专题08 点、线段、角易错必刷题型专训（99题33个考点）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（华东师大版2024）

专题08 点、线段、角易错必刷题型专训（99题33个考点） 【易错必刷一 点、线、面、体四者之间的关系】 1．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）老师在黑板上用粉笔写字，可用下面（   ）的数学知识点来解释． A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．线线相交 2．（23-24七年级上·山东临沂·期中）灯笼是一种古老的汉族传统工艺品．你见过一种折叠灯笼（如图）吗？它未提起时看起来是平面的，可是提起来后却变成了美丽的灯笼，这个过程可近似的用数学原理来解释： ．    3．（23-24七年级上·山东菏泽·开学考试）如图中圆柱的底面周长是cm，高是dm，现用包装绳包扎，至少需要多长的包装绳？（接头处需cm）    【易错必刷二 直线、射线、线段的联系与区别】 1．（2024·河北·模拟预测）如图，下列给出的直线，射线，线段能相交的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，是直线l上的三个点． （1）图中共有 条线段； （2）图中以点B为端点的射线有 条，分别是 ； （3）直线l还可以表示为 ． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）如图所示，共有多少条直线、射线、线段？请依次指出．    【易错必刷三 画出直线、射线、线段】 1．（2024·河北保定·二模）如图中四条线段a，b，c，d和线段e在同一条直线上的是（    ） A．a B．b C．c D．d 2．（2024七年级·全国·期中）两个小朋友欣欣和希希在捉迷藏，欣欣站在图中的点处，没有看到希希，那么在图中所给出的位置点中，希希不可能躲藏的位置是点 处（图中带阴影部分为足够高且不透明的障碍物）． 3．（23-24七年级上·辽宁鞍山·开学考试）根据下列语句画图： (1)画直线a，与线段b交于点E； (2)过直线l外一点M和直线上一点F画射线； (3)反向延长线段至P点，使线段． 【易错必刷四 点与线的位置关系】 1．（23-24七年级上·辽宁鞍山·期末）如图，用适当的语句表述图中点与直线的关系，错误的是（    ） A．点在直线外 B．点在直线外 C．点不经过直线 D．点经过直线 2．（2024七年级上·全国·专题练习）直线的位置关系如图所示，则下列语句： ①点B在直线上；②直线经过点C；③直线两两相交；④点B是直线的交点，以上语句正确的有 （只填写序号） 3．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）用适当的语句表述图中点与直线的关系．（至少写3句） 【易错必刷五 直线、线段、射线的数量问题】 1．（23-24七年级上·江苏宿迁·开学考试）有一把磨损严重的直尺，上面的大部分刻度已经看不清了，能看清的只有四个刻度（如图，单位：厘米）．用这把直尺能直接量出（    ）个不同的长度． A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，是直线l上的三个点． （1）图中以点B为端点的射线有 条，分别是 ； （2）直线l还可以表示为 ． 3．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，平面内有A，B，C，D四点，按下列语句画图： (1)画射线，直线，线段； (2)连接与线段相交于点E． (3)此时图中有______条线段． 【易错必刷六 直线相交的交点个数问题】 1．（23-24七年级上·贵州遵义·阶段练习）小红在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题．现有7条不同的直线（），其中，互相平行，，，三条直线交于一点，则他探究这7条直线的交点个数最多是（    ） A．17个 B．18个 C．19个 D．21个 2．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图所示，在同一平面内两条直线相交，有一个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点……，那么12条线直线相交最多有 个交点． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）先阅读，然后解答． 问题：两条直线将平面分成几部分？ 解：如图①，两条直线平行时，它们将平面分成三部分； 如图②，两条直线不平行时，它们将平面分成四部分． 根据上述内容，解答下面的问题． (1)上面问题的解题过程应用了________的数学思想（填“转化”“分类讨论”“整体处理”或“数形结合”）； (2)三条直线将平面分成几部分？ 【易错必刷七 线段的应用】 1．（23-24七年级上·浙江金华·期末）从杭州东站出发到金华南站的动车，中途要停靠诸暨站和义乌站，则铁路部门供旅客购买的火车票要准备（　　） A．12种 B．10种 C．6种 D．4种 2．（23-24七年级上·河南许昌·期末）2024年9月8日，随着列车从郑州港区段鸣笛出发，郑许市域铁路开始空载试运行，未来“双城生活模式”指日可待．图中展示了郑许市域铁路的其中五个站点，若要满足乘客在这五个站点之间的往返需求，铁路公司需要准备 种不同的车票． 3．（23-24七年级上·北京海淀·期中）工厂的技术人员在设计印刷线路板时，常要考虑哪些线与哪些线不能相交的问题，如图1，图中标有相同字母的两个电器元件需要相连，而所有连线又不能相交，同时为了美观起见，还要求沿着图中的格子连线，从图中元件A的位置可知A与A之间的连线，必须把相同字母的两个元件划在连线的同一侧，具体的说，B、C和E都在A与A连线的上侧，点D则要在这条连线的下侧，于是可得如图所示的印刷线路板． 管道交叉问题是一个与上述问题类似的著名网格问题： (1)如图2，A，B两幢房子分别要得到电，水和燃气的供应，向这两幢房子供应的六根管道都要正好紧贴地面，请画出六根管道的示意图； (2)另外要建一幢C房子，也要得到电、水和燃气的供应，向三幢房子供应水、电和燃气的九根管道都正好紧贴地面且相互不交叉，是否可以做到？如果可以做到，请将C房子画在相应的位置并画出管道示意图，如果做不到，请说明理由． 【易错必刷八 两点确定一条直线】 1．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（    ）   A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2．（2024·吉林松原·模拟预测）建筑工人在砌墙时，经常在两个墙角的位置分别立一根木桩，在两根木桩之间拉一根线，沿着这条线就可以砌出直的墙，则其中的数学依据是 ． 3．（23-24七年级上·河南洛阳·期末）如图，小海龟（头朝上）位于图中点处，按下述口令移动：前进格；向右转，前进格；向左转，前进格；向左转，前进格；向右转，后退格；最后向右转，前进格；用粗线将小海龟经过的路线描出来，看一看是什么图形． 【易错必刷九 作线段（尺规作图）】 1．（23-24七年级上·河北唐山·期末）如图，已知线段、，画出线段，则的长度表述正确的是(   ) A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·山东聊城·期末）已知：线段a，b，求作：线段，使得，小明给出了五个步骤：①作一条射线；②则线段；③在射线上作线段；④在射线上作线段；⑤在射线上作线段；你认为正确的顺序是 ． 3．（23-24七年级上·山东潍坊·阶段练习）尺规作图（不写画法，保留画图痕迹） 已知线段a，b，且，求作一条线段，使．   【易错必刷十 线段的和与差】 1．（24-25七年级上·辽宁·期末）在直线上顺次取三点、、，使线段，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·甘肃武威·期末）已知点A、B、C在一条直线上，，则的长为 ． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知线段a、b、c，用尺规作一条线段，使它等于．（保留作图痕迹，不写作法〉 【易错必刷十一 线段中点的有关计算】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，小林利用圆规在线段上截取线段，使．若D恰好为的中点，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·河北唐山·期中）点A，B，C在同一条直线上，其中一点为另外两点形成的线段的中点，， ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如下图，是直线l上的四个点，分别是的中点． (1)，则_______； (2)若，则_______； (3)若，求的长． 【易错必刷十二 线段n等分点的有关计算】 1．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，线段，点C在线段AB上，P，Q是线段的三等分点，M，N是线段的三等分点，则线段的长为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 2．（23-24七年级上·山东枣庄·期末）若线段，点C是线段的中点，点D是线段的三等分点，则线段的长为 ． 3．（23-24七年级上·湖北鄂州·期末）如图，已知平面内A、B两点和线段a．请用尺规按下列要求作图．（不写作法．保留作图痕迹） (1)连接，并延长到C，使； (2)在完成（1）作图的条件下．若点E为的三等分点，，，求的长度． 【易错必刷十三 线段之间的数量关系】 1．（23-24七年级上·河南郑州·期末）小涵家所在的小区、小区附近的一个大型超市和新华书店均位于一条东西走向的公路两旁，且超市和书店与小涵家的距离分别为800米和300米，则超市和书店之间的距离为（    ） A．500米 B．1100米 C．300米或500米 D．500米或1100米 2．（2024七年级·全国·竞赛）如图，是线段上两点，且，点分别是的中点，则 ． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，比较这两条线段的长短．    【易错必刷十四 与线段有关的动点问题】 1．（23-24七年级上·云南昆明·期末）如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An（n≥3，n是整数）处，问经过这样2024次跳动后的点与A1A的中点的距离是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）电子跳蚤游戏盘(如图)为三角形，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从跳到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为，则与C之间的距离为 ． 