专题05 解二元一次方程组重难点题型专训（14大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（湘教版2024）

专题05 解二元一次方程组重难点题型专训（14大题型+15道拓展培优） 题型一 二元一次方程的定义 题型二 判断是否是二元一次方程组 题型三 二元一次方程的解 题型四 判断是否是二元一次方程组的解 题型五 已知二元一次方程组的解求参数 题型六 代入消元法与加减消元法1 题型七 代入消元法与加减消元法2 题型八 二元一次方程组的特殊解法 题型九 二元一次方程组的错解复原问题 题型十 构造二元一次方程组求解 题型十一 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型十二 同解方程组 题型十三 解三元一次方程组 题型十四 三元一次方程组的应用 【知识点1 二元一次方程（组）的概念】 1、二元一次方程 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。 2、二元一次方程组 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 【知识点2 二元一次方程（组）的解】 1、 二元一次方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 2、 二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 【知识点3 二元一次方程组的解法】 1.代入消元法 ①变：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来； ②代：将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④再代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值； ⑤联：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 2.加减消元法 ①化、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等； ②加减、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； ④代、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值， ⑤联、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 【知识点4：三元一次方程（组）的概念与解法】 三元一次方程组就是含有三个未知数，并且含有的未知数的项都是1次的整式方程。 一般地，由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。 解法： （1）三元一次方程组与二元一次方程组同属于一次方程组，解二元一次方程组基本思想是消元，通过代入法或加减法使二元化成一元，未知转化为已知，受它的启发，解三元一次方程组也通过代入或加减消元，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题。 （2）三元一次方程组解题的基本步骤： ①利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。 ②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值； ③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。 【经典例题一 二元一次方程的定义】 【例1】（23-24七年级上·全国·单元测试）若是二元一次方程，则m，n的值为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·湖南常德·期中）下列是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·湖南湘西·阶段练习）如果，那么用含y的代数式表示x，则 ． 3．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）把（其中，是常数，，是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当时，“雅系二元一次方程”中的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为． (1)求“雅系二元一次方程”的“完美值”； (2)是“雅系二元一次方程”的“完美值”，求的值； (3)是否存在，使得“雅系二元一次方程”与（是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出的值及此时的“完美值”：若不存在，请说明理由． 【经典例题二 判断是否是二元一次方程组】 【例2】（23-24七年级上·上海闵行·期末）下列方程中是二元一次方程组的有（   ） ①，②，③，④， A．个 B．个 C．个 D．个 1．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）在方程组、、、、中，是二元一次方程组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（2024七年级上·全国·专题练习）若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则 ． 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）若方程组是二元一次方程组，求a的值． 【经典例题三 二元一次方程的解】 【例3】（23-24七年级上·浙江宁波·期末）若是二元一次方程的一个解，则下列结论错误的是（   ） A．异号 B． C． D．满足条件的数对有无数对 1．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）关于二元一次方程，下列说法正确的是（　　） A．对于每一个确定的x的值，y都有唯一确定的值与它相对应 B．只要任意给出一个x的值，就能确定y的值，所以此方程的解为任何实数 C．若需满足x、y都为正整数，则此方程恰有两个解 D．它可与二元一次方程组成一个二元一次方程组 2．（24-25七年级上·重庆巴南·阶段练习）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“全善数”．例如：四位数，∵，∴是“全善数”；又如：四位数，∵，∴不是“全善数”．若一个“全善数”为，则这个数为 ；如果一个“全善数”能被11整除，则满足条件的数的最大值是 ． 3．（23-24七年级上·全国·期中）下面是甲、乙两人求二元一次方程的正整数解的过程：甲说： 我可以用不等式知识求解．∵x、y为正整数，且由已知易得： ，所以，且应为正整数，∴x为3的倍数，从而x只能取3，代入得，所以的正整数解为． 乙说：由于12和都是偶数，所以是正偶数且小于12，我可以用简单列举法尝试得到的正整数解只有； 请结合以上解法解答下列问题： (1)直接写出方程的一组正整数解 ． (2)若为自然数，则满足条件的正整数x的值有（     ）个． A．5   B．6    C． 7      D．8 (3)七年级某班为了奖励课堂“展示之星”与“质疑之星”，特购买单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔．两种奖品，共花费48元，请直接写出所有购买方案． 【经典例题四 判断是否是二元一次方程组的解】 【例4】（23-24七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）下列某个方程与组成方程组的解为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·福建福州·期中）已知方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·安徽铜陵·期末）现有一条长度为359mm的铜管料，把它锯成长度分别为39mm和29mm的两种不同规格的小铜管，（要求没有余料）．每锯一次损耗1mm的铜管料．为了使铜管料损耗最少，应分别锯成39mm的小铜管 段，29mm的小铜管 段． 3．（23-24七年级上·全国·期末）小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张，问小悦买书用了1元和5元的纸币各多少张？设所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，根据题意，列出方程组，并用列表尝试的方法求解． 【经典例题五 已知二元一次方程组的解求参数】 【例5】（23-24七年级上·广西贵港·期中）已知是二元一次方程组的解，则的值是（    ） A． B．5 C． D．1 1．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）关于x，y的方程组的解是  ，其中y的值被盖住了．不过仍能求出m，则m的值是（     ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）甲、乙两人同时解方程组，甲正确解得，乙因为抄错c的值，解得，则 ． 3．（23-24七年级上·北京怀柔·期末）我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式． (1)填空：将写成矩阵形式为： ； (2)若矩阵所对应的方程组的解为，求a与b的值． 【经典例题六 代入消元法与加减消元法1】 【例6】（23-24七年级上·安徽·单元测试）已知关于的方程组下列结论错误的是（    ） A．当时，该方程组的解也是方程的解 B．存在实数，使得 C．当时， D．