专题06 用二元一次方程组解决问题重难点题型专训（14大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（湘教版2024）

专题06 用二元一次方程组解决问题重难点题型专训（14大题型+15道拓展培优） 题型一 根据实际问题列二元一次方程组 题型二 根据几何图形列二元一次方程组 题型三 方案问题 题型四 行程问题 题型五 工程问题 题型六 数字问题 题型七 年龄问题 题型八 分配问题 题型九 销售、利润问题 题型十 和差倍分问题 题型十一 几何问题 题型十二 图表信息题 题型十三 古代问题 题型十四 其他问题 知识点、二元一次方程组的应用 （1） 、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）、设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 【经典例题一 根据实际问题列二元一次方程组】 【例1】（23-24七年级上·内蒙古兴安盟·期中）甲乙两车间各有工人若干名，若从甲车间调100人给乙车间，则甲车间人数是乙车间人数的六分之一，若从乙车间调100人给甲车间，则甲车间人数与乙车间人数相同．甲乙两车间原有工人多少名? 1．（2024·陕西咸阳·三模）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值为4时，根据程序计算，输出的结果为5；当输入的值为3时，根据程序计算，输出的结果为7，请你计算该程序框图中的值． 2．（23-24七年级上·湖南株洲·期末）在《二元一次方程组》这一章的复习课上，王老师出了一个实际应用问题让同学们进行探究：在某地“乡村振兴”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为某村庄修建条335米长的公路，甲队每天修建20米，乙队每天修建25米，一共用15天完成． (1)小红同学根据题意，列出了一个方程组，请写出小红所列方程组中未知数表示的意义：x表示 ，y表示 ； (2)小芳同学的思路是设甲工程队一共修建了x米公路，乙工程队一共修建了y米公路．请你按照小芳的思路列出方程组，并求出甲、乙队各修建了多少米？ 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）根据题意列二元一次方程组： (1)两批货物，第一批360吨，用5节火车皮和12辆汽车正好装完；第二批500吨，用7节火车皮和16辆汽车正好装完．每节火车皮和每辆汽车平均各装货物多少吨？ (2)某校课外小组的学生准备外出活动；若每组7人，则余下3人；若每组8人，则有一组只有3人；求这个课外小组分成几组？共有多少人？ (3)明明到邮局买0.8元与2元的邮票共13枚，共花去20元钱，问明明两种邮票各买了多少枚？ (4)将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放4只，则有一鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼？ 【经典例题二 根据几何图形列二元一次方程组】 【例2】（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）如图，在长方形中，放入个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示.    (1)小长方形的长和宽各是多少？ (2)求阴影部分的面积. 1．（23-24七年级上·湖南岳阳·阶段练习）小明在拼图时发现个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（1），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形．请问每个小长方形的面积是多少？ 2．（23-24七年级上·山东青岛·期末）如图，在长为，宽为的长方形空地中，沿平行于长方形各边的方向分割出三个全等的小长方形花圃，其分割图如图所示．求三个小长方形花圃的总面积． 3．（23-24七年级上·福建南平·期末）如图1，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形． (1)若，分别求S1，S2的面积； (2)若将图1的阴影部分沿虚线剪开，重新拼成图2的长方形，且长为，宽为，求S1∶S2的值． 【经典例题三 方案问题】 【例3】（24-25七年级上·海南·期中）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得80万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ 1．（23-24七年级上·山东聊城·开学考试）市场淡季，为促进空调销售量，某商场进行优惠活动，已知购买台型空调和台型空调需要元；购买台型空调和台型空调需要元． (1)分别求出两种空调单价多少元； (2)某单位需要购买型空调台，型空调台，现商家推出活动，优惠一：型空调满台打折；优惠二：总购物金额满元减元（两种优惠不同时享受），问该单位如何购买更划算． 2．（23-24七年级上·内蒙古赤峰·期末）赤峰市正在打造生态文化旅游，某公司向旅游景点捐资购买了一批物资120吨，计划运往景区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示（假设每辆车均满载）． 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 400 500 600 (1)全部物资可用乙型车5辆，丙型车4辆，还需甲型车多少辆来运送？ (2)若全部物资都用甲、丙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、丙两种车型各几辆？ (3)若公司决定用甲、乙、丙三种车共16辆同时均参与运送，你有哪几种安排方案刚好运完？哪种方案运费最省？ 3．（23-24七年级上·湖南岳阳·期中）根据以下素材，探索解答任务一，任务二． 如何设计板材裁切方案？ 素材1 图1是湘一南湖学校的学生座椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．图2是靠背与座垫的尺寸示意图    素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定剪裁方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法． 方法一：裁切靠背16张和座垫0张． 方法二：裁切靠背________张和坐垫________张． 方法三：裁切靠背________张和坐垫________张． 任务二 解决实际问题 工厂目前已有裁切好的12张靠背板材和4张坐垫板材，经商议，现需新购买一批该型号板材，其中一部分按照方案二裁剪，另一部分按照方案三裁剪，一共制作700张学生座椅，请问：需要购买该型号板材共多少张？（恰好全部用完） 【经典例题四 行程问题】 【例4】（24-25七年级上·四川成都·开学考试）如图，有一条三角形的环路，A至B 段是上坡路，B至C段是下坡路，A至C段是平路，A至B、B至C、C至A三段距离的比是，小琼和小芳同时从A出发，小琼按顺时针方向行走，小芳按逆时针方向行走，2个半小时后在上的D 点相遇，已知两人上坡速度是4千米/小时，下坡速度是6千米/小时，在平路上的速度是5千米/小时．问C至D段是多少千米？ 1．（23-24七年级上·广西来宾·期中）某市的出租车是这样收费的：起步价所包含路程为，超过的部分按每另行收费．小刘说：“我乘出租车从家到汽车站走了，付车费元．”小李说：“我从我家乘出租车到汽车站走了，付车费元．” (1)出租车的起步价是多少元？超过公里后每收费多少元？ (2)小明乘出租车从学校到汽车站走了，应付车费多少元？ 2．（23-24七年级上·全国·单元测试）青藏铁路全线有一座大桥—拉萨河大桥全长920多米，其中主桥长800米，小明在去年暑假乘次列车从北京到拉萨游玩，小明为了探究次列车的长度与速度，记录了以下两个数据： （1）火车完全在主桥上的时间为35秒． （2）火车上主桥到完全通过主桥用了45秒． 知道这两个数据后，小明就会算出了次列车的长度与速度吗？ 3．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）某城市自行车赛线路为从起点出发，先骑行一段缓下坡路，再骑行一段平路到达折返点，然后从折返点沿原路线返回起点（起点即终点）．假定某运动员A在平路上骑行的速度始终是25千米/小时，下坡的骑行速度始终是30千米/小时，上坡的骑行速度始终是20千米/小时，已知该运动员从起点到折返点用时46分钟，从折返点回到起点用时51分钟． (1)求比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是多少千米？ (2)某参赛运动员B骑行时，下坡的速度是上坡速度的2倍，且从起点到折返点的用时比从折返点到终点少用10分钟，求该运动员B骑行时的上坡速度是多少千米/小时？ 【经典例题五 工程问题】 【例5】（23-24七年级上·山东聊城·期末）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元． (1)求甲、乙装修组工作一天，商店各需支付多少元费用？ (2)若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店经营？说明理由． 1．（23-24七年级上·四川泸州·期中）制造某种产品，1人用机器，3人靠手工，每天可制造60件；2人用机器，2人靠手工，每天可制造80件．3人用机器，1人靠手工，每天可制造多少件产品？ 2．（23-24七年级上·河北承德·期末）某县在创建省级卫生文明县城中，对县城内的河道进行整治．现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天， (1)小明、小华两位同学提出解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意， 小华同学：设整治任务完成后，m表示__________，n表示__________； 得 请补全括号及横线部分的内容． (2)求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程） 3．（23-24七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）古运河是扬州的母亲河．为打造古运河风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由A、B两工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天． (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 甲：；乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x、y表示的意义，然后在括号内补全甲、乙两名同学所列的方程组： 甲：x表示______，y表示_______； 乙：x表示______，y表示______． (2)求A、B两工程队分别整治河道多少米．（写出完整的解答过程） 【经典例题六 数字问题】 【例6】（23-24七年级上·全国·课后作业）有甲、乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188，求甲、乙这两个数． 1．（23-24七年级上·江西南昌·期末）《最强大脑》节目中，有很多具有挑战性的比赛项目，其中《幻圆》这个项目充分体现了数学的魅力．如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等．求图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字．            2．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻方．图2、图3、图4分别是未完成的幻方． 4 9 2 3 5 7 8 1 6 图1 0 2 a 图2 m 8 20 16 n 图3 图4 (1)如图2，将、、、、0、1、2、3、4这9个数填入图2的幻方中，其中、0、2已填入，则a的值是______． (2)如图3，则______． (3)如图4，直接写出图中y的值是______． 3．（23-24七年级上·江西抚州·阶段练习）学习概念：由9个数字组成的一个三行三列的矩阵，其每一行、每一列和两条对角线的数字的和都相等，这就是三级幻方，其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数． 探究规律： （1）图1是1~9组成的一个三级幻方，小洁根据图2推出下列四个关系式， ①；②；③；④； 请你用图1中的数验证上述四个式子，其中正确的有______； 应用规律 根据上面的规律，用方程组思想解答下面的问题： （2）如图3，若，求、的值，并把空格中的数填补出来． 【经典例题七 年龄问题】 【例7】（23-24七年级上·山西临汾·期中）根据图中的对话，请聪明的你算出小亮今年的年龄．    1．（2024·安徽芜湖·一模）已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，求甲、乙现在的年龄的差． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 3．（23-24七年级上·云南·期中）今年（2024年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 【经典例题八 分配问题】 【例8】（23-24七年级上·广东汕头·期末）一套仪器由一个A部件和三个B部件构成．用钢材可做40个A部件或240个B部件，现要用钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，恰好配成这种仪器多少套？ 1．（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）据资料统计，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：2，现要把一块长200m、宽100m的长方形土地，分成两块小长方形土地，分别种植这两种作物，怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是2：1？请你设计两种不同的种植方案． 2．（23-24七年级上·贵州毕节·期末）运输公司要把120吨物资从A地运往B地，有甲、乙、丙三种车型供选择，每种型号的车辆的运载量和运费如表所示． 车型 甲 乙 丙 运载量（吨/辆） 5 8 10 运费（元/辆） 450 600 700 解答下列问题：（假设每辆车均满载） (1)若全部物资仅用甲、乙型车一次运完，需运费9600元，则甲、乙型车分别需要多少辆？ (2)若用甲、乙、丙型车共14辆同时参与运送，且一次运完全部物资，其中甲型车有2辆，则乙、丙型车分别需要多少辆？此时的总运费是多少？ 3．（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计板材裁切方案？ 素材1 图l中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．圈2是靠背与 座垫的尺寸示意图． 素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材来加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为240cm，宽为50cm．（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法． 方法一：裁切靠背16张和座垫0张． 方法二：裁切靠背______张和座垫______张． 方法三：裁切靠背______张和座垫______张． 