3．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）如图1，点C在线段AB上，．P，Q两点同时从点C，B出发，分别以，的速度沿直线AB向左运动，当点P达点A时，两点立即停止运动． （1）的值是______； （2）取PQ中点M，CQ的中点N．求的值． 【易错必刷十五 两点之间线段最短】 1．（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图点为圆锥的顶点，点为圆锥底面上一点，点在上．从点开始绕圆锥一周回到点所经过的最短路线的痕迹如图所示．若沿将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（    ）． A． B． C． D． 2．（2024七年级上·上海·专题练习）用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，如图，则剩下的树叶周长小于原树叶的周长，能解释这一现象的数学道理是 ． 3．（23-24七年级上·宁夏银川·期末）几何知识可以解决生活中许多距离最短的问题．让我们从书本一道习题入手进行探索． (1)如图①，A、B是公路l两侧的两个村庄．现要在公路l上修建一个垃圾站C，使它到A、B两村庄的路程之和最小，请在图中画出点C的位置，并说明理由． (2)如图②，在B村庄附件有一个生态保护区，现要在公路l上修建一个垃圾站C，使它到A、B两村庄的路程之和最小，从B村庄到公路不能穿过生态保护区，请在图中画出点C的位置． 【易错必刷十六 两点间的距离】 1．（2024·吉林·二模）台湾省，简称“台”，是中华人民共和国省级行政区，省会为台北市．在地图上如果把城市看作一点，下列城市与台北市之间的距离最大的是（    ） A．吉林市 B．西安市 C．海口市 D．福州市 2．（23-24七年级上·浙江嘉兴·期末）已知点A，B，C在同一条直线上，且，，则 ． 3．（23-24七年级上·河南安阳·期末）如图，在“和谐”公园的绿茵广场上有A，B，C三棵树．测得B树和C树相距，，，请用代表，画出类似的图形，量出，的长（精确到），再换算出A树距B，C两树的实际距离．    【易错必刷十七 最短路径问题】 1．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）A、、为三个小区，A、、三个小区的学生人数比为，现在要在所在的平面上建造一个学校，使得所有学生走的路程和最短，则学校应该选在（    ）    A．点处 B．三条中线的交点处 C．点处 D．和的角平分线的交点处 2．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）如图，，点M、N分别在射线、上，，的面积为12，P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，当点P在直线上运动时，的面积最小值为 ．    3．（23-24七年级上·全国·课后作业）如图，在旷野上，一个人骑着马从A地到B地，半路上他必须让马先到河岸l的P点去饮水，然后再让马到河岸m的Q点再次饮水，最后到达B点，他应该如何选择马饮水地点P、Q，才能使所走路程最短？（假设河岸l、m为直线） 【易错必刷十八 角的概念理解】 1．（23-24七年级上·山东聊城·开学考试）在∠AOB的内部从顶点O引出3条射线，则图中共有角的个数是（    ） A．9个 B．10个 C．11个 D．12个 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）归纳与猜想： （1）观察上图填空：图中有个 角；图中有 个角；图中有 个角； （2）根据（1）题猜想：在一个角内引条射线可组成 个角．    3．（23-24七年级上·重庆忠县·期末）已知线段a和如图，小红同学进行了以下作图：①在边上截取；②在边上截取；③连接交射线于点F． (1)请在中完成小红同学的作图（保留作图痕迹，标上字母）； (2)设，，，，将，，，在图中标记出来． 【易错必刷十九 角的表示方法】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列对于图中画弧线的角的表示方法：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（23-24七年级上·全国·课堂例题）将图中的角用不同方法表示出来，填写下表：    3．（23-24七年级上·全国·课后作业）如图，    (1)用不同的方法表示图中以为顶点的角； (2)写出以为顶点的角与边； (3)画出，使成平角，写出它的边． 【易错必刷二十 角的分类】 1．（23-24七年级上·北京房山·期末）如图所示，下列各角是锐角的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）周角= 平角= 直角． 3．（23-24七年级上·青海黄南·开学考试）任意作一个直角、一个大于的锐角和一个小于120的钝角． 【易错必刷二十一 钟面角】 1．（23-24七年级上·四川达州·期末）如图，在下午四点半的时候，时针和分针所夹的锐角度数是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·全国·期末）由2点30分到2点55分，时钟的分针最少转过的度数是 ． 3．（23-24七年级上·广东惠州·阶段练习）如图①、图②两个钟表表示的时间分别为．      (1)写出和的度数，并比较两个角的大小； (2)在时到时之间，写出一个时间，使时针、分针所夹的度数与的度数相等． 【易错必刷二十二 与方向角有关的计算题】 1．（23-24七年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，B处在A处南偏东方向，C处在A处南偏东方向，B处在C处南偏西方向，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·期末）如图，点A在点O的北偏东方向上，点B在点O的南偏西方向上，则的度数为 ． 3．（2024七年级上·上海·专题练习）一只蚂蚁从点出发，沿北偏东的方向爬行了线段的长度时碰到障碍物，原路返回爬行了线段的长度到达处，然后向北偏西的方向爬行到达处． (1)画出蚂蚁的爬行路线图，并标出相关字母．（角度可以用量角器画出） (2)请用、表示线段___________． (3)___________． 【易错必刷二十三 角的单位与角度制】 1．（23-24七年级上·吉林长春·期末）用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： （1） ＇． （2） ． （3） ＇． 3．（23-24七年级上·四川凉山·期末）把下列角度化成度、分、秒的形式： (1)． (2) 【易错必刷二十四 角的度数大小比较】 1．（23-24七年级上·河北唐山·期末）若，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，点P是直线l外一点，过点P画直线，，，分别交已知直线l于点A，B，C，请你用量角器量，，的度数，并量线段，，的长度，你发现的规律是 ． 3．（23-24七年级上·河南周口·期末）如图，点O是圆心，A，B，C是圆上三点，我们称为圆心角，为圆周角． (1)请在圆上（直线的上部）任意取两点，，画出，，测量，，的度数，你能发现什么规律？ (2)请测量的度数，与（1）中的角度相比较你有什么发现？ 【易错必刷二十五 三角板中角度计算问题】 1．（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图，是一块直角三角板，其中，直尺的一边经过顶点A，若的度数是的倍，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·山东聊城·开学考试）将一副三角板如图摆放，若，则的度数是 ． 3．（23-24七年级上·浙江温州·期末）将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，两直角顶点重合于点，已知． (1)求的度数． (2)现将三角尺固定不动，把三角尺绕点顺时针旋转度，当时，求的值． 【易错必刷二十六 角度的四则运算】 1．（23-24七年级上·湖南郴州·阶段练习）如图，把一块三角板的直角顶点放在直线上，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·吉林·开学考试）计算： 3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) 【易错必刷二十七 实际问题中角度计算问题】 1．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·广东惠州·期中）一束光在空气与某透明物质的界面处发生了反射和折射现象，其光路如图所示．入射光线与界面的入射角为，折射角为，则反射光线与折射光线形成的 ． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）如图，一个齿轮有15个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等，这个夹角是多少度？如果是22个齿的齿轮，这个夹角又是多少度（精确到分）？ 【易错必刷二十八 角平分线的有关计算】 1．（24-25七年级上·河北廊坊·期中）如图， 是的高， 是的角平分线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·期末）如图，是平角，是射线，、分别是、的平分线，若，则的度数为 ． 3．（23-24七年级上·广东湛江·期末）如图，点O为直线上一点，过点O作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图1中的三角板绕点O处逆时针旋转至图2，使一边在的内部．且恰好平分，求的度数． (2)在图3中，延长线段得到射线，判断是否平分，请说明理由． 【易错必刷二十九 角n等分线的有关计算】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，是的两条三等分线，则下列等式不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）若，为的三等分线，则 ． 3．（23-24七年级上·四川成都·期末）若同一平面内三条射线有公共端点，且满足时，我们称是（）的“新风尚线”，但不是（）的“新风尚线”．如果或者，我们称是和的“新风尚线”． (1)如图（1），已知，是的三等分线，则射线 是（）的“新风尚线”； (2)如图（2），若，是（）的“新风尚线”，求． 【易错必刷三十 求一个角的余角】 1．