专题09 二元一次方程组易错必刷题型专训（72题24个考点）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（湘教版2024）

专题09 二元一次方程组组易错必刷题型专训（72题24个考点） 【易错必刷一 二元一次方程的定义】 1．（2024·七年级上·贵州贵阳·阶段练习）把这9个数填入方格中，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，这样便构成了一个三阶幻方，它源于我国古代的洛书．如图是仅可以看到部分数值的三阶幻方，则其中的值为（      ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的应用．根据每行、每条对角线上的三个数之和都相等，列出二元一次方程，即可解决问题． 【详解】解：由题意得：， ， 故选：B 2．（23-24七年级上·江西抚州·阶段练习）已知是关于x、y的二元一次方程，则 ． 【答案】4 【分析】由二元一次方程的定义（含有两个未知数并且未知数的次数都是1的整式方程）进行解答即可．本题主要考查二元一次方程的定义，有理数的乘方，掌握二元一次方程的未知项的次数为1是解题的关键． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程， ，， 解得：，， 故． 故答案为：4． 3．（23-24七年级上·河南漯河·阶段练习）把（其中a、b是常数，x、y是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”，当时，“雅系二元一次方程”中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程”化为， 其“完美值”为． (1)求“雅系二元一次方程”的“完美值”； (2)是“雅系二元一次方程”的“完美值”，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“雅系二元一次方程”的“完美值”定义，将代入方程，然后解关于x的方程即可． （2）根据“雅系二元一次方程”的“完美值”定义，将y=x=2代入“雅系二元一次方程” 中，即可求得m的值． 【详解】（1）根据“雅系二元一次方程”的定义，当时的x值称为“完美值”， ∴化为：． 解得：． 即“雅系二元一次方程”的“完美值”是． （2）根据题意，将代入“雅系二元一次方程”中得， ． ∴． 【点睛】本题考查了二元一次方程的定义及解一元一次方程，解题的关键是理解新定义的概念正确求解． 【易错必刷二 二元一次方程的解】 1．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）下列各组数是方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解，掌握解二元一次方程的步骤是关键．把各选项的数据代入方程看是否成立． 【详解】解：A、将代入，则，故不是方程的解； B、将代入，则，故是方程的解； C、将代入，则，故不是方程的解； D、将代入，则，故不是方程的解； 故选：B． 2．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·阶段练习）“幻方”最早记载于我国春秋时期的《大戴礼》中，现将1，2，3，4，5，7，8，9这八个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．若按同样的要求重新填数如图2所示，则与的和是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了二元一次方程的应用、求代数式的值，根据每个三角形的三个顶点上的数字之和相等得出，据此可得答案． 【详解】解：设空白2个部分右上的数字为p，左下的数字为q， 由题意得， ， ∴， ∴， 故答案为：6． 3．（23-24七年级上·湖北荆门·期末）星期天，小明和七名同学共8人去郊游，途中他用20元钱去买饮料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐2元一杯，奶茶3元一杯，如果20元钱刚好用完． (1)有几种购买方式？每种方式可乐和奶茶各多少杯？ (2)每人至少一杯饮料且奶茶至少二杯时，有几种购买方式？ 【答案】(1)4，方式1：买10杯可乐；方式2：买7杯可乐，2杯奶茶；方式3：买4杯可乐，4杯奶茶；方式4：买1杯可乐，6杯奶茶． (2)2 【分析】本题主要考查二元一次方程的应用． （1）设购买可乐x杯，奶茶y杯，根据总价单价数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数即可得出各购买方案； （2）由题意知，且，根据（1）可得出有2种购买方式． 【详解】（1）解：设买可乐和奶茶分别为x杯、y杯． 根据题意，得， 所以． 要使x为非负整数，y的取值必是偶数，且， 所以； 把y的值分别代入，得 ，，， 故有4种购买方式： 方式1：买10杯可乐； 方式2：买7杯可乐，2杯奶茶； 方式3：买4杯可乐，4杯奶茶； 方式4：买1杯可乐，6杯奶茶． （2）根据题意有：，且， 由（1）可知，满足条件的解有：，， 故每人至少一杯饮料且奶茶至少二杯时，有2种购买方式． 【易错必刷三 判断是否是二元一次方程组】 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的方程组成的方程组叫做二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】解；A、方程组中的一个方程不是整式方程，不是二元一次方程组，不符合题意； B、含未知数的项的次数有不是1的方程，不是二元一次方程组，不符合题意； C、含未知数的项的次数有不是1的方程，不是二元一次方程组，不符合题意； D、是二元一次方程组，符合题意； 故选：D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）已知方程组 ，则的值是 ． 【答案】34 【分析】把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：34． 【点睛】本题考查了二元一次方程组，整体代入法求代数式的值，运用|整体思想是解答本题的关键． 3．（23-24七年级·全国·假期作业）判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 【答案】见解析 【分析】根据二元一次方程组的定义可以判断． 【详解】解：（1）中含有3个未知数，所以它不是二元一次方程组； （2）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它们是二元一次方程组； （3）该方程组中一个方程的含有未知数的项的最高次数是2，所以它不是二元一次方程组； （4）该方程组中的一个方程不是整式方程，是分式方程，所以它不是二元一次方程组； （5）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它们是二元一次方程组． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义．一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案． 【易错必刷四 判断是否是二元一次方程组的解】 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）观察下表可知关于，的二元一次方程组的解为（    ） 的解 的解 0 1 … 1 5 … 6 4 2 … 3 2 0 … A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握解是能使得等式成立的值，观察表格得知能使得两个方程都成了，即可得出答案． 【详解】解：通过观察表格知，与有一组公共解为， 故二元一次方程组的解为， 故选：A． 2．（23-24七年级上·全国·假期作业）下面三组数据： ①  ②  ③ 满足方程的是 ，满足方程的是 ，同时满足这两个方程的是 ．故二元一次方程组的解是 ．（填序号） 【答案】 ①②/②① ②③/③② ② ② 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．根据解的含义逐一进行检验即可． 【详解】解：将代入方程左边得：，右边，左边右边；是方程的解； 将代入方程左边得：，右边，左边右边；是方程的解； 将代入方程左边得：，右边，左边右边；不是方程的解； 故答案为：①② 将代入方程左边得：，右边，左边右边，不是方程的解； 将代入方程左边得：，右边，左边右边，是方程的解； 将代入方程左边得：，右边，左边右边；是方程的解； 故答案为：②③ 同时满足这两个方程的为， 则方程组的解为． 故答案为：②，② 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知下面三对数值：；；． (1)哪几对能使方程左、右两边的值相等？ (2)哪几对能使方程左、右两边的值相等？ (3)二元一次方程组的解是什么？ 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）将三对值代入方程判断即可得到解； （2）将三对值代入方程判断即可得到解； （3）找出两方程的公共解，即为方程组的解． 【详解】（1）解：将代入方程左边得：，右边，左边≠右边； 将代入方程左边得：，右边，左边右边； 将代入方程左边得：，右边，左边右边； （2）解：将代入方程左边得：，右边，左边右边，是方程的解； 将代入方程左边得：，右边，左边右边，是方程的解； 将代入方程左边得：，右边，左边≠右边； （3）解：两方程的公共解为， 则方程组的解为． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 【易错必刷五 已知二元一次方程组的解求参数】 1．