专题02 一元二次函数、方程和不等式（7大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（甘肃专用）

专题02 一元二次函数、方程和不等式 题型01 不等式的性质 1、（2023上·兰州市·高一期末）“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 根据充分必要条件的定义判断即可. 【详解】当,则,则即充分性成立;当,时, 不成立,即必要性不成立,即“”是“”的充分不必要条件. 故选:A. 【点睛】本题考查了充分必要条件的定义,考查不等式性质,难度容易. 2、（2023上·定西市·高一期末）“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用幂函数的性质结合充分必要条件判断即可. 【详解】因为幂函数在上单调递增， 所以， 则“”是“”的充要条件. 故选：C. 3、（2023上·平凉市·高一期末）（多选）下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可判断A，举反例即可求解BC，作差法即可判断D. 【详解】因为，所以，所以，故A正确； 当时，，故B错误； 当时，，故C错误； ，又，所以，即，故D正确. 故选:AD. 4、（2023上·武威市·高一期末）（多选）已知，则的取值可以为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 4 【答案】BC 【解析】 【分析】由不等式的性质求解即可. 【详解】因为，两式相加可得，所以， 故选：BC． 题型02 基本不等式 5、（2023上·陇南市·高一期末）已知函数的最小值大于4，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式求函数最小值，由最小值大于4，解不等式得的取值范围. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即，即时，等号成立， 所以的最小值为. 由，得，则的取值范围是. 故选：D 6、（2023上·兰州市·高一期末）对任意实数，不等式恒成立，则实数的最大值（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先不等式变形为恒成立，再利用两次基本不等式求的最小值，即可求解的取值. 【详解】不等式恒成立，可转化为 恒成立，其中， 令， ， ， 第二次使用基本不等式，等号成立的条件是且， 得且，此时第一次使用基本不等式，说明两次基本不等式能同时取得， 所以的最小值为， 即，则， 所以实数的最大值为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是再求的最值时，需变形为，再通过两次基本不等式求最值. 7、（2023上·武威市·高一期末）（多选）下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若正实数，满足，则的最小值为8 D. 的最小值为2 【答案】BC 【解析】 【分析】利用特殊值、差比较法、基本不等式等知识确定正确答案. 【详解】A选项，，但，所以A选项错误. B选项，，， ，所以，B选项正确. C选项，， 当且仅当时等号成立，C选项正确. D选项，， 但无解，所以等号不成立，所以D选项错误. 故选：BC 8、（2023上·陇南市·高一期末）（多选） 下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为2 C. 的最小值为4 D. 的最小值为2 【答案】AC 【解析】 【分析】对A考虑运用算术平均数大于等于几何平均数验证；对于BCD，运用基本不等式的“一正、二定、三相等”的原则判断即可. 【详解】，当且仅当，即时等号成立，故A正确； 当时，，故B错误； ，当且仅当，即时等号成立，故C正确； ，当且仅当时等号成立，又无解，故不能取到等号，故D错误 故选：AC. 10、（2023上·兰州市·高一期末）当时，的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式求得正确答案. 【详解】由于，所以， 所以， 当且仅当时等号成立. 故答案为： 11、（2023上·兰州市·高一期末）若实数x，y满足，则的最小值为________． 【答案】8 【解析】 【分析】利用基本不等式求得所求表达式的最小值. 【详解】依题意，当且仅当，即时等号成立.所以的最小值为. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 12、（2023上·兰州市·高一期末）（1）若，求最大值； （2）已知，求的最大值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）将变形，再根据基本不等式求解即可； （2）将变形为，再根据基本不等式求解即可. 【详解】解：(1)因为，所以. 所以， 由均值不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以， 故的最大值是 (2)由得， 因为，所以， 当且仅当时，即时，等号成立； 所以，即. 所以的最大值为. 【点睛】本题考查基本不等式求最值问题，是中档题.本题解题的核心是适当的变形，凑为“和定”或“积定”问题即可，同时还要注意基本不等式的使用条件. 13、（2023上·庆阳市·高一期末）已知，，且. （1）求ab的最小值； （2）求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可； （2）利用基本不等式中的常数代换技巧求解即可. 【小问1详解】 因为，所以，所以， 所以，所以，当且仅当即时等号成立，即ab的最小值为； 【小问2详解】 ， 当且仅当即即时，等号成立， 所以的最小值为. 