（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）已知，与互余，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·河南郑州·期末）已知，则的余角的度数为 ． 3．（23-24七年级上·河北保定·期末）如图点A，O，B在同一条直线上，过点O作射线，，，，且和互余，与互余，平分． (1)判断和之间满足的数量关系，并说明理由． (2)判断是否平分，并说明理由． 【易错必刷三十一 求一个角的补角】 1．（23-24七年级上·天津河西·期末）如图，相交于点O，平分，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·四川达州·期中）如图，和互为补角，，则 ． 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，点A，O，B在一条直线上，，，是的平分线． (1)求和的度数； (2)是的平分线吗？为什么？ 【易错必刷三十二 与余角、补角有关的计算】 1．（23-24七年级上·山东济宁·期中）如图，用量角器度量几个角的度数，下列结论正确的有（   ） ①；②与互补；③；④是的余角；⑤平分． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24七年级上·四川自贡·开学考试）若一个角的余角为，则这个角的补角的度数为 ． 3．（23-24七年级上·云南昆明·期末）如图，为直线上一点，平分，． (1)若，求的度数； (2)试判断和有怎样的数量关系，说说你的理由． 【易错必刷三十三 同(等)角的余(补)角相等的应用】 1．（23-24七年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中，的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）如图，直线与相交于点O，∴，，∴，在此推理过程中，与相等的理由是 ． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，点O在直线上，． (1)图中除外，还有哪些角是直角？ (2)图中有哪些相等的角？ (3)指出图中与互余的角、与互补的角． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 点、线段、角易错必刷题型专训（99题33个考点） 【易错必刷一 点、线、面、体四者之间的关系】 1．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）老师在黑板上用粉笔写字，可用下面（   ）的数学知识点来解释． A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．线线相交 【答案】A 【分析】本题考查点、线、面、体，之间的关系；根据题意可得点动成线，据此即可求解． 【详解】解：老师在黑板上用粉笔写字，可用点动成线的数学知识点来解释． 故选：A． 2．（23-24七年级上·山东临沂·期中）灯笼是一种古老的汉族传统工艺品．你见过一种折叠灯笼（如图）吗？它未提起时看起来是平面的，可是提起来后却变成了美丽的灯笼，这个过程可近似的用数学原理来解释： ．    【答案】面动成体 【分析】本题考查了根据点、线、面、体的相关知识，根据点、线、面、体相关的知识进行解答即可． 【详解】解：依题意，由平面图形变成立体图形的过程是面动成体， 故答案为：面动成体． 3．（23-24七年级上·山东菏泽·开学考试）如图中圆柱的底面周长是cm，高是dm，现用包装绳包扎，至少需要多长的包装绳？（接头处需cm）    【答案】647厘米 【分析】所需包装绳的长度等于4条高，4条直径，再加上接头处用的cm即可． 【详解】解： 底面直径：（厘米） （厘米） 答：至少需要647厘米的包装绳． 【点睛】本题考查圆柱体知识的实际应用．弄清楚所需包装绳长度的组成是解题关键． 【易错必刷二 直线、射线、线段的联系与区别】 1．（2024·河北·模拟预测）如图，下列给出的直线，射线，线段能相交的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查线段、直线、射线的概念和性质，直线：直线向两方无限延伸，无法度量长度；射线：射线只能向一方无限延伸，无法度量长度；线段：线段不能向任何一方无限延伸，能度量长度． 【详解】A、线段不能向两边延伸， ∴与不会相交，故本选项错误； B、射线向右上方方向延伸， ∴与不会相交，故本选项错误； C、射线向左下方方向延伸， ∴与会相交，故本选项正确； D、射线向右上方方向延伸，射线向左下方方向延伸， ∴与不会相交，故本选项错误； 故选：C． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，是直线l上的三个点． （1）图中共有 条线段； （2）图中以点B为端点的射线有 条，分别是 ； （3）直线l还可以表示为 ． 【答案】 3 2 射线、射线 直线或直线或直线或直线或直线或直线 【分析】此题主要考查了线段、直线、射线，关键是掌握线段的定义． （1）根据线段概念即可求得答案； （2）根据射线概念即可求得答案； （3）根据直线的概念即可求得答案． 【详解】解：（1）图中共有3条线段，线段、线段、线段； 故答案为：3； （2）图中以点B为端点的射线有2条，射线、射线； 故答案为：2，射线、射线； （3）直线l还可以表示为：直线或直线或直线或直线或直线或直线； 故答案为：直线或直线或直线或直线或直线或直线． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）如图所示，共有多少条直线、射线、线段？请依次指出．    【答案】见解析 【分析】根据直线、射线和线段的定义进行判断即可得到答案． 【详解】题图中共有2条直线，即直线，； 13条射线，即射线，射线，射线，射线，射线，射线，射线，还有6条不可以表示的； 6条线段，即线段，线段，线段，线段，线段，线段． 【点睛】本题考查直线、线段和射线的定义，直线：能够向两端无限延伸的线；射线：直线上的一点和这点一旁的部分叫射线，这个点叫做射线的端点；线段：直线上两点和中间的部分叫做线段，这两个点叫线段的端点． 【易错必刷三 画出直线、射线、线段】 1．（2024·河北保定·二模）如图中四条线段a，b，c，d和线段e在同一条直线上的是（    ） A．a B．b C．c D．d 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段，射线，直线，利用直尺动手画出图形是解题的关键，利用直尺画出遮挡的部分即可得出结论． 【详解】解：利用直尺画出图形如下： 可以看出线段b与e在一条直线上． 故选：B． 2．（2024七年级·全国·期中）两个小朋友欣欣和希希在捉迷藏，欣欣站在图中的点处，没有看到希希，那么在图中所给出的位置点中，希希不可能躲藏的位置是点 处（图中带阴影部分为足够高且不透明的障碍物）． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了线段的知识，理解线段的定义是解题关键．连接，观察这些线段是否与障碍物相交，即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接， 由图可知，仅有没有与障碍物相交， 故希希不可能躲藏的位置是点或处． 故答案为：或． 3．（23-24七年级上·辽宁鞍山·开学考试）根据下列语句画图： (1)画直线a，与线段b交于点E； (2)过直线l外一点M和直线上一点F画射线； (3)反向延长线段至P点，使线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了基本的作图，理解线段、射线以及直线的延伸性是关键． （1）根据题目的叙述利用直尺作图； （2）根据题目的叙述利用直尺作图； （3）根据题目的叙述利用直尺作图． 【详解】（1）解：直线a，与线段b交于点E，所作图形如图①； （2）过直线l外一点M和直线上一点F画射线，所作图形如图②； （3）反向延长线段至P点，使线段，所作图形如图③． 【易错必刷四 点与线的位置关系】 1．（23-24七年级上·辽宁鞍山·期末）如图，用适当的语句表述图中点与直线的关系，错误的是（    ） A．点在直线外 B．点在直线外 C．点不经过直线 D．点经过直线 【答案】B 【分析】结合图形，对选项一一分析，选出正确答案． 【详解】解：A、点在直线外，符合图形描述，选项正确； B、点在直线上，故此选项不符合图形描述，选项错误； C、点不经过直线，符合图形描述，选项正确； D、点经过直线，符合图形描述，选项正确． 故选：B． 【点睛】考查点与直线的位置关系．掌握点与直线的位置关系是解题的关键． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）直线的位置关系如图所示，则下列语句： ①点B在直线上；②直线经过点C；③直线两两相交；④点B是直线的交点，以上语句正确的有 （只填写序号） 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了点与直线的位置关系，熟练掌握点经过直线，说明点在直线上和点不经过直线，说明点在直线外是解题的关键．依据点与直线的位置关系进行判断，即可得到正确结论． 【详解】 由图可得，①点B在直线上，正确； ②直线不经过点C，错误； ③直线两两相交，正确； ④点B是直线的交点，正确； 故答案为：①③④． 3．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）用适当的语句表述图中点与直线的关系．（至少写3句） 【答案】见解析 【分析】根据点与直线的位置关系即可解答 【详解】解：（1）点在直线上； （2）点在直线上； （3）点在直线外； （4）点不在直线上； （5）直线经过点； （6）直线经过点； （7）直线经过点和点； （8）直线不经过点． 【点睛】本题主要考查了几何作图，注意叙述要准确． 【易错必刷五 直线、线段、射线的数量问题】 1．（23-24七年级上·江苏宿迁·开学考试）有一把磨损严重的直尺，上面的大部分刻度已经看不清了，能看清的只有四个刻度（如图，单位：厘米）．用这把直尺能直接量出（    ）个不同的长度． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段的度量，解题关键是按照一定的顺序度量，不漏不重． 根据直尺上的刻度得到图中共有条线段，进而求解即可． 【详解】图中共有条线段， 能量出6个长度，分别是：． 故选：D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，是直线l上的三个点． （1）图中以点B为端点的射线有 条，分别是 ； （2）直线l还可以表示为 ． 【答案】 2 射线、射线 直线或直线或直线或直线或直线或直线 【分析】本题考查了射线与直线的表示法，注意表示射线时必须把顶点字母写在前． （1）根据射线的表示方法解答即可； （2）根据直线的表示方法解答即可． 