（23-24七年级上·四川内江·期中）两位同学在解方程组时，甲同学由正确地解出，乙同学因把c写错了解得，那么a、b、c的正确的值应为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据题意，将代入中，得 ，计算得，将代入，得，即，进行计算可得a，b的值，即可得；掌握二元一次方程组的解是解题的关键． 【详解】解：根据题意，将代入中，得 ， 解②式，得， 将代入，得， 即， 解得，， 故选：B． 2．（23-24七年级上·湖南常德·期中）当 时，方程组的解为． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组解的定义，把把代入方程计算即可求解，理解二元一次方程组解的定义是解题的关键． 【详解】解：把代入方程得，， ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·河北秦皇岛·期中）小明给小红出了一道数学题：“如果我将二元一次方程组第一个方程中y的系数遮住，第二个方程中x的系数遮住，并且告诉你 是这个方程组的解，你能求出我原来的方程组吗？”请你帮小红解答这个问题. 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组解的定义，设被遮住的y的系数为m，被遮住的x的系数为n，根据二元一次方程组的解为得到，据此求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解： 设第①个方程y的系数为m，第②个方程x的系数为n， ∵ 是方程组的解， ∴ ， 解得 ， ∴原来的方程组为 ． 【易错必刷六 代入消元法】 1．（24-25七年级上·山东德州·开学考试）方程组中，y的值为（    ）． A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，直接把方程①代入②，再进一步求解即可． 【详解】解：， 把①代入②得：， 解得：， 故选B． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程组时，把第一个方程代入第二个方程，可以得到x的值为 ，这时 ． 【答案】 2 3 【分析】此题考查了方程组的解法，关键是熟练掌握代入消元法解方程组的方法； 先将第一个方程代入第二个方程消去，从而可得关于的方程，解方程可得的值；然后把的值代入求y的值即可． 【详解】解：， 把①代入②得，， 解得：， 把代入①，得． 故答案为：2，3． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程组： 解：解法一：由①，得．③ 将③代入①，得，即， 所以原方程组无解． 解法二：由①，得．③ 将③代入②，得， 解得． 将代入③，得． 上面的两种解法正确吗？若不正确，请说明理由，并写出正确的解答过程． 【答案】上面的两种解答均不正确，理由和过程见解析 【分析】本题考查了代入消元法求解二元一次方程组，需要注意的是运用这种方法需满足其中一个方程为用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，若不具备这种特征，则根据等式的性质将其中一个方程变形，使其具备这种形式．根据二元一次方程组的解法分析即可． 【详解】解：上面的两种解答均不正确．理由如下： 解法一：犯了循环代入的错误，即③是由①变形得到的，再将其代入①，肯定恒等，应将③代入②． 解法二：最后没有写出方程组的解． 正确的解答过程如下： 由①，得③ 将③代入②，得，解得． 将代入③，得， ∴原方程组的解为． 【易错必刷七 加减消元法】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）有下列方程组： ①；②；③；其中用加减消元法解较为简便的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组－加减消元法．通过观察所给的方程组中各式子特点，②和③的方程组，可以直接利用加减进行消元． 【详解】解：①宜用代入消元法； ②中，的系数相同，宜用加减消元法； ③中，的系数互为相反数，宜用加减消元法； 故选：C． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）在方程中，当时，；当时，．这个方程为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 将与的两对值代入中，得到二元一次方程组，解方程组求出与的值，即可求解． 【详解】解：当时，；当时，； ， 解得：， ， 故答案为：． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）用加减消元法解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键； （1）根据加减消元法可进行求解； （2）根据加减消元法可进行求解 【详解】（1）解：将①化简，得．③ ，得，解得． 将代入②，得，解得， 所以原方程组的解是； （2）解：，得．③ ，得．④ ，得．⑤ ，得，解得． 把代入③，得，解得． 故原方程组的解是 【易错必刷八 二元一次方程组的特殊解法】 1．（23-24七年级上·湖南永州·阶段练习）若方程组的解是， 则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解等知识点，根据加减法，可先分别将、看做一个整体，得出它们的解，再根据解方程，可得答案，解决本题的关键是先求、的解，再求x、y的值． 【详解】∵方程组的解是， ∴方程组中， ∴， 故选：D． 2．（23-24七年级上·湖南永州·期中）已知关于、的二元一次方程组的解为，那么关于、的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】根据换元法，得到关于的方程组的解为，进行求解即可．本题考查了二元一次方程组的解的定义，学会换元法是解题的关键． 【详解】解:∵关于、的二元一次方程组的解为， ∴ 关于、的二元一次方程组的解为：, ∴， 故答案为． 3．（23-24七年级上·湖南衡阳·期中）我们在解二元一次方程组时，若假设，则原方程组可化为，解之得，即，解之得，在上面的解题过程中，我们把某个式子看成一个整体，并且用一个字母去替代它，像这种解方程组的方法叫作换元法． (1)已知关于、y的二元一次方程组的解为，求关于、n的二元一次方程组的解； (2)请用上面的换元法解方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键． （1）设，得到，然后解方程组即可； （2）设，得到，然后解方程组即可． 【详解】（1）设， 则原方程组可化为 ∴， 解之得； （2）设， 则原方程组可化为， 化简整理得， 解之得， ∴， 解之得． 【易错必刷九 二元一次方程组的错解复原问题】 1．（23-24七年级上·湖北咸宁·期中）解方程组 时，小强正确解得，而小刚只看错了，解得 ，则当时，的值是（     ） A．6 B．2 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解和二元一次方程的解，先把代入原方程组得到，，则；再把代入方程得到，据此求出，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得是方程组的解， ∴，， ∴； ∵小刚只看错了，解得， ∴是方程的解， ∴， ∴联立①②得， ∴当时，的值为， 故选：B． 2．（23-24七年级上·河南许昌·阶段练习）已知关于的二元一次方程组的解为，小强因看错了系数，得到的解为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，理解并掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 根据题意把代入二元一次方程组可得的值，根据小强看错系数得到解为，由此可得新的方程组，运用加减消元法可求出的值，代入计算即可求解． 【详解】解：把代入二元一次方程组得， ， ∴由得，， ∵小强看错了系数得到， ∴， ∴， ①②得，， 解得，， 把代入②得，， 解得，， ∴， 故答案为： ． 3．（23-24七年级上·四川遂宁·期中）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为，根据上面的信息解答： (1)求出正确的a，b的值 (2)求出原方程组的正确解． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）把代入①，能求出，把代入②，求出即可； （2）运用加减消元法求出原方程组的解，即可作答． 本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解和求代数式的值等知识点，能得出关于、的方程是解此题的关键． 【详解】（1）解：依题意，把代入①，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：； （2）解：由（1）得， ∴原方程组为， ，得， 把代入③，得， ∴， 解得原方程组的正确解为：， 【易错必刷十 构造二元一次方程组求解】 1．（23-24七年级上·河南信阳·期末）某爱心组织开展图书捐赠活动，以教育助力乡村振兴，下表是本次购买图书的发票，部分数据看不清，根据其他数据求出购买爱的教育、边城的数量分别为（    ） A．15，10 B．10，15 C．12，13 D．13，12 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设购买爱的教育x本，边城y本，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案． 