14、（2023上·庆阳市·高一期末）已知，，. （1）求的最大值； （2）求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式，将等式转化为关于的一元二次方程，即可求解； （2）首先将等式变形为，再变形，转化为利用基本不等式求和的最小值. 【小问1详解】 因为， 令，则，所以，解得， 所以，当且仅当，即，时等号成立； 【小问2详解】 由，得， 所以， 当且仅当，即，时等号成立. 所以的最小值为. 题型03 一元二次方程与不等式 15、（2023上·兰州市·高一期末）已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求集合B，再由集合的交运算求. 【详解】由题设，， ∴. 故选：C 16、（2023上·兰州市·高一期末）已知为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次方程判别式与存在量词命题的真假性即可得解. 【详解】因为为真命题， 所以，解得. 故选：A. 17、（2023上·平凉市·高一期末）“”是“函数在区间上单调递增”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的单调性可得出关于实数的不等式，解出的取值范围，利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】若函数在区间上单调递增， 则，解得， 因为， 因此，“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件， 故选：B. 18、（2023上·兰州市·高一期末）若，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据t的范围，判断，解一元二次不等式可得答案. 【详解】因为，所以，即, 所以,即，解得. 故选：D 19、（2023上·白银市·高一期末）已知，且为真命题，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】判断充分必要条件，一般先就两个命题求出它们的等价命题，再根据要求判断即可. 详解】由题意，，即； 又由“”为真命题当且仅当， 即，解得：或，即或.所以是充分不必要条件. 故选：A. 20、（2023上·嘉峪关市·高一期末）若关于的不等式的解集中恰好有3个整数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法分类讨论求解即可. 【详解】不等式因式分解为. ①当时，不等式为，不等式无解，不合题意； ②当时，不等式的解为， 若不等式的解集中恰好有3个整数，这3个整数必为，0，1， 必有，解得； ③当时，不等式的解为， 若不等式的解集中恰好有3个整数，这3个整数必为，0，1， 必有，解得. 由①②③可知实数的取值范围为. 故选：D. 21、（2023上·平凉市·高一期末）（多选）下列不等式的解集为的是（ ） A B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用一元二次不等式解法逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为，， 所以不等式解集为，所以A正确， 对于B，因为， 所以方程的两根为， 所以不等式的解集为，所以B错误， 对于C，因为， 所以不等式的解集为，所以C正确， 对于D，因为， 所以方程的根为， 所以不等式的解集为，所以D错误， 故选：AC 22、（2023上·陇南市·高一期末）已知，，其中.若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】解出的范围，并设、，根据是的必要不充分条件，得出，根据集合包含关系即可得出. 【详解】解可得，即， 因为，所以，解可得， 即. 设，， 因为若是的必要不充分条件，所以， 所以有，且不能同时取等号，所以. 故答案为：. 题型04 二次函数 23、（2023上·嘉峪关市·高一期末）如果函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合二次函数的性质分析即可求解. 【详解】函数,开口方向向上，对称轴为， 函数在区间上是减函数，则，即. 故选：B 题型01 “三个二次” 24、（2023上·嘉峪关市·高一期末）已知不等式的解集是，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意与为一元二次方程的两根，利用韦达定理得到方程组，求出、的值，再代入计算可得； 【详解】解：因为不等式的解集是，所以与为一元二次方程的两根， 所以，解得，故． 故选：D 25、（2023上·白银市·高一期末）已知函数. （1）若不等式的解集为或，求的值； （2）若，求不等式的解集. 【答案】（1）； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，转化为一元二次方程的根求解即得. （2）分类讨论解含参数的不等式即得. 【小问1详解】 由不等式的解集为或，得的解集为或， 因此方程的两根为和3，则，解得， 所以. 【小问2详解】 当时，由得，即， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 题型02 基本不等式“1”的妙用 26、（2023上·武威市·高一期末）设实数满足，，且，则（ ） A. 有最小值 B. 有最大值 C. 有最大值 D. 有最小值 【答案】C 【解析】 【分析】由，根据，利用基本不等式可求得结果. 【详解】； ，，，， （当且仅当，即时取等号）， ，即有最大值. 故选：C. 27、（2023上·白银市·高一期末）若，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】，再利用基本不等式即可得出答案. 【详解】解： ， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 28、（2023上·兰州市·高一期末） 已知. （1）求证：； （2）若，求的最小值. 