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进110张该型号板材，能制作成多少张学生掎？ 任务三 解决实际问题 现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有4张座垫和12张靠背，若将板材采用方法二和方法三裁切，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？ 【经典例题九 销售、利润问题】 【例9】（2024七年级上·全国·专题练习）七年级某班的一个综合实践活动小组去两个超市调查去年和今年春节假期期间的销售情况，如下图所示的是调查后小敏与其他两位同学进行交流的情景．根据他们的对话，请你分别求出两个超市今年春节假期期间的销售额． 1．（23-24七年级上·陕西榆林·期末）2024年12月18日凌晨，甘肃省积石山发生6.2级地震，牵动全国人民的心！习近平总书记第一时间作出重要指示，要求全力开展搜救，尽最大努力保障人民群众生命财产安全．为了进一步宣传防震减灾科普知识，增强学生应急避险和自救互救能力，某校组织全校学生进行“防震减灾知识测试”，并计划购买两种钢笔用于奖励此次测试成绩优异的同学．已知2支种钢笔的总价格比1支种钢笔的价格多20元，3支种钢笔和2支种钢笔的总价格共135元，求每支种钢笔和每支种钢笔的价格分别为多少元？ 2．（23-24七年级上·四川达州·期末）某电器商场销售进价分别为120元，190元的A．B两种型号的电风扇，如下表所示是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 5 6 2310 第二周 8 9 3540 (1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价； (2)若商场再购进两种型号的电风扇共120台，并且全部销售完；该商场能否实现这两批电风扇的总利润为8240元的目标？若能，请给出相应的采购方案，若不能，请说明理由． 3．（23-24七年级上·浙江温州·期中）甲流爆发后，某校购买一批消毒液．购买人员到超市后了解到以下信息：信息一  乙种消毒液比甲种消毒液每件进价贵5元，甲种消毒液每件可以消毒2个教室或功能室，乙种消毒液每件可以消毒3个教室或功能室．消毒液不宜久存，启封即要用完． 信息二：货物清单部分信息如下： XX超市货物库存货物清单 购进货物 已出售货物 库存货物 进价（元） 件数 售价（元） 件数 件数 甲种消毒液 100 30 85 15 乙种消毒液 100 40 90 10 …… … … … … … 信息三：超市购进甲、乙两种消毒液共计5500元货物，出售175件后，库存货物打折出售，甲种消毒液9折出售，乙种消毒液8.5折出售． 任务1：求出甲、乙两种消毒液每件进价各多少元？ 任务2：计算该超市将第一次购进的甲、乙两种消毒液全部销售完，可获得多少利润？ 任务3：某中学现有45个教室或功能室需要消毒，请在不浪费消毒液前提下为该校设计一种省钱购买消毒液方案，购买甲种消毒液______件，乙种消毒液______件，共需______元． 【经典例题十 和差倍分问题】 【例10】（23-24七年级上·重庆长寿·期末）重庆市某足球特色学校在七年级各班男队开展足球单循环比赛，即每个班男队都与其他各班男队比赛一场，再按各队总积分（即该队所有比赛场得分之和）排列名次．记分办法是胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分． (1)比赛中，若七一班男队胜场数的两倍比平场数多1场，总积分为14分，求七一班男队胜了多少场？ (2)已知该校七年级共有16个班，比赛中，若七一班男队的平场数是负场数的整数倍，且总积分为15分，请推算七一班男队最少负了多少场？ 1．（23-24七年级上·辽宁抚顺·期末）抚顺市某中学在今年11月份组织七年级学生去抚顺市素质教育基地进行实践活动学习，由胡主任和甲、乙两名同学到客车租赁公司洽谈租车事宜． (1)两同学向公司经理了解租车的价格．公司经理对他们说：“公司有45座和60座两种型号的客车可供租用，60座的客车每辆每天的租金比45座的贵100元．”胡主任说：“我们学校七年级上昨天在这个公司租了2辆60座和5辆45座的客车，一天的租金为1600元，你们能知道45座和60座的客车每辆每天的租金各是多少元吗？”请你求出来． (2)公司经理问：“你们准备怎样租车？”，甲同学说：“我的方案是只租用45座的客车，可是会有一辆客车空出30个座位”；乙同学说“我的方案只租用60座客车，正好坐满且比甲同学的方案少用两辆客车”，你知道七年级共有多少人去素质教育基地进行实践活动吗？ (3)胡主任在一旁听了他们的谈话说：考考你们七年数学学习的情况，“若从省钱角度考虑，还有别的方案吗？”如果是聪明的你，你该如何设计租车方案，请直接写出租车方案． 2．（2024·浙江金华·模拟预测）回力运动鞋专卖店出售A，B，C三种版型的运动鞋，该店某天的销售量（单位：双）记录如下： A B C 合计 上午的销售量 ________ y ________ 20 下午的销售量 x 合计 10 ________ ________ (1)根据表格信息，补全表格中的划线部分（用含x，y的代数式表示）； (2)已知A型鞋上午销售量是B型鞋上午销售量的两倍，且这一天C型鞋的总销售量比A，B型鞋总销售量少6双． ①求x，y的值； ②已知A型鞋的单价是B型鞋单价的2倍，如果A，B，C三种版型的鞋的上午的总销售额为3000元，那么A型鞋的单价可能为______元，（三种鞋的单价均超过100元，不到215元，单价为整数） 3．（23-24七年级上·山东烟台·期中）小丽购买学习用品的收据如表所示，因收据污损导致部分数据无法识别．根据下表，解决问题： 商品名 单价（元） 数量 金额（元） 签字笔 3 2 6 自动铅笔 1.5 记号笔 4 软皮笔记本 2 9 圆规 3.5 1 合计 8 28 (1)小丽买了自动铅笔、记号笔各几支？ (2)若小丽再次购买软皮笔记本和自动铅笔两种文具，软皮笔记本和自动铅笔都至少购买一件，共花费15元，则有哪几种不同的购买方案？      【经典例题十一 几何问题】 【例11】 （23-24七年级上·江西抚州·阶段练习）如图，长方形由7个正方形组成，已知正方形A的边长为，正方形B的边长为，求此长方形的面积．（只能用二元一次方程组解答） 1．（23-24七年级上·重庆北碚·阶段练习）如图是用长方形厚纸片（厚度不计）做长方体茶叶包装盒的示意图，阴影部分是裁剪掉的部分．沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处长方形形状的“接口”用来折叠后粘贴或封盖．用长，宽的长方形厚纸片，恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高等于盒底边长乘2.5，三处“接口”的宽度相等，该茶叶盒的容积是多少？ 2．（23-24七年级上·浙江金华·开学考试）某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）． (1)如果加工竖式容器与横式容器各1个，那么共需要长方形铁片　　　　张，正方形铁片　　　　张． (2)现有长方形铁片2024张，正方形铁片1178张，如果加工成这两种容器，刚好用完全部铁片，那么加工的竖式容器、横式容器各有多少个？ 3．（24-25七年级上·重庆江北·开学考试）某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：） (1)列出方程（组），求出图甲中a与b的值． (2)在试生产阶段，若将m张标准板材用裁法一裁剪，n张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒． ①两种裁法共产生A型板______张，B型板材______张（用m、n的代数式表示）； ②当时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是多少个？ 【经典例题十二 图表信息题】 【例12】（24-25七年级上·全国·课后作业）下表是八年一班名学生的期末考试数学成绩表（已污损）： 成绩/分 人数 已知该班学生期末考试数学成绩的平均分是分． (1)求该班分和分的人数分别是多少； (2)求该班名学生成绩的中位数． 1．（23-24七年级上·浙江金华·期末）某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小慧在某文体用品店购买完毕，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不消楚，如图所示： 请根据发票中现有的信息，帮助小慧复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 2．（23-24七年级上·河北沧州·期末）如图(甲)中，各行、各列及对角线上的三个数之和都相等. 3 2 y       甲           3 2 乙 (1)通过计算求x与y的值； (2)把满足（甲）的其他6个数填入图（乙）中的方格内. 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）某学校组织安全知识竞赛，共设20道分值相同的选择题，每题必答，表中记录了5位参赛选手的竞赛得分情况． 参赛选手 答对题数 答错题数 得分 20 0 100 19 1 94 18 2 88 … … … 10 10 40 (1)从表中你发现：得分规则是什么？ (2)若一选手答对17题，则得________分． (3)用方程知识解答：若某位选手得64分，则他答对了几道题？ (4)参赛选手说他得78分，你认为可能吗？为什么？ 【经典例题十三 古代问题】 【例13】（23-24七年级上·山东东营·期中）有大小两种盛酒的桶，已知个大桶加上个小桶可以盛酒斛（斛，音hú，是古代的一种容量单位），个大桶加上个小桶可以盛酒斛．个大桶、个小桶分别可以盛酒多少斛？ 1．（23-24七年级上·山西运城·期末）程大位是我国明朝商人，珠算发明家，他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法，书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁，意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请你解决这个问题．    2．（23-24七年级上·湖南邵阳·期末）明代数学家程大位所著的《算法统宗》全称《直指算法统宗》，是中国古代数学名著，某数学兴趣小组发现《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多九客，一房九客少七客．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住人，那么有人无房可住；如果每一间客房住人，那么就有一间房少人． (1)请列方程组，求出该店有客房多少间？房客多少人？ (2)假设店主李三公将客房进行改造后，共有间客房，每间客房收费钱，且每间客房最多入住人，一次性定客房间以上（含间），房费按八折优惠，若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ 3．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）小颖同学在学习了方程的内容后，用学习方程时积累的经验解决我国古代数学著作《九章算术》中的“燕雀问题”：“五只雀六只燕，共重十六两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问雀燕各几两？”．尝试解决：      (1)用表格梳理出数量关系如下： 每只重量（两） 数量（只） 总重量（两） 雀 5 燕 6 相互关系 互换1只一样重 共16 每只重量只数总重量． (2)设未知数，并用含有未知数的代数式表示其他量； (3)列方程(组)： 从表格中她发现有4个未知量，分别是：雀、燕每只的重量；5只雀、6只燕的重量． ①尝试设一个未知数解决． 如果设每只雀重量x两，则5只雀的总重量为_____两，6只燕的总重量为_____两，每只燕的重量为_____两，连接已知量和未知量的相等关系是“互换1只一样重”，于是列方程为_____．同样也可设5只雀的总重量(略)； ②尝试设两个未知数解决， 如果设每只雀重量为x两，每只燕重量为y两，连接已知量和未知量的相等关系是“五只雀六只燕，共重十六两”、“互换1只一样重”可列方程组为 ，同样也可设5只雀、6只燕的总重量(略)； 反思提炼： 经过上面的几个步骤可以将实际问题变成一个方程问题，这种思想方法在数学中通常称为数学建模．从以上探究可以看出，对于“燕雀问题”列一元一次方程解决比较复杂，因此_______是解决含有多个未知数问题的重要工具． 【经典例题十四 其他问题】 【例14】（23-24七年级上·全国·单元测试）某校六（2）班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元．捐款情况如下表： 捐款（元） 1 2 3 4 人   数 6 7 表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚．请求出捐款2元和捐款3元的同学各有几名？   1．（24-25七年级上·山东济南·期中）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建，两种光伏车棚．已知修建个种光伏车棚和个种光伏车棚共需投资万元，修建个种光伏车棚和个种光伏车棚共需投资万元． (1)求修建每个种、种光伏车棚分别需投资多少万元？ (2)若该社区拟修建个种光伏车棚和个种光伏车棚，当总投资金额为万元时，求的最大值． 2．（2024·广东·模拟预测）（综合与实践）如图，某综合实践小组在课后利用小球和水做实验，根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)放入一个小球水面升高 ，放入一个大球水面升高 ； (2)如果放入10个球且使水面恰好上升到，应放入大球、小球各多少个？ 3．（24-25七年级上·河南南阳·期中）【概念学习】在数轴上，若将表示数的点记为，我们把到点距离相等的两个不同点和，称为基准的对称点． 例如，下图中，点表示数，点表示数，它们与表示数的点的距离都是个单位长度，点与点互为基准的对称点． (1)已知点表示数，点表示数，点与点互为基准的对称点． ①如果， 则 ②如果点与点之间有个单位长度，求和的值， (2)若点与点互为基准的对称点，点表示数，点表示数，对点进行如下操作：现将点沿着数轴向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度可得到点，求点表示的数． 1．（23-24七年级上·全国·期末）某班有 49 名学生， 一天， 该班一男生因事请假， 当天的男生人数恰好为女生人数的一半 ． 设该班有男生人， 女生人， 则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·湖南益阳·期末）如图，规定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数、对于，，，的取值，三人的说法如下． 甲；若，则；乙：若，则；丙：的值一定是2． 下列判断正确的是（    ） A．只有甲、乙对 B．只有乙、丙对 C．只有甲、丙对 D．甲、乙、丙都对 3．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）将一个大正方形和四个完全相同的小正方形按图①，②两种方式摆放，则图②中阴影部分的面积（用的代数式表示）是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·云南昆明·开学考试）如图，两只猫在同一桌子附近玩，根据图中的数据，桌子的高度是（ ）．    A．100 B．110 C．120 D．125 5．（24-25七年级上·全国·期末）在的方格中填数，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，若填在图中的数字如图，则，的值是（      ） 3 2 A．， B．， C．， D．， 6．