【详解】解：设购买爱的教育x本，边城y本， 根据题意有：， 解得：， 则购买爱的教育15本，边城10本， 故选：A． 2．（23-24七年级上·浙江丽水·期末）整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为 ． 0 1 2 1 4 【答案】 【分析】本题考查解方程和方程组，根据表中和，得到关于和的二元一次方程并求解，将和的值代入解方程即可．熟练掌握二元一次方程组及一元一次方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解：由和， 得， 解得， 将代入， 得， 解得， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）（1）求图中阴影部分面积（取3）． （2）如图所示，已知，，平分，平分，求的度数． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、二元一次方程组的应用以及求阴影部分面积，根据题意列出二元一次方程组并求解是解答本题的关键． （1）根据阴影部分面积列式计算即可求解； （2）由平分，平分，则设，，列二元一次方程组求出x、y，最后根据解答即可． 【详解】解：（1）阴影部分面积 （2）设，， 则，解得， ∴． 【易错必刷十一 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 1．（23-24七年级上·黑龙江大庆·期末）如果关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足，那么k的值是（    ） A．15 B． C．14 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，观察方程组中未知数的系数的特点得到是解题的关键． 让方程组中的两个方程直接相减得到，结合已知，即可求出k的值． 【详解】解： ，得， ， ， 解得， 故选：A． 2．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）已知关于的方程组只有唯一的一组解，那么方程组的解是 ． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及绝对值，弄清方程组只有唯一的一组解的条件是解本题的关键．由方程组只有唯一的一组解，得到，代入即可求出y的值，即可得到方程组的解． 【详解】解：∵关于x，y的方程组只有唯一的一组解， ∴，即， 把代入方程组得：， ∴方程组的解为， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）已知关于x，y的方程组 (1)试用含的式子表示方程组的解． (2)若方程组的解也是方程的解，求的值． 【答案】(1) (2)-3 【分析】（1）将m当做常数，采用加减消元法即可求解； （2）将（1）中含m的结果代入二元一次方程中，解方程即可求解． 【详解】（1） ①+②，得3x=6m+9，解得x=2m+3， 将x=2m+3代入到②中，得y=2m-2， 即方程组的解为：； （2）将代入到中， 有， 解得m=-3． 即m的值为-3． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组以及根据求解二元一次方程中参数的值的知识，掌握加减消元法是解答本题的关键． 【易错必刷十二 同解方程组】 1．（23-24七年级上·河南商丘·阶段练习）已知关于x，y的方程组与的解相同，则的值为（　　） A．1 B．2 C．0 D． 【答案】A 【分析】把代入另外两个方程中得：，得到，求解即可． 【详解】解：把代入另外两个方程中得：，得：， 解得：， ， 故选：A． 【点睛】此题考查了二元一次方程组同解问题，方程组的解即为能使方程组中的每一个方程都成立的未知数的值，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 2．（23-24七年级上·湖南永州·期中）如果方程组与方程组的解相同，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，同解方程组，先解方程组得，进而把代入方程组得到，解方程组求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：解方程组得， ∵方程组与方程组的解相同， ∴是方程组的解， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知方程组和有相同的解，求值． 【答案】． 【分析】两个方程组有相同的解，就是把四个方程进行重组，组成一个新的二元一次方程组，求解出x、y． 【详解】解：由题意可重组新的方程组：， 解得：， 把x=2，y=-2代入另外两个方程得：， 解得：， 把a=1，b=-3代入得：． 故． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，并求同解问题，重组方程组是解题关键． 【易错必刷十三 根据实际问题、几何问题列二元一次方程组】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重，适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？大意是说：九枚黄金与十一枚白银重量相等，互换一枚，黄金比白银轻13两，问：每枚黄金、白银的重量各为多少？设一枚黄金的重量为x两，一枚白银的重量为y两，则可列方程组为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据“甲袋中装有黄金枚，乙袋中装有白银枚，称重两袋相等；两袋互相交换枚后，甲袋比乙袋轻了两”，即可列出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：甲袋中装有黄金枚，乙袋中装有白银枚，称重两袋相等， ； 两袋互相交换枚后，甲袋比乙袋轻了两， ． 根据题意可列方程组． 故选：D． 2．（23-24七年级上·甘肃武威·期末）某玩具车间每天能生产甲种玩具零件200个或乙种玩具零件100个，1个甲种玩具零件与2个乙种玩具零件能组成一个完整的玩具，怎样安排生产才能使在30天内组装出的玩具全部配套（每天只生产一种玩具零件）？设该玩具车间生产甲种玩具零件x天，生产乙种玩具零件y天，则所列方程组为 ．（不用化简）． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据1个甲种玩具零件与2个乙种玩具零件能组成一个完整的玩具，共用30天列方程组即可． 【详解】解：由题意，得 故答案为： 3．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）一副三角板按如图方式摆放，已知的度数比的度数大，若设，，列出方程组并解答．    【答案】，，． 【分析】本题考查了角的和差计算，二元一次方程组的应用，根据平角的定义及已知条件列出方程组求解即可． 【详解】解：由已知得， 得：，解得：， 将代入①，解得：， 原方程组的解为， ，． 【易错必刷十四 方案问题】 1．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费元．其中毛笔每支元，围棋每副元，共有多少种购买方案．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系“共花费元”，列出二元一次方程是解题的关键． 设购买毛笔支，围棋副，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数即可得出购买方案的数量． 【详解】解：设购买毛笔支，围棋副，根据题意得， ，即， ． 又，均为正整数， ∴或或或或， ∴班长有5种购买方案． 故选：B 2．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）有一条长度为的铜管料，把它锯成长度分别为和两种不同规格的小铜管（要求没有余料），每锯一次损耗的铜管料，为了使铜管料的损耗最少，应分别锯成的小铜管 段，的小铜管 段． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的实际应用，设应分别锯成的小铜管段，的小铜管段．可列方程得，根据为整数即可求解． 【详解】解：设应分别锯成的小铜管段，的小铜管段． 则损耗的铜管料为： ∵铜管料总长为， ∴ 可得： ∵为整数， ∴；或 ∴应该别锯成的小铜管段，的小铜管段． 故答案为：①② 3．（23-24七年级上·山西晋城·期中）老陈醋产于清徐县，至今有几千年的醋历史文化．老陈醋色泽为红棕色，味道以“绵、酸、甜、香”为主，是我国四大名醋之首．某生鲜超市计划购进一些坛装和塑料桶装的老陈醋进行销售，据了解，2坛坛装和1桶塑料桶装的老陈醋的进价共计160元；3坛坛装和4桶塑料桶装的老陈醋的进价共计340元． (1)1坛坛装和1桶塑料桶装的老陈醋的进价分别是多少元？ (2)若该超市计划恰好用300元购进以上两种包装的老陈醋（两种包装的老陈醋均购进），求该超市有哪几种购进方案？ 【答案】(1)坛装老陈醋每坛进价为60元，塑料桶装的老陈醋每桶进价40元； (2)共有两种购买方案：购买坛装老陈醋3坛，塑料桶装的老陈醋3桶；购买坛装老陈醋1坛，塑料桶装的老陈醋6桶． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程（组）． （1）设坛装老陈醋每坛进价为a元，塑料桶装的老陈醋每桶进价为b元，根据题意列二元一次方程组，即可求解； （2）设购买坛装老陈醋m坛，塑料桶装的老陈醋n桶，根据总价为300元列出二元一次方程，进而分析得出购买方案． 【详解】（1）解：设坛装老陈醋每坛进价为a元，塑料桶装的老陈醋每桶进价为b元， 由题意可得， 解得， 经检验，方程组的解符合题意． 