是偶函数知，时，函数有4个零点， 当时，函数有6个零点. 故选：BC 【点睛】关键点点睛，原问题可转化为根的个数，根据是偶函数，先研究时，根的个数情况，再根据函数是偶函数，扩展到定义域R上根的情况，属于中档题. 48、（2023上·白银市· 高一期末）已知函数，则函数零点的个数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】解方程，即可得解. 【详解】当时，由，可得（舍）或； 当时，由，可得. 综上所述，函数零点的个数为. 故答案为：. 49、（2023上·白银市· 高一期末）设函数，若函数有且只有两个零点，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得:当时, ,且单调递减; 当时, ,且单调递增;所以要使与有且只有两个交点,需 50、（2023上·白银市· 高一期末）已知函数． （1）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围； （2）试讨论函数的零点的个数． 【答案】（1）； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）问题化为对恒成立，利用二次函数性质求右侧最大值，即可得参数范围； （2）问题化为和的图象的交点个数，数形结合判断零点个数. 【小问1详解】 当时，，不等式恒成立等价于恒成立， 则有对恒成立，而，故． 【小问2详解】 令，可得， 函数的零点个数，即和的图象的交点个数， 在同一坐标系中作出函数的图象（如图）． 结合图象知， ①当或时，函数有一个零点； ②当时，函数有两个零点； ③当时，函数有三个零点． 题型三 复合函数的性质 51、（2023上·定西市· 高一期末）函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复合函数同增异减的原则，判定内外函数的单调性即可得到答案. 【详解】内函数，其在上单调递增， 而外函数在上单调递减， 则根据复合函数单调性“同增异减”的原则知的单调递减区间为， 故选：B. 52、（2023上·酒泉市· 高一期末）（多选）若，则下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，即可得到的单调性，再由，计算出、，即可判断. 【详解】设，则在上为增函数， ， ， ，，故B正确； ， 当时，， 此时，有； 当时，，此时，有， 所以A、C、D均错误． 故选：ACD． 53、（2023上·嘉峪关市· 高一期末）函数=的单调递增区间是______ 【答案】 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，然后结合对数函数的单调性和二次函数的单调性，根据复合函数的法则求解即可. 【详解】由，可得，故函数的定义域为． 令=，则原函数可化为，是关于t的减函数． 又=在上是增函数，在上是减函数， 由复合函数的单调性可知，函数=的单调递增区间是． 故答案为： 54、（2023上·定西市· 高一期末）已知函数的图象经过点. （1）求实数的值； （2）求函数的定义域和值域. 【答案】20. 21. R ； 【解析】 【分析】（1）把已知点代入函数解析式计算即得； （2）根据函数解析式只需使分母不等于零，解不等式即得函数定义域，将函数式分离常数成，再从的值域开始，从内到外利用不等式性质推导出解析式的取值范围即得值域. 【小问1详解】 将点代入可得：，解得：. 【小问2详解】 由（1）可得：，要使函数有意义，须使，而此式恒成立，故函数的定义域为. 因，当时，，，则，故，即函数的值域为. 55、（2023上·平凉市· 高一期末）已知函数． （1）若，求实数x的取值范围； （2）求的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数函数单调性可得，结合二次不等式运算求解即可； （2）根据二次函数分析可知，结合指数函数性质求值域. 【小问1详解】 因为，且在定义域上单调递增， 则，解得， 所以实数x的取值范围为. 【小问2详解】 因，当且仅当时等号成立， 且在定义域上单调递增，则， 又因为，所以的值域为. 56、（2023上·陇南市· 高一期末）已知函数． （1）若值域为，求的取值范围； （2）设对恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令，分，，根据的值域为，由的值域包含求解； （2）将对恒成立，转化为，对恒成立求解. 【小问1详解】 解：令， 当时，，满足的值域为， 当时，的值域包含， 则，解得， 综上：实数的取值范围是； 【小问2详解】 因为对恒成立， 即对恒成立， 即对恒成立， 即，对恒成立， 令，， 则，所以， 所以的取值范围是. 57、（2023上·平凉市· 高一期末）已知函数． （1）若的定义域为，求实数a的取值范围； （2）若在上单调递增，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，对恒成立，讨论的范围，列出条件解出即可； （2）讨论的范围，根据复合函数的单调性的性质结合定义域列出条件，解出即可. 【小问1详解】 若的定义域为， 即对恒成立． 当时，不符合题意； 当时，， 即，解得， 所以实数a的取值范围是； 【小问2详解】 当时，，符合题意； 当时， 解得，所以； 当时，解得． 综上，实数a的取值范围是． 题型四 抽象函数的定义域 58、（2023上·白银市· 高一期末）已知函数的定义域是，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抽象函数定义域之间的关系即可得到结论. 【详解】因为函数的定义域是， 所以，解得， 故函数的定义域是． 故选：A. 59、（2023上·兰州市· 高一期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复合函数定义域的定义可知，，即可求解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以中，，解得：， 所以函数的定义域为. 