不论取什么实数，的值始终不变 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）用代入法解方程组：有以下步骤：（1）由①，得；（2）代入②，得；（3）解得；（4）把代入①，得，所以原方程组的解为，其中，开始出现错误的一步是（   ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 2．（23-24七年级上·全国·单元测试）已知方程的两个解是，，则这个方程是 ． 3．（24-25七年级上·广东深圳·期中）解下列方程（组）： (1)（用代入消元法解）； (2)（用加减消元法解）． 【经典例题七 代入消元法与加减消元法2】 【例7】（23-24七年级上·四川宜宾·期中）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文对应密文．例如，明文对应密文.当接收方收到密文时，则解密得到的明文为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·全国·期中）两位同学在解方程组 时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得 ，则a，b，c正确的值应为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）已知：，，…， 是从2，0，这三个数中取值的一列数，若，，则，，…，中为2的个数是 ． 3．（24-25七年级上·河北保定·阶段练习）如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等． 4 a b c 3 … (1)求a、c的值； (2)把上面的表格补充完整，并求出第2024个格子中的数． 【经典例题八 二元一次方程组的特殊解法】 【例8】（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）若方程组的解是，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·湖南邵阳·期末）如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值是互为相反数，我们称这个方程组为“关联方程组”，若关于，的方程组是“关联方程组”，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·广东肇庆·期末）对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论正确的有 ． （1），； （2）若，，则； （3）若，则、有且仅有2组正整数解； （4）若，，对任意有理数、都成立，则． 3．（23-24七年级上·四川内江·阶段练习）阅读材料：小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”解法： 解：将方程②变形：，即…③，把方程①代入③得：即，把代入方程①，得，所以方程组的解为． 请你解决以下问题 (1)模仿小强同学的“整体代换”法解方程组； (2)已知，满足方程组，求的值． 【经典例题九 二元一次方程组的错解复原问题】 【例9】（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得，则a、b、c正确的值应为（　　） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·云南昆明·期末）甲、乙两人在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，则的值为（    ） A．2 B． C．0 D． 2．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）甲、乙两人在解方程组时，甲因看错a，解得，乙将其中一个方程的b写成了其相反数，解得，则的值为 ． 3．（23-24七年级上·广东湛江·期中）甲、乙两名同学在解方程组时，甲解题时看错了m，解得；，乙解题时看错了n，解得．请你根据以上两种结果： (1)求m，n的值； (2)求出原方程组的正确解． 【经典例题十 构造二元一次方程组求解】 【例10】（2024上·浙江·九年级周测）对于任意实数，有序实数对与之间的运算“*”定义为：．如果对于任意实数都有，那么为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·贵州铜仁·阶段练习）满足的x，y的值分别为（    ） A．，1 B．1，1 C．1， D．无法确定 2．（23-24七年级上·福建泉州·期末）新定义：对于任意实数，都有，若，，则将因式分解的结果为 3．（23-24七年级上·辽宁抚顺·期中）定义一种新运算“”：规定，其中a，b为常数，且，，求的值． 【经典例题十一 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 【例11】（2024下·湖南郴州·七年级校考阶段练习）方程组的解与y相等，则k的值的是（  ） A．1或－1 B．5 C．1 D．－5 1．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）若关于的二元一次方程的两个解分别是或，则的值是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）如果关于x、y的方程组的解满足，则 ． 3．（23-24七年级上·湖南娄底·阶段练习）二元一次方程组的解满足． (1)求k的值； (2)求原方程组的解． 【经典例题十二 同解方程组】 【例12】（2024下·河南新乡·七年级校考期中）若关于x，y的二元一次方程组与有相同的解，则的值为（   ） A．1 B．5 C． D． 1．（2024七年级上·全国·专题练习）与方程组有相同解的方程是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）若关于，的方程组和有相同的解，则的值为 ． 3．（23-24七年级上·全国·课时练习）已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【经典例题十三 解三元一次方程组】 【例13】（2024下·江苏南通·七年级启东市长江中学校考阶段练习）已知，，都不为零，且，则式子的值为（   ） A． B． C．- D．- 1．（2024上·浙江舟山·七年级统考期末）已知多项式中，，，为常数，的取值与多项式对应的值如下表： 1 2 7 则值为（    ） A．15 B．19 C．21 D．23 2．（2024上·四川达州·八年级校考期末）已知x、y、z满足，则的值为 . 3．（2024下·七年级课时练习）解下列三元一次方程组： (1) (2) 【经典例题十四 三元一次方程组的应用】 【例14】（2024·山东临沂·统考二模）某商店将巧克力包装成甲、乙两种礼盒出售，且每盒甲种礼盒的价钱相同，每盒乙种礼盒的价钱相同，晓雨原先想购买2盒甲种礼盒和5盒乙种礼盒，但他身上的钱还差3元，如果改成购买5盒甲种礼盒和2盒乙种礼盒，他身上的钱会剩下3元，若晓雨最后购买7盒甲种礼盒，则他身上剩下的钱数是（    ） A．1元 B．3元 C．5元 D．7元 1．（2024上·四川绵阳·八年级统考开学考试）小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选3件甲，2件乙，1件丙时显示价格为420元；当选2件甲，3件乙，4件丙时显示价格为580元，那么购买甲、乙、丙各两件应该付款（　　） A．200元 B．400元 C．500元 D．600元 2．（2024上·江苏扬州·七年级校考期中）如表，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．若前n个格子中所填整数之和是2024，则 ． 1 a b c 8 … 3．（2024上·陕西西安·八年级统考期末）问题提出 已知实数x，y满足，求的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y）的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由可得．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 利用上面的知识解答下面问题： （1）已知方程组，则的值为______． 问题探究 （2）请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，的值始终不变． 问题解决 （3）某步行街分别摆放有甲．乙、丙三种造型的盆景x，y，z盆，甲种盆景由15朵红花、8朵黄花和25朵紫花搭配而成；乙种盆景由10朵红花、6朵黄花和20朵紫花搭配而成；丙种盆景由10朵红花、7朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景-共用了2900朵红花，3750朵紫花，求黄花一共用了多少朵． 1．（23-24七年级上·山东济宁·阶段练习）下列方程：；；；；．其中是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·广东广州·期末）已知关于x、y的二元一次方程组其中，给出下列四个结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②当时，x、y的值互为相反数；③若，则；④是方程组的解．其中正确的结论有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024·浙江温州·模拟预测）某公司用n张相同的大长方形纸板分别按如图所示进行裁剪，所得的正六边形和小长方形纸板恰好能搭配成若干个有盖直六棱柱纸盒，则n的值可能是（    ）    A．130 B．140 C．150 D．160 4．（24-25七年级上·全国·期中）小明设计了一台数值转换机，只要依次输入整数，，则输出的结果为．比如小明依次输入1，2，则输出的结果是，再次输入3，则输出的结果为，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差的运算．