答：坛装老陈醋每坛进价为60元，塑料桶装的老陈醋每桶进价40元； （2）解：设购买坛装老陈醋m坛，塑料桶装的老陈醋n桶， 由题意可得， ∴， ∵，，m和n均为整数， ∴或． 答：共有两种购买方案：购买坛装老陈醋3坛，塑料桶装的老陈醋3桶；购买坛装老陈醋1坛，塑料桶装的老陈醋6桶． 【易错必刷十五 行程问题】 1．（23-24七年级上·湖南娄底·期中）甲、乙两地相距880km，小轿车从甲地出发2h后，大客车从乙地出发相向而行，又经过4h两车相遇．已知小轿车比大客车每小时多行20km，设大客车每小时行，小轿车每小时行，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据行程问题的特点列出方程组即可解答. 【详解】解：设大客车每小时行，小轿车每小时行， 则可列方程组为：； 故选：C. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键. 2．（23-24七年级上·内蒙古通辽·期中）A，B两地相距80km．一艘船从A出发，顺水航行4h到B，而从B出发逆水航行5h到A，已知船顺水航行、逆水航行的速度分别是船在静水中的速度与水流速度的和与差，船在静水中的速度是 km/h． 【答案】18 【分析】设船在静水中的速度为xkm/h，水流速度为ykm/h，根据一艘船从A地出发，顺水航行4小时到B地；而从B地出发，逆水航行5小时到A地列出方程组解答问题即可． 【详解】解：设船在静水中的速度为xkm/h，水流速度为ykm/h，由题意得 ， 解得． ∴船在静水中的速度为18km/h， 故答案为：18． 【点睛】此题考查二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键． 3．（23-24七年级上·湖南永州·期末）某城市规定出租车收费标准如下：起步价所包含的路程为，超过的部分按每千米另外收费（不足按照收费），总车费在里程费的基础上另外多加收1元燃油附加费． 小张说：“我乘出租车从区政府到火车站走了，一共付车费9元．” 小王说：“我乘出租车从公园到万达广场走了，一共付车费15元．” (1)出租车的起步价是多少元？超过后每千米收费多少元？ (2)小刘乘坐出租车从某广场到机场一共走了，应付车费多少元？ 【答案】(1)出租车起步价是6元，超过后每千米收费2元 (2)小刘应付车费39元 【分析】（1）设出租车起步价是x元，超过后每千米收费y元，根据出租车从区政府到火车站走了，一共付车费9元；出租车从公园到万达广场走了，一共付车费15元；列出方程组，解方程组即可； （2）根据题意列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：设出租车起步价是x元，超过后每千米收费y元，根据题意得： ， 解得：， 答：出租车起步价是6元，超过后每千米收费2元． （2）解：（元）， 答：小刘乘坐出租车从某广场到机场一共走了，应付车费39元． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出方程组，准确计算． 【易错必刷十六 工程问题】 1．（23-24七年级上·广东潮州·期末）台大收割机和台小收割机同时工作h共收割水稻，台大收割机和台小收割机同时工作h共收割水稻，设台大收割机和台小收割机每小时收割水稻分别是公顷、公顷，则下列列式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先设台大收割机和台小收割机每小时收割水稻分别是公顷、公顷，再根据“台大收割机和台小收割机同时工作h共收割水稻”，得到；再根据“台大收割机和台小收割机同时工作h共收割水稻”，得到．联立方程组，即可得到正确的选项． 【详解】台大收割机和台小收割机每小时收割水稻分别是公顷、公顷， 根据题意得：． 故选：D． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用问题，解本题的关键在理解题意，并列出二元一次方程组． 2．（23-24七年级上·四川德阳·期末）市域（郊）成都至德阳段（线），全长约70公里，估计投资187亿．2024年3月开建，2026年12月达初期运行．中铁二院某工程队负责德阳市区某段建设，分两个班组分别从德阳南站和四川建院站同时开工掘进．已知甲组比乙组平均每天多掘进2.4米，经过5天施工，两组共掘进了110米．则甲班组平均每天掘进 米． 【答案】12.2 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，弄清题意挖掘题目蕴含的相等关系，据此列出方程组是解题的关键． 设甲班组平均每天掘进x米、乙班组平均每天掘进y米，根据“甲组比乙组平均每天多掘进2.4米，经过5天施工，两组共掘进了110米”列方程组求解可得． 【详解】解：设甲班组平均每天掘进x米、乙班组平均每天掘进y米．根据题意得： ，解得：． 答：甲班组平均每天掘进12.2米、乙班组平均每天掘进9.8米． 故答案为：12.2 3．（23-24七年级上·湖南邵阳·期末）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付给两组费用共元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做天可以完成，需付给两组费用共元，问： (1)甲、乙两组单独工作一天，商店应各付多少元？ (2)已知甲组单独完成需要天，乙组单独完成需要天，若装修完后，商店每天可盈利元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由．（提示：三种施工方式：方式一甲单独完成；方式二乙组单独完成；方式三甲、乙两个装修组同时施工．） 【答案】(1)甲单独工作一天应付工资元，乙单独工作一天应付工资元 (2)由甲、乙两个装修队同时施工有利于商店经营，理由见解析 【分析】（1）设甲单独工作一天应付工资元，乙单独工作一天应付工资元，依题意得：，进行计算即可得； （2）分别算出甲单独完成时需装修的费用和少盈利的钱，乙单独完成时需装修的费用和少盈利的钱，甲乙合作完成时需装修的费用和少盈利的钱，进行比较即可得． 【详解】（1）解：设甲单独工作一天应付工资元，乙单独工作一天应付工资元， 依题意得：， 解得， 答：设甲单独工作一天应付工资元，乙单独工作一天应付工资元． （2）解：甲单独完成：（元） 乙单独完成：（元） 甲、乙两队完成：（元） ， ∴由甲、乙两个装修队同时施工有利于商店经营． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出方程，正确计算． 【易错必刷十七 数字问题】 1．（23-24七年级上·安徽宿州·期中）图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个不同整数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，由已知数求出的值应为（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 设第二行第一个数字为(为常数），根据每一横行、每一竖列上的数字之和相等，可列出关于，的二元一次方程，变形后，即可求出的值． 【详解】解：设第二行第一个数字为为常数）， 根据题意得：， ． 故选：B． 2．（23-24七年级上·河北邢台·期中）在大禹治水的时代，有一种神龟背负着一张神秘的图浮出洛水，吉祥献瑞，后世称之为“洛书”，当后人将“洛书”上的数填在图1的表中时发现：每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，像这样的数字方阵，称为“幻方”，如果图2也是一个“幻方”，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．根据题意得到，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）将自然数排列在多个同心圆或多个连环圆上，使各圆周上的数之和相同，各条直径上的数之和也相同，就得到了幻圆．著名的同心幻圆有杨辉的攒九图和丁易东的太衍五十图．如图是一个简单的二阶幻圆模型，要求： ①内、外两个圆周上的四个数之和相等； ②外圆两直径上的四个数之和相等． 求图中两空白圆圈内的数字．    【答案】外圆白圆圈内的数字为2，内圆白圆圈内的数字为9 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设图中两空白圆圈内左边的数为x，右边的数为y，由题意：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设外圆白圆圈内的数字为，内圆白圆圈内的数字为外圆两条直径上的四个数之和相等， ①， 内外两个圆周上的四个数之和相等， ②， 整理得：， 解得：， 外圆白圆圈内的数字为2，内圆白圆圈内的数字为9． 【易错必刷十八 分配问题】 1．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）工厂需要用铁皮制作包装盒，每张铁皮可制作盒身15个，或制作盒底20个，一个盒身与两个盒底配成一套包装盒．现有40张铁皮，设用张制作盒身，张制作盒底，恰好配套制成包装盒，则下列方程组中符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“共有40张铁皮，且制作的盒底总数是盒身的2倍”，即可得出关于， 的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：根据共有40张铁皮， 得：， 根据每张铁皮可制作盒身15个，或制作盒底20个，且制作的盒底与盒身恰好配套，即制作的盒底总数是盒身的2倍， ．根据题意可列方程组， 故选： C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 2．（2024七年级上·浙江·专题练习）用如图①中的长方形和正方形纸板分别作为侧面和底面，制作如图②的竖式和横式两种无盖纸盒．