【详解】解：（1）图中以点B为端点的射线有2条，射线、射线； 故答案为：2，射线、射线； （2）直线l还可以表示为：直线或直线或直线或直线或直线或直线； 故答案为：直线或直线或直线或直线或直线或直线． 3．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，平面内有A，B，C，D四点，按下列语句画图： (1)画射线，直线，线段； (2)连接与线段相交于点E． (3)此时图中有______条线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)8 【分析】本题主要考查了画线段、射线和直线，线段条数问题，解题的关键是熟练掌握线段、射线和直线的定义． （1）根据射线、直线和线段的定义画图即可； （2）根据题意画图即可； （3）根据线段定义，找出图中所有的线段即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，射线，直线，线段即为所求． （2）解：点E即为所求． （3）解：图中有线段、、、、、、、，共8条． 故答案为：8． 【易错必刷六 直线相交的交点个数问题】 1．（23-24七年级上·贵州遵义·阶段练习）小红在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题．现有7条不同的直线（），其中，互相平行，，，三条直线交于一点，则他探究这7条直线的交点个数最多是（    ） A．17个 B．18个 C．19个 D．21个 【答案】B 【分析】根据直线两两都相交时，交点的个数最多，画图计算即可． 本题考查了直线的相交，熟练掌握两两相交时，交点个数最多是解题的关键． 【详解】解：根据题意，画图如下： 则最多有18个交点， 故选B． 2．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图所示，在同一平面内两条直线相交，有一个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点……，那么12条线直线相交最多有 个交点． 【答案】66 【分析】本题考查直线的交点问题，观察图形，可以得到同一平面内条直线，最多有个交点，即可得出结果． 【详解】解：观察图形，可得：同一平面内条直线，最多有个交点， ∴12条线直线相交最多有个交点； 故答案为：66． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）先阅读，然后解答． 问题：两条直线将平面分成几部分？ 解：如图①，两条直线平行时，它们将平面分成三部分； 如图②，两条直线不平行时，它们将平面分成四部分． 根据上述内容，解答下面的问题． (1)上面问题的解题过程应用了________的数学思想（填“转化”“分类讨论”“整体处理”或“数形结合”）； (2)三条直线将平面分成几部分？ 【答案】(1)分类讨论 (2)四或六或七 【详解】（1）分类讨论 （2）由答图①②③④可知，三条直线可以将平面分成四或六或七部分． 【易错必刷七 线段的应用】 1．（23-24七年级上·浙江金华·期末）从杭州东站出发到金华南站的动车，中途要停靠诸暨站和义乌站，则铁路部门供旅客购买的火车票要准备（　　） A．12种 B．10种 C．6种 D．4种 【答案】A 【分析】一共有4个站，由一个站到其它3个站就需要3张不同的车票，由此可求出车票总数． 【详解】解：根据题意，一共有4个站，由一个站到其它3个站就需要3张不同的车票， ∴铁路部门供旅客购买的火车票要准备（种）， 故选：A． 【点睛】本题考查线段，解答的关键是理解题意，熟知两站之间有两种不同的车票，不能遗漏返程票． 2．（23-24七年级上·河南许昌·期末）2024年9月8日，随着列车从郑州港区段鸣笛出发，郑许市域铁路开始空载试运行，未来“双城生活模式”指日可待．图中展示了郑许市域铁路的其中五个站点，若要满足乘客在这五个站点之间的往返需求，铁路公司需要准备 种不同的车票． 【答案】20 【分析】先求得单程的车票数，在求出往返的车票数即可． 【详解】解：5个点中线段的总条数是（种）， ∵任何两站之间，往返两种车票， ∴应印制（种）， 故答案为：20． 【点睛】此题考查了数线段，解决本题的关键是掌握“直线上有个点，则线段的数量有条”． 3．（23-24七年级上·北京海淀·期中）工厂的技术人员在设计印刷线路板时，常要考虑哪些线与哪些线不能相交的问题，如图1，图中标有相同字母的两个电器元件需要相连，而所有连线又不能相交，同时为了美观起见，还要求沿着图中的格子连线，从图中元件A的位置可知A与A之间的连线，必须把相同字母的两个元件划在连线的同一侧，具体的说，B、C和E都在A与A连线的上侧，点D则要在这条连线的下侧，于是可得如图所示的印刷线路板． 管道交叉问题是一个与上述问题类似的著名网格问题： (1)如图2，A，B两幢房子分别要得到电，水和燃气的供应，向这两幢房子供应的六根管道都要正好紧贴地面，请画出六根管道的示意图； (2)另外要建一幢C房子，也要得到电、水和燃气的供应，向三幢房子供应水、电和燃气的九根管道都正好紧贴地面且相互不交叉，是否可以做到？如果可以做到，请将C房子画在相应的位置并画出管道示意图，如果做不到，请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)能，见解析． 【分析】（1）根据要求设计线路即可； （2）能，根据要求设计线路即可． 【详解】（1）解：图形如图2所示： （2）解：能．图形如图2﹣1所示： 【点睛】本题考查作图——应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【易错必刷八 两点确定一条直线】 1．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（    ）   A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】A 【分析】本题考查的是直线的性质在实际生活中的运用，根据直线的性质“两点确定一条直线”来解答即可． 【详解】解：经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，此操作的依据是：两点确定一条直线． 故选：A． 2．（2024·吉林松原·模拟预测）建筑工人在砌墙时，经常在两个墙角的位置分别立一根木桩，在两根木桩之间拉一根线，沿着这条线就可以砌出直的墙，则其中的数学依据是 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】此题考查了直线的性质：两点确定一条直线．由直线公理可直接得出答案． 【详解】解：建筑工人在砌墙时，经常在两个墙角分别立一根标志杆，在两根标志杆之间拉一根绳子，沿这根绳子可以砌出直的墙．这样做蕴含的数学道理是两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 3．（23-24七年级上·河南洛阳·期末）如图，小海龟（头朝上）位于图中点处，按下述口令移动：前进格；向右转，前进格；向左转，前进格；向左转，前进格；向右转，后退格；最后向右转，前进格；用粗线将小海龟经过的路线描出来，看一看是什么图形． 【答案】见解析，小海龟经过的路线类似一面旗帜 【分析】根据指令一个一个移动或转弯即可． 【详解】解：如图所示：小海龟经过的路线类似一面旗帜．（画出图画即可，答不出图的形状亦可） 【点睛】本题考查转弯，直行等概念的理解，理解这些概念是本题解题关键． 【易错必刷九 作线段（尺规作图）】 1．（23-24七年级上·河北唐山·期末）如图，已知线段、，画出线段，则的长度表述正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了基本作图以及两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．结合图形，根据作图即可求解． 【详解】解：由作图知：， 故选：D． 2．（23-24七年级上·山东聊城·期末）已知：线段a，b，求作：线段，使得，小明给出了五个步骤：①作一条射线；②则线段；③在射线上作线段；④在射线上作线段；⑤在射线上作线段；你认为正确的顺序是 ． 【答案】①③⑤④② 【分析】先作射线AE，然后在射线AE上作线段AC=a，再在射线CE上作线段CD=a，最后在射线DE上作线段DB=b，则线段AB= 2a+b． 【详解】解：由题意知，正确的画图步骤为：①作一条射线AE；③在射线AE上作线段AC＝a，⑤在射线CE上作线段CD＝a；④在射线DE上作线段DB＝b；②则线段AB＝ 2a＋b； ∴正确的顺序是①③⑤④② 故答案为：①③⑤④②． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 3．（23-24七年级上·山东潍坊·阶段练习）尺规作图（不写画法，保留画图痕迹） 已知线段a，b，且，求作一条线段，使．   【答案】见解析 【分析】本题考查了作图—复杂作图，先作射线，再截取，，则线段即为所作． 【详解】解：如图，线段即为所作， ． 【易错必刷十 线段的和与差】 1．（24-25七年级上·辽宁·期末）在直线上顺次取三点、、，使线段，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段的和差运算，根据在直线上顺次取三点、、，得出，再代数计算，即可作答． 【详解】解：在直线上顺次取三点、、， ， ，， ， 故选：D． 2．（23-24七年级上·甘肃武威·期末）已知点A、B、C在一条直线上，，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查线段的和与差，分点在线段上，和在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当点在线段上时，； 当点在线段的延长线上时，； 故答案为：或． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知线段a、b、c，用尺规作一条线段，使它等于．（保留作图痕迹，不写作法〉 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规画线段以及线段的和差，利用尺规画线段的方法去作图． 【详解】解：①如答图，画射线． ②在射线上顺次作；再反向作． ③线段．线段即为所要求作的线段． 【易错必刷十一 线段中点的有关计算】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，小林利用圆规在线段上截取线段，使．若D恰好为的中点，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段中点的相关知识，若，点D恰好为的中点，则，由此对各个选项进行判断即可． 【详解】解：∵，点D恰好为的中点， ∴， 故C错误，不符合题意， 故选：C． 2．