下列说法： ①若依次输入，，，，，则最后输出的结果是55； ②若将，2，，4，这5个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是11，最小值是； ③若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数，5，，全部输入完毕后显示的最后结果设为，若的最小值为，那么的最大值是． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2024·河北·模拟预测）如图和图，天平两边托盘中相同形状的物体质量相同，且两架天平均保持平衡，若个“□”与个“○”的质量相等，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级上·全国·单元测试）已知 是关于x，y的二元一次方程的解，则a的值为 ． 7．（23-24七年级上·四川眉山·期中）在等式中，当时，；当时，；当时，．则这个等式为 8．（23-24七年级上·浙江湖州·阶段练习）若关于、的二元一次方程组的解为，则关于、的二元一次方程组的解为 ． 9．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）已知关于x、y的二元一次方程组（p为实数）． （1） （用含p的式子表示）； （2）若方程组的解也是方程（q为整数，且q不等于0或）的解，p也是整数，则q的最小值为 ． 10．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）已知关于x，y的二元一次方程的解如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 8 6.5 5 3.5 2 0.5 … 已知关于x，y的二元一次方程的解如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 2 … （1）仔细观察表中数据，直接写出关于，二元一次方程组的解为 ． （2）关于，的二元一次方程组的解为 ． 11．（23-24七年级上·山东济宁·期末）（1）解方程组： （2）解方程组： 12．（23-24七年级上·山西长治·阶段练习）解方程组时，小明本应该解出，由于看错了系数c，从而得到解，试求出的值 13．（23-24七年级上·四川乐山·期末）甲乙两位同学在解同一个关于，的二元一次方程组时，甲看错了②中的解得，乙看错了①中的解得．请回答： (1)求，的值； (2)求该二元一次方程组正确的解． 14．（23-24七年级上·广东肇庆·期末）先阅读下列知识，然后回答后面的问题∶ 二元一次方程组的解的情况有以下三种：当时，方程组有无数个解；当时，方程组无解；当时，方程组有唯一解． (1)判断二元一次方程组的解的情况：___________；判断二元一次方程组的解的情况：___________． (2)小明在解下面的二元一次方程组时，碰到了一个非常“严重”的问题，发现“”，他知道这是不可能的，但是又找不到错误的原因，请你解释一下． 解方程组： 解：由①得，代入②得，得 15．（23-24七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）先阅读下列材料，再完成任务： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x、y满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由①+②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)若关于x、y的二元一次方程组的解满足．则m的取值范围是______； (3)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 解二元一次方程组重难点题型专训（14大题型+15道拓展培优） 题型一 二元一次方程的定义 题型二 判断是否是二元一次方程组 题型三 二元一次方程的解 题型四 判断是否是二元一次方程组的解 题型五 已知二元一次方程组的解求参数 题型六 代入消元法与加减消元法1 题型七 代入消元法与加减消元法2 题型八 二元一次方程组的特殊解法 题型九 二元一次方程组的错解复原问题 题型十 构造二元一次方程组求解 题型十一 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型十二 同解方程组 题型十三 解三元一次方程组 题型十四 三元一次方程组的应用 【知识点1 二元一次方程（组）的概念】 1、二元一次方程 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。 2、二元一次方程组 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 【知识点2 二元一次方程（组）的解】 1、 二元一次方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 2、 二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 【知识点3 二元一次方程组的解法】 1.代入消元法 ①变：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来； ②代：将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④再代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值； ⑤联：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 2.加减消元法 ①化、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等； ②加减、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； ④代、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值， ⑤联、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 【知识点4：三元一次方程（组）的概念与解法】 三元一次方程组就是含有三个未知数，并且含有的未知数的项都是1次的整式方程。 一般地，由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。 解法： （1）三元一次方程组与二元一次方程组同属于一次方程组，解二元一次方程组基本思想是消元，通过代入法或加减法使二元化成一元，未知转化为已知，受它的启发，解三元一次方程组也通过代入或加减消元，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题。 （2）三元一次方程组解题的基本步骤： ①利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。 ②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值； ③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。 【经典例题一 二元一次方程的定义】 【例1】（23-24七年级上·全国·单元测试）若是二元一次方程，则m，n的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键．根据二元一次方程的定义得到，即可得到答案． 【详解】解：根据二元一次方程的定义可得：， 解得． 故选：A． 1．（23-24七年级上·湖南常德·期中）下列是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程，根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是的整式方程叫做二元一次方程即可判断求解，掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、是二元一次方程，该选项符合题意； 、方程中未知数的最高次数是，不是二元一次方程，该选项不合题意； 、方程的左边不是整式，不是二元一次方程，该选项不合题意； 、方程只含有一个未知数，不是二元一次方程，该选项不合题意； 故选：． 2．（23-24七年级上·湖南湘西·阶段练习）如果，那么用含y的代数式表示x，则 ． 【答案】 【分析】把y看做已知数求出x即可． 【详解】解：由题意可得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）把（其中，是常数，，是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当时，“雅系二元一次方程”中的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为． (1)求“雅系二元一次方程”的“完美值”； (2)是“雅系二元一次方程”的“完美值”，求的值； (3)是否存在，使得“雅系二元一次方程”与（是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出的值及此时的“完美值”：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】本题考查了新定义二元一次方程，一元一次方程的解法，正确理解新定义，熟练转化为一元一次方程求解是解题的关键． （1）根据定义，得到，解方程即可； （2）根据定义，得到，再把代入，解方程即可； （3）根据定义，得到，，假设存在，则，方程无解，进而可判断结果； 【详解】（1）根据定义，得到， 解得， “雅系二元一次方程”的“完美值”为6． （2）根据定义，得到， 是“雅系二元一次方程”的“完美值”， ， 解得； （3）不存在，理由如下： 根据定义，得到，， 解得， 假设存在，使得“雅系二元一次方程”与（是常数）的“完美值”相同， 则，无解， 不存在，使得“雅系二元一次方程”与（是常数）的“完美值”相同； 【经典例题二 判断是否是二元一次方程组】 【例2】（23-24七年级上·上海闵行·期末）下列方程中是二元一次方程组的有（   ） ①，②，③，④， A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组，逐项进行分析即可判断求解，掌握二元一次方程组的定义是解题的关键． 