现有a 张长方形纸板和b张正方形纸板，若做出竖式纸盒x个，横式纸盒y个，恰好将纸板用完，则两种纸盒的总个数为 .（用含a，b的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据盒子的结构确定等量关系是解题的关键；由题意列出方程组可求解． 【详解】解：根据题意得：， ①+②得：， ∴． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·辽宁大连·期末）为了响应国家“脱贫致富”的号召，某煤炭销售公司租用了甲、乙两种类型的货车若干辆为贫困地区运输了880吨的煤炭，已知每辆甲类型货车运输煤炭40吨，每辆乙类型货车运输煤炭50吨，所有甲类型货车运输的煤炭比所有乙类型货车运输的煤炭多80吨，求煤炭销售公司租用甲乙两种类型货车各多少辆？ 【答案】租用甲种类型货车12辆，乙种类型货车8辆 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设租用甲种类型货车辆，设租用乙种类型货车辆，利用每辆甲类型货车运输煤炭40吨，每辆乙类型货车运输煤炭50吨，所有甲类型货车运输的煤炭比所有乙类型货车运输的煤炭多80吨，再建立方程求解即可； 【详解】解：设租用甲种类型货车辆，设租用乙种类型货车辆， 则： 解得：， 答：租用甲种类型货车12辆，乙种类型货车8辆. 【易错必刷十九 销售利润问题】 1．（2024·安徽·一模）某学校为了打造“书香校园”，丰富师生的业余文化生活，计划采购，两种图书，已知采购2本种图书和3本种图书共需110元，采购1本种图书和5本种图书共需160元，则，两种图书的单价分别为（    ） A．10元、30元 B．30元、10元 C．25元、20元 D．60元、20元 【答案】A 【分析】 本题考查了二元一次方程组的应用，设，两种图书的单价分别为元，元，根据题意列出方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：设，两种图书的单价分别为元，元，根据题意得， 解得： 即，两种图书的单价分别为10元、30元， 故选：A． 2．（23-24七年级上·全国·假期作业）小明在某商店购买商品A，B共两次，这两次购买商品A，B的数量和费用如下表： 购买商品A的数量/件 购买商品B的数量/件 购买总费用/元 第一次购物 4 3 93 第二次购物 6 6 162 若小明需要购买3件商品A和2件商品B，则他需要花费 元． 【答案】66 3．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）某服装店用2600元购进A，B两种新型服装，按标价出售后可获得利润1600元 A型 B型 进价（元/件） 60 100 标价（元/件） 100 160 (1)问：A，B两种服装各购进多少件？ (2)如果A型服装按标价的7折出售，B型服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元 【答案】(1)A型服装购进10件，B型服装购进20件 (2)940元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设A型服装购进x件，B型服装购进y件，根据“服装店用2600元购进A，B两种新型服装，按标价出售后可获得利润1600元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）由总价=单价×数量结合少收入的钱数=按标价出售的总钱数﹣打折后出售的总钱数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设A型服装购进x件，B型服装购进y件， 依题意，得：， 解得：． 答：A型服装购进10件，B型服装购进20件． （2）（元）． 答：服装店比按标价出售少收入940元． 【易错必刷二十 和差倍分问题】 1．（23-24七年级上·全国·随堂练习）甲、乙两水池现共贮水40 t，如果甲池进水4 t，乙池进水8 t，那么甲池水量等于乙池水量，则甲、乙两水池原先各自的贮水量是（　　） A．甲22 t，乙18 t B．甲23 t，乙17 t C．甲21 t，乙19 t D．甲24 t，乙16 t 【答案】A 【分析】 本题考查二元一次方程组的实际应用，设甲水池原先的贮水量是x t，乙水池原先的贮水量是y t，根据题意，列出二元一次方程组进行求解即可． 【详解】设甲水池原先的贮水量是x t，乙水池原先的贮水量是y t． 根据题意，得， 解得； 所以甲水池原先的贮水量是22t，乙水池原先的贮水量是18t． 故选A． 2．（23-24七年级上·河南郑州·期末）为了节省空间，家里的饭碗一般是摞起来存放的，如果5只饭碗摞起来的高度为，9只饭碗摞起来的高度为，李老师家碗橱每格的高度为，则李老师一摞碗最多只能放 只． 【答案】14 【分析】一只碗的高度是x cm，每摞起来一只碗增加y cm， ，即可求出答案． 【详解】解：一只碗的高度是x cm，每摞起来一只碗增加y cm， 则； 解得：， ∴(30-6)，， ∴李老师一摞碗最多只能放13+1=14（只）， 故答案为：14． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是根据题意，找出合适的等量关系，列方程组和不等式求解． 3．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了、两种型号的机器人模型．已知型机器人模型的单价比型机器人模型的单价多200元，购买5台型机器人模型的费用比购买7台型机器人模型的费用多400元，求型、型机器人模型的单价分别是多少元？ 【答案】型机器人模型的单价为500元，型机器人模型的单价为300元 【分析】 本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组．根据型机器人模型的单价比型机器人模型的单价多200元，购买5台型机器人模型的费用比购买7台型机器人模型的费用多400元，列出方程组，求解即可． 【详解】 解：设型机器人模型的单价为元，型机器人模型的单价为元， 由题意，， 解得， 答：型机器人模型的单价为500元，型机器人模型的单价为300元． 【易错必刷二十一 几何问题】 1．（23-24七年级上·福建漳州·阶段练习）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形，则每个小长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每个长方形的长为，宽为，根据图形列出二元一次方程组，解方程，即可求解． 【详解】解：设每个长方形的长为，宽为，由题意， 得， 解得：， ． 故选：A． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）如图，两根铁棒直立于桶底在水平面的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它总长的，另一根露出水面的长度是它总长的．两根铁棒长度之和为，则两根铁棒的长度分别为 ． 【答案】， 【分析】 本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是设两根铁棒的长度分别为，，根据两根铁棒长度之和为，一根露出水面的长度是它总长的，另一根露出水面的长度是它总长的，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设两根铁棒的长度分别为，，由题意得： 解得：， 故答案为：，． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）如图，现要在长方形草坪中规划出块大小、形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花． (1)如图①，大长方形的相邻两边长分别为和，求小长方形的相邻两边长； (2)如图②，设大长方形的相邻两边长分别为和，小长方形的相邻两边长分别为和，个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)小长方形的相邻两边长分别是，． (2)为定值，过程见解析 【分析】 本题主要考查二元一次方程的实际应用和代数式： （1）设小长方形的宽为，长为，依题意，得，求解即可； （2）根据题意可知个小长方形的周长，根据题意可知，，大长方形的周长． 【详解】（1）设小长方形的宽为，长为． 根据题意，得 解得 答：小长方形的相邻两边长分别是，． （2）是定值，理由如下： 根据题意可知个小长方形的周长． 根据题意可知，，大长方形的周长． 可得 ． 所以，个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是定值，为． 【易错必刷二十二 其他问题】 1．（2024·云南·模拟预测）为传承优秀传统文化，某校为各班购进《水浒传》和《三国演义》连环画若干套，据了解，购买5套《水浒传》和2套《三国演义》共需480元，购买3套《水浒传》和2套《三国演义》共需360元，则每套《水浒传》和《三国演义》的价格分别是（     ） A．90 元， 60元 B．30元， 150元 C．150元， 30元 D．60 元， 90 元 【答案】B 【分析】 本题考查二元一次方程组的应用，设设每套《水浒传》和《三国演义》的价格分别是元和元．根据“购买5套《水浒传》和2套《三国演义》共需480元，购买3套《水浒传》和2套《三国演义》共需360元”列出二元一次方程组并解答． 【详解】解：设每套《水浒传》和《三国演义》的价格分别是元和元，列方程组得： ，解得， 故选B． 2．（23-24七年级上·山西吕梁·阶段练习）据某市旅游局发布信息，今年五一假期期间，市外来与外出旅游的总人数为226万人，分别比去年同期增长和，去年同期外来旅游比外出旅游的人数多20万人．则某市去年外来旅游的人数是 万人． 