（24-25七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且．若，则点A表示的数为 ． 7．（2024七年级上·四川成都·专题练习）甲、乙两人从两地同时出发相向而行，甲每分钟走52米，乙每分钟走70米，在A点相遇；如果甲先走4分钟，然后甲的速度仍为每分钟52米，乙的速度变为每分钟90米，恰好还在A点相遇，则两地相距 米． 8．（23-24七年级上·河南周口·期中）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．如图所示是一个未完成的幻方，则 ． 9．（23-24七年级上·全国·单元测试）用块相同的长方形地砖拼成一块矩形地面，地砖的拼放方式及相关数据如图所示，则每块地砖的长为 ，宽为 ． 10．（2024七年级上·全国·专题练习）某服装店用6000元购进A，B两种新款服装，按标价售出后获得毛利润为3800元（毛利润标价进价）．这两种服装的进价、标价如下表所示，则这两种服装共购进 件． A B 进价/（元/件） 60 100 标价/（元/件） 100 160 11．（24-25七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）某县第四中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A型、B型两种型号的放大镜．若购买8个A型放大镜和5个B型放大镜需用220元；若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用152元．购买10个A型放大镜和15个B型放大镜共需多少钱？ 12．（23-24七年级上·天津南开·期末）用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货17吨；用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货18吨，某物流公司现有34吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金220元/次，那么A型车租 辆最省钱，并且此时租车费为 元． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按纽，温水和开水共用一个出水口，调水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为，整个接水的过程不计热量损失． 阅读并结合以上信息解决下列问题： (1)甲同学要接一杯的水，如果他先接开水，则再接温水的时间为______s； (2)乙同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的总时长是，求乙同学分别接温水和开水所用的时间； 14．（23-24七年级上·江苏南通·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车制造商开发了一款新能源汽车，计划一年生产安装360辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成安装任务，工厂决定招聘部分新工人，他们经过培训后也能独立进行新能源汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和3名新工人每月可安装12辆新能源汽车；2名熟练工和5名新工人每月可以安装22辆新能源汽车． (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆新能源汽车？ (2)如果工厂招聘n（）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)在（2）的条件下，工厂给安装新能源汽车的每名熟练工人每月发放4000元的工资，给每名新工人每月发2400元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能少？ 15．（23-24七年级上·吉林·期末）【阅读感悟】 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)某旅行团组织游客乘船夜游松花江，要购买一些船票，若买4张过江船票，2张观光船票共需72元；买7张过江船票，3张观光船票共需111元，则购买15张过江船票，7张观光船票共需多少元？ (3)对于实数，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求______． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 用二元一次方程组解决问题重难点题型专训（14大题型+15道拓展培优） 题型一 根据实际问题列二元一次方程组 题型二 根据几何图形列二元一次方程组 题型三 方案问题 题型四 行程问题 题型五 工程问题 题型六 数字问题 题型七 年龄问题 题型八 分配问题 题型九 销售、利润问题 题型十 和差倍分问题 题型十一 几何问题 题型十二 图表信息题 题型十三 古代问题 题型十四 其他问题 知识点、二元一次方程组的应用 （一）、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）、设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 【经典例题一 根据实际问题列二元一次方程组】 【例1】（23-24七年级上·内蒙古兴安盟·期中）甲乙两车间各有工人若干名，若从甲车间调100人给乙车间，则甲车间人数是乙车间人数的六分之一，若从乙车间调100人给甲车间，则甲车间人数与乙车间人数相同．甲乙两车间原有工人多少名? 【答案】甲车间原有名工人，则乙车间原有人 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键．设甲车间原有名工人，则乙车间原有人，根据题意列出方程解题即可． 【详解】解：设甲车间原有名工人，则乙车间原有人， 由题意得：， 解得， 答：甲车间原有名工人，则乙车间原有人． 1．（2024·陕西咸阳·三模）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值为4时，根据程序计算，输出的结果为5；当输入的值为3时，根据程序计算，输出的结果为7，请你计算该程序框图中的值． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法．根据程序流程，列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：根据题意得 解得 的值分别为． 2．（23-24七年级上·湖南株洲·期末）在《二元一次方程组》这一章的复习课上，王老师出了一个实际应用问题让同学们进行探究：在某地“乡村振兴”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为某村庄修建条335米长的公路，甲队每天修建20米，乙队每天修建25米，一共用15天完成． (1)小红同学根据题意，列出了一个方程组，请写出小红所列方程组中未知数表示的意义：x表示 ，y表示 ； (2)小芳同学的思路是设甲工程队一共修建了x米公路，乙工程队一共修建了y米公路．请你按照小芳的思路列出方程组，并求出甲、乙队各修建了多少米？ 【答案】(1)甲队修路的天数；乙队修路的天数； (2)甲队修建了160米，修建了8天．乙队修建了175米，修建了7天． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，利用方程的思想解答． （1）根据题意和小红同学列出的方程组可以解答本题； （2）利用小芳的思路列出的方程组为，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：根据方程组中第二个方程可得是与甲队每天修建的长度相乘，是与乙队每天修建的长度相乘，这样可得出、分别是甲、乙两队各自修路的天数，从而得到； ∴x表示：甲队修路的天数；y表示：乙队修路的天数； （2）解：设甲工程队一共修建了x米公路，乙工程队一共修建了y米公路， ∴方程组为：， 由①得，③， 将③式代入②式得，， 解得，， ∴， ∴方程组的解为， 所以，甲队修建了160米，修建了8天．乙队修建了175米，修建了7天． 答：甲队修建了160米，修建了8天．乙队修建了175米，修建了7天． 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）根据题意列二元一次方程组： (1)两批货物，第一批360吨，用5节火车皮和12辆汽车正好装完；第二批500吨，用7节火车皮和16辆汽车正好装完．每节火车皮和每辆汽车平均各装货物多少吨？ (2)某校课外小组的学生准备外出活动；若每组7人，则余下3人；若每组8人，则有一组只有3人；求这个课外小组分成几组？共有多少人？ (3)明明到邮局买0.8元与2元的邮票共13枚，共花去20元钱，问明明两种邮票各买了多少枚？ (4)将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放4只，则有一鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用； （1）等量关系式：节火车皮所装货物辆汽车所装货物吨，节火车皮所装货物辆汽车所装货物吨，据此列出方程组，即可求解； （2）等量关系式：所有人数分组为每组7人的人数人，所有人数分组为每组人的人数人，据此列出方程组，即可求解； （3）等量关系式：买0.8元的邮票枚数买2元的邮票枚数枚，买0.8元的邮票费用买2元的邮票的费用元，据此列出方程组，即可求解； （4）等量关系式：鸡的总数每个笼中放4只的数量只，鸡的总数每个笼中放只的数量，据此列出方程组，即可求解； 找出等量关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：每节火车皮平均装货物吨，每辆汽车平均装货物吨，由题意得 ； （2）解：设这个课外小组共有人，分成组，由题意得 ； （3）解：设0.8元邮票买了枚，买2元的邮票买了枚，由题意得 ； （4）解：设有只鸡，个笼，由题意得 ． 【经典例题二 根据几何图形列二元一次方程组】 【例2】（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）如图，在长方形中，放入个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示.    (1)小长方形的长和宽各是多少？ (2)求阴影部分的面积. 【答案】(1)小长方形的长为，宽为； (2)． 【分析】（）设小长方形的长为，宽为，观察图形即可列出关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值， （）根据阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】（1）设小长方形的长为，宽为， 根据图形可知：， 解得：， 答：小长方形的长为，宽为； （2）由（）得：小长方形的长为，宽为， ∴长方形的宽为， 则阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积， ， ， 答：阴影部分的面积为． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，观察图形列出关于、的二元一次方程组是解题的关键． 1．（23-24七年级上·湖南岳阳·阶段练习）小明在拼图时发现个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（1），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形．请问每个小长方形的面积是多少？ 【答案】 【分析】设每个小长方形的长是，宽是，根据图形给出的信息可知，长方形的个宽与其个长相等，个长加的和等于两个宽的和，于是得方程组，解出即可． 【详解】解：设小长方形的长是，宽是， 由图（1），得， 由图（2），得， 所以， 解得， 小正方形的长为，宽为， 小长方形的面积为， 答：每个小长方形的面积是． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时根据矩形和正方形的长与宽的关系建立方程组是关键． 2．（23-24七年级上·山东青岛·期末）如图，在长为，宽为的长方形空地中，沿平行于长方形各边的方向分割出三个全等的小长方形花圃，其分割图如图所示．求三个小长方形花圃的总面积． 【答案】三个小长方形花圃的总面积为24m2 【分析】设小长方形花圃的长为 xm ，小长方形花圃的宽为 ym ，根据大长方形的长与宽的长度即可得出关于 x 、 y 的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设小长方形花圃的长为 xm ，小长方形花圃的宽为 ym ，根据题意得： ， 解得： ， ∴小长方形花圃的长为 4m ，小长方形花圃的宽为 2m ， 三个小长方形花圃的总面积为：3×（4×2）=24m2， 答：三个小长方形花圃的总面积为24m2. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据大长方形长与宽的长度列出关于 x 、 y 的二元一次方程组是解题的关键． 3．（23-24七年级上·福建南平·期末）如图1，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形． (1)若，分别求S1，S2的面积； (2)若将图1的阴影部分沿虚线剪开，重新拼成图2的长方形，且长为，宽为，求S1∶S2的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组以及列代数式求值，正确表示出阴影部分的面积是解题关键． （1）根据、即可求解； （2）由题意得，求出即可． 【详解】（1）解：由题意得：， （2）解：由题意得：， ∴ 由（1）得， ∴ 【经典例题三 方案问题】 【例3】（24-25七年级上·海南·期中）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得80万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ 【答案】该企业甲类生产线有20条，则乙类生产线各有10条 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． 设该企业甲类生产线有x条，则乙类生产线各有y条，再利用更新完这条生产线的设备，该企业可获得80万元的补贴，建立方程求解即可． 【详解】解：设该企业甲类生产线有x条，则乙类生产线各有y条，则 ，解得：， 答：该企业甲类生产线有20条，则乙类生产线各有10条． 1．（23-24七年级上·山东聊城·开学考试）市场淡季，为促进空调销售量，某商场进行优惠活动，已知购买台型空调和台型空调需要元；购买台型空调和台型空调需要元． (1)分别求出两种空调单价多少元； (2)某单位需要购买型空调台，型空调台，现商家推出活动，优惠一：型空调满台打折；优惠二：总购物金额满元减元（两种优惠不同时享受），问该单位如何购买更划算． 【答案】(1)型空调单价为元，型空调单价为元； (2)选择优惠一购买更划算． 【分析】（）设型空调单价为元，型空调单价为元，根据题意列出二元一次方程组即可求解； （）分别算出选择优惠一和优惠二购买所需费用，比较即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：设型空调单价为元，型空调单价为元， 由题意得，， 解得， 答：型空调单价为元，型空调单价为元； （2）解：选择优惠一所需费用为元； 选择优惠二所需费用为元； ∵， ∴选择优惠一购买更划算． 2．（23-24七年级上·内蒙古赤峰·期末）赤峰市正在打造生态文化旅游，某公司向旅游景点捐资购买了一批物资120吨，计划运往景区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示（假设每辆车均满载）． 