（24-25七年级上·河北唐山·期中）点A，B，C在同一条直线上，其中一点为另外两点形成的线段的中点，， ． 【答案】1或2或4 【分析】本题考查的是线段的中点的含义，分类讨论是解本题的关键．分三种情况讨论：当C是线段的中点，当A是线段的中点时，当B是线段的中点时，从而可得答案． 【详解】解：当C是线段的中点，则； 当A是线段的中点时，则； 当B是线段的中点时，则，此时， 故答案为：1或2或4． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如下图，是直线l上的四个点，分别是的中点． (1)，则_______； (2)若，则_______； (3)若，求的长． 【答案】(1)11； (2)9； (3)． 【分析】本题主要考查了线段的和差，中点的定义， 对于（1），先根据中点定义求出，再根据得出答案； 对于（2），先求出，再根据中点定义求出，最后根据得出答案； 对于（3），仿照（2）解答即可． 【详解】（1）因为，点M，N是的中点， 所以． 因为， 所以． 故答案为：11； （2）因为， 所以． 因为点M，N是的中点， 所以， 所以， 所以（cm）. 故答案为：9； （3）因为， 所以． 因为分别是的中点， 所以， 所以． 因为， 所以． 【易错必刷十二 线段n等分点的有关计算】 1．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，线段，点C在线段AB上，P，Q是线段的三等分点，M，N是线段的三等分点，则线段的长为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了两点间的距离，n等分点的定义，数形结合是解题的关键．由三等分点的定义得，，然后由两点间的距离求解即可． 【详解】解：∵P，Q是线段的三等分点，M，N是线段的三等分点， ∴，， ∴． 故选C． 2．（23-24七年级上·山东枣庄·期末）若线段，点C是线段的中点，点D是线段的三等分点，则线段的长为 ． 【答案】或 【分析】根据线段中点的定义和线段三等分点的定义即可得到结论． 【详解】解：是线段的中点，， ， 点是线段的三等分点， ①当时，如图， ； ②当时，如图， ． 所以线段的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，分类讨论思想的运用是解题的关键． 3．（23-24七年级上·湖北鄂州·期末）如图，已知平面内A、B两点和线段a．请用尺规按下列要求作图．（不写作法．保留作图痕迹） (1)连接，并延长到C，使； (2)在完成（1）作图的条件下．若点E为的三等分点，，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了尺规作图的操作，还有两点间的距离，解决本题的关键是掌握中点的性质，并利用线段和差进行求解． （1）利用尺规作图，可以解出此题，注意保留做题痕迹． （2）根据E为的三等分点，，，分两种情况利用线段的和差可求出的长． 【详解】（1）解： （2）解：如图，∵，， ∴， ∴ ∵点E为的三等分点， ∴或， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 综上，长为或． 【易错必刷十三 线段之间的数量关系】 1．（23-24七年级上·河南郑州·期末）小涵家所在的小区、小区附近的一个大型超市和新华书店均位于一条东西走向的公路两旁，且超市和书店与小涵家的距离分别为800米和300米，则超市和书店之间的距离为（    ） A．500米 B．1100米 C．300米或500米 D．500米或1100米 【答案】D 【分析】本题考查线段的和差关系，分“小涵家在超市和书店之间”“书店在超市和小涵家之间”两种情况，分别计算即可． 【详解】解：分两种情况：当小涵家在超市和书店之间时， 超市和书店之间的距离为：（米）； 当书店在超市和小涵家之间时， 超市和书店之间的距离为：（米）； 则超市和书店之间的距离为500米或1100米． 故选D． 2．（2024七年级·全国·竞赛）如图，是线段上两点，且，点分别是的中点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例线段，根据题目设出、、的值是解题的关键． 设，，，根据是线段上两点，且，点分别是的中点，得到，即可解答． 【详解】设，，， 则，，． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，比较这两条线段的长短．    【答案】 【分析】此题考查了线段的大小比较，把图中的线段、线段放在一条直线上，使点A和点C重合，点B和点D重合，进而求解即可． 【详解】解：如答图，把图中的线段、线段放在一条直线上，使点A和点C重合，点B和点D重合，    所以． 【易错必刷十四 与线段有关的动点问题】 1．（23-24七年级上·云南昆明·期末）如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An（n≥3，n是整数）处，问经过这样2024次跳动后的点与A1A的中点的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，可以写出前几个点表示的数，从而可以发现数字的变化特点，然后即可得到2024次跳动后的点与A1A的中点的距离，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， 点A1表示的数为8×＝4， 点A2表示的数为8××＝2， 点A3表示的数为8××＝1， …， 点An表示的数为8×（）n， ∵A1A的中点表示的数为（8+4）÷2＝6， ∴2024次跳动后的点与A1A的中点的距离是：6﹣8×（）2024＝6﹣（）2024＝6﹣， 故选：D． 【点睛】本题考查数字的变化类、数轴，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点． 2．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）电子跳蚤游戏盘(如图)为三角形，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从跳到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为，则与C之间的距离为 ． 【答案】5 【分析】本题首先根据题意，分别计算电子跳骚的位置和三角形的顶点的距离，找到循环的规律：经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点．根据这一规律确定第2024次落点的位置，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 此时与重合，即经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点． ∵， 即与重合， ∴与C之间的距离为． 故答案为：5 【点睛】本题考查了规律型：此题主要是能够根据题意利用线段的和差计算出有关线段的长，发现电子跳蚤的落点的循环规律，掌握由特殊到一般推导规律是解题的关键． 3．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）如图1，点C在线段AB上，．P，Q两点同时从点C，B出发，分别以，的速度沿直线AB向左运动，当点P达点A时，两点立即停止运动． （1）的值是______； （2）取PQ中点M，CQ的中点N．求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）分别表示出AP，CQ，故可求解； （2）根据中点的性质表示出MN，再根据线段的关系得到，故可得到，即可求解． 【详解】解：（1）∵P，Q两点同时从点C，B出发，分别以，的速度沿直线AB向左运动， 设运动时间为t ∴CP=t，BQ=2t ∴ ∵ ∴设BC=2a，AC=a ∴AP=AC-CP=a-t，CQ=BC-BQ=2a-2t=2（a-t） ∴AP=CQ ∴= 故答案为：； （2）如图，∵M是PQ中点，N是CQ的中点 ∴MQ=，NQ= ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查线段的和差问题，解题的关键是根据中点的性质表示出线段的长． 【易错必刷十五 两点之间线段最短】 1．（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图点为圆锥的顶点，点为圆锥底面上一点，点在上．从点开始绕圆锥一周回到点所经过的最短路线的痕迹如图所示．若沿将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了两点之间线段最短，圆锥的展开图．从点开始绕圆锥一周回到点所经过的最短路线的痕迹，就用到两点间线段最短． 【详解】解：因为绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段，因此选项A和C错误；又因为从P点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线上的点P应该能够与母线上的点重合，而选项B还原后两个点不能够重合，而D选项能够重合，故D正确． 故选：D． 2．（2024七年级上·上海·专题练习）用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，如图，则剩下的树叶周长小于原树叶的周长，能解释这一现象的数学道理是 ． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题考查线段的性质，根据两点之间，线段最短，进行作答即可． 【详解】解：依题意，能解释这一现象的数学道理是：两点之间，线段最短； 故答案为：两点之间，线段最短． 3．（23-24七年级上·宁夏银川·期末）几何知识可以解决生活中许多距离最短的问题．让我们从书本一道习题入手进行探索． (1)如图①，A、B是公路l两侧的两个村庄．现要在公路l上修建一个垃圾站C，使它到A、B两村庄的路程之和最小，请在图中画出点C的位置，并说明理由． (2)如图②，在B村庄附件有一个生态保护区，现要在公路l上修建一个垃圾站C，使它到A、B两村庄的路程之和最小，从B村庄到公路不能穿过生态保护区，请在图中画出点C的位置． 【答案】(1)见解析，理由为：两点之间，线段最短 (2)见解析 【分析】本题考查作图−应用与设计作图，两点之间线段最短等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）如图所示，连接交直线l于点C，点C即为所求，理由为两点之间，线段最短； （2）如图所示，设生态保护区右下角的顶点为P，连接，连接交直线l于点C，点C即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，连接交直线l于点C，点C即为所求； 理由为：两点之间，线段最短； （2）解：如图所示，设生态保护区右下角的顶点为P，连接，连接交直线l于点C，点C即为所求． 