专题04 全等三角形6大解题必备辅助线专项训练（6大题型+11道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（华东师大版）

专题04 全等三角形6大解题必备辅助线专项训练（6大题型+11道提优训练） 必备辅助线添法一 倍长中线法 必备辅助线添法二 截长补短法 必备辅助线添法三 旋转法 必备辅助线添法四 作平行线法 必备辅助线添法五 作垂线法 必备辅助线添法六 见直角作延长线 【经典例题一 倍长中线法】 【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【常见模型】 【例1】（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：． 【理解与运用】 （2）如图2，是的中线，若，求的取值范围； （3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，涉及中点性质、三角形三边关系等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）延长至点，使，连接，如图所示，根据题意，由三角形全等的判定得到，从而根据全等三角形性质即可得证； （2）延长至点，使，连接，如图所示，由三角形全等的判定与性质得到，设，在中，由三边关系即可得到答案； （3）延长至点，使，连接，如图所示，得到，再由三角形全等的判定与性质得到，进而可确定，再由全等性质即可得证． 【详解】（1）证明：延长至点，使，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：延长至点，使，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， 在中，由三边关系可得，即， ∴； （3）证明：延长至点，使，连接，如图所示： ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 1．（23-24八年级上·广西北海·期末）八年级数学课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围小红在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小红的方法思考作答： (1)由已知和作图能得到的理由是______； A．    B．    C．    D． (2)求得的取值范围是______； A．      B．       C．        D． (3)归纳总结：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中完成上题之后，小红善于探究，她又提出了如下的问题，请你解答． 如图，在中，点在上，且，过作，且求证：平分． 【答案】(1)B (2)C (3)证明见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了倍长中线法解题，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握倍长中线法，灵活进行三角形全等的证明，是解题的关键． （1）根据三角形全等的判定定理去选择即可； （2）根据三角形全等的性质和三角形三边关系定理计算即可； （3）由“”可证，可得，，由平行线的性质和等腰三角形的性质可证，可得平分． 【详解】（1）解：延长到点，使， ， 在和中， ， ， 故选：B． （2）解：， ， ，，， ， ， 故选：C； （3）证明：如图，延长至，使，连接， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分． 2．（23-24八年级上·江苏南通·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是 ． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． (2)如图2，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，D，E在边上，且．求证：． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的三边关系． （1）由作图可得，根据“”证得，得到，在中，根据三角形的三边关系有，代入即可求解； （2）延长到M，使得，连接，则，由（1）同理可证，得到，，从而，又，因此，进而得证，故； （3）取的中点为M，连接并延长至N，使，连接、，证得得到，证得得到． 延长交于F，由三角形的三边关系得到，即． 【详解】（1）∵， ∴ ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵在中，， 即， ∴． 故答案为： （2）， 理由：如图，延长到M，使得，连接， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）取的中点为M，连接并延长至N，使，连接、， ∵点M是的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴ ∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴， 延长交于F， 则，且， ∴， ∴， 即． 3．（23-24八年级上·山东济南·期中）阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至E，使， ∵是边上的中线， ∴， 在△BDE和△CDA中，， ∴△BDE≌△    CDA（依据1）， ∴， 在中，（依据2）， ∴． (1)任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1： ；依据2： ． 【归纳总结】 上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． (2)任务二：如图3，，，则的取值范围是 ； A．； B． ； C． (3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题． 如图4，中，，D为中点，求证：． 