【详解】解：方程组中是二元二次方程，故不是二元一次方程组，不合题意； 方程组是二元一次方程组，故符合题意； 方程组中不是整式方程，故不是二元一次方程组，不合题意； 方程组中含有个未知数，故不是二元一次方程组，不合题意； ∴是二元一次方程组的有个， 故选：． 1．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）在方程组、、、、中，是二元一次方程组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组的定义，二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．根据二元一次方程组的定义求解即可． 【详解】、是二元一次方程组，共2个， 故选：A． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则 ． 【答案】1 【分析】先根据二元一次方程组的定义得出，据此求出m、n的值，代入计算可得结果． 【详解】解：根据题意知，， 解得，，， ，， ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了根据二元一次方程组的定义求参数，代数式求值问题，熟练掌握和运用二元一次方程组的定义是解决本题的关键． 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）若方程组是二元一次方程组，求a的值． 【答案】或3或2或 【分析】根据二元一次方程组的定义得到或，然后解方程与不等式即可得到满足条件的a的值． 【详解】解：∵方程组是二元一次方程组， ∴或， ∴或3或2或． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 【经典例题三 二元一次方程的解】 【例3】（23-24七年级上·浙江宁波·期末）若是二元一次方程的一个解，则下列结论错误的是（   ） A．异号 B． C． D．满足条件的数对有无数对 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解，根据二元一次方程组解的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：是二元一次方程的一个解， ， A．由于，当时，，当时，， 即a、b异号，结论正确，因此选项A不符合题意； B．， ， ，因此选项B不符合题意； C．，即，而， ，即，因此选项C符合题意； D．a和b满足，因此满足条件的数对有无数对，所以选项D不符合题意． 故选：C． 1．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）关于二元一次方程，下列说法正确的是（　　） A．对于每一个确定的x的值，y都有唯一确定的值与它相对应 B．只要任意给出一个x的值，就能确定y的值，所以此方程的解为任何实数 C．若需满足x、y都为正整数，则此方程恰有两个解 D．它可与二元一次方程组成一个二元一次方程组 【答案】A 【分析】 本题考查了二元一次方程的解、二元一次方程组的定义，根据与的关系式判断A；根据二元一次方程的解的定义判断B；求出方程的正整数解即可判断C；根据二元一次方程组的定义判断D，牢记定义是解题的关键． 【详解】 解：A、， ，即：对于每一个确定的x的值，y都有唯一确定的值与它相对应，故本选项说法正确； B、只要任意给出一个的值，就能确定的值，所以此方程的解有无穷多个，故本选项说法错误； C、二元一次方程正整数解为，只有1个，故本选项说法错误； D、它可与二元一次方程组成一个三元一次方程，故本选项说法错误． 故选：A． 2．（24-25七年级上·重庆巴南·阶段练习）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“全善数”．例如：四位数，∵，∴是“全善数”；又如：四位数，∵，∴不是“全善数”．若一个“全善数”为，则这个数为 ；如果一个“全善数”能被11整除，则满足条件的数的最大值是 ． 【答案】 9174 【分析】本题主要考查了一元一次方程和二元一次方程的应用和数的整除，读懂题意是解题的关键． ①根据定义列出方程即可求出m； ②先根据数的特征设千位为9，再根据题意得到不定方程，解不定方程的整数解求出各数，再判断是否能被11整除即可． 【详解】解：∵为“全善数”， ， ， ∴这个数为； 设满足条件的四位自然数是， 又是“全善数”， ，即， 故或， ∵各数位上的数字互不相等且均不为0， ∴，，，，， 当时，这个“全善数”是，不能被11整除， 当时，这个“全善数”是，不能被11整除， 当时，这个“全善数”是，不能被11整除， 当时，这个“全善数”是，不能被11整除， 当时，这个“全善数”是，能被11整除， ∴一个“全善数”能被11整除，则满足条件的数的最大值是， 故答案为：，． 3．（23-24七年级上·全国·期中）下面是甲、乙两人求二元一次方程的正整数解的过程：甲说： 我可以用不等式知识求解．∵x、y为正整数，且由已知易得： ，所以，且应为正整数，∴x为3的倍数，从而x只能取3，代入得，所以的正整数解为． 乙说：由于12和都是偶数，所以是正偶数且小于12，我可以用简单列举法尝试得到的正整数解只有； 请结合以上解法解答下列问题： (1)直接写出方程的一组正整数解 ． (2)若为自然数，则满足条件的正整数x的值有（     ）个． A．5   B．6    C． 7      D．8 (3)七年级某班为了奖励课堂“展示之星”与“质疑之星”，特购买单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔．两种奖品，共花费48元，请直接写出所有购买方案． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)B (3)有3种购买方案：方案1：购买笔记本11个，钢笔3支；方案2：购买笔记本6个，钢笔6支；方案3：购买笔记本1个，钢笔9支 【分析】本题主要考查了解二元一次方程的实际应用，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程的方法，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． （1）根据题意得出，即可求解； （2）根据为自然数，可得能被12整除，即可求解； （3）设购买了m个笔记本，n支钢笔，则，，求出其正整数解即可． 【详解】（1）解：由得：， 当时，， 故答案为：（答案不唯一）； （2）解：∵为自然数， ∴能被12整除， ∴、2、3、4、6、12； 解得：、5、6、7、9、15共6个， 故选：B； （3）解：设购买了m个笔记本，n支钢笔， ， ∴①时，；②时，；③时，； ∴有3种购买方案： 方案1：购买笔记本11个，钢笔3支； 方案2：购买笔记本6个，钢笔6支； 方案3：购买笔记本1个，钢笔9支． 【经典例题四 判断是否是二元一次方程组的解】 【例4】（23-24七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）下列某个方程与组成方程组的解为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接把，代入各方程进行检验即可． 【详解】、把，代入：左边，故此项不符合题意； 、把，代入：左边，故此项不符合题意； 、把，代入：左边，故此项符合题意； 、把，代入：左边，故此项不符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是正确理解方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 1．（23-24七年级上·福建福州·期中）已知方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由整体换元思想可得，求出x，y的值即可． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴方程组的解满足关系式， 解得，， 故选：C 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系是解答此题的关键． 2．（23-24七年级上·安徽铜陵·期末）现有一条长度为359mm的铜管料，把它锯成长度分别为39mm和29mm的两种不同规格的小铜管，（要求没有余料）．每锯一次损耗1mm的铜管料．为了使铜管料损耗最少，应分别锯成39mm的小铜管 段，29mm的小铜管 段． 【答案】 6 4． 【分析】本题的等量关系是截39的铜管的钢管料+截29的铜管的钢管料+据这两种钢管时损耗的钢管料=359，列出方程，求出未知数，然后将各种方案的损耗算出来，得出损耗最少的方案． 【详解】设应分别锯成39的小铜管段、29的小铜管段， 则损耗的钢管料应是， 根据题意， 得， ， ∵、都必须是正整数， ∴， 或， ∴锯成4段39的小铜管、3段29的小铜管损耗最少， 故答案为：6；4． 【点睛】本题考查了列方程解实际问题的运用，解答时关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程，注意等量关系式是解题的关键． 3．（23-24七年级上·全国·期末）小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张，问小悦买书用了1元和5元的纸币各多少张？设所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，根据题意，列出方程组，并用列表尝试的方法求解． 【答案】小悦买书用了1元纸币3张，5元纸币9张． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，由所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，x、y均必须取非零自然数，，买书共用48元，逐步取值，看符合条件的x、y值即为方程组的解． 【详解】解：均必须取非零自然数， ∴列表尝试如下： x 1 2 3 4 5 y 11 10 9 8 7 56 52 48 44 40 ∴方程组的解为 答：小悦买书用了 1元纸币 3张，5元纸币9张． 【经典例题五 已知二元一次方程组的解求参数】 【例5】（23-24七年级上·广西贵港·期中）已知是二元一次方程组的解，则的值是（    ） A． B．5 C． D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程的解以及解一元二次方程，熟练掌握解二元一次方程是解题的关键．根据题意得到关于的二元一次方程解出的值即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：， 解得， ， 故选C． 1．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）关于x，y的方程组的解是  ，其中y的值被盖住了．不过仍能求出m，则m的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解，把代入方程组第二个方程求出的值，再将，的值代入中，进而求出的值即可．正确求出的值是解题关键． 【详解】解：把代入得：， 解得：， 把，代入得：， 解得：， 故选：A． 2．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）甲、乙两人同时解方程组，甲正确解得，乙因为抄错c的值，解得，则 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，把代入方程组得，再把代入方程组中第一个方程得，联立①②③，求出的值代入计算即可 【详解】解：把代入方程组得， ∵是方程的一组解， ∴， 联立①②③，并解得， ∴， 故答案为：7． 3．（23-24七年级上·北京怀柔·期末）我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式． (1)填空：将写成矩阵形式为： ； (2)若矩阵所对应的方程组的解为，求a与b的值． 【答案】(1) (2)a，b的值分别是和1 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，理解题意，根据新定义解答问题是此题的关键． （1）将原方程组变形为，然后根据题意写出矩阵形式即可； （2）根据矩阵写出对应的方程组，然后把方程组的解代入，即可求出a、b的值． 【详解】（1）解：将方程组变形为， 所以，将写成矩阵形式为：， 故答案为：； （2）解：矩阵所对应的关于x，y的二元一次方程组为， ∵此方程组的解为 ∴将代入方程组得： 由①得； 由②得； 所以a，b的值分别是和1 【经典例题六 代入消元法与加减消元法1】 【例6】（23-24七年级上·安徽·单元测试）已知关于的方程组下列结论错误的是（    ） A．当时，该方程组的解也是方程的解 B．存在实数，使得 C．当时， D．不论取什么实数，的值始终不变 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解与参数，加减消元法，代入消元法求解的运用，根据题意，分别代入计算验证即可求解． 【详解】解：A、当时，代入二元一次方程组得，， 得，， 解得，， 把代入①得，， 解得，， ∴，故原选项正确，不符合题意； B、， 得，，整理得，， 把代入①得，，整理得，， 若，则有， 解得，，是实数，故原选项正确，不符合题意； C、， 得，， 当时，则有， 解得，，故原选项错误，符合题意； D、由B选项可得，， ∴， ∴不论取什么实数，的值始终不变，故原选项正确，不符合题意； 故选：C ． 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）用代入法解方程组：有以下步骤：（1）由①，得；（2）代入②，得；（3）解得；（4）把代入①，得，所以原方程组的解为，其中，开始出现错误的一步是（   ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【答案】A 【分析】本题主要考查代入消元法，熟练掌握代入消元法是解题的关键．根据代入消元法的运算法则进行判断即可． 【详解】解：由①，得； 故（1）开始出现错误， 故选A． 2．（23-24七年级上·全国·单元测试）已知方程的两个解是，，则这个方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将已知的方程的两个解代入方程中得二元一次方程组，解方程组即可得a，b的值，将a，b代入方程即可． 【详解】解：把，代入方程中得：， 解得：， ∴这个方程是：． 3．（24-25七年级上·广东深圳·期中）解下列方程（组）： (1)（用代入消元法解）； (2)（用加减消元法解）． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查二元一次方程组的求解，解题的关键是熟知代入消元法与加减消元法的运用． （1）由得，将其代入即可得关于y的一元一次方程，进而可得，再将代入可得x，方程得解； （2）将整体乘2，再减去即可消去x，解得y，再将y代入任一方程即可得x，方程得解． 【详解】（1）解：， 由②得③， 把③代入①得， 解得：， 把代入②得， 方程组的解为； （2）， 解：②①得， 解得， 把代入②得， 解得， 方程组的解为． 【经典例题七 代入消元法与加减消元法2】 【例7】（23-24七年级上·四川宜宾·期中）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文对应密文．例如，明文对应密文.当接收方收到密文时，则解密得到的明文为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用代入法解方程，根据题意，可得，，，，先求出的值，再利用代入法解答即可求解，掌握解方程的方法是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，，，， 解得，，，， ∴解密得到的明文为，，，， 故选：． 1．（23-24七年级上·全国·期中）两位同学在解方程组 时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得 ，则a，b，c正确的值应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，解题的关键理解题意得出正确的方程组．把甲的结果代入方程组两方程中，乙的结果代入第一个方程中，分别求出a， b，c的值，即可求出所求． 【详解】解：把代入方程组得： 把代入得： ， 联立得解得： ， 由，得到， 故选：． 2．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）已知：，，…， 是从2，0，这三个数中取值的一列数，若，，则，，…，中为2的个数是 ． 【答案】35 【分析】本题考查完全平方公式、二元一次方程组，利用完全平方公式求得，设有m个2，n个0，k个，再根据题中的式子列方程组求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ∵， ∴， ∵，，…， 是从2，0，这三个数中取值的一列数， ∴设有m个2，n个0，k个， 由，可得， 由，可得， 由，可得， 由得，， 解得， 即，，…，中为2的个数是35， 故答案为：35． 3．（24-25七年级上·河北保定·阶段练习）如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等． 4 a b c 3 … (1)求a、c的值； (2)把上面的表格补充完整，并求出第2024个格子中的数． 【答案】(1)，； (2)补全表格见解析，第2024个格子中的数为； 【分析】本题主要考查了数字规律型问题，根据题意列出方程组及方程组求解和根据数字之间的规律进行求解是解决本题的关键． （1）根据题意可得，求方程组的解即可得出答案； （2）根据题意可得：格子中的整数以“”为周期循环．由为第9个空格里面的数，可得，由，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得，， 解得：． （2）解：∵任意三个相邻格子中所填的整数之和都相等， ∴格子中的整数以“”为周期循环． ∵为第9个空格里面的数， ∴， ∴补全表格如下： 4 3 … ∵， ∴第2024个数是． 【经典例题八 二元一次方程组的特殊解法】 【例8】（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）若方程组的解是，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程组的解是，可得，求解即可． 【详解】解：方程组可变为， ∵方程组的解是， ∴根据题意，可得， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，找出两组方程组的关系是解题的关键． 1．（23-24七年级上·湖南邵阳·期末）如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值是互为相反数，我们称这个方程组为“关联方程组”，若关于，的方程组是“关联方程组”，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，相反数的定义，把两个方程相加可得，再根据相反数的定义可得，据此即可求解，使用整体法解方程组是解题的关键． 【详解】解：， 得，， ∴， ∵互为相反数， ∴， ∴， 故选：． 2．（23-24七年级上·广东肇庆·期末）对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论正确的有 ． （1），； （2）若，，则； （3）若，则、有且仅有2组正整数解； （4）若，，对任意有理数、都成立，则． 