【易错必刷十六 两点间的距离】 1．（2024·吉林·二模）台湾省，简称“台”，是中华人民共和国省级行政区，省会为台北市．在地图上如果把城市看作一点，下列城市与台北市之间的距离最大的是（    ） A．吉林市 B．西安市 C．海口市 D．福州市 【答案】A 【分析】本题考查了点与点之间的距离，根据点与点之间的距离并结合生活常识即可得出答案． 【详解】解：在地图上如果把城市看作一点，与台北市之间的距离最大的是吉林市， 故选：A． 2．（23-24七年级上·浙江嘉兴·期末）已知点A，B，C在同一条直线上，且，，则 ． 【答案】2或6 【分析】本题考查了两点间的距离，分两种情况讨论是解题的关键．分两种情况讨论：当C在线段上时；当C在线段的延长线时：然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：分两种情况： 当点C在线段上时， ， ． 当C在线段的延长线时， ， ． 故答案为：2或6． 3．（23-24七年级上·河南安阳·期末）如图，在“和谐”公园的绿茵广场上有A，B，C三棵树．测得B树和C树相距，，，请用代表，画出类似的图形，量出，的长（精确到），再换算出A树距B，C两树的实际距离．    【答案】图见解析，A树距B，C两树的实际距离分别是200m，173.2m． 【分析】本题考查了两点之间的距离，解题的关键是正确画出图形，进行测量和换算．画出直角三角形ABC，其中内角分别是 ，，，然后量出，的长，再根据代表进行换算即可得到答案． 【详解】解：如图，    经测量可得：，， 换算可知：A树距B树的实际距离为， A树距C树的实际距离为． 【易错必刷十七 最短路径问题】 1．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）A、、为三个小区，A、、三个小区的学生人数比为，现在要在所在的平面上建造一个学校，使得所有学生走的路程和最短，则学校应该选在（    ）    A．点处 B．三条中线的交点处 C．点处 D．和的角平分线的交点处 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，正确列出每种情况的代数式，然后根据三角形三边关系进行判断是本题解题的关键．分别列出P点在三角形内以及在B、C两点处时，所有学生走过路程的总和，根据三角形三边关系求解即可． 【详解】解：如图： 当点P在的内部时： 所有学生走过的路程为： ， 当点P在点C处： ， 当点P在点B处： ， ∴ 在和中，，， ∴，， ∴， ∴， ∵ 在中，， ∴， ∴， ∵三条中线的交点处和和的角平分线的交点处均在三角形内， ∴B和D均不符合题意， 综上所述，P点应该在点B处． 故选：C． 2．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）如图，，点M、N分别在射线、上，，的面积为12，P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，当点P在直线上运动时，的面积最小值为 ．    【答案】 【分析】连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于，   ，且， ， 点关于对称的点为，点关于对称的点为， ，，， ， ， 的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 的面积的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）如图，在旷野上，一个人骑着马从A地到B地，半路上他必须让马先到河岸l的P点去饮水，然后再让马到河岸m的Q点再次饮水，最后到达B点，他应该如何选择马饮水地点P、Q，才能使所走路程最短？（假设河岸l、m为直线） 【答案】见解析 【分析】分别作点A关于直线l的对称点，点B关于直线m的对称点，连接，分别交l，m于点P，Q，连接、，则路程最短． 【详解】解：如图所示，分别作点A关于直线l的对称点，点B关于直线m的对称点，连接，分别交l，m于点P，Q，连接、，则路程最短． ． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质—最短路径问题，解题的关键在于能够熟练掌握两点之间线段最短． 【易错必刷十八 角的概念理解】 1．（23-24七年级上·山东聊城·开学考试）在∠AOB的内部从顶点O引出3条射线，则图中共有角的个数是（    ） A．9个 B．10个 C．11个 D．12个 【答案】B 【分析】本题考查角的概念，在数角的个数时要从一个边开始把它上的角数完后再换另一条射线，这样可使数的角不重不漏．有公共顶点的射线：两条射线构成1个角；三条射线构成个角；四条射线构成个角；…条射线构成个角． 【详解】解：根据题意可知，角的顶点处有条射线，共有个角． 故选B． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）归纳与猜想： （1）观察上图填空：图中有个 角；图中有 个角；图中有 个角； （2）根据（1）题猜想：在一个角内引条射线可组成 个角．    【答案】 【分析】根据角的定义，固定一条射线，剩余射线的条数即为可以与这条固定射线组成的角的个数． 【详解】    如图所示，射线可以与射线，组成个角，射线可以与射线组成个角，所以图中共有个角． 如图所示，射线可以与射线，，组成个角，射线可以与射线，组成个角，射线可以与射线组成个角，所以图中共有个角． 如图所示，射线可以与射线，，，组成个角，射线可以与射线，，组成个角，射线可以与射线，组成个角，射线可以与射线组成个角，所以图中共有个角． 在一个角内引条射线，则共有条射线，可以组成的角的个数． 故答案为： ， ， ，． 【点睛】本题主要考查角的定义，牢记角的定义（有公共端点的两条射线组成的图形叫做角）是解题的关键． 3．（23-24七年级上·重庆忠县·期末）已知线段a和如图，小红同学进行了以下作图：①在边上截取；②在边上截取；③连接交射线于点F． (1)请在中完成小红同学的作图（保留作图痕迹，标上字母）； (2)设，，，，将，，，在图中标记出来． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了基本作图： （1）根据题意作出图形即可； （2）在所作的图形中将，，，标记出来即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【易错必刷十九 角的表示方法】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列对于图中画弧线的角的表示方法：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的表示方法，①三个大写英文字母表示法：用角的两边上的两个大写字母和顶点的字母表示角，②顶点字母表示法：当角的顶点处只有一个角时，也可以只用顶点的字母表示角，③阿拉伯数字表示法：在角的顶点处加上弧线标上数字，就可以用这个数字来表示角，④希腊字母表示法：在角的顶点处加上弧线标上小写希腊字母(等)，就可以用这个小写希腊字母来表示角，熟练掌握表示方法是解题的关键．根据角的表示的方法，即可得到答案． 【详解】解：图中画有弧线的角的表示方法有：， 故①④⑥正确，正确的个数有3个， 故选：B． 2．（23-24七年级上·全国·课堂例题）将图中的角用不同方法表示出来，填写下表：    【答案】． 【分析】根据角的表示即可得． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了角的表示，解题的关键是掌握角的表示． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）如图，    (1)用不同的方法表示图中以为顶点的角； (2)写出以为顶点的角与边； (3)画出，使成平角，写出它的边． 【答案】(1)或或 (2)角为（或或），边是， (3)图见解析，边是， 【分析】（1）根据角的表示方法即可得到答案； （2）根据角的表示方法和边的定义即可得到答案； （3）根据平角的定义和边的定义即可得到答案． 【详解】（1）解：由图可得： 用三个字母表示以为顶点的角为：， 用一个字母表示以为顶点的角为：， 用数字表示以为顶点的角为：， 故答案为：或或． （2）解：解：由图可得： 用三个字母表示以为顶点的角为：， 用一个字母表示以为顶点的角为：， 用数字表示以为顶点的角为：， 以为顶点边是，， 故答案为：角为（或或），边是，． （3）解：如图，是射线的反向延长线，    则成平角，的边是，． 【点睛】本题考查角的概念，熟练掌握角的概念与表示方法是解题的关键． 【易错必刷二十 角的分类】 1．（23-24七年级上·北京房山·期末）如图所示，下列各角是锐角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的分类．根据小于90度的角是锐角，大于90度小于180度的角是钝角，等于90度的角是直角来判断． 【详解】解：A、，是直角，故不符合题意； B、，是钝角，故不符合题意； C、，是钝角，故不符合题意； D、，是锐角，故符合题意， 故选：D． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）周角= 平角= 直角． 【答案】 /0.5 1 【分析】根据周角、平角、直角的定义可知，1周角=360度，1平角=180度，1直角=90度，据此即可求解． 【详解】解：1周角度，1平角度，1直角度， ∴周角平角直角， 故答案为：，1． 【点睛】本题主要考查周角和平角．直角的定义，是需要熟记的内容 3．（23-24七年级上·青海黄南·开学考试）任意作一个直角、一个大于的锐角和一个小于120的钝角． 【答案】图见解析 【分析】本题考查角的分类，根据题意，画出相应的角即可． 【详解】解：如图，是直角，是大于的锐角，一个小于的钝角． 【易错必刷二十一 钟面角】 1．（23-24七年级上·四川达州·期末）如图，在下午四点半的时候，时针和分针所夹的锐角度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图形，利用钟表表盘的特征解答．用到的知识点为：钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为． 【详解】解：下午四点半钟，时针和分针中间相差1.5个大格． 钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为， 下午四点半钟分针与时针的夹角是． 故选：C 2．（23-24七年级上·全国·期末）由2点30分到2点55分，时钟的分针最少转过的度数是 ． 【答案】/150度 【分析】本题考查了钟面角，根据2时30分到2时55分，时钟的分针转过了5个大格（每个大格对应），即可求解． 【详解】解：由题意可知，由2时30分到2时55分，时钟的分针转过了5个大格， 每个大格对应，即时钟的分针转过的角度是， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·广东惠州·阶段练习）如图①、图②两个钟表表示的时间分别为．      (1)写出和的度数，并比较两个角的大小； (2)在时到时之间，写出一个时间，使时针、分针所夹的度数与的度数相等． 【答案】(1)，， (2)．（答案不唯一） 【分析】（1）根据分针1分钟走，时针1分钟走进行求解即可； （2）根据（1）写出结合钟面角的特点进行求解即可． 【详解】（1）解：∵分针1分钟走，时针1分钟走， ∴，， ∴； （2）解：时的时候时针与分针的夹角为，40分钟后，分针指向数字8，则此时时针与分针的夹角为， ∴时，时针、分针所夹的度数与的度数相等． 【点睛】本题主要考查了钟面角的计算，熟知分针1分钟走，时针1分钟走是解题的关键． 【易错必刷二十二 与方向角有关的计算题】 1．（23-24七年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，B处在A处南偏东方向，C处在A处南偏东方向，B处在C处南偏西方向，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了方向角的定义，以及平行线的性质，正确理解定义是解题的关键． 根据方向角的定义，即可求得，，的度数，然后根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图：    ∵，是正南正北方向， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 2．（24-25七年级上·全国·期末）如图，点A在点O的北偏东方向上，点B在点O的南偏西方向上，则的度数为 ． 【答案】/150度 【分析】本题考查了与方向角有关的运算，先根据题意得出，得出，根据代入数值，进行计算，即可作答． 【详解】解：如图： ∵在点O的北偏东方向上，点B在点O的南偏西方向上， ∴，， ， ，， ， 故答案为：． 3．（2024七年级上·上海·专题练习）一只蚂蚁从点出发，沿北偏东的方向爬行了线段的长度时碰到障碍物，原路返回爬行了线段的长度到达处，然后向北偏西的方向爬行到达处． (1)画出蚂蚁的爬行路线图，并标出相关字母．（角度可以用量角器画出） (2)请用、表示线段___________． (3)___________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了方向角及量角器的使用，解答本题关键是掌握方向角的定义及表示方法． （1）根据题意要求画出蚂蚁行走路线即可； （2）根据，，即可表示出； （3）用量角器量出的度数即可． 【详解】（1）所画图形如下： ． （2），， ， 故答案为：； （3）量得， 故答案为：40． 【易错必刷二十三 角的单位与角度制】 1．（23-24七年级上·吉林长春·期末）用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了度、分、秒间的换算，注意相邻两个单位间的进率是60． 根据度、分、秒之间的换算关系进行计算即可． 【详解】因为， 所以． 故选：A． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： （1） ＇． （2） ． （3） ＇． 【答案】 29.25 15 42 【分析】本题考查度分秒之间的换算和计算，注意掌握这一基本的换算． （1）根据得到求解即可； （2）根据，得到，求出，进而求解即可； （3）根据得到，进而求解即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）． 故答案为：（1）；（2）29.25；（3）15；42． 3．（23-24七年级上·四川凉山·期末）把下列角度化成度、分、秒的形式： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． （1）根据度分秒的进制进行计算，即可解答； （2）根据度分秒的进制进行计算，即可解答． 【详解】（1）， ， ， ， ； （2）， ， ． 【易错必刷二十四 角的度数大小比较】 1．（23-24七年级上·河北唐山·期末）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的大小比较．根据，将转换为度、分、秒的形式，即可比较大小． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，点P是直线l外一点，过点P画直线，，，分别交已知直线l于点A，B，C，请你用量角器量，，的度数，并量线段，，的长度，你发现的规律是 ． 【答案】随着度数的增大，线段的长度减小 【分析】本题考查了度量线段，度量角度，角度大小的比较，会使用度量工具度量是解题的关键． 使用量角器度量角度，带刻度的直尺度量线段的长度，根据度量的数据分析角度和长度之间的关系即可． 【详解】解：量得，， ∴在P点与直线上的点的连线中，与直线的夹角越大（不超过），P点与直线交点连线的线段长度越短． 故答案为：随着度数的增大，线段的长度减小． 3．（23-24七年级上·河南周口·期末）如图，点O是圆心，A，B，C是圆上三点，我们称为圆心角，为圆周角． (1)请在圆上（直线的上部）任意取两点，，画出，，测量，，的度数，你能发现什么规律？ (2)请测量的度数，与（1）中的角度相比较你有什么发现？ 【答案】(1)画图见解析； (2) 【分析】本题考查了角度的测量； （1）根据题意画出，，并测量，即可求解； （2）测量的度数，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 发现 （2）解：测量的度数为， 发现 【易错必刷二十五 三角板中角度计算问题】 1．（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图，是一块直角三角板，其中，直尺的一边经过顶点A，若的度数是的倍，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角板中角度的计算．注意数形结合． 先求得，再根据的度数是的倍，求出的度数，即可由求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵的度数是的倍， ∴ ∴ ∴ 故选：B． 2．（23-24七年级上·山东聊城·开学考试）将一副三角板如图摆放，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角板中的角度计算，熟练掌握三角板的度数是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∴； 故答案为． 3．（23-24七年级上·浙江温州·期末）将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，两直角顶点重合于点，已知． (1)求的度数． (2)现将三角尺固定不动，把三角尺绕点顺时针旋转度，当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角度之间的和差计算，解题的关键是根据图形得出角度之间的数量关系． （1）先求出，再根据即可解答； （2）根据，，得出，结合，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 【易错必刷二十六 角度的四则运算】 1．（23-24七年级上·湖南郴州·阶段练习）如图，把一块三角板的直角顶点放在直线上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角度的运算．熟练掌握，是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故选：B． 2．（23-24七年级上·吉林·开学考试）计算： 【答案】 【分析】本题考查了角度的运算，把转化为，再根据角度的除法运算法则计算即可求解，掌握角度的单位换算是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了度分秒的换算及运算等知识点， （1）根据度分秒的进制进行计算，即可解答； （2）根据度分秒的进制进行计算，即可解答； （3）根据度分秒的进制进行计算，即可解答； （4）根据度分秒的进制进行计算，即可解答； 熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． 【详解】（1） ， 故答案为：； （2） ， 故答案为：； （3） ， 故答案为：； （4） ， 故答案为：． 【易错必刷二十七 实际问题中角度计算问题】 1．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得，根据平角的定义，代入即可求解， 本题考查了，反射角等于入射角，平角的定义，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 【详解】解：依题意，，， ∵， ∴，解得：， 故选：． 2．（23-24七年级上·广东惠州·期中）一束光在空气与某透明物质的界面处发生了反射和折射现象，其光路如图所示．入射光线与界面的入射角为，折射角为，则反射光线与折射光线形成的 ． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查了利用光的反射定律和折射定律求角的度数，掌握光的反射和折射定律是解题的关键．过点作法线，由界面、入射角等于反射角即可求解． 【详解】解：过点作法线，得到界面， 由图可知是入射光线，是反射光线，是折射光线， 界面， ，得到， 入射角等于反射角， ， 与界面的夹角是， ， 故； 故答案为120°． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）如图，一个齿轮有15个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等，这个夹角是多少度？如果是22个齿的齿轮，这个夹角又是多少度（精确到分）？ 【答案】轮有15个齿时，相邻两齿中心线的夹角是，如果是22个齿的齿轮，这个夹角约为． 【分析】由于15个齿所对应的中心角的和组成一个周角，而每相邻两齿中心线间的夹角都相等，所以这个夹角的度数为360°÷15，计算即可；同样的方法可计算22个齿的齿轮每相邻两齿中心线间的夹角． 【详解】解：∵一个齿轮有15个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等， ∴这个夹角的度数为360°÷15=24°． ∵一个齿轮有22个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等， ∴这个夹角的度数为360°÷22≈16.36°≈． ∴轮有15个齿时，相邻两齿中心线的夹角是，如果是22个齿的齿轮，这个夹角约为． 【点睛】本题考查了角在实际生活中的运用，理解所有齿所对应的中心角的和组成一个周角是解题关键． 【易错必刷二十八 角平分线的有关计算】 1．