【答案】(1)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边 (2)C (3)见解释 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的性质．掌握题目中“倍长中线法”是解题的关键． （1）掌握全等三角形的判定与性质，三角形的性质即可． （2）利用“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”求解即可． （3）判断，即可． 【详解】（1）解：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“”）； 依据2：三角形两边的和大于第三边； 故答案为：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边． （2） 解：如图，延长至点，使,连接． 是的中线， , 在与中， , ， , 在中，， 即， ． 故选：C． （3）证明：如图4，延长至F，使连接， 是的中点， ∴, 又 ∴， ，， ∵， ∴, , 即， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【经典例题二 截长补短法】 【模型分析】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系．截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段．该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）． 【模型图示】 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段． 例：如图，求证BE＋DC＝AD 方法：①在AD上取一点F，使得AF＝BE，证DF＝DC；②在AD上取一点F，使DF＝DC，证AF＝BE （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 例：如图，求证BE＋DC＝AD 方法：①延长DC至点M处，使CM＝BE，证DM＝AD；②延长DC至点M处，使DM＝AD，证CM＝BE 【例2】（23-24八年级上·四川成都·期中）三角形的角平分线、中线、高都是三角形的重要线段，我们知道，它们各有不同的性质为了进一步探究它们的作用，德馨小组合作学习时做了以下尝试： (1)如图，中，，分别是，的角平分线，若，求； (2)如图，中，，分别是，边上的中线，若，求； (3)如图，中，，，分别是，边上的高线，若，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用角平分线性质和三角形内角和定理即可求得答案； （2）连接，由，分别是，边上的中线，可得：，，，，根据已知条件推出，再运用即可； （3）先证得是等腰直角三角形，可得，再证得，得出，将绕点顺时针旋转得到，即可得出． 【详解】（1）解：，， ， 、分别平分、， ，， ， ； （2）解：如图，连接， ，分别是，边上的中线， ，，，， ， ， ， ； （3）解：，， ， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 在和中， ， ， ， 将绕点顺时针旋转得到，如图， ，， ， ，即， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形的中线、角平分线、高线，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，直角三角形和等腰三角形的性质等，利用旋转变换将求四边形的面积转化为求等腰直角三角形的面积是解题关键． 1．（24-25八年级上·广西防城港·阶段练习）【探究与证明】 【问题呈现】如图①所示，已知在中，，，是的中线，过点作，垂足为，且交于点． 【问题提出】（1）小虎通过度量发现，请你帮他说明理由； 【尝试探究】（2）如图②所示，小明在图中添加了一条线段，且平分交于点，即可得，该结论正确吗？请说明理由； 【答案】（1）见解析；（2）正确，理由见解析 【分析】本题考查同角的余角相等，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定，角平分线的定义．掌握等腰直角三角形的性质和三角形全等的判定定理是解题关键． （1）结合题意，根据同角的余角相等证明即可； （2）由等腰直角三角形的性质，角平分线的定义可得出，再结合题意，利用证明即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， ∴； （2）正确，理由如下， ∵，， ∴． ∵平分， ∴， 又∵，， ∴． 2．（24-25八年级上·北京·期中）定义：如图1，，为直线同侧的两点，过点作直线的对称点，连接交直线于点，连接，则称点为点，关于直线的“等角点”． 如图2，在、中，，，，连接、． (1)猜想与的数量关系是______；并证明你的结论． (2)延长交的延长线于点，延长至点，使，连接． ①先补全图形． ②求证：点为点，关于直线的“等角点”． 【答案】(1)，证明见解析 (2)①图见解析；②证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等角的补角相等，正确理解“等角点”的概念是解题的关键． （1）根据题意，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等得出，根据全等三角形的对应边相等即可证明； （2）①根据题意，作图即可求解； ②根据全等三角形的对应角相等得出，根据等角的补角相等得出，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等得出，全等三角形的对应角相等得出，推得，即，过点作关于的对称点，连接，根据对称的性质可得出，推得、、三点共线，在结合“等角点”的定义即可证明． 【详解】（1）解：， 证明如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）①解：如图： ②证明：由（1）得：， ∴， ∵，， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点作关于的对称点，连接，如图： 则， ∵， ∴， ∴、、三点共线， 即交直线于点， ∴点为点，关于直线的“等角点”． 