【答案】80 【分析】设该市去年外来旅游人数为x万人，外出旅游的人数为y万人，根据总人数为226万人，去年同期外来旅游比外出旅游的人数多20万人，列方程组求解即可． 【详解】设该市去年外来旅游人数为x万人，外出旅游的人数为y万人， 由题意得：， 解得：， 所以去年外来旅游的人数是80（万人）． 故答案是：80． 【点睛】考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解． 3．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，某工厂与A、B两地有公路、铁路相连，这家工厂从A地购买一批原料运回工厂，制成新产品再运到B地，公路运价为元/（吨·千米），铁路运价为1元/（吨·千米）． (1)若这两次运输共支出公路运费6600元，铁路运费24600元．问从A地购买多少吨原料，用购买的这些原料能制成多少吨新产品？ (2)在（1）的条件下，原料费为每吨1000元，新产品每吨2000元，则该工厂这批产品全部售出后获得利润多少元？（利润＝销售额－原料费－运输费） 【答案】(1)购买100吨原料，生产80吨产品 (2)该工厂这批产品获得利润28800元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．题中的数量关系比较复杂，借助图形把各个数量之间的关系弄清是解题的关键． （1）设该工厂从A地购买了x吨原料，用这些原料能制成吨新产品，根据等量关系：①两次运输共支出公路运费6600元；②铁路运输24600元列方程组求解即可； （2）利用利润=销售额原料费运输费即可求解． 【详解】（1）解：设从A地购买吨原料，用这些原料能制成吨新产品． ， 解得： 答：购买100吨原料，生产80吨产品． （2）（元） 答：该工厂这批产品获得利润28800元． 【易错必刷二十三 解三元一次方程组】 1．（23-24七年级上·全国·课后作业）三元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ，得， ，得，解得， 把代入①，得， 把代入③，得， 则方程组的解为 故选：D． 2．（23-24七年级上·贵州毕节·阶段练习）将三元一次方程组消去未知数z，得到的二元一次方程组为 ． 【答案】 【分析】 本题考查了解三元一次方程组，利用加减消元法解三元一次方程组即可得． 【详解】解：， 由②③得：④， ∴ 故答案为：． 3．（23-24七年级上·全国·课时练习）解下列三元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 由①，得4x＝3y，x＝y④ 由②得4z＝5y，z＝y，⑤ 把④和⑤代入③，得，解得y＝12 把y＝12代入④和⑤，得． ∴原方程组的解为． （2）将原方程组改写为 由②，得x＝6＋4y，代入①化简，得 11y－4z＝－19，④ 由③，得2y＋3z＝4，⑤ 由④×3＋⑤×4，得33y＋8y＝－57＋16， ∴y＝－1 将y＝－1代入⑤，得z＝2 将y＝－1代入②，得x＝2 ∴原方程组的解为 【易错必刷二十四 三元一次方程组的应用】 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）我国古代数学家张丘建在《张丘建算经》里，提出了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题．用个钱买只鸡，公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．问公鸡，小鸡各买了多少只？在这个问题中，公鸡的只数不可能是（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】设公鸡有x只，母鸡有y只，小鸡有z只，根据条件建立三元一次不定方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：设公鸡有x只，母鸡有y只，小鸡有z只，根据题意得， ， 整理得： ， ，，且都是自然数， ， ，是7的倍数， ，7，14，21， ，18，11，4； 共有4种情况： ①公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只； ②公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只； ③公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只； ④公鸡0只，母鸡25只，小鸡75只． 故小鸡的只数不可能是 故选： 【点睛】本题考查列三元一次不定方程解古代数学问题的运用，不定方程组的解法的运用，解答时根据条件建立方程是关键． 2．（2024七年级·全国·模拟预测）某果品商店进行组合销售，甲种搭配：3千克水果，6千克水果；乙种搭配：2千克种水果，5千克水果，1千克水果；丙种搭配：3千克水果，7千克水果，1千克水果．已知水果每千克4元，水果每千克5元，水果每千克8元，某天该商店销售这三种搭配共得1630元，某中水果的销售额为384元，则水果的销售额为 元． 【答案】1070 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，设卖出x个甲种搭配、y个乙种搭配、z个丙种搭配，理解题意，正确列出方程组并灵活求解是解答的关键． 【详解】解：设卖出x个甲种搭配、y个乙种搭配、z个丙种搭配，则 ， 即， 得，则， ∴C水果的销售额为（元）， 则B水果的销售额为（元）， 故答案为：1070． 3．（23-24七年级上·山东枣庄·期末）【阅读感悟】 已知实数、满足，求和的值． 本题常规思路是利用消元法求解方程组，解得、的值后，再代入需要求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得，这样的解题思想称为“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，求和的值； (2)有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米；甲种4根，乙种2根，丙种5根，共长40米，求1根丙种钢条是多少米？ 【答案】(1)， (2)1根丙种钢条长米． 【分析】本题考查解二元一次方程组和三元一次方程组．熟练掌握整体思想，利用整体思想进行求解，是解题的关键． （1）利用整体思想进行求解即可； （2）设甲种钢条长米，乙种钢条长米，丙种钢条长米，根据题意，列出三元一次方程组，利用整体思想进行求解即可； 【详解】（1）解：， ，得：； ，得：； （2）设甲种钢条长米，乙种钢条长米，丙种钢条长米， 由题意，得：， ，得：； ∴丙种钢条长米． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 二元一次方程组组易错必刷题型专训（72题24个考点） 【易错必刷一 二元一次方程的定义】 1．（2024·七年级上·贵州贵阳·阶段练习）把这9个数填入方格中，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，这样便构成了一个三阶幻方，它源于我国古代的洛书．如图是仅可以看到部分数值的三阶幻方，则其中的值为（      ） A．11 B．10 C．9 D．8 2．（23-24七年级上·江西抚州·阶段练习）已知是关于x、y的二元一次方程，则 ． 3．（23-24七年级上·河南漯河·阶段练习）把（其中a、b是常数，x、y是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”，当时，“雅系二元一次方程”中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程”化为， 其“完美值”为． (1)求“雅系二元一次方程”的“完美值”； (2)是“雅系二元一次方程”的“完美值”，求m的值． 【易错必刷二 二元一次方程的解】 1．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）下列各组数是方程的解的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·阶段练习）“幻方”最早记载于我国春秋时期的《大戴礼》中，现将1，2，3，4，5，7，8，9这八个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．若按同样的要求重新填数如图2所示，则与的和是 ． 3．（23-24七年级上·湖北荆门·期末）星期天，小明和七名同学共8人去郊游，途中他用20元钱去买饮料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐2元一杯，奶茶3元一杯，如果20元钱刚好用完． (1)有几种购买方式？每种方式可乐和奶茶各多少杯？ (2)每人至少一杯饮料且奶茶至少二杯时，有几种购买方式？ 【易错必刷三 判断是否是二元一次方程组】 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）已知方程组 ，则的值是 ． 3．（23-24七年级·全国·假期作业）判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 【易错必刷四 判断是否是二元一次方程组的解】 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）观察下表可知关于，的二元一次方程组的解为（    ） 的解 的解 0 1 … 1 5 … 6 4 2 … 3 2 0 … A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·全国·假期作业）下面三组数据： ①  ②  ③ 满足方程的是 ，满足方程的是 ，同时满足这两个方程的是 ．故二元一次方程组的解是 ．