24.2.2 直线和圆的位置关系课件 2024--2025学年人教版九年级数学上册

第二十四章 圆 24.2 直线和圆的位置关系(2) 砂轮上打磨工件时飞出的火星 右图中让你感受到了直线与圆的哪种位置关系？ 新课导入 Ｏ A B C 问题：已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？ 观察：（1） 圆心O到直线AB的距离 和圆的半径有什么数量关系? (2)二者位置有什么关系？为什么？ 探究新课 切线的判定定理 Ｏ A B C 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 应用格式 OA为⊙O的半径 BC ⊥ OA于A BC为⊙O的切线 判一判： 下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？ (1)不是， 因为没有垂直. (2),(3)不是， 因为没有经过半径的外端点A. 注意: 在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线. 判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： 1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线; 2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切； 3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 l A l O l r d 要点归纳 思考：如图，如果直线l是⊙O 的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？ A l O ∵直线l是⊙O 的切线，A是切点， ∴直线l ⊥OA. 切线的性质定理 切线性质: 圆的切线垂直于经过切点的半径． 应用格式 小亮的理由是:直径AB与直线CD要么垂直,要么不垂直. (1)假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂足为M, (2)则OM<OA,即圆心到直线CD的距离小于⊙O的半径,因此,CD与⊙O相交.这与已知条件“直线与⊙O相切”相矛盾. C D B O A (3)所以AB与CD垂直. M 证法1：反证法. 性质定理的证明 C D O A 证法2：构造法. 作出小⊙O的同心圆大⊙O， CD切小⊙O于点A,且A点为CD的中点， 连接OA,根据垂径定理， 则CD ⊥OA, 即圆的切线垂直于经过切点的半径． 例1 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB. O B A C 分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可. 典例解析 求证：直线AB是⊙O的切线. 证明：连接OC(如图). ∵ OA＝OB,CA＝CB, ∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线. ∴ AB⊥OC. ∵OC是⊙O的半径, ∴ AB是⊙O的切线. 求证：AC 是⊙O 的切线． B O C E A 分析：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OF是⊙O的半径就可以了，而OE是⊙O的半径，因此只需要证明OF=OE. F 例2 如图,△ABC中，AB ＝AC ，O是BC中点，⊙O 与AB相切于E. 证明：连接OE，OA, 过O 作OF⊥AC. ∵⊙O 与AB 相切于E， 又∵△ABC中，AB＝AC ，O是BC中点． ∴AO平分∠BAC， F B O C E A ∴OE ＝OF. ∵OE 是⊙O 半径，OF ＝OE，OF ⊥ AC. ∴AC 是⊙O 的切线． 又OE ⊥AB ，OF⊥AC. ∴OE⊥AB. (1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点; (2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 要点归纳 证切线时辅助线的添加方法 (1)有交点，连半径,证垂直; (2)无交点，作垂直,证半径. 有切线时常用辅助线添加方法 见切点，连半径，得垂直. 切线的其它重要结论 例1 例2 （×） （×） （√ ） （√ ） 随堂演练 1.判断下列命题是否正确. ⑴经过半径外端的直线是圆的切线. ⑵垂直于半径的直线是圆的切线. ⑶过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线. ⑷和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. 3.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径， 则∠ADP的度数为（ ） A．40° B．35° C．30° D．45° 2.如图所示，A是⊙O上一点，且AO=5,PO=13,AP=12,则PA与⊙O的位置关系是 . A P O 第2题 P O 第3题 D A B C 相切 C O A B C E P 4.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P， PE⊥AC于E. 求证:PE是⊙O的切线. 证明：连接OP. ∵AB=AC, ∵OB=OP， ∴∠OBP=∠C. ∴OP∥AC. ∵PE⊥AC， ∴PE⊥OP. ∴PE为⊙O的切线. ∴∠B=∠OPB， ∴∠B=∠C. 随堂演练 $$