3．（24-25八年级上·湖北咸宁·期中）（1）方法呈现： 如图①：在中，若，点D为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，可证，从而把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； （2）探究应用： 如图②，在中，点D是的中点，于点D，交于点E，交于F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中， ，与的延长线交于点F、点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）由已知得出，即，为的一半，即可得出答案； （2）延长至点，使，连接，，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论； （3）延长，交于点，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论． 本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，角的关系等知识点，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：（1）如图①，延长到点，使，连接， 是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：； （2），理由如下： 延长至点，使，连接、，如图②所示． 同（1）得：， ， ，， ， 在中，由三角形的三边关系得： ， ； （3），理由如下： 如图③，延长，交于点， ， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ． 【经典例题三 旋转法】 【模型分析】旋转：将包含一条短边的图形旋转，使两短边构成一条边，证与长边相等． 注：旋转需要特定条件（两个图形的短边共线），该方法常在半角模型中使用． 【模型图示】 例：如图，已知AB＝AC，∠ABM＝∠CAN＝90°，求证BM＋CN＝MN 方法：旋转△ABM至△ACF处，证NE＝MN 【例3】（23-24八年级上·湖北孝感·期中）已知：，，． (1)如图1当点在上，______． (2)如图2猜想与的面积有何关系？请说明理由．（温馨提示：两三角形可以看成是等底的） 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）由全等可知，所以当点在上时，为等腰三角形，依据已知计算即可． （2）因为两个三角形中有一边相等，只要找到这两个底对应高之间的关系即可． 【详解】（1）解：， ， 又，， ， 在中，， 故答案为：． （2）解：如下图所示：过点作的边上的高，过点作的边上的高，由作图及知： ，，， （同角的余角相等），   在与中有： （）， ， ，， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形性质和判定，关键是使用分析法找到:两个三角形面积相等时，底相等则高相等，从而构造全等证明对应高相等． 1．（23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1），证明见解析（2），证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形． （1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）结论：，证明方法同法（1）． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，，， ∴，即：三点共线， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， 又， ． （2）结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：， 同法（1）可得：， ， 又， ． 2．（23-24八年级上·山西·期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得． 大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故． 任务： 如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】成立，见解析 【分析】根据旋转的性质得到，，，，，推出、、三点共线，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：成立． 证明：将绕点顺时针旋转得到， ，，，，， ， 、、三点共线， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 3．（23-24八年级上·山西吕梁·期中）实践与探究 已知：△ABC和△DOE都是等腰三角形，∠CAB=∠DOE=90°，点O是BC的中点，发现结论： （1）如图1，当OE经过点A，OD经过点C时，线段AE和CD的数量关系是 ，位置关系是 ． （2）在图1的基础上，将△DOE绕点O顺时针旋转（）得到图2，则问题（1）中的结论是否成立？请说明理由． （3）如图3在（2）的基础上，当AE=CE时，请求出的度数． （4）在（2）的基础上，△DOE在旋转的过程中设AC与OE相交于点F，当△OFC为等腰三角形时，请直接写出的度数． 【答案】（1）AE=CD  AE⊥CD；（2）成立，理由见解析；（3）45°；（4）45°或22.5° 【分析】（1）证明△AOC是等腰直角三角形即可得到结论； （2）连接AO，延长DC交AE于点M，设OE，MD相交于点N，证明△AOE≌△COD可得AE=CD，证明∠DME=90°可得AE⊥CD； （3）证明OE是AC的垂直平分线即可得到结论； （4）分OF=FC和OC=CF两种情况求解即可． 