（填序号） 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知下面三对数值：；；． (1)哪几对能使方程左、右两边的值相等？ (2)哪几对能使方程左、右两边的值相等？ (3)二元一次方程组的解是什么？ 【易错必刷五 已知二元一次方程组的解求参数】 1．（23-24七年级上·四川内江·期中）两位同学在解方程组时，甲同学由正确地解出，乙同学因把c写错了解得，那么a、b、c的正确的值应为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（23-24七年级上·湖南常德·期中）当 时，方程组的解为． 3．（23-24七年级上·河北秦皇岛·期中）小明给小红出了一道数学题：“如果我将二元一次方程组第一个方程中y的系数遮住，第二个方程中x的系数遮住，并且告诉你 是这个方程组的解，你能求出我原来的方程组吗？”请你帮小红解答这个问题. 【易错必刷六 代入消元法】 1．（24-25七年级上·山东德州·开学考试）方程组中，y的值为（    ）． A．2 B．3 C．4 D．6 2．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程组时，把第一个方程代入第二个方程，可以得到x的值为 ，这时 ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程组： 解：解法一：由①，得．③ 将③代入①，得，即， 所以原方程组无解． 解法二：由①，得．③ 将③代入②，得， 解得． 将代入③，得． 上面的两种解法正确吗？若不正确，请说明理由，并写出正确的解答过程． 【易错必刷七 加减消元法】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）有下列方程组： ①；②；③；其中用加减消元法解较为简便的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（2024七年级上·全国·专题练习）在方程中，当时，；当时，．这个方程为 ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）用加减消元法解方程组： (1) (2) 【易错必刷八 二元一次方程组的特殊解法】 1．（23-24七年级上·湖南永州·阶段练习）若方程组的解是， 则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·湖南永州·期中）已知关于、的二元一次方程组的解为，那么关于、的二元一次方程组的解为 ． 3．（23-24七年级上·湖南衡阳·期中）我们在解二元一次方程组时，若假设，则原方程组可化为，解之得，即，解之得，在上面的解题过程中，我们把某个式子看成一个整体，并且用一个字母去替代它，像这种解方程组的方法叫作换元法． (1)已知关于、y的二元一次方程组的解为，求关于、n的二元一次方程组的解； (2)请用上面的换元法解方程组． 【易错必刷九 二元一次方程组的错解复原问题】 1．（23-24七年级上·湖北咸宁·期中）解方程组 时，小强正确解得，而小刚只看错了，解得 ，则当时，的值是（     ） A．6 B．2 C．0 D． 2．（23-24七年级上·河南许昌·阶段练习）已知关于的二元一次方程组的解为，小强因看错了系数，得到的解为，则 ． 3．（23-24七年级上·四川遂宁·期中）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为，根据上面的信息解答： (1)求出正确的a，b的值 (2)求出原方程组的正确解． 【易错必刷十 构造二元一次方程组求解】 1．（23-24七年级上·河南信阳·期末）某爱心组织开展图书捐赠活动，以教育助力乡村振兴，下表是本次购买图书的发票，部分数据看不清，根据其他数据求出购买爱的教育、边城的数量分别为（    ） A．15，10 B．10，15 C．12，13 D．13，12 2．（23-24七年级上·浙江丽水·期末）整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为 ． 0 1 2 1 4 3．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）（1）求图中阴影部分面积（取3）． （2）如图所示，已知，，平分，平分，求的度数． 【易错必刷十一 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 1．（23-24七年级上·黑龙江大庆·期末）如果关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足，那么k的值是（    ） A．15 B． C．14 D． 2．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）已知关于的方程组只有唯一的一组解，那么方程组的解是 ． 3．（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）已知关于x，y的方程组 (1)试用含的式子表示方程组的解． (2)若方程组的解也是方程的解，求的值． 【易错必刷十二 同解方程组】 1．（23-24七年级上·河南商丘·阶段练习）已知关于x，y的方程组与的解相同，则的值为（　　） A．1 B．2 C．0 D． 2．（23-24七年级上·湖南永州·期中）如果方程组与方程组的解相同，则 ． 3．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知方程组和有相同的解，求值． 【易错必刷十三 根据实际问题、几何问题列二元一次方程组】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重，适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？大意是说：九枚黄金与十一枚白银重量相等，互换一枚，黄金比白银轻13两，问：每枚黄金、白银的重量各为多少？设一枚黄金的重量为x两，一枚白银的重量为y两，则可列方程组为（ ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·甘肃武威·期末）某玩具车间每天能生产甲种玩具零件200个或乙种玩具零件100个，1个甲种玩具零件与2个乙种玩具零件能组成一个完整的玩具，怎样安排生产才能使在30天内组装出的玩具全部配套（每天只生产一种玩具零件）？设该玩具车间生产甲种玩具零件x天，生产乙种玩具零件y天，则所列方程组为 ．（不用化简）． 3．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）一副三角板按如图方式摆放，已知的度数比的度数大，若设，，列出方程组并解答．    【易错必刷十四 方案问题】 1．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费元．其中毛笔每支元，围棋每副元，共有多少种购买方案．（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）有一条长度为的铜管料，把它锯成长度分别为和两种不同规格的小铜管（要求没有余料），每锯一次损耗的铜管料，为了使铜管料的损耗最少，应分别锯成的小铜管 段，的小铜管 段． 3．（23-24七年级上·山西晋城·期中）老陈醋产于清徐县，至今有几千年的醋历史文化．老陈醋色泽为红棕色，味道以“绵、酸、甜、香”为主，是我国四大名醋之首．某生鲜超市计划购进一些坛装和塑料桶装的老陈醋进行销售，据了解，2坛坛装和1桶塑料桶装的老陈醋的进价共计160元；3坛坛装和4桶塑料桶装的老陈醋的进价共计340元． (1)1坛坛装和1桶塑料桶装的老陈醋的进价分别是多少元？ (2)若该超市计划恰好用300元购进以上两种包装的老陈醋（两种包装的老陈醋均购进），求该超市有哪几种购进方案？ 【易错必刷十五 行程问题】 1．（23-24七年级上·湖南娄底·期中）甲、乙两地相距880km，小轿车从甲地出发2h后，大客车从乙地出发相向而行，又经过4h两车相遇．已知小轿车比大客车每小时多行20km，设大客车每小时行，小轿车每小时行，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·内蒙古通辽·期中）A，B两地相距80km．一艘船从A出发，顺水航行4h到B，而从B出发逆水航行5h到A，已知船顺水航行、逆水航行的速度分别是船在静水中的速度与水流速度的和与差，船在静水中的速度是 km/h． 3．（23-24七年级上·湖南永州·期末）某城市规定出租车收费标准如下：起步价所包含的路程为，超过的部分按每千米另外收费（不足按照收费），总车费在里程费的基础上另外多加收1元燃油附加费． 小张说：“我乘出租车从区政府到火车站走了，一共付车费9元．” 小王说：“我乘出租车从公园到万达广场走了，一共付车费15元．” (1)出租车的起步价是多少元？超过后每千米收费多少元？ (2)小刘乘坐出租车从某广场到机场一共走了，应付车费多少元？ 【易错必刷十六 工程问题】 1．（23-24七年级上·广东潮州·期末）台大收割机和台小收割机同时工作h共收割水稻，台大收割机和台小收割机同时工作h共收割水稻，设台大收割机和台小收割机每小时收割水稻分别是公顷、公顷，则下列列式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·四川德阳·期末）市域（郊）成都至德阳段（线），全长约70公里，估计投资187亿．2024年3月开建，2026年12月达初期运行．中铁二院某工程队负责德阳市区某段建设，分两个班组分别从德阳南站和四川建院站同时开工掘进．已知甲组比乙组平均每天多掘进2.4米，经过5天施工，两组共掘进了110米．则甲班组平均每天掘进 米． 3．