【答案】（1）证明见解析； （2）8. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用基本不等式推理即得. （2）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【小问1详解】 ，则，当且仅当时取等号， 所以 【小问2详解】 由，且，得， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值8. 题型03 不等式中的恒成立问题 29、（2023上·白银市·高一期末）（多选）关于的不等式对任意恒成立的充分不必要条件有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】先求不等式对任意恒成立的充要条件，然后根据选项判断与其包含关系即可. 【详解】当不等式对任意恒成立时，有， 解得，记. 由题知，集合A的真子集即为不等式对任意恒成立的充分不必要条件. 故选：AC． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 题型01 不等式的性质 1、（2023上·兰州市·高一期末）“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2、（2023上·定西市·高一期末）“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3、（2023上·平凉市·高一期末）（多选）下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4、（2023上·武威市·高一期末）（多选）已知，则的取值可以为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 4 题型02 基本不等式 5、（2023上·陇南市·高一期末）已知函数的最小值大于4，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6、（2023上·兰州市·高一期末）对任意实数，不等式恒成立，则实数的最大值（ ） A. 2 B. 4 C. D. 7、（2023上·武威市·高一期末）（多选）下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若正实数，满足，则的最小值为8 D. 的最小值为2 8、（2023上·陇南市·高一期末）（多选） 下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为2 C. 的最小值为4 D. 的最小值为2 10、（2023上·兰州市·高一期末）当时，的最小值为____________． 11、（2023上·兰州市·高一期末）若实数x，y满足，则的最小值为________． 12、（2023上·兰州市·高一期末）（1）若，求最大值； （2）已知，求的最大值． 13、（2023上·庆阳市·高一期末）已知，，且. （1）求ab的最小值； （2）求的最小值. 14、（2023上·庆阳市·高一期末）已知，，. （1）求的最大值； （2）求的最小值. 题型03 一元二次方程与不等式 15、（2023上·兰州市·高一期末）已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 16、（2023上·兰州市·高一期末）已知为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 17、（2023上·平凉市·高一期末）“”是“函数在区间上单调递增”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 18、（2023上·兰州市·高一期末）若，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 19、（2023上·白银市·高一期末）已知，且为真命题，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 20、（2023上·嘉峪关市·高一期末）若关于的不等式的解集中恰好有3个整数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 21、（2023上·平凉市·高一期末）（多选）下列不等式的解集为的是（ ） A B. C. D. 22、（2023上·陇南市·高一期末）已知，，其中.若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是______. 题型04 二次函数 23、（2023上·嘉峪关市·高一期末）如果函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 题型01 “三个二次” 24、（2023上·嘉峪关市·高一期末）已知不等式的解集是，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 25、（2023上·白银市·高一期末）已知函数. （1）若不等式的解集为或，求的值； （2）若，求不等式的解集. 题型02 基本不等式“1”的妙用 26、（2023上·武威市·高一期末）设实数满足，，且，则（ ） A. 有最小值 B. 有最大值 C. 有最大值 D. 有最小值 27、（2023上·白银市·高一期末）若，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 28、（2023上·兰州市·高一期末） 已知. （1）求证：； （2）若，求的最小值. 题型03 不等式中的恒成立问题 29、（2023上·白银市·高一期末）（多选）关于的不等式对任意恒成立的充分不必要条件有（ ） A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$