（24-25七年级上·河北廊坊·期中）如图， 是的高， 是的角平分线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查三角形的高及角平分线的计算，根据题意得出，然后利用角平分线求解即可． 【详解】解：∵ 是的高， ∴， ∵ 是的角平分线， ∴， 故选：B． 2．（24-25七年级上·全国·期末）如图，是平角，是射线，、分别是、的平分线，若，则的度数为 ． 【答案】/62度 【分析】本题考查角平分线的定义，平角的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 根据角平分线的定义求出，推出，再根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：平分， ． ． 平分， ． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·广东湛江·期末）如图，点O为直线上一点，过点O作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图1中的三角板绕点O处逆时针旋转至图2，使一边在的内部．且恰好平分，求的度数． (2)在图3中，延长线段得到射线，判断是否平分，请说明理由． 【答案】(1) (2)是平分的，理由见解析 【分析】题目主要考查角平分线的计算，邻补角的计算，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据邻补角得出，再由角平分线得出，结合图形即可求解； （2）由（1）知，，确定，然后结合图形即可得出结果． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵此时在的内部．且恰好平分， ∴， 根据题意知： ∴； （2）是平分的，理由如下： 由（1）知，， ∴， ∵延长线段得到射线， ∴， ∵， ∴， ∴平分． 【易错必刷二十九 角n等分线的有关计算】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，是的两条三等分线，则下列等式不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角的等分线与角平分线，根据是的三等分线，得到，即可得到答案． 【详解】解：是的两条三等分线， ， ，故A选项等式正确，不符合题意； ，，即， ，故B选项等式不正确，符合题意； ，故C选项等式正确，但不符合题意； ， ，故D选项等式正确，但不符合题意． 故选：B． 2．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）若，为的三等分线，则 ． 【答案】或 【分析】分当OC是∠AOB靠近OA的三等分线和当OC时∠AOB靠近OB的三等分线两种情况讨论求解即可． 【详解】解：如图所示，当OC是∠AOB靠近OA的三等分线， ∴； 如图所示，当OC时∠AOB靠近OB的三等分线， ， 故答案为：40°或80°． 【点睛】本题主要考查了角三等分线的定义，熟知定义是解题的关键． 3．（23-24七年级上·四川成都·期末）若同一平面内三条射线有公共端点，且满足时，我们称是（）的“新风尚线”，但不是（）的“新风尚线”．如果或者，我们称是和的“新风尚线”． (1)如图（1），已知，是的三等分线，则射线 是（）的“新风尚线”； (2)如图（2），若，是（）的“新风尚线”，求． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）根据角之间的关系得到，则，再由三等分线的定义得到，则，据此可得结论； （2）分当在内部时，当在外部时，两种情况根据“新风尚线”的定义讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵是的三等分线， ∴， ∴， ∴射线是（）的“新风尚线”； （2）解：如图所示，当在内部时， ∵是（）的“新风尚线”， ∴， ∴ 如图所示，当在外部时， ∵是（）的“新风尚线”， ∴， ∴ 综上所述，的度数为或． 【易错必刷三十 求一个角的余角】 1．（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）已知，与互余，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查余角的计算，解答的关键是熟记余角定义． 由余角的定义可求出的度数． 【详解】解：∵，与互余， ∴， 故选∶A． 2．（23-24七年级上·河南郑州·期末）已知，则的余角的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了求一个角的余角，根据互余的两个角的和为，计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴的余角的度数为， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·河北保定·期末）如图点A，O，B在同一条直线上，过点O作射线，，，，且和互余，与互余，平分． (1)判断和之间满足的数量关系，并说明理由． (2)判断是否平分，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)平分，理由见解析 【分析】本题考查了余角的性质． （1）利用余角的性质求得，，据此求解即可； （2）利用余角的性质求得，即可得到平分． 【详解】（1）解：，理由如下： 因为和互余，与互余， 所以，， 所以； （2）解：平分，理由如下： 因为平分，所以， 因为和互余，与互余， 所以，， 即． 所以平分． 【易错必刷三十一 求一个角的补角】 1．（23-24七年级上·天津河西·期末）如图，相交于点O，平分，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，求一个角的补角，根据角平分线的定义可得出，再利用补角的定义即可求出答案． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， 故选：D． 2．（23-24七年级上·四川达州·期中）如图，和互为补角，，则 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查的是互为补角的概念，掌握以上知识是解题的关键． 根据两个角互补相加为求解即可． 【详解】∵和互为补角，， ∴． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，点A，O，B在一条直线上，，，是的平分线． (1)求和的度数； (2)是的平分线吗？为什么？ 【答案】(1)， (2)是的平分线，理由见详解 【分析】本题考查了角的和差，补角的定义，角平分线的定义； （1）由角的和差得，由角的平分线及角的和差得，即可求解； （2）由补角的定义得，由角平分线的定义即可求解； 理解补角的定义，角平分线的定义，能用角的和差表示出所求的角是解题的关键． 【详解】（1）解：，， ； 是的平分线， ， ； （2）解：是的平分线； 理由如下： ， ， ， ， 是的平分线． 【易错必刷三十二 与余角、补角有关的计算】 1．（23-24七年级上·山东济宁·期中）如图，用量角器度量几个角的度数，下列结论正确的有（   ） ①；②与互补；③；④是的余角；⑤平分． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了余角和补角，角的度量，量角器的使用方法，正确使用量角器是解题的关键．由图形，根据角的度量和互余、互补的定义求解即可． 【详解】解：①，故①错误； ②，，，它们互补，故②正确； ③，，它们的大小不相等，故③错误； ④，，，是的余角，故④正确； ⑤，，，不平分，故⑤错误； 综上分析可知，正确的有2个． 故选：B． 2．（23-24七年级上·四川自贡·开学考试）若一个角的余角为，则这个角的补角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了补角和余角的有关计算，先根据两个互余的角度之和为求出这个角，再利用根据两个互补的角度之和为求出这个角的补角即可． 【详解】解：这个角为：， 这个角的补角的度数为：， 故答案为∶． 3．（23-24七年级上·云南昆明·期末）如图，为直线上一点，平分，． (1)若，求的度数； (2)试判断和有怎样的数量关系，说说你的理由． 【答案】(1)； (2)，证明见解析 【分析】本题考查了角的计算，利用角的和差是解题关键． （1）根据角平分线的定义，邻补角的定义，可得答案； （2）利用等角的余角相等证明． 【详解】（1）解：由角平分线的定义，得， ． 由邻补角的定义，得， ； （2）解：，理由如下： 平分， ， ， ，， ． 【易错必刷三十三 同(等)角的余(补)角相等的应用】 1．（23-24七年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中，的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了余角和补角，需结合余角和补角的定义进行求解； 如果两个角的和是，那么称这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角．如果两个角的和是，那么称这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角；根据图象求解即可． 【详解】解：A．由图可知，所以与互余，故本选项错误； B．同角的余角相等，所以，故本选项正确； C．由图可知，但推不出，故本选项错误； D．由图可知，所以和互补，故本选项错误． 故选：B． 2．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）如图，直线与相交于点O，∴，，∴，在此推理过程中，与相等的理由是 ． 【答案】同角的补角相等 【分析】本题考查了补角的性质，根据同角的补角相等解答即可． 【详解】∵直线与相交于点O， ∴，， ∴， 在此推理过程中，与相等的理由是同角的补角相等． 故答案为：同角的补角相等． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，点O在直线上，． (1)图中除外，还有哪些角是直角？ (2)图中有哪些相等的角？ (3)指出图中与互余的角、与互补的角． 【答案】(1) (2)； (3)与互余的角有：；与互补的角有： 【分析】本题考查了角的余角、补角的概念，仔细看图找到角之间的关系是解题的关键． （1）根据直角的定义即可求解； （2）根据直角都相等，等角的余角相等即可求解； （3）根据余角和补角的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴图中除外，还有是直角； （2）解：； ； （3）解：∵， ∴与互余的角有：； ∵， 又， ∴， ∴与互补的角有：． 学科网（北京）股份有限公司 $$