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 400 500 600 (1)全部物资可用乙型车5辆，丙型车4辆，还需甲型车多少辆来运送？ (2)若全部物资都用甲、丙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、丙两种车型各几辆？ (3)若公司决定用甲、乙、丙三种车共16辆同时均参与运送，你有哪几种安排方案刚好运完？哪种方案运费最省？ 【答案】(1)8辆 (2)10辆甲型车，7辆丙型车 (3)2种安排方案（方案一：6辆甲型车，5辆乙型车，5辆丙型车；方案二：4辆甲型车，10辆乙型车，2辆丙型车）；方案二运费最省 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数的混合运算，以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）需甲型车的数量（物资的总质量—每辆乙型车的运载量使用乙型车的数量—每辆丙型车的运载量使用丙型车的数量）每辆甲型车的运载量，即可求出答案； （2）设需要辆甲型车，辆丙型车，根据“全部物资都用甲、丙两种车型来运送，需运费8200元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出答案； （3）设使用辆甲型车，辆乙型车，则用辆丙型车，根据公司使用的16辆车的总运载量为120吨，可列出关于，的二元一次方程，结合，，均为正整数，即可得出各运输方案，再求出各方案所需运费，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得： （辆） 还需要8辆甲型车来运送； （2）解：设需要辆甲型车，辆丙型车， 根据题意得：， 解得：， 需要10辆甲型车，7辆丙型车来运送； （3）解：设使用辆甲型车，辆乙型车，则用辆丙型车， 根据题意得：， ， 又，，均为正整数， 或， 共有2种运输方案， 方案1：使用6辆甲型车，5辆乙型车，5辆丙型车，所需运费为 （元）； 方案2：使用4辆甲型车，10辆乙型车，2辆丙型车，所需运费为 （元）； ， 使用4辆甲型车，10辆乙型车，2辆丙型车时，运费最省， 共有2种安排方案（方案一：6辆甲型车，5辆乙型车，5辆丙型车；方案二：4辆甲型车，10辆乙型车，2辆丙型车）；方案二运费最省． 3．（23-24七年级上·湖南岳阳·期中）根据以下素材，探索解答任务一，任务二． 如何设计板材裁切方案？ 素材1 图1是湘一南湖学校的学生座椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．图2是靠背与座垫的尺寸示意图    素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定剪裁方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法． 方法一：裁切靠背16张和座垫0张． 方法二：裁切靠背________张和坐垫________张． 方法三：裁切靠背________张和坐垫________张． 任务二 解决实际问题 工厂目前已有裁切好的12张靠背板材和4张坐垫板材，经商议，现需新购买一批该型号板材，其中一部分按照方案二裁剪，另一部分按照方案三裁剪，一共制作700张学生座椅，请问：需要购买该型号板材共多少张？（恰好全部用完） 【答案】任务一：8，3；0，6；任务二：需要购买该型号板材159张，用其中86张板材裁切靠背8张和坐垫3张，用73张板材裁切靠背0张和坐垫6张． 【分析】本题主要考查了二元一次方程或二元一次方程组的应用． 任务一：设一张该板材裁切靠背张，坐垫张，根据每张靠背宽，每张坐垫宽，每张板材长，列二元一次方程，根据m、n都是自然数，赋值解答即可； 任务二：设用张板材，每张裁切靠背8张和坐垫3张；用张板材，每张裁切靠背0张和坐垫6张．根据现有4张座垫和12张靠背，列二元一次方程组解答． 【详解】解：任务一：设一张该板材裁切靠背m张，坐垫n张， ， ∴， ∵m，n为非负整数， ∴或或， 方法二：裁切靠背8张和坐垫3张； 方法三：裁切靠背0张和坐垫6张； 故答案为：8，3；0，6； 任务二：设用x张板材裁切靠背8张和坐垫3张，用y张板材裁切靠背0张和坐垫6张， ， 解得： （张）， ∴需要购买该型号板材159张，用其中86张板材裁切靠背8张和坐垫3张，用73张板材裁切靠背0张和坐垫6张． 【经典例题四 行程问题】 【例4】（24-25七年级上·四川成都·开学考试）如图，有一条三角形的环路，A至B 段是上坡路，B至C段是下坡路，A至C段是平路，A至B、B至C、C至A三段距离的比是，小琼和小芳同时从A出发，小琼按顺时针方向行走，小芳按逆时针方向行走，2个半小时后在上的D 点相遇，已知两人上坡速度是4千米/小时，下坡速度是6千米/小时，在平路上的速度是5千米/小时．问C至D段是多少千米？ 【答案】2千米 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设，根据时间路程速度，结合2个半小时后在上的D 点相遇，列出方程组求解即可． 【详解】解：设， 由题意得， 解得， 答：的实际距离为2千米 1．（23-24七年级上·广西来宾·期中）某市的出租车是这样收费的：起步价所包含路程为，超过的部分按每另行收费．小刘说：“我乘出租车从家到汽车站走了，付车费元．”小李说：“我从我家乘出租车到汽车站走了，付车费元．” (1)出租车的起步价是多少元？超过公里后每收费多少元？ (2)小明乘出租车从学校到汽车站走了，应付车费多少元？ 【答案】(1)起步价为3元，超过3千米后每千米1.5元 (2)付费11.25元 【分析】（1）设出租车的起步价是x元，超过3千米后每千米收费y元．根据他们的对话列出方程组并解答； （2）8.5千米分两段收费：3千米、千米．根据（1）中的单价进行计算． 本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键． 【详解】（1）解：设出租车的起步价是元，超过千米后每千米收费元． 依题意得，， 解得． 答：出租车的起步价是元，超过千米后每千米收费元； （2）解：（元）． 答：小明乘出租车从学校到汽车站走了，应付车费元． 2．（23-24七年级上·全国·单元测试）青藏铁路全线有一座大桥—拉萨河大桥全长920多米，其中主桥长800米，小明在去年暑假乘次列车从北京到拉萨游玩，小明为了探究次列车的长度与速度，记录了以下两个数据： （1）火车完全在主桥上的时间为35秒． （2）火车上主桥到完全通过主桥用了45秒． 知道这两个数据后，小明就会算出了次列车的长度与速度吗？ 【答案】次列车的长度为，速度为． 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键． 直接利用火车完全在主桥上的时间为35秒，火车上主桥到完全通过主桥用了45秒，主桥长800米，分别得出等式组成方程组，求出答案． 【详解】解：设次列车的长度为，速度为根据题意可得： ， 解得： 答：次列车的长度为，速度为． 3．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）某城市自行车赛线路为从起点出发，先骑行一段缓下坡路，再骑行一段平路到达折返点，然后从折返点沿原路线返回起点（起点即终点）．假定某运动员A在平路上骑行的速度始终是25千米/小时，下坡的骑行速度始终是30千米/小时，上坡的骑行速度始终是20千米/小时，已知该运动员从起点到折返点用时46分钟，从折返点回到起点用时51分钟． (1)求比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是多少千米？ (2)某参赛运动员B骑行时，下坡的速度是上坡速度的2倍，且从起点到折返点的用时比从折返点到终点少用10分钟，求该运动员B骑行时的上坡速度是多少千米/小时？ 【答案】(1)比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是5千米、15千米 (2)该运动员B骑行时的上坡速度是15千米/小时 【分析】（1）设比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是x千米、y千米，利用“从起点到折返点用时46分钟，从折返点回到起点用时51分钟”完成求解即可； （2）该运动员B骑行时的上坡速度是a千米/小时，根据“从起点到折返点的用时比从折返点到终点少用10分钟”列方程求解即可． 【详解】（1）设比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是x千米、y千米． 根据题意，得：， 解这个方程组，得， 答：比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是5千米、15千米； （2）该运动员B骑行时的上坡速度是a千米/小时． 根据题意，得：， 解这个方程，得， 经检验，是原方程的解， 答：该运动员B骑行时的上坡速度是15千米/小时． 【点睛】本题考查二元一次方程组和分式方程的应用，找准等量关系是解题的关键． 【经典例题五 工程问题】 【例5】（23-24七年级上·山东聊城·期末）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元． (1)求甲、乙装修组工作一天，商店各需支付多少元费用？ (2)若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店经营？说明理由． 【答案】(1)甲组工作一天商店应支付300元，乙组工作一天商店应支付140元 (2)安排甲乙合作施工更有利于商店经营，理由见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元，根据甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，列出方程组，解方程组即可； （2）分别求出三种情况下的费用，然后进行比较得出答案即可． 【详解】（1）解：设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元， 依题意得：， 解得：， 所以，甲组工作一天商店应支付300元，乙组工作一天商店应支付140元． （2）解：设甲、乙装修组的工作效率分别为m，n， 由题意得， 解得：， 所以，甲单独完成需要12天，乙单独完成需要24天． 选择①所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为：（元）； 选择②所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为：（元）； 选择③所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为：（元）． 因为，所以，安排甲乙合作施工更有利于商店经营． 1．（23-24七年级上·四川泸州·期中）制造某种产品，1人用机器，3人靠手工，每天可制造60件；2人用机器，2人靠手工，每天可制造80件．3人用机器，1人靠手工，每天可制造多少件产品？ 【答案】3人用机器，1人靠手工，每天可制造100件产品 【分析】设利用机器每人每天可制造件产品，手工每人每天可制造件产品，根据“1人用机器，3人靠手工，每天可制造60件；2人用机器，2人靠手工，每天可制造80件”列出二元一次方程组，解方程即可得到答案． 【详解】解：设利用机器每人每天可制造件产品，手工每人每天可制造件产品， 根据题意得， ， 解得：， 3人用机器，1人靠手工，每天可制造的产品件数为：（件）， 答：3人用机器，1人靠手工，每天可制造100件产品． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 2．（23-24七年级上·河北承德·期末）某县在创建省级卫生文明县城中，对县城内的河道进行整治．现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天， (1)小明、小华两位同学提出解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意， 小华同学：设整治任务完成后，m表示__________，n表示__________； 得 请补全括号及横线部分的内容． (2)求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程） 【答案】(1) ，，甲工程队工作的时间，乙工程队工作的时间； (2)甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米．根据甲、乙两队共完成120米的整治河道任务且共同时20天，即可得出关于，的二元一次方程组；小华同学：根据小华同学所列的方程组，找出，表示的意义； （2）任选一位同学的思路，解方程组即可得出结论． 【详解】（1）小明同学： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 根据题意，得； 小华同学： 设整治任务完成后，表示甲工程队工作的时间，表示乙工程队工作的时间． 根据题意，得：． 故答案为： ，，甲工程队工作的时间，乙工程队工作的时间； （2）小明同学： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 根据题意，得， 解之，得． 答：甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 小华同学： 设整治任务完成后，甲工程队工作了天，乙工程队工作了天， 根据题意，得， 解之，得， ，． 答：甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 3．（23-24七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）古运河是扬州的母亲河．为打造古运河风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由A、B两工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天． (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 甲：；乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x、y表示的意义，然后在括号内补全甲、乙两名同学所列的方程组： 甲：x表示______，y表示_______； 乙：x表示______，y表示______． (2)求A、B两工程队分别整治河道多少米．（写出完整的解答过程） 【答案】(1)补全方程组见解析；A工程队用的时间，B工程队用的时间；A工程队整治河道的米数，B工程队整治河道的米数； (2)A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米． 【分析】此题主要考查二元一次方程组的应用． （1）此题蕴含两个基本数量关系：A工程队用的时间工程队用的时间天，A工程队整治河道的米数工程队整治河道的米数，由此进行解答即可； （2）选择其中一个方程组解答解决问题． 【详解】（1）解：甲同学：设A工程队用的时间为x天，B工程队用的时间为y天，由此列出的方程组为 ； 乙同学：A工程队整治河道的米数为x，B工程队整治河道的米数为y，由此列出的方程组为 ； 故答案为：A工程队用的时间，B工程队用的时间；A工程队整治河道的米数，B工程队整治河道的米数； （2）解：选甲同学所列方程组解答如下： ， 得， 解得， 把代入①得， 所以方程组的解为， A工程队整治河道的米数为：， B工程队整治河道的米数为：； 答：A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米． 选乙同学所列方程组解答如下： 由题意可得， 解得， 答：A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米． 