【答案】（1）（2）/（2）（1） 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，由题意联立方程组，求出、的值，即可确定（1）正确；由已知，得到，求出即可确定（2）正确；根据，，，可求、的值，从而确定（3）不正确；由题意列出方程，得到，由对任意有理数、都成立，则，即可 确定（4）不正确． 【详解】解：∵，， ∴， 解得，故（1）正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故（2）正确； ∵， ∴， 当时，则不成立， ∴， ∴， ∵m、n都是整数， ∴或或， ∴或或0或或或， ∴满足题意的m、n的值可以为，，，，，，故（3）错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵对任意有理数、都成立， ∴，故（4）错误； 故答案为：（1）（2）． 3．（23-24七年级上·四川内江·阶段练习）阅读材料：小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”解法： 解：将方程②变形：，即…③，把方程①代入③得：即，把代入方程①，得，所以方程组的解为． 请你解决以下问题 (1)模仿小强同学的“整体代换”法解方程组； (2)已知，满足方程组，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法． （1）利用整体代换的方法进行求解即可； （2）结合题目所给的解答方法进行求解即可． 【详解】（1）解：， 将②变形为：，即， 将①代入③得：， 解得：， 把代入①得， 故原方程组的解是：； （2）解：原方程组可化为：， 将①代入②得：， 解得：． 【经典例题九 二元一次方程组的错解复原问题】 【例9】（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得，则a、b、c正确的值应为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，解题的关键是理解题意得出正确的方程组．把甲的结果代入方程组两方程中，乙的结果代入第一个方程中，分别求出a，b，c的值，即可求出所求． 【详解】解：解：把代入方程组得： ， 把代入得：， 联立得：，解得：， 由，得到， 故选：C． 1．（23-24七年级上·云南昆明·期末）甲、乙两人在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，则的值为（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】把代入②中求得b值，把代入①中求得a值，后求值计算即可． 【详解】解：把代入②中， 得， 解得； 把代入①中， 得， 解得， ， 故选B． 【点睛】本题考查了方程组的解法，代数式的值计算，熟练掌握解方程组是解题的关键． 2．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）甲、乙两人在解方程组时，甲因看错a，解得，乙将其中一个方程的b写成了其相反数，解得，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了二元一次方程组的解及其应用；甲因看错a，解得，则是方程的解，则可求得b的值；乙将其中一个方程的b写成了其相反数，易得乙是将第二个方程中的b写成了其相反数，即为，把代入此方程中即可求得结果． 【详解】解：甲因看错a，解得，则是方程的解， ∴， 即， 即第一个方程为； 乙将其中一个方程的b写成了其相反数，解得， 因， 故乙是将第二个方程中的b写成了其相反数，即为， 把代入中，得； 故答案为：5． 3．（23-24七年级上·广东湛江·期中）甲、乙两名同学在解方程组时，甲解题时看错了m，解得；，乙解题时看错了n，解得．请你根据以上两种结果： (1)求m，n的值； (2)求出原方程组的正确解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法解方程组． （1）把甲的解代入中求出n的值，把乙的解代入中求出m的值； （2）把与n的值代入方程组，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：把代入得，解得， 把代入得，解得， ∴，； （2） 解：①②得：， 解得， 把代入①得， 解得， ∴方程组的解为． 【经典例题十 构造二元一次方程组求解】 【例10】（2024上·浙江·九年级周测）对于任意实数，有序实数对与之间的运算“*”定义为：．如果对于任意实数都有，那么为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据新定义得出关于的一元二次方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了新定义运算，解二元一次方程组，根据新定义列出二元一次方程组是解题的关键． 1．（23-24七年级上·贵州铜仁·阶段练习）满足的x，y的值分别为（    ） A．，1 B．1，1 C．1， D．无法确定 【答案】C 【分析】 本题主要考查了非负数的性质，根据非负数的性质建立二元一次方程组，再求出x、y的值即可．掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】 解：∵，，， ， 解得：， 故选：C． 2．（23-24七年级上·福建泉州·期末）新定义：对于任意实数，都有，若，，则将因式分解的结果为 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，因式分解，由新定义求出的值，得到，再由新定义得到，利用提公因式法及公式法即可求解，求出新定义表达式是解题的关键． 【详解】解：由，得， ， 解得， ∴， ∴， ， ， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·辽宁抚顺·期中）定义一种新运算“”：规定，其中a，b为常数，且，，求的值． 【答案】 【分析】根据新运算的法则，以及，，列出方程组求出的值，再进行计算即可． 【详解】解：根据题意可得：， 原方程组可化为， 解得：， ∴． 即：． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用．解题的关键是理解并掌握新运算的法则，列出二元一次方程组． 【经典例题十一 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 【例11】（2024下·湖南郴州·七年级校考阶段练习）方程组的解与y相等，则k的值的是（  ） A．1或－1 B．5 C．1 D．－5 【答案】C 【分析】把看作已知数表示出方程组的解，根据列出方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解：， 得，即， ， 根据，得， 去分母得：， 解得：． 故选C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 1．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）若关于的二元一次方程的两个解分别是或，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查加减消元法解二元一次方程组，掌握其运算方法是解题的关键． 分别把两组解代入二元一次方程组，再根据加减消元法解二元一次方程组的方法即可求解． 【详解】解：根据题意，把方程的两组解代入得， ①②得，， 把的值代入②得，， 故选：． 2．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）如果关于x、y的方程组的解满足，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了二元一次方程组的解．两方程相减求得，结合已知得出关于k的式子，进而可求出k的值． 【详解】解：， ①-②得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：0． 3．（23-24七年级上·湖南娄底·阶段练习）二元一次方程组的解满足． (1)求k的值； (2)求原方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，掌握整体代入法是解题的关键． （1）将方程组中的两个方程相加，再利用整体代入法得到方程，然后解关于k的一元一次方程即可． （2）把k代入原方程组，利用加减消元法解方程组即可； 【详解】（1） 得，， ， 二元一次方程组的解满足， ， 解得：； （2）将代入原方程组得 得， ， 将代入得， ， 解得：， 原方程组的解为． 【经典例题十二 同解方程组】 【例12】（2024下·河南新乡·七年级校考期中）若关于x，y的二元一次方程组与有相同的解，则的值为（   ） A．1 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】由两方程组同解，可得出原来两方程组的解与方程组的解相同，解该方程组可求出x，y的值，将其代入方程组中，可得出关于a，b的二元一次方程组，解之可得出a，b的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组与有相同的解， ∴原来两方程组的解与方程组的解相同． 解方程组得：． 将代入方程组得：， 解得：， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了同解方程组，牢记“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”是解题的关键． 1．（2024七年级上·全国·专题练习）与方程组有相同解的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 本题考查二元一次方程的解和绝对值，理解二元一次方程的解的定义是做题的关键．