故选：B 题型五 抽象函数的性质 60、（2023上·白银市· 高一期末）（多选）已知函数对于任意实数，都有成立，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数图象关于直线轴对称 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】分析可知，函数是周期为的周期函数，利用函数的周期性可判断ACD选项，利用函数对称性可判断B选项. 【详解】对任意实数都有，所以，函数是周期为的周期函数， 当时，，所以，故A选项正确； 因为函数图象的对称轴无法确定，所以B选项不正确； 由于，故C选项正确； ，故D选项不正确． 故选：AC． 61、（2023上·酒泉市· 高一期末）如果函数对任意的正实数a，b，都有，则这样的函数可以是______（写出一个即可） 【答案】 【解析】 【分析】由条件，分析乘积的函数值为函数值的和，考虑对数函数，即可得到结论. 【详解】由题意，函数对任意的正实数a，b，都有， 可考虑对数函数，满足， 故答案为：. 【点睛】本题考查抽象函数的解析式和性质，注意条件的特点，即乘积的函数值为函数值的和，着重考查推理能力，属于基础题. 题型六 函数新定义 62、（2023上·陇南市· 高一期末）（多选）定义：在平面直角坐标系中，若某一个函数的图象向左或向右平移若干个单位长度后能得到另一个函数的图象，则称这两个函数互为“原形函数”．下列四个选项中，函数和函数互为“原形函数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据原形函数的定义，结合图象变换的性质逐一判断即可. 【详解】对于选项A，由，显然的图象向左平移个单位得到的图象，因此选项A正确； 对于选项B，由，显然的图象向左平移个单位得到的图象，因此选项B正确； 对于选项C，，函数的图象向上平移5个单位长度才能得函数的图象，可知C选项错误； 对于选项D，由，函数的图象向右平移1个单位长度得到的图象，因此D选项正确， 故选：ABD 63、（2023上·兰州市· 高一期末）对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”.若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】结合奇函数的特征，区间转化法求解析式，再根据新定义转化为两函数图象的交点，进而转化到方程根的问题，利用基本不等式即可解决. 【详解】由“隐对称点”的定义可知，的图象上存在关于原点对称的点， 设的图象与图象关于原点对称， 设，则， ， 所以，， 故的图象与的图象有交点， 等价于方程有实根， 故， 当且仅当时，取得等号，所以，故实数的取值范围是. 故答案为：. 64、（2023上·白银市· 高一期末）研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当时，曲线是二次函数图像的一部分；当时，曲线是函数图像的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”. （1）求函数的解析式； （2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟） 【答案】（1）；（2）14分钟. 【解析】 【分析】 （1）根据题意，分别求得和上的解析式，即可求解； （2）当和时，令，求得不等式的解集，即可求解. 【详解】（1）当时，设函数， 因为，所以，所以， 当时，， 由，解得，所以， 综上，函数的解析式为. （2）当时，令， 即，解得或（舍去），所以， 当时，令，得， 所以，所以学生处于“欠佳听课状态”的时间长为分钟. 题型七 函数综合问题 65、（2023上·兰州市· 高一期末）已知函数. （1）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （2）记函数，证明：函数在上有唯一零点. 【答案】（1）在上单调递增，证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合作差法，即可求证； （2）根据题意，结合单调性与零点存在性定理，即可求证. 【小问1详解】 函数在上单调递增. 证明：任取，则， 因为，所以，所以， 即，因此，故函数在上单调递增. 【小问2详解】 证明：因为，， 所以由函数零点存在定理可知，函数在上有零点， 因为和都在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 故函数在上有唯一零点. 66、（2023上·兰州市· 高一期末）已知函数为偶函数，当时，. （1）求函数的值域； （2）求关于的方程：的解集. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）先求出时的值域，然后由偶函数的性质求解即可； （2）先判断当时，方程无解，然后利用换元法，记，则，求解即可． 【小问1详解】 解：因为当， 又函数为偶函数， 所以函数的值域为，. 【小问2详解】 解：当时，， 而，故，所以此时方程无解. 当，记，则， 方程可化为，解得舍去）， 所以． 综上所述，原方程的解集为． 67、（2023上·兰州市· 高一期末）已知函数，，其中且. （1）若， （i）求函数的定义域； （ii）时，求函数的最小值； （2）若当时，恒有，试确定的取值范围. 【答案】（1）（i）；（ii）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）(i)把代入，可得答案； (ii)时，，求得，利用动轴定区间讨论求得函数最小值； （2）由得， 令，其对称轴为，讨论在上单调性，可得在上单调递减，得答案. 【详解】（1）(i)时，， ，解得， 当时，函数的定义域是； (ii)时，， ， 令，，， 即求函数在的最小值. 对称轴， ①当，即时，函数在上单调递增， 当时函数取最小值，最小值为； ②当，即时，函数在上单调递减， 当时函数取最小值，最小值为； ③当，即时，当时函数取最小值， 最小值为； 综上，时，函数的最小值为 . （2）由得，即， ，即， 由可得：， 即，也即， 令，其对称轴为， ，，在上单调递增， 在上单调递减， ，， 又，则，解得， 所以的取值范围为. 【点睛】本题考查了函数解析式的求法，函数的最值，函数恒成立的问题，综合性较强，所谓“动轴定区间法”，轴动区间定：比较对称轴与区间端点的位置关系，根据函数的单调性数形结合判断y的范围，需要分类讨论. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$