【经典例题六 数字问题】 【例6】（23-24七年级上·全国·课后作业）有甲、乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188，求甲、乙这两个数． 【答案】甲数是24，乙数是12 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设甲数为x，乙数为y，然后根据把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188列出方程组求解即可． 【详解】解：设甲数为x，乙数为y， 根据题意，得 解得 答：甲数是24，乙数是12． 1．（23-24七年级上·江西南昌·期末）《最强大脑》节目中，有很多具有挑战性的比赛项目，其中《幻圆》这个项目充分体现了数学的魅力．如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等．求图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字．    【答案】外圆和内圆空白处数字依次为2和9 【分析】设图中两空白圆圈内左边的数为x，右边的数为y，由题意：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设外圆空白处的数字为x，内圆空白处的数字为y， 则，整理得：             解得 答：外圆和内圆空白处数字依次为2和9． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键． 2．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻方．图2、图3、图4分别是未完成的幻方． 4 9 2 3 5 7 8 1 6 图1 0 2 a 图2 m 8 20 16 n 图3 图4 (1)如图2，将、、、、0、1、2、3、4这9个数填入图2的幻方中，其中、0、2已填入，则a的值是______． (2)如图3，则______． (3)如图4，直接写出图中y的值是______． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）设每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和为t，分别用含有t的式子表示每一空格的数，再根据第三行的和等于第二行的和列方程求解即可； （2）由每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，表示出最中间的数和最右下角的数，列出二元一次方程组求得m、n的值，即可求解； （3）根据第一行的和等于第三列的和可得关于x的一元二次方程，求得x的值，再根据第二行的和与对角线的和相等即可求解． 【详解】（1）解：设每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和为t， 则每一空格如图所示， 0 2 3 a ∴， ∴，， 故答案为：； （2）解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等， ∴最左下角的数为：， ∴最中间的数为：或， ∴最右下角的数为：或， ∴， 解得， ∴， 故答案为：4； （3）解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等， ∴， 整理得，， ∵， 整理得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系列方程是解题的关键． 3．（23-24七年级上·江西抚州·阶段练习）学习概念：由9个数字组成的一个三行三列的矩阵，其每一行、每一列和两条对角线的数字的和都相等，这就是三级幻方，其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数． 探究规律： （1）图1是1~9组成的一个三级幻方，小洁根据图2推出下列四个关系式， ①；②；③；④； 请你用图1中的数验证上述四个式子，其中正确的有______； 应用规律 根据上面的规律，用方程组思想解答下面的问题： （2）如图3，若，求、的值，并把空格中的数填补出来． 【答案】（1）①②③；（2），．表见解析 【分析】本题考查规律型问题，幻方图等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题． （1）根据有理数的运算法则计算即可解决问题． （2）由幻方的性质求得，再根据题意求得，；再根据规律以及，列方程组求解即可． 【详解】解：（1）①，；①正确； ②，；②正确； ③，；③正确； ④，；④不正确； 故答案为：①②③； （2）根据题意得， ， ； ，即， ∵， ∴，解得， ∴． 填表： 4 9 8 11 7 3 6 5 10 【经典例题七 年龄问题】 【例7】（23-24七年级上·山西临汾·期中）根据图中的对话，请聪明的你算出小亮今年的年龄．    【答案】小亮今年的年龄为8岁 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设小亮今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为岁，根据题意列出方程并求解，即可求解． 【详解】解：设小亮今年的年龄为岁，爸爸今年的年龄为岁 由题意可得： 解得： 答：小亮今年的年龄为8岁． 1．（2024·安徽芜湖·一模）已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，求甲、乙现在的年龄的差． 【答案】5岁． 【分析】假设甲、乙现在的年龄分别是x岁和y岁，利用年龄差不变可以列出等式构造二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：假设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，由题意可得： 即由此可得：， ∴，即甲比乙大5岁． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用中的年龄问题，理解年龄差不会随年龄的变化而变化是解本题的关键． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 【答案】大头儿子现在的年龄为10岁 【分析】设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，根据题意列出二元一次方程组解得即可． 【详解】解：设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁， 由题意得：， 解得：， 答：大头儿子现在的年龄为10岁． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组． 3．（23-24七年级上·云南·期中）今年（2024年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 【答案】(1)爸爸36岁，爷爷76岁 (2)爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子 【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可． （2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案． 【详解】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁． ． 解得： 答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁； （2）（年） （年） 小明的爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键． 【经典例题八 分配问题】 【例8】（23-24七年级上·广东汕头·期末）一套仪器由一个A部件和三个B部件构成．用钢材可做40个A部件或240个B部件，现要用钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，恰好配成这种仪器多少套？ 【答案】用钢材制作A部件，制作B部件，恰好配成这种仪器160套 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，读懂题意、设出未知数、找出合适的等量关系、列方程组是解题的关键． 设应用钢材做A部件，钢材做B部件，再根据等量关系“共有钢材”和“一个A部件和三个B部件刚好配成套”列方程组求解即可． 【详解】解：设应用钢材做A部件，钢材做B部件，由题意得， ，解得：， 刚好配成：（套）． 答：应用钢材做A部件，钢材做B部件，刚好配成160套． 1．（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）据资料统计，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：2，现要把一块长200m、宽100m的长方形土地，分成两块小长方形土地，分别种植这两种作物，怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是2：1？请你设计两种不同的种植方案． 【答案】见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．先设计出两种方案图，然后根据甲、乙两种作物的总产量的比是2：1列出方程组，求出方程的解即可． 【详解】解：方案1：如图①，将长方形分割为两个长方形和长方形， 设米，米， 由题意得，，解得 所以，过长方形土地边长上离一端160米处画一条垂线，把这块土地分为两块长方形土地，较大的一块种甲种作物，较小的一块种乙种作物． 方案2：如图②，将长方形分割为两个长方形和长方形， 设米，米，由题意得， ，解得． 所以，过长方形土地边长上离A一端80米处画一条垂线，把这块土地分为两块长方形土地，较大的一块种甲种作物，较小的一块种乙种作物． 2．（23-24七年级上·贵州毕节·期末）运输公司要把120吨物资从A地运往B地，有甲、乙、丙三种车型供选择，每种型号的车辆的运载量和运费如表所示． 车型 甲 乙 丙 运载量（吨/辆） 5 8 10 运费（元/辆） 450 600 700 解答下列问题：（假设每辆车均满载） (1)若全部物资仅用甲、乙型车一次运完，需运费9600元，则甲、乙型车分别需要多少辆？ (2)若用甲、乙、丙型车共14辆同时参与运送，且一次运完全部物资，其中甲型车有2辆，则乙、丙型车分别需要多少辆？此时的总运费是多少？ 【答案】(1)甲、乙型车分别需要8辆、10辆 (2)乙、丙型车分别需要5辆、7辆，此时的总运费为8800元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握建立方程组是解题关键． （1）设需要甲型车a辆，乙型车b辆，根据“120吨物资”和“运费9600元”建立方程组，解方程组即可得； （2）设需要乙型车x辆，丙型车y辆，根据“甲、乙、丙型车共14辆”，“一次运完全部物资”建立关于x，y的方程组，解方程组即可得． 【详解】（1）设甲、乙型车分别需要a辆、b辆． 根据题意，得， 解得， 答：甲、乙型车分别需要8辆、10辆； （2）设乙、丙型车分别需要x辆、y辆， 根据题意得， 解得， 此时总运费为（元）． 答：乙、丙型车分别需要5辆、7辆，此时的总运费为8800元． 3．（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计板材裁切方案？ 素材1 图l中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．圈2是靠背与 座垫的尺寸示意图． 素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材来加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为240cm，宽为50cm．（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法． 方法一：裁切靠背16张和座垫0张． 方法二：裁切靠背______张和座垫______张． 方法三：裁切靠背______张和座垫______张． 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进110张该型号板材，能制作成多少张学生掎？ 任务三 解决实际问题 现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有4张座垫和12张靠背，若将板材采用方法二和方法三裁切，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？ 【答案】任务一：8，3；0，6；任务二：购进110张该型号板材，制作成480张学生椅；任务三：159张 【分析】本题考查二元一次方程（组）的应用，解题的关键是读懂题意，列出二元一次方程和二元一次方程组． 任务一：设一张该板材裁切靠背m张，坐垫n张，可得：，求出非负整数解即可； 任务二：列式计算得能制作成240张学生椅； 任务三：设用x张板材裁切靠背8张和坐垫3张，用y张板材裁切靠背0张和坐垫6张，可得，解方程组可得答案． 【详解】解：任务一：设一张该板材裁切靠背m张，坐垫n张， ， m，n为非负整数， 或或 故答案为：8，3；0，6； 任务二：∵（张）， ∴购进110张该型号板材，制作成480张学生椅； 任务三：设用x张板材裁切靠背8张和座垫3张，用y张板材裁切靠背0张和座垫6张，， 解得： ∵（张）， ∴需要购买该型号板材159张，用其中86张板材裁切靠背8张和座垫3张，用73张板材裁切靠背0张和座垫6张． 【经典例题九 销售、利润问题】 【例9】（2024七年级上·全国·专题练习）七年级某班的一个综合实践活动小组去两个超市调查去年和今年春节假期期间的销售情况，如下图所示的是调查后小敏与其他两位同学进行交流的情景．根据他们的对话，请你分别求出两个超市今年春节假期期间的销售额． 【答案】A超市今年春节假期期间的销售额为69万元，B超市今年春节假期期间的销售额为99万元 【分析】本题是有关二元一次方程组的应用的题目，解题的关键分析题目的等量关系． 设A超市去年春节期间的销售额为x万元，B超市去年春节期间的销售额为y万元，然后根据今年和去年两超市的销售额之和超市的销售额超市的销售额，列出关于x、y的二元一次方程组，解二元一次方程组即可解题． 【详解】解：设A超市去年春节假期期间的销售额为x万元，B超市去年春节假期期间的销售额为y万元． 由题意，得， 解得：， （万元），（万元）． 答：A超市今年春节假期期间的销售额为69万元，B超市今年春节假期期间的销售额为99万元． 1．（23-24七年级上·陕西榆林·期末）2024年12月18日凌晨，甘肃省积石山发生6.2级地震，牵动全国人民的心！习近平总书记第一时间作出重要指示，要求全力开展搜救，尽最大努力保障人民群众生命财产安全．为了进一步宣传防震减灾科普知识，增强学生应急避险和自救互救能力，某校组织全校学生进行“防震减灾知识测试”，并计划购买两种钢笔用于奖励此次测试成绩优异的同学．已知2支种钢笔的总价格比1支种钢笔的价格多20元，3支种钢笔和2支种钢笔的总价格共135元，求每支种钢笔和每支种钢笔的价格分别为多少元？ 【答案】A种钢笔每支25元，B种钢笔每支30元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，设购进A种钢笔每支m元，购进B种钢笔每支n元，根据“2支A种钢笔的总价格比1支B种钢笔的价格多20元，3支A种钢笔和2支B种钢笔的总价格共135元”列二元一次方程组求解可得，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的相等关系． 【详解】设购进A种钢笔每支m元，购进B种钢笔每支n元， 根据题意，得： ， 解得： ， 答：A种钢笔每支25元，B种钢笔每支30元． 2．（23-24七年级上·四川达州·期末）某电器商场销售进价分别为120元，190元的A．