（23-24七年级上·湖南邵阳·期末）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付给两组费用共元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做天可以完成，需付给两组费用共元，问： (1)甲、乙两组单独工作一天，商店应各付多少元？ (2)已知甲组单独完成需要天，乙组单独完成需要天，若装修完后，商店每天可盈利元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由．（提示：三种施工方式：方式一甲单独完成；方式二乙组单独完成；方式三甲、乙两个装修组同时施工．） 【易错必刷十七 数字问题】 1．（23-24七年级上·安徽宿州·期中）图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个不同整数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，由已知数求出的值应为（    ） A．3 B． C． D．2 2．（23-24七年级上·河北邢台·期中）在大禹治水的时代，有一种神龟背负着一张神秘的图浮出洛水，吉祥献瑞，后世称之为“洛书”，当后人将“洛书”上的数填在图1的表中时发现：每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，像这样的数字方阵，称为“幻方”，如果图2也是一个“幻方”，那么 ． 3．（23-24七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）将自然数排列在多个同心圆或多个连环圆上，使各圆周上的数之和相同，各条直径上的数之和也相同，就得到了幻圆．著名的同心幻圆有杨辉的攒九图和丁易东的太衍五十图．如图是一个简单的二阶幻圆模型，要求： ①内、外两个圆周上的四个数之和相等； ②外圆两直径上的四个数之和相等． 求图中两空白圆圈内的数字．    【易错必刷十八 分配问题】 1．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）工厂需要用铁皮制作包装盒，每张铁皮可制作盒身15个，或制作盒底20个，一个盒身与两个盒底配成一套包装盒．现有40张铁皮，设用张制作盒身，张制作盒底，恰好配套制成包装盒，则下列方程组中符合题意的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·浙江·专题练习）用如图①中的长方形和正方形纸板分别作为侧面和底面，制作如图②的竖式和横式两种无盖纸盒．现有a 张长方形纸板和b张正方形纸板，若做出竖式纸盒x个，横式纸盒y个，恰好将纸板用完，则两种纸盒的总个数为 .（用含a，b的式子表示） 3．（23-24七年级上·辽宁大连·期末）为了响应国家“脱贫致富”的号召，某煤炭销售公司租用了甲、乙两种类型的货车若干辆为贫困地区运输了880吨的煤炭，已知每辆甲类型货车运输煤炭40吨，每辆乙类型货车运输煤炭50吨，所有甲类型货车运输的煤炭比所有乙类型货车运输的煤炭多80吨，求煤炭销售公司租用甲乙两种类型货车各多少辆？ 【易错必刷十九 销售利润问题】 1．（2024·安徽·一模）某学校为了打造“书香校园”，丰富师生的业余文化生活，计划采购，两种图书，已知采购2本种图书和3本种图书共需110元，采购1本种图书和5本种图书共需160元，则，两种图书的单价分别为（    ） A．10元、30元 B．30元、10元 C．25元、20元 D．60元、20元 2．（23-24七年级上·全国·假期作业）小明在某商店购买商品A，B共两次，这两次购买商品A，B的数量和费用如下表： 购买商品A的数量/件 购买商品B的数量/件 购买总费用/元 第一次购物 4 3 93 第二次购物 6 6 162 若小明需要购买3件商品A和2件商品B，则他需要花费 元． 3．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）某服装店用2600元购进A，B两种新型服装，按标价出售后可获得利润1600元 A型 B型 进价（元/件） 60 100 标价（元/件） 100 160 (1)问：A，B两种服装各购进多少件？ (2)如果A型服装按标价的7折出售，B型服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元 【易错必刷二十 和差倍分问题】 1．（23-24七年级上·全国·随堂练习）甲、乙两水池现共贮水40 t，如果甲池进水4 t，乙池进水8 t，那么甲池水量等于乙池水量，则甲、乙两水池原先各自的贮水量是（　　） A．甲22 t，乙18 t B．甲23 t，乙17 t C．甲21 t，乙19 t D．甲24 t，乙16 t 2．（23-24七年级上·河南郑州·期末）为了节省空间，家里的饭碗一般是摞起来存放的，如果5只饭碗摞起来的高度为，9只饭碗摞起来的高度为，李老师家碗橱每格的高度为，则李老师一摞碗最多只能放 只． 3．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了、两种型号的机器人模型．已知型机器人模型的单价比型机器人模型的单价多200元，购买5台型机器人模型的费用比购买7台型机器人模型的费用多400元，求型、型机器人模型的单价分别是多少元？ 【易错必刷二十一 几何问题】 1．（23-24七年级上·福建漳州·阶段练习）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形，则每个小长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）如图，两根铁棒直立于桶底在水平面的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它总长的，另一根露出水面的长度是它总长的．两根铁棒长度之和为，则两根铁棒的长度分别为 ． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）如图，现要在长方形草坪中规划出块大小、形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花． (1)如图①，大长方形的相邻两边长分别为和，求小长方形的相邻两边长； (2)如图②，设大长方形的相邻两边长分别为和，小长方形的相邻两边长分别为和，个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由． 【易错必刷二十二 其他问题】 1．（2024·云南·模拟预测）为传承优秀传统文化，某校为各班购进《水浒传》和《三国演义》连环画若干套，据了解，购买5套《水浒传》和2套《三国演义》共需480元，购买3套《水浒传》和2套《三国演义》共需360元，则每套《水浒传》和《三国演义》的价格分别是（     ） A．90 元， 60元 B．30元， 150元 C．150元， 30元 D．60 元， 90 元 2．（23-24七年级上·山西吕梁·阶段练习）据某市旅游局发布信息，今年五一假期期间，市外来与外出旅游的总人数为226万人，分别比去年同期增长和，去年同期外来旅游比外出旅游的人数多20万人．则某市去年外来旅游的人数是 万人． 3．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，某工厂与A、B两地有公路、铁路相连，这家工厂从A地购买一批原料运回工厂，制成新产品再运到B地，公路运价为元/（吨·千米），铁路运价为1元/（吨·千米）． (1)若这两次运输共支出公路运费6600元，铁路运费24600元．问从A地购买多少吨原料，用购买的这些原料能制成多少吨新产品？ (2)在（1）的条件下，原料费为每吨1000元，新产品每吨2000元，则该工厂这批产品全部售出后获得利润多少元？（利润＝销售额－原料费－运输费） 【易错必刷二十三 解三元一次方程组】 1．（23-24七年级上·全国·课后作业）三元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·贵州毕节·阶段练习）将三元一次方程组消去未知数z，得到的二元一次方程组为 ． 3．（23-24七年级上·全国·课时练习）解下列三元一次方程组： (1) (2) 【易错必刷二十四 三元一次方程组的应用】 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）我国古代数学家张丘建在《张丘建算经》里，提出了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题．用个钱买只鸡，公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．问公鸡，小鸡各买了多少只？在这个问题中，公鸡的只数不可能是（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 2．（2024七年级·全国·模拟预测）某果品商店进行组合销售，甲种搭配：3千克水果，6千克水果；乙种搭配：2千克种水果，5千克水果，1千克水果；丙种搭配：3千克水果，7千克水果，1千克水果．已知水果每千克4元，水果每千克5元，水果每千克8元，某天该商店销售这三种搭配共得1630元，某中水果的销售额为384元，则水果的销售额为 元． 3．（23-24七年级上·山东枣庄·期末）【阅读感悟】 已知实数、满足，求和的值． 本题常规思路是利用消元法求解方程组，解得、的值后，再代入需要求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得，这样的解题思想称为“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，求和的值； (2)有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米；甲种4根，乙种2根，丙种5根，共长40米，求1根丙种钢条是多少米？ 学科网（北京）股份有限公司 $$