由题意可得同解方程的解必须同时满足和，据此求解即可． 【详解】解：A．不满足，故不符合题意； B．不满足，故不符合题意； C．∵，∴或，故不符合题意； D．∵，∴，符合题意． 故选：D． 2．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）若关于，的方程组和有相同的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，乘方运算，将方程组中不含的两个方程联立，求得的值，联立含有的两个方程，把的值代入，两方程相加可求得的值，再代入代数式中求解即可，理解题意中方程组有相同解的意义是解题的关键． 【详解】解：把方程组中不含的两个方程联立得， ， 得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴方程组的解为， 把方程组中含的两个方程联立得， ， 把代入得，， 得，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·全国·课时练习）已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）由题意，得 ①＋②，得5x＝10，解得x＝2． 把x＝2代入①，得4＋5y＝－26，解得y＝－6． ∴这两个方程组的相同解为 （2）把代入得 解此方程组，得a＝1，b＝－1， ∴（2a＋b）2024＝（2－1）2024＝1． 【经典例题十三 解三元一次方程组】 【例13】（2024下·江苏南通·七年级启东市长江中学校考阶段练习）已知，，都不为零，且，则式子的值为（   ） A． B． C．- D．- 【答案】A 【分析】把z看作是常数，再解二元一次方程组可得，，再代入代数式求值即可． 【详解】解：， 得：， ∴， 把代入②得：， ∴， ∴； 故选A 【点睛】本题考查的是三元一次方程组的解法，求解代数式的值，把其中一个未知数看作是常数，解方程组是解本题的关键． 1．（2024上·浙江舟山·七年级统考期末）已知多项式中，，，为常数，的取值与多项式对应的值如下表： 1 2 7 则值为（    ） A．15 B．19 C．21 D．23 【答案】D 【分析】本题考查的是三元一次方程组的特殊解法，先根据表格信息建立方程组，再利用整体未知数的方法解方程即可；先求解，，再利用整体代入法可得答案． 【详解】解：当时，①， 当时，②， 当时，③， 当时，④， ③①得：，即， ④②得：， ∴， ∴， ∴； 故选D 2．（2024上·四川达州·八年级校考期末）已知x、y、z满足，则的值为 . 【答案】 【分析】根据非负数的性质可得，再解三元一次方程组求得x、y、z的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 3．（2024下·七年级课时练习）解下列三元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】5.（1） ①＋②，得4x＋z＝5，④ ③＋④，得5x＝10，解得x＝2 把x＝2代入①，得2×2－y＝4，解得y＝0 把x＝2代入③，得2－z＝5，解得z＝－3 所以原方程组的解为． （2） ①＋②，得x＋z＝2，④ ②＋③，得5x－8z＝36，⑤ ④×5－⑤，得13z＝－26，解得z＝－2 把z＝－2代入④，得x＝4 把x＝4，z＝－2代入②，得y＝0 所以原方程组的解是． 【经典例题十四 三元一次方程组的应用】 【例14】（2024·山东临沂·统考二模）某商店将巧克力包装成甲、乙两种礼盒出售，且每盒甲种礼盒的价钱相同，每盒乙种礼盒的价钱相同，晓雨原先想购买2盒甲种礼盒和5盒乙种礼盒，但他身上的钱还差3元，如果改成购买5盒甲种礼盒和2盒乙种礼盒，他身上的钱会剩下3元，若晓雨最后购买7盒甲种礼盒，则他身上剩下的钱数是（    ） A．1元 B．3元 C．5元 D．7元 【答案】D 【分析】设每盒甲种礼盒的价钱为x元，每盒乙种礼盒的价钱为y元，晓雨身上有z元钱，根据“晓雨原先想购买2盒甲种礼盒和5盒乙种礼盒，但他身上的钱还差3元，如果改成购买5盒甲种礼盒和2盒乙种礼盒，他身上的钱会剩下3元”，可得出关于x，y，z的三元一次方程组，解之即可得出的值． 【详解】解：设每盒甲种礼盒的价钱为x元，每盒乙种礼盒的价钱为y元，晓雨身上有z元钱， 根据题意，得， ，得：，③ ，得：，④ ，得， ∴， ∴晓雨最后购买7盒甲种礼盒，则他身上剩下的钱数是7元． 故选：D． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键． 1．（2024上·四川绵阳·八年级统考开学考试）小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选3件甲，2件乙，1件丙时显示价格为420元；当选2件甲，3件乙，4件丙时显示价格为580元，那么购买甲、乙、丙各两件应该付款（　　） A．200元 B．400元 C．500元 D．600元 【答案】B 【分析】设购买甲、乙、丙三种商品需付款x元，y元，z元，根据题意列出方程组，计算即可求出x，y，z的值，即可得到结果． 【详解】解：设购买甲、乙、丙三种商品需付款x元，z元， 根据题意得：， 得：，即， ∴， 则购买甲、乙、丙各两件应该付款400元． 故选：B． 【点睛】此题考查了三元一次方程组的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键． 2．（2024上·江苏扬州·七年级校考期中）如表，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．若前n个格子中所填整数之和是2024，则 ． 1 a b c 8 … 【答案】1516 【分析】本题考查了数字的变化规律，根据题意推出，进而得出表格中数据按照1，8，的顺序循环，是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得： ， 解得：， 由表可知，表格中数据有1，8，， ∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等， ∴， ∴表格中数据按照1，8，的顺序循环， ∵，， ∴前n个格子一共有个数，则， 故答案为：1516． 3．（2024上·陕西西安·八年级统考期末）问题提出 已知实数x，y满足，求的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y）的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由可得．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 利用上面的知识解答下面问题： （1）已知方程组，则的值为______． 问题探究 （2）请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，的值始终不变． 问题解决 （3）某步行街分别摆放有甲．乙、丙三种造型的盆景x，y，z盆，甲种盆景由15朵红花、8朵黄花和25朵紫花搭配而成；乙种盆景由10朵红花、6朵黄花和20朵紫花搭配而成；丙种盆景由10朵红花、7朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景-共用了2900朵红花，3750朵紫花，求黄花一共用了多少朵． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）1330朵 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，三元一次方程组的应用： （1）由，即可求解； （2）由，可得，即可求解； （3）黄花一共用了M朵．则，根据题意，列出方程组，即可求解． 【详解】解：（1）得， 故答案为：． （2）， 由，得， ， 无论a取何值，的值始终不变． （3）设黄花一共用了M朵．则， 由题意，得， 由，得④， 由，得，即． 答：黄花一共用了1330朵． 1．（23-24七年级上·山东济宁·阶段练习）下列方程：；；；；．其中是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义求解即可，正确理解二元一次方程的定义含有两个未知数，并且未知数的次数是的整式方程叫做二元一次方程是解题的关键． 【详解】是二元一次方程； 不是二元一次方程； 不是二元一次方程； 是二元一次方程； 不是二元一次方程， 综上可知：是是二元一次方程， 故选：． 2．（23-24七年级上·广东广州·期末）已知关于x、y的二元一次方程组其中，给出下列四个结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②当时，x、y的值互为相反数；③若，则；④是方程组的解．其中正确的结论有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质，解二元一次方程组．解方程组得，①把代入求得，，即可判断；②把代入求得，，即可判断；③当时，求得，则，即即可判断．④将代入可判断得出结论． 【详解】解：解方程组得，得， ①把代入求得， 此时，， 即，是方程的解， 故①正确； ②当时，，， ∴x，y的值互为相反数； 故②正确； ③当时，，解得， ∴， ∴，即； 故③正确； 当时，且，解得且，矛盾， 则④错误． 综上可知，正确的是①②③，共3个， 故选：C． 3．（2024·浙江温州·模拟预测）某公司用n张相同的大长方形纸板分别按如图所示进行裁剪，所得的正六边形和小长方形纸板恰好能搭配成若干个有盖直六棱柱纸盒，则n的值可能是（    ）    A．130 B．140 C．150 D．160 【答案】B 【分析】本题考查的是直六棱柱的展开图及二元一次方程的应用，设剪成底面的长方形x张，则剪成侧面的长方形张，列出方程，找出适合x、n的正整数解即可解决． 【详解】解：设剪成底面的长方形x张，则剪成侧面的长方形张， 每个直六棱柱由两个底面正六边形和六个侧面小长方形组成， 小长方形总数为正六边形总数的3倍， ， 解得：， 都是正整数，且为偶数， 是28的倍数， 的值可能是140， 故选：B． 