B两种型号的电风扇，如下表所示是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 5 6 2310 第二周 8 9 3540 (1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价； (2)若商场再购进两种型号的电风扇共120台，并且全部销售完；该商场能否实现这两批电风扇的总利润为8240元的目标？若能，请给出相应的采购方案，若不能，请说明理由． 【答案】(1)A型号的电风扇销售单价为150元，B型号的电风扇销售单价为260元 (2)能实现，购进A型号的电风扇4台，购进B型号的116台 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设A种型号的电风扇的销售单价为元，B种型号的电风扇的销售单价为元，根据总价单价数量结合近二周的销售情况统计表，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设再次购进A种型号的电风扇台，B种型号的电风扇台，根据销售120台两种型号的电风扇获得的总利润为8240元，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设A型号的电风扇销售单价为x元，B型号的电风扇销售单价为y元， ， ， 答：A型号的电风扇销售单价为150元，B型号的电风扇销售单价为260元． （2）解：设购进A型号的电风扇m台，购进B型号的n台， ， 解得：， 答：能实现，购进A型号的电风扇4台，购进B型号的116台． 3．（23-24七年级上·浙江温州·期中）甲流爆发后，某校购买一批消毒液．购买人员到超市后了解到以下信息：信息一  乙种消毒液比甲种消毒液每件进价贵5元，甲种消毒液每件可以消毒2个教室或功能室，乙种消毒液每件可以消毒3个教室或功能室．消毒液不宜久存，启封即要用完． 信息二：货物清单部分信息如下： XX超市货物库存货物清单 购进货物 已出售货物 库存货物 进价（元） 件数 售价（元） 件数 件数 甲种消毒液 100 30 85 15 乙种消毒液 100 40 90 10 …… … … … … … 信息三：超市购进甲、乙两种消毒液共计5500元货物，出售175件后，库存货物打折出售，甲种消毒液9折出售，乙种消毒液8.5折出售． 任务1：求出甲、乙两种消毒液每件进价各多少元？ 任务2：计算该超市将第一次购进的甲、乙两种消毒液全部销售完，可获得多少利润？ 任务3：某中学现有45个教室或功能室需要消毒，请在不浪费消毒液前提下为该校设计一种省钱购买消毒液方案，购买甲种消毒液______件，乙种消毒液______件，共需______元． 【答案】任务1：甲种消毒液进价25元/件，乙种消毒液进价30元/件；任务2：超市获得1395元利润；任务3：9，9，549 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算的应用，任务一，设甲种消毒液进价x元/件，乙种消毒液进价y元/件，根据题意列出二元一次方程组，求出x，y的值；任务二：根据销售量×每件利润可得结论；任务三：分类讨论求解即可 【详解】任务1：解：设甲种消毒液进价x元/件，乙种消毒液进价y元/件，根据题意得： ， 解得， 答：甲种消毒液进价25元/件，乙种消毒液进价30元/件． 任务2： 元     答：超市获得1395元利润． 任务3：①甲种消毒液进价9件，乙种消毒液9件，需要549元， ②甲种消毒液进价12件，乙种消毒液7件，需要562元． ③甲种消毒液进价15件，乙种消毒液5件，需要575元． 故答案为：9，9，549 【经典例题十 和差倍分问题】 【例10】（23-24七年级上·重庆长寿·期末）重庆市某足球特色学校在七年级各班男队开展足球单循环比赛，即每个班男队都与其他各班男队比赛一场，再按各队总积分（即该队所有比赛场得分之和）排列名次．记分办法是胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分． (1)比赛中，若七一班男队胜场数的两倍比平场数多1场，总积分为14分，求七一班男队胜了多少场？ (2)已知该校七年级共有16个班，比赛中，若七一班男队的平场数是负场数的整数倍，且总积分为15分，请推算七一班男队最少负了多少场？ 【答案】(1)七一班男队胜了3场 (2)七一班男队最少负了2场． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设七一班男队胜了场，平了场，根据七一班男队胜场数的两倍比平场数多1场，总积分为14分，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）因为该校七年级共有16个班，所以七一班男队共比赛15场，设七一班男队负了场，则平了场，是整数，根据七一班男队的平场数是负场数的整数倍，且总积分为15分，即可得出关于z，k的二元一次方程，求出方程的正整数解即可得出结论． 【详解】（1）解：设七一班男队胜了场，平了场． 依题意得：， 解得：． 答：七一班男队胜了3场． （2）解：∵该校七年级共有16个班， ∴七一班男队共比赛15场， 设七一班男队负了场，则平了场，是整数． 依题意得：，解得：． 因为为整数，所以只能是奇数．即为30的正奇数约数， 所以只可能为1、3、5、15． 当时，，不合题意，舍去； 当时，； 当时，； 当时，． 经比较可知，七一班男队最少负了2场． 1．（23-24七年级上·辽宁抚顺·期末）抚顺市某中学在今年11月份组织七年级学生去抚顺市素质教育基地进行实践活动学习，由胡主任和甲、乙两名同学到客车租赁公司洽谈租车事宜． (1)两同学向公司经理了解租车的价格．公司经理对他们说：“公司有45座和60座两种型号的客车可供租用，60座的客车每辆每天的租金比45座的贵100元．”胡主任说：“我们学校七年级上昨天在这个公司租了2辆60座和5辆45座的客车，一天的租金为1600元，你们能知道45座和60座的客车每辆每天的租金各是多少元吗？”请你求出来． (2)公司经理问：“你们准备怎样租车？”，甲同学说：“我的方案是只租用45座的客车，可是会有一辆客车空出30个座位”；乙同学说“我的方案只租用60座客车，正好坐满且比甲同学的方案少用两辆客车”，你知道七年级共有多少人去素质教育基地进行实践活动吗？ (3)胡主任在一旁听了他们的谈话说：考考你们七年数学学习的情况，“若从省钱角度考虑，还有别的方案吗？”如果是聪明的你，你该如何设计租车方案，请直接写出租车方案． 【答案】(1)45座的客车每辆每天的租金为200元，60座的客车每辆每天的租金为300元； (2)参加拓展训练的一共有240人； (3)租用4辆45座的客车，1辆60座的客车总费用最低 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设45座的客车每辆每天的租金为元，则60座的客车每辆每天的租金为元，根据“租2辆60座和5辆45座的客车，一天的租金为1600元”，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设只租60座的客车需要辆，则只租45座的客车需要辆，根据总人数不变，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出值，进而可求出参加拓展训练的人数； （3）设租45座的客车辆，租60座的客车辆，根据总人数租用45座客车的辆数租用60座客车的辆数，即可得出，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可求出费用更低的租车方案． 【详解】（1）设45座的客车每辆每天的租金为元，则60座的客车每辆每天的租金为元， 依题意，得：， 解得：， ． 答：45座的客车每辆每天的租金为200元，60座的客车每辆每天的租金为300元． （2）解：设只租60座的客车需要辆，则只租45座的客车需要辆， 依题意，得：， 解得：， ，即参加拓展训练的一共有240人． （3）解：设租45座的客车辆，租60座的客车辆， 依题意，得：， ． ，均为正整数， ，． 新方案：租用4辆45座的客车，1辆60座的客车 甲的费用：（元） 乙的费用：（元） 新方案的费用：（元） 租用4辆45座的客车，1辆60座的客车总费用最低． 2．（2024·浙江金华·模拟预测）回力运动鞋专卖店出售A，B，C三种版型的运动鞋，该店某天的销售量（单位：双）记录如下： A B C 合计 上午的销售量 ________ y ________ 20 下午的销售量 x 合计 10 ________ ________ (1)根据表格信息，补全表格中的划线部分（用含x，y的代数式表示）； (2)已知A型鞋上午销售量是B型鞋上午销售量的两倍，且这一天C型鞋的总销售量比A，B型鞋总销售量少6双． ①求x，y的值； ②已知A型鞋的单价是B型鞋单价的2倍，如果A，B，C三种版型的鞋的上午的总销售额为3000元，那么A型鞋的单价可能为______元，（三种鞋的单价均超过100元，不到215元，单价为整数） 【答案】(1)见解析 (2)①；②106元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际运用，理解题目中的数量关系，掌握二元一次方程组的实际运用，求解的方法等知识是解题的关键． （1）根据题意，用代数式表示数量关系即可求解； （2）①根据题意列二元一次方程求解即可；②设型鞋单价为元，型鞋单价为元，则型鞋单价为元，可得，根据三种鞋的单价均超过元，不到元，通过代入合适的数字计算即可求解． 【详解】（1）解：填表如下： 合计 上午的销售量 下午的销售量 合计 故答案为：，，，． （2）解：①依题意有：，解得； ②设型鞋单价为元，型鞋单价为元，则型鞋单价为元，依题意有：，即，则， ∵三种鞋的单价均超过元，不到元， ∴，． ∴型鞋的单价可能为元． 3．（23-24七年级上·山东烟台·期中）小丽购买学习用品的收据如表所示，因收据污损导致部分数据无法识别．根据下表，解决问题： 商品名 单价（元） 数量 金额（元） 签字笔 3 2 6 自动铅笔 1.5 记号笔 4 软皮笔记本 2 9 圆规 3.5 1 合计 8 28 (1)小丽买了自动铅笔、记号笔各几支？ (2)若小丽再次购买软皮笔记本和自动铅笔两种文具，软皮笔记本和自动铅笔都至少购买一件，共花费15元，则有哪几种不同的购买方案？ 【答案】(1)小丽购买了自动铅笔、记号笔分别为1只和2只 (2)有3种不同的购买方案：①自动笔7只，软皮笔记本1本；②自动笔4只，软皮笔记本2本；③自动笔1只，软皮笔记本3本 【分析】此题主要考查了二元一次方程组以及二元一次方程的应用，根据题意结合表格中数据得出正确等量关系是解题关键． （1）设自动铅笔买了x支，记号笔y支，利用总的购买数量为8，进而得出等式，再利用总金额为28元得出等式组成方程组求出答案； （2）根据题意设小丽再次购买了自动铅笔a只和软皮笔记本b本，根据共花费15元得出等式 ，进而得出二元一次方程的解． 【详解】（1）（1）设小丽自动铅笔买了x支，记号笔y支， 因为由表格知：购买圆规花费金额为：（元），购买软皮笔记本花费的金额为：9元， 所以买自动笔和记号笔共花费的金额为：（元），可以列方程如下：          解得： 答：小丽购买了自动铅笔、记号笔分别为1只和2只； （2）解：设小丽再次购买了自动铅笔a只和软皮笔记本b本． 软皮本每本单价：（元）， ∴     化简：      则；； 答：有3种不同的购买方案：①自动笔7只，软皮笔记本1本；②自动笔4只，软皮笔记本2本；③自动笔1只，软皮笔记本3本． 【经典例题十一 几何问题】 【例11】 （23-24七年级上·江西抚州·阶段练习）如图，长方形由7个正方形组成，已知正方形A的边长为，正方形B的边长为，求此长方形的面积．（只能用二元一次方程组解答） 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设正方形的边长分别为，根据长方形的对边相等，列出方程组求出的值，进而求出长方形的长和宽，再利用长方形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：设正方形的边长分别为， 由图可知：，解得：， ∴长方形的长为：，宽为：， ∴长方形的面积为：． 1．（23-24七年级上·重庆北碚·阶段练习）如图是用长方形厚纸片（厚度不计）做长方体茶叶包装盒的示意图，阴影部分是裁剪掉的部分．沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处长方形形状的“接口”用来折叠后粘贴或封盖．用长，宽的长方形厚纸片，恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高等于盒底边长乘2.5，三处“接口”的宽度相等，该茶叶盒的容积是多少？ 【答案】该茶叶盒的容积是 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设长方体纸盒的底面边长为，三处“接口”的宽度为，则长方体纸盒的高为，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 【详解】解：设长方体纸盒的底面边长为，三处“接口”的宽度为，则长方体纸盒的高为， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴该茶叶盒的容积是． 2．（23-24七年级上·浙江金华·开学考试）某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）． (1)如果加工竖式容器与横式容器各1个，那么共需要长方形铁片　　　　张，正方形铁片　　　　张． (2)现有长方形铁片2024张，正方形铁片1178张，如果加工成这两种容器，刚好用完全部铁片，那么加工的竖式容器、横式容器各有多少个？ 【答案】(1)7；3 (2)可加工的竖式容器100个，横式容器539个． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）观察图形，找出加工1个竖式铁容器与横式铁容器所需长方形及正方形铁皮张数，将其相加即可得出结论； （2）设可加工的竖式容器个，横式容器个，根据加工这两种铁容器正好将两种铁皮用完，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】（1）（张，（张． 故答案为：7；3． （2）设可加工的竖式容器个，横式容器个， 依题意，得：， 解得：． 答：可加工的竖式容器100个，横式容器539个． 3．（24-25七年级上·重庆江北·开学考试）某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：） (1)列出方程（组），求出图甲中a与b的值． (2)在试生产阶段，若将m张标准板材用裁法一裁剪，n张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒． ①两种裁法共产生A型板______张，B型板材______张（用m、n的代数式表示）； ②当时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是多少个？ 【答案】(1) (2)①；；②24，27，30 【分析】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组． （1）由图示利用板材的长列出关于、的二元一次方程组求解； （2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数； ②根据横式无盖礼品盒所需要的A、B两种型号板材的张数列出关于m、n的二元一次方程，然后讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 答：图甲中与的值分别为：、； （2）①由图示裁法一产生A型板材为：，裁法二产生A型板材为：， 所以两种裁法共产生A型板材为（张）， 由图示裁法一产生B型板材为：，裁法二产生B型板材为，， 所以两种裁法共产生B型板材为张； 故答案为：；． 由图可知，做一个横式无盖礼品盒需A型板材3张，B型板材2张． ∵所裁得的板材恰好用完， ∴，化简得． ∵n，m皆为整数， ∴m为4的整数倍， 又∵， ∴m可取32，36，40， 此时，n分别为8，9，10，可做成的礼品盒个数分别为24，27，30． 答：做成的横式无盖礼品盒可能是24或27或30个． 【经典例题十二 图表信息题】 【例12】（24-25七年级上·全国·课后作业）下表是八年一班名学生的期末考试数学成绩表（已污损）： 成绩/分 人数 已知该班学生期末考试数学成绩的平均分是分． (1)求该班分和分的人数分别是多少； (2)求该班名学生成绩的中位数． 【答案】(1)人和人 (2)分 【分析】本题考查了平均数的计算，中位数，二元一次方程组的应用． （1）设该班分的人数为，分的人数为，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）根据中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）即可求解． 【详解】（1）解：设该班分的人数为，分的人数为， 根据题意，得， 解得：， 故该班分和分的人数分别为人和人． （2）解：因为该班成绩从小到大排列，第名和第名的成绩都是分，所以该班名学生成绩的中位数为分． 1．（23-24七年级上·浙江金华·期末）某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小慧在某文体用品店购买完毕，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不消楚，如图所示： 请根据发票中现有的信息，帮助小慧复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 【答案】钢笔的数量为10支，金额为150元，笔记本的数量为30本，金额为150元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本，根据数量总和为46，金额综合为900元，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本， 由题意得， 解得， 则（元），（元）， 答：钢笔的数量为10支，金额为150元，笔记本的数量为30本，金额为150元． 2．（23-24七年级上·河北沧州·期末）如图(甲)中，各行、各列及对角线上的三个数之和都相等. 3 2 y       甲           3 2 乙 (1)通过计算求x与y的值； (2)把满足（甲）的其他6个数填入图（乙）中的方格内. 【答案】(1)x与y的值分别为与1 (2)见解析 【分析】解答本题的关键是找出等量关系，列方程组求出、的值，再根据各行、各列及对角线上的三个数之和都相等这个已知条件求解即可． （1）由题意可以知道等量关系：即各行、各列及对角线上的三个数之和都相等．据此列方程组分别求得、的值； （2）根据题意，分别求得方格内的数即可． 【详解】（1）由题意可列方程组 解得． x与y的值分别为与1； （2）由题意可知：图中对角线从上到下的数依次为，，； 设第二行最前面的数位，第三行第一个和第二个数分别为、． 由第一行数的和第二行数的和得：，解得； 由第二列数的和第三列数的和得：，解得； 由第一列数的和第二列数的和得：，解得． 故第一行应填：；第二行依次应填：5，1；第三行依次应填：0，，4． 如图 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）某学校组织安全知识竞赛，共设20道分值相同的选择题，每题必答，表中记录了5位参赛选手的竞赛得分情况． 参赛选手 答对题数 答错题数 得分 20 0 100 19 1 94 18 2 88 … … … 10 10 40 (1)从表中你发现：得分规则是什么？ (2)若一选手答对17题，则得________分． (3)用方程知识解答：若某位选手得64分，则他答对了几道题？ (4)参赛选手说他得78分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)答对1题得5分，答错1题倒扣1分 (2)82 (3)他答对了14道题 (4)参赛选手说他得78分，是不可能的，理由见解析 【分析】（1）由选手可计算出答对一题的得分，由选手可计算出答错一题的扣分； （2）根据（1）中得出的规则进行计算即可； （3）设答对道题，则答错道题，根据题意列出方程，解方程即可得到答案； （4）设答对了道题，答错了道题，根据题意列出方程，求解并进行判断即可． 【详解】（1）解：根据表格中数据分析可得： 答对一题的得分是：（分）， 答错一题的扣分是：（分）， 得分规则是：答对1题得5分，答错1题倒扣1分； （2）解：由（1）得：得分规则是：答对1题得5分，答错1题倒扣1分， 答对17题，得分为：（分）， 故答案为：82； （3）解：设答对道题，则答错道题， 根据题意得： ， 解得：， 答：他答对了14道题； （4）解：不可能， 理由如下： 假设他得78分，设答对了道题，答错了道题， 由题意得： ， 解得， 为整数， 参赛选手说他得78分，是不可能的． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用、一元一次方程的应用，理解题意，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【经典例题十三 古代问题】 【例13】（23-24七年级上·山东东营·期中）有大小两种盛酒的桶，已知个大桶加上个小桶可以盛酒斛（斛，音hú，是古代的一种容量单位），个大桶加上个小桶可以盛酒斛．个大桶、个小桶分别可以盛酒多少斛？ 【答案】个大桶可以盛酒斛，个小桶可以盛酒斛 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．设个大桶可以盛酒斛，个小桶可以盛酒斛，根据题意列出方程组即可求解． 【详解】解：设个大桶可以盛酒斛，个小桶可以盛酒斛， 根据题意可得：， 解得：， 答：个大桶可以盛酒斛，个小桶可以盛酒斛． 1．（23-24七年级上·山西运城·期末）程大位是我国明朝商人，珠算发明家，他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法，书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁，意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请你解决这个问题．    【答案】小和尚有75人，大和尚有25人 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设小和尚有x人，大和尚有y人，由题意：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设小和尚有x人，大和尚有y人， 依题意，得：， 解得：， 答：小和尚有75人，大和尚有25人． 2．（23-24七年级上·湖南邵阳·期末）明代数学家程大位所著的《算法统宗》全称《直指算法统宗》，是中国古代数学名著，某数学兴趣小组发现《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多九客，一房九客少七客．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住人，那么有人无房可住；如果每一间客房住人，那么就有一间房少人． (1)请列方程组，求出该店有客房多少间？房客多少人？ (2)假设店主李三公将客房进行改造后，共有间客房，每间客房收费钱，且每间客房最多入住人，一次性定客房间以上（含间），房费按八折优惠，若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ 【答案】(1)该店有客房间，房客有人； (2)应选择一次性定客房间更合算． 【分析】（）设该店有客房间，房客有人，根据题意，列出二元一次方程组即可求解； （）分别求出每间客房住人，定客房间需付的房费与一次性定客房间需付的房费，比较即可判断求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意，找到等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：设该店有客房间，房客有人， 由题意得，， 解得， 答：该店有客房间，房客有人； （2）解：若每间客房住人，则需要定客房间，需付房费元， 若一次性定客房间，需付房费元， ∵， ∴诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性定客房间更合算． 3．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）小颖同学在学习了方程的内容后，用学习方程时积累的经验解决我国古代数学著作《九章算术》中的“燕雀问题”：“五只雀六只燕，共重十六两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问雀燕各几两？”．尝试解决：      (1)用表格梳理出数量关系如下： 每只重量（两） 数量（只） 总重量（两） 雀 5 燕 6 相互关系 互换1只一样重 共16 每只重量只数总重量． (2)设未知数，并用含有未知数的代数式表示其他量； (3)列方程(组)： 从表格中她发现有4个未知量，分别是：雀、燕每只的重量；5只雀、6只燕的重量． ①尝试设一个未知数解决． 如果设每只雀重量x两，则5只雀的总重量为_____两，6只燕的总重量为_____两，每只燕的重量为_____两，连接已知量和未知量的相等关系是“互换1只一样重”，于是列方程为_____．同样也可设5只雀的总重量(略)； ②尝试设两个未知数解决， 如果设每只雀重量为x两，每只燕重量为y两，连接已知量和未知量的相等关系是“五只雀六只燕，共重十六两”、“互换1只一样重”可列方程组为 ，同样也可设5只雀、6只燕的总重量(略)； 反思提炼： 经过上面的几个步骤可以将实际问题变成一个方程问题，这种思想方法在数学中通常称为数学建模．从以上探究可以看出，对于“燕雀问题”列一元一次方程解决比较复杂，因此_______是解决含有多个未知数问题的重要工具． 【答案】(1)见解析 (2)每只雀重量x两，5只雀的总重量为两，每只燕的重量为两，6只燕的总重量为两（答案不唯一） (3)①，，，；②，方程组 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）每只雀重量x两，根据“5只麻雀和6只燕子一共重16两；4只麻雀和1只燕子的重量等于1只麻雀和5只燕子的重量”，此题得解； （2）根据（1）即可得解； （3）①根据（1）（2）即可得解； ②每只雀重量为x两，每只燕重量为y两，根据“5只麻雀和6只燕子一共重16两；4只麻雀和1只燕子的重量等于1只麻雀和5只燕子的重量”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】（1）解：设每只雀重量x两， 用表格梳理出数量关系如下： 每只重量（两） 数量（只） 总重量（两） 雀 5 燕 6 相互关系 互换1只一样重 共16 （2）设每只雀重量x两，则5只雀的总重量为两，6只燕的总重量为两，每只燕的重量为两， 即：每只雀重量x两，5只雀的总重量为两，每只燕的重量为两，6只燕的总重量为两（答案不唯一）； （3）①设每只雀重量x两，则5只雀的总重量为两，6只燕的总重量为两，每只燕的重量为两，连接已知量和未知量的相等关系是“互换1只一样重”，于是列方程为． 故答案为：，，，； ②设每只雀重量为x两，每只燕重量为y两，连接已知量和未知量的相等关系是“五只雀六只燕，共重十六两”、“互换1只一样重”可列方程组为， 从以上探究可以看出，对于“燕雀问题”列一元一次方程解决比较复杂，因此方程组是解决含有多个未知数问题的重要工具． 故答案为：，方程组． 【经典例题十四 其他问题】 【例14】（23-24七年级上·全国·单元测试）某校六（2）班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元．捐款情况如下表： 捐款（元） 1 2 3 4 人   数 6 7 表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚．请求出捐款2元和捐款3元的同学各有几名？ 【答案】捐款2元的同学有15名，捐款3元的同学有12名 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设捐款元的有x人，捐款元的有人．根据共有名同学，得方程；根据共捐款元，得方程，联立解方程组即可解题． 【详解】解：设捐款2元的同学有名，捐款3元的同学有名，         根据题意，得， 解得 答：捐款2元的同学有15名，捐款3元的同学有12名． 1．（24-25七年级上·山东济南·期中）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建，两种光伏车棚．已知修建个种光伏车棚和个种光伏车棚共需投资万元，修建个种光伏车棚和个种光伏车棚共需投资万元． (1)求修建每个种、种光伏车棚分别需投资多少万元？ (2)若该社区拟修建个种光伏车棚和个种光伏车棚，当总投资金额为万元时，求的最大值． 【答案】(1)每个种光伏车棚需投资万元，每个种光伏车棚需投资万元； (2)的最大值为． 【分析】（）设修建每个种光伏车棚需投资万元，每个种光伏车棚需投资万元，根据题意列出方程组，然后求解即可； （）根据题意得，求出整数解，然后求出最大值即可； 本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的整数解，解题的关键熟练掌握相关知识的应用． 【详解】（1）解：设修建每个种光伏车棚需投资万元，每个种光伏车棚需投资万元， 根据题意，得， 解得， 答：每个种光伏车棚需投资万元，每个种光伏车棚需投资万元； （2）解：根据题意，得， 因为，均为非负整数， 所以或或， 所以的最大值为． 2．（2024·广东·模拟预测）（综合与实践）如图，某综合实践小组在课后利用小球和水做实验，根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)放入一个小球水面升高 ，放入一个大球水面升高 ； (2)如果放入10个球且使水面恰好上升到，应放入大球、小球各多少个？ 【答案】(1)2，3 (2)应放入大球6 个，小球4 个 【分析】本题考查了二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法，解答时理解图的含义是解答本题的关键． （1）水面升高量除以球的个数即可求解； （2）可设应放入大球x个，小球y个，根据要使水面上升到，列出方程组，再求解即可． 【详解】（1）解：， ； 答：放入一个小球水面升高，放入一个大球水面升高； （2）解：设应放入大球x个，小球y个，依题意有 解得：， 答：应放入大球6个，小球4个． 3．（24-25七年级上·河南南阳·期中）【概念学习】在数轴上，若将表示数的点记为，我们把到点距离相等的两个不同点和，称为基准的对称点． 例如，下图中，点表示数，点表示数，它们与表示数的点的距离都是个单位长度，点与点互为基准的对称点． (1)已知点表示数，点表示数，点与点互为基准的对称点． ①如果， 则 ②如果点与点之间有个单位长度，求和的值， (2)若点与点互为基准的对称点，点表示数，点表示数，对点进行如下操作：现将点沿着数轴向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度可得到点，求点表示的数． 【答案】(1)①；②，或， (2) 【分析】本题考查二元一次方程（组）的应用，新定义下的计算， （1）①根据定义得，再将代入即可； ②根据题意得，与构成方程组求解即可； （2）根据题意得，与构成方程组求解即可； 正确理解新定义并利用方程的思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点表示数，点表示数，点与点互为基准的对称点， ∴， ①当时，则， ∴， 故答案为：； ②∵点与点之间有个单位长度， ∴， ∴或， 解得：或， ∴，或，； （2）解：∵点与点互为基准的对称点，点表示数，点表示数， ∴，即， ∵点沿着数轴向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度可得到点， ∴， ∴， 解得：， ∴点表示的数为． 