4．（24-25七年级上·全国·期中）小明设计了一台数值转换机，只要依次输入整数，，则输出的结果为．比如小明依次输入1，2，则输出的结果是，再次输入3，则输出的结果为，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差的运算．下列说法： ①若依次输入，，，，，则最后输出的结果是55； ②若将，2，，4，这5个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是11，最小值是； ③若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数，5，，全部输入完毕后显示的最后结果设为，若的最小值为，那么的最大值是． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查的是数字的变化规律，二元一次方程组的应用，通过列举计算并验证是解题的关键．根据有理数的减法法则计算即可判断①；利用和计算，可求得最大值和最小值，可判断②；分三种情况讨论，可判断③． 【详解】解：①根据题意， ，故①错误； ②将，2，，4，这5个整数任意地一个一个输入， ， ， 则最大值为11，最小值为，故②正确； ③，5，是三个互不相等的正整数， 若，这时不存在最小值为的情况； 若，则，，即，，无解， 若，则，，即，，解得：，，故③正确． 综上，正确的有②③， 故选：C． 5．（2024·河北·模拟预测）如图和图，天平两边托盘中相同形状的物体质量相同，且两架天平均保持平衡，若个“□”与个“○”的质量相等，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三元一次方程组，解题的关键是正确找出等量关系．设个“□”的质量为，个“△”的质量为，个“○”的质量为，再根据题意列出方程组即可求解． 【详解】解：设个“□”的质量为，个“△”的质量为，个“○”的质量为， 根据题意可得：， 整理得：， 得：， 即个“□”与个“○”的质量相等， 故选：B． 6．（23-24七年级上·全国·单元测试）已知 是关于x，y的二元一次方程的解，则a的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次方程的解，直接把x，y的值代入进而计算得出答案，正确代入计算是解题关键． 【详解】解：∵ 是关于x，y的二元一次方程的解， ∴， 解得：， 故答案为：． 7．（23-24七年级上·四川眉山·期中）在等式中，当时，；当时，；当时，．则这个等式为 【答案】 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，代值列出三元一次方程组进行解答，即可． 【详解】解：由题可得：， 解得， ∴等式为， 故答案为：． 8．（23-24七年级上·浙江湖州·阶段练习）若关于、的二元一次方程组的解为，则关于、的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，结合题意，利用整体代入法求解即可． 【详解】令，， ∵关于、的二元一次方程组的解为， 则， ∴关于、的二元一次方程组的解为， ∴关于、的二元一次方程组的解为， 故答案为：． 9．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）已知关于x、y的二元一次方程组（p为实数）． （1） （用含p的式子表示）； （2）若方程组的解也是方程（q为整数，且q不等于0或）的解，p也是整数，则q的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，根据二元一次方程组的解的情况确定参数的取值及分式求值，正确地求得二元一次方程组的解是解决问题的关键． （1）两式相加化简即可得出结果； （2）解方程组，用用含p的式子表示的解，再代入，求出，根据题意即可解答． 【详解】解：（1）， 两式相加得：， ， 故答案为：； （2）， ①②得：，解得：， 将代入②得：，解得：， 方程组的解也是方程的解， ， ， q为整数，且q不等于0或， 或， p是整数， 时，有最小整数值，则有最小整数值， ， 故答案为：． 10．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）已知关于x，y的二元一次方程的解如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 8 6.5 5 3.5 2 0.5 … 已知关于x，y的二元一次方程的解如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 2 … （1）仔细观察表中数据，直接写出关于，二元一次方程组的解为 ． （2）关于，的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解与系数的关系是解题的关键 （1）两个表格中的相同解即为方程组的解； （2）根据两个方程组的系数的关系即可求解． 【详解】解：（1）根据表格可知，当时，中，中， ∴关于，二元一次方程组的解为， 故答案为； （2）∵关于，二元一次方程组的解为， ∴关于，的二元一次方程组的解为， 解得， ∴关于，的二元一次方程组的解为， 故答案为． 11．（23-24七年级上·山东济宁·期末）（1）解方程组： （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）先整理原方程组，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：（1） 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为； （2） 整理得：， 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为． 12．（23-24七年级上·山西长治·阶段练习）解方程组时，小明本应该解出，由于看错了系数c，从而得到解，试求出的值 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 将第一对x与y的值代入方程组第二个方程求出c的值，将两对x与y的值代入方程组中第一个方程，求出a，b的值即可． 【详解】解：把代入，得，解得， 把代入，得①， 把代入，得②， ①，②联立方程组，得 解得， ∴． 13．（23-24七年级上·四川乐山·期末）甲乙两位同学在解同一个关于，的二元一次方程组时，甲看错了②中的解得，乙看错了①中的解得．请回答： (1)求，的值； (2)求该二元一次方程组正确的解． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题主要是考查了二元一次方程组的解，解二元一方程组， （1）根据题意得出是方程①的解，代入得出，同理解得 （2）由题可知，原方程组可变为，解方程组，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知， 甲看错了②中的 是方程①的解 ，解得 ∵乙看错了①中的 ∴是方程②的解 ∴ 解得 综上：，. （2）由题可知，原方程组可变为 ，得 解得 把代入①解得 原方程组的解为. 14．（23-24七年级上·广东肇庆·期末）先阅读下列知识，然后回答后面的问题∶ 二元一次方程组的解的情况有以下三种：当时，方程组有无数个解；当时，方程组无解；当时，方程组有唯一解． (1)判断二元一次方程组的解的情况：___________；判断二元一次方程组的解的情况：___________． (2)小明在解下面的二元一次方程组时，碰到了一个非常“严重”的问题，发现“”，他知道这是不可能的，但是又找不到错误的原因，请你解释一下． 解方程组： 解：由①得，代入②得，得 【答案】(1)有无数个解；有唯一解 (2)见解析 【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义； （1）根据二元一次方程组的解与系数的关系求解即可； （2）根据（1）的结论可知，原方程组无解，所以出现错误． 【详解】（1）解：对于第一个二元一次方程组， ，，，由于， 所以该方程组有无数个解； 对于第二个二元一次方程组， ，，，由于， 所以该方程组有唯一解． （2）解：∵ ∴二元一次方程组无解，故小明出现错误． 15．（23-24七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）先阅读下列材料，再完成任务： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x、y满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由①+②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)若关于x、y的二元一次方程组的解满足．则m的取值范围是______； (3)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需多少元？ 【答案】(1)，5 (2)； (3)购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需6元． 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式，三元一次方程组的应用． （1）利用加减法和即可得出结论； （2）先将方程组中的两个方程相加化简可得，再代入可得一个关于m的一元一次不等式，然后解不等式即可得； （3）根据购买20支铅笔、3块橡皮、2本笔记本，共需要32元，若购买39支铅笔、5块橡皮、3本笔记本共需58元列出方程组． 【详解】（1）解：， 由可得， 由可得， ∴． 故答案为：，5； （2）解：， 两个方程相加得：，即， 由题意得：， 解得， 故答案为：； （3）解：购买1支铅笔需元，1块橡皮需元，1本日记本共需元， 由题意得：， 得：， 答：购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需6元． 学科网（北京）股份有限公司 $$