1．（23-24七年级上·全国·期末）某班有 49 名学生， 一天， 该班一男生因事请假， 当天的男生人数恰好为女生人数的一半 ． 设该班有男生人， 女生人， 则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，列方程组解应用题的关键是找准等量关系，同时能够根据等式的性质对方程进行整理变形，从而找到正确答案． 根据等量关系：①该班一男生请假后，男生人数恰为女生人数的一半；②男生人数+女生人数=49，列方程组即可． 【详解】解：根据设该班有男生人， 女生人，则该班一男生请假后，男生人数恰为女生人数的一半，得，即；某班共有学生49人，得． 列方程组为：， 故选：D． 2．（23-24七年级上·湖南益阳·期末）如图，规定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数、对于，，，的取值，三人的说法如下． 甲；若，则；乙：若，则；丙：的值一定是2． 下列判断正确的是（    ） A．只有甲、乙对 B．只有乙、丙对 C．只有甲、丙对 D．甲、乙、丙都对 【答案】D 【分析】此题主要考查了二元一次方程组，整式的加法，先用，表示，的式子，结合，逐一判断即可． 【详解】解：由题意得 ②①得，解得 把 代入①得，解得， 所以， 因为 ， 甲：时，，解得，正确； 乙：则，即，正确； 丙：，正确； 故选：D． 3．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）将一个大正方形和四个完全相同的小正方形按图①，②两种方式摆放，则图②中阴影部分的面积（用的代数式表示）是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据图形，列出方程组，求出，再用分割法求出图②阴影部分的面积即可． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为，由题意，得： ，解得：， ∴图②中阴影部分的面积为； 故选：B． 4．（23-24七年级上·云南昆明·开学考试）如图，两只猫在同一桌子附近玩，根据图中的数据，桌子的高度是（ ）．    A．100 B．110 C．120 D．125 【答案】D 【分析】设出桌子的高度、猫躺着的高度、猫坐着的高度，根据图示列方程组，即可求解． 【详解】解：设桌子的高度为，猫躺着的高度为x，猫坐着的高度为y， 由题意知， 两式相加，得：， 解得， 即桌子的高度是， 故选D． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是设出未知数，正确列出方程组． 5．（24-25七年级上·全国·期末）在的方格中填数，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，若填在图中的数字如图，则，的值是（      ） 3 2 A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是仔细审题，根据题意列出方程组，难度一般．根据每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，可得出方程组，解出即可． 【详解】解：由题意可知， 解得 故选：B． 6．（24-25七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且．若，则点A表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，数轴上两点间的距离，根据数轴上两点间距离公式可得出，然后解方程组即可求解． 【详解】解∶ ∵点A、B分别表示数a、b，， ∴， 解方程组，解得， 故答案为∶． 7．（2024七年级上·四川成都·专题练习）甲、乙两人从两地同时出发相向而行，甲每分钟走52米，乙每分钟走70米，在A点相遇；如果甲先走4分钟，然后甲的速度仍为每分钟52米，乙的速度变为每分钟90米，恰好还在A点相遇，则两地相距 米． 【答案】2196 【分析】设相遇的时间为t分钟，则甲行驶的路程为米；乙行驶的路程为米； 设第二次相遇时间为t，根据题意，得甲行驶的路程为米；乙行驶的路程为米；列方程组，得，解方程组即可． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：设相遇的时间为t分钟，则甲行驶的路程为米；乙行驶的路程为米； 设第二次相遇时间为t，根据题意，得甲行驶的路程为米；乙行驶的路程为米； 根据题意，得， 解得， 故两地路程为米． 故答案为：2196． 8．（23-24七年级上·河南周口·期中）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．如图所示是一个未完成的幻方，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，根据每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，可列出关于x，y的二元一次方程，求出x，y的值即可得出结论． 【详解】解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等． ∴最左下角的数为， ∴最中间的数为，或为； 最右下角的数为：，可为； ∴ 解得， ∴， 故答案为：8． 9．（23-24七年级上·全国·单元测试）用块相同的长方形地砖拼成一块矩形地面，地砖的拼放方式及相关数据如图所示，则每块地砖的长为 ，宽为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，通过理解题意和观察图示可知本题存在两个等量关系，即拼放成的大长方形的长小长方形的长小长方形的宽小长方形的长，拼放成的大长方形的宽小长方形的长小长方形的宽．根据这两个等量关系可列出方程组求解即可． 【详解】解：设每块长方形地砖的长为，宽为， 由题意可得：， 解得：， 则地砖的长为，宽为， 故答案为：，． 10．（2024七年级上·全国·专题练习）某服装店用6000元购进A，B两种新款服装，按标价售出后获得毛利润为3800元（毛利润标价进价）．这两种服装的进价、标价如下表所示，则这两种服装共购进 件． A B 进价/（元/件） 60 100 标价/（元/件） 100 160 【答案】80 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，解此题的关键在于根据题意设出未知数，列出二元一次方程组，然后求解方程组即可． 设A种服装购进x件，B种服装购进y件，根据题意列出关于的二元一次方程组，然后求解即可． 【详解】解：设A种服装购进x件，B种服装购进y件． 由题意，得， 解得． 故A种服装购进50件，B种服装购进30件， 则这两种服装共购进件． 故答案为：80． 11．（24-25七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）某县第四中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A型、B型两种型号的放大镜．若购买8个A型放大镜和5个B型放大镜需用220元；若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用152元．购买10个A型放大镜和15个B型放大镜共需多少钱？ 【答案】380元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列出方程组是解题的关键；由题意知，只要求出每个A型放大镜与每个B型放大镜的价格即可求解；为此设每个A型放大镜x元，每个B型放大镜y元，根据数量关系：购买8个A型放大镜和5个B型放大镜需用220元；购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用152元，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设每个A型放大镜x元，每个B型放大镜y元． 根据题意，得：， 解得， 则（元）； 答：购买10个A型放大镜和15个B型放大镜共需380元． 12．（23-24七年级上·天津南开·期末）用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货17吨；用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货18吨，某物流公司现有34吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金220元/次，那么A型车租 辆最省钱，并且此时租车费为 元． 【答案】(1)1辆A型车装满货物一次可运3吨，1辆B型车装满货物一次可运4吨； (2)2，1940． 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设每辆A型车、B型车都装满货物一次可以分别运货x吨、y吨，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案； （2）结合题意和（1）得，易知 结合a、b都是正整数，可确定 或 或 三种租车方案，分别计算三种租车方案的费用，比较即可获得答案． 【详解】（1）解：设每辆A型车、B型车都装满货物一次可以分别运货x吨、y吨，依题意列方程组得 ， 解得 ∴1辆A型车装满货物一次可运3吨，1辆B型车装满货物一次可运4吨； （2）解：结合题意和（1）得， ∵a、b都是正整数， 或 或 ∴ 有3种租车方案： 方案一：A型车2辆， B型车7辆； 方案二：A型车6辆， B型车4辆； 方案三∶ A型车10辆， B型车1辆； ∵A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金220元/次， ∴方案一需租金： (元)； 方案二需租金： (元)； 方案三需租金： (元)； ∴最省钱的租车方案是方案一： A型车租2辆， B型车租7辆，最少租车费为1940元， 故答案为：2，1940． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按纽，温水和开水共用一个出水口，调水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为，整个接水的过程不计热量损失． 阅读并结合以上信息解决下列问题： (1)甲同学要接一杯的水，如果他先接开水，则再接温水的时间为______s； (2)乙同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的总时长是，求乙同学分别接温水和开水所用的时间； 【答案】(1) (2)乙同学接温水所用的时间为，接开水所用的时间为 【分析】本题考查了一元一次方程、二元一次方程组； （1）设再接温水的时间为秒，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （2）设乙同学接温水的时间为秒，开水所用的时间为秒，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； 【详解】（1）解：设再接温水的时间为秒，依题意得， 解得： 答：再接温水的时间为秒 （2）解：依题意，设乙同学接温水的时间为秒，开水所用的时间为秒，根据题意得， 解得： 答：乙同学接温水所用的时间为，接开水所用的时间为； 14．（23-24七年级上·江苏南通·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车制造商开发了一款新能源汽车，计划一年生产安装360辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成安装任务，工厂决定招聘部分新工人，他们经过培训后也能独立进行新能源汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和3名新工人每月可安装12辆新能源汽车；2名熟练工和5名新工人每月可以安装22辆新能源汽车． (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆新能源汽车？ (2)如果工厂招聘n（）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)在（2）的条件下，工厂给安装新能源汽车的每名熟练工人每月发放4000元的工资，给每名新工人每月发2400元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能少？ 【答案】(1)每名熟练工每月可以安装6辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车 (2)工厂有3种新工人的招聘方案：①新工人9人，熟练工2人；②新工人6人，熟练工3人；③新工人3人，熟练工4人 (3)应招聘6名新工人 【分析】本题主要考查二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键是要能够理解题意，正确找到等量关系和不等关系，熟练解方程组和根据条件分析不等式中未知数的值． （1）设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车．根据“1名熟练工和3名新工人每月可安装12辆新能源汽车”和“2名熟练工和5名新工人每月可以安装22辆新能源汽车”列方程组求解． （2）设工厂有名熟练工．根据新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，根据，都是正整数和，进行分析的值的情况； （3）根据总费用熟练工人的费用新工人的费用列出代数式，分别代入（2）中方案，计算比较即可得出结论． 【详解】（1）解：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车． 根据题意得：， 解得：． 答：每名熟练工每月可以安装6辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车． （2）解：设工厂有名熟练工． 根据题意，得， ， ， 又，都是正整数，， 所以，6，3． 即工厂有3种新工人的招聘方案： ①，，即新工人9人，熟练工2人； ②，，即新工人6人，熟练工3人； ③，，即新工人3人，熟练工4人． （3）解：由（2）新工人的招聘方案：要使新工人的数量多于熟练工，则，或，； 根据题意得：． 当时，（元） 当时，（元） ， 当，时，即工厂应招聘6名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额（元）尽可能少． 15．（23-24七年级上·吉林·期末）【阅读感悟】 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)某旅行团组织游客乘船夜游松花江，要购买一些船票，若买4张过江船票，2张观光船票共需72元；买7张过江船票，3张观光船票共需111元，则购买15张过江船票，7张观光船票共需多少元？ (3)对于实数，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求______． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及整体思想的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）分别①②，①②即可求出； （2）设一张过江船票为元，一张观光船票为元，根据题意列出方程组即可得到答案； （3）根据题意列出三元一次方程组，计算即可． 【详解】（1）解：， ①②：， 解得； ①②：， 解得， 故； （2）解：设一张过江船票为元，一张观光船票为元， 依题意得：， 则购买15张过江船票，7张观光船票即为， ，得：， 解得， 故购买15张过江船票，7张观光船票共需元； （3）解：由题意得：①， ②， ， 可得， 解得． 故 学科网（北京）股份有限公司 $$