【详解】解：（1）∵△ABC是等腰三角形，∠CAB =90°， ∴∠ACB=45° ∵点O是BC的中点， ∴AO⊥BC ∴△AOC是等腰直角三角形， ∴AO=CO ∵△DOE是等腰三角形，∠DOE=90°， ∴EO=DO ∴EO-AO=DO-CO 即AE=CD ∵OE经过点A，OD经过点C， ∴AE⊥CD 故答案为：AE=CD  AE⊥CD （2）（1）中的结论仍然成立 理由如下：连接AO，延长DC交AE于点M，设OE，MD相交于点N ∵△ABC是等腰直角三角形，O是BC的中点 ∴AO=CO，AO⊥BC   ∴∠AOC=∠EOD=90° ∴∠AOE=∠COD ∵OE=OD ∴△AOE≌△COD(SAS) ∴AE=CD，∠AEO=∠CDO ∵∠CDO+∠OND=90°，且∠OND=∠MNE ∴∠AEO+∠MNE=90°          ∴∠DME=90° ∴DM⊥AE 即DC⊥AE （3）连接OA，如图3， ∵AE=CE，OA=OC ∴OE是AC的垂直平分线 ∴∠AOE=∠COE=45° ∴=45°   (4)①若OF=FC时，如图4， ∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°， ∴∠ACB=45° ∴∠FOC=45° ∵AO⊥BC ∴∠AOC=90° ∴∠AOF=90°-45°=45°，即=45°； ②当OC=FC时，如图5， ∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°， ∴∠ACB=45° ∴∠FOC= ∵AO⊥BC ∴∠AOC=90° ∴∠AOF=90°-67.5°=22.5°，即=22.5°； 综上所述，的度数为45°或22.5°． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 【经典例题四 作平行线法】 【例4】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知，的延长线交于点，交的延长线于点，且．求和的度数． 【答案】， 【分析】本题重点考查了全等三角形的性质和三角形外角的性质．熟记这些性质并能灵活运用，是解答此题的关键． 根据，可得，根据， 得，结合 得，即得， ． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵ ∴． ∴， ． 1．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如1，在四边形中，若或，则四边形是“对补四边形”． (1)如图2，四边形是“对补四边形”，是四边形的一个外角，求证：； (2)在（1）的条件下，，，在上取点E，使，在上取点F，使，连接，点G是的中点，过点E作与的延长线相交于点H，连接，，探索与的关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，，见解析 【分析】本题考查四边形的外角，全等三角形的判定与性质； （1）根据“对补四边形”可得，再结合外角可得，即可得到； （2）先证明，得到，再证明得到，，最后根据，得到． 【详解】（1）证明：∵四边形是“对补四边形” ∴， ∵， ∴； （2）解：，，证明如下： ∵G为的中点， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）知， ∴ 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∴．． 2．（24-25八年级上·重庆江北·开学考试）已知：在中，，点D在上，连接，且． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，点E为的中点，过点E作的垂线分别交的延长线，的延长线， 于点F，G，H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点E分别作于点M，于点N，若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理、三角形的面积计算，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）设，根据题意用表示出，根据三角形内角和定理求出，结合图形证明； （2）过点B作于点T，过点C作交的延长线于点R，证明，得到，再证明，根据全等三角形的性质证明结论； （3）连接，证明，得到，根据三角形的面积公式求出，求出，得到答案． 【详解】（1）证明：如图1， 设，则，， ∵在中，， ∴， ∴， ∴ 即平分； （2）证明：如图2，过点B作于点T，过点C作交的延长线于点R， ∵， ∴， ∴，， 由（1）可知，，即 ∴， ∵点E为的中点， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：如图3，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ 3．（23-24八年级上·河南信阳·期末）阅读下面材料： 学习了三角形全等的判定方法（即“”“ ”“ ”“ ” 和直角三角形全等的判定方法（即“” 后，小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究 小聪将命题用符号语言表示为：在和中，，，． 小聪的探究方法是对分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 第一种情况：当是直角时 如图1，和中，，，，根据“”定理，可以知道． 第二种情况：当是锐角时 如图2，，，在射线上有点，使，画出符合条件的点，则和的关系是 ； ．全等        ．不全等           ．不一定全等 第三种情况：当是钝角时 如图3，在和中，，，．过点作边的垂线交延长线于点；同理过点作边的垂线交延长线于，根据“”，可以知道，请补全图形，进而证出． 【答案】第二种情况选C；理由见解析；第三种情况补全图见解析；理由见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质． 第二种情况选C．画出图形即可判断． 第三种情况：先证明，推出，推出，再证明即可． 【详解】解：第二种情况选C． 理由：由题意满足条件的点有两个，故和不一定全等（如图所示） 故选：C． 第三种情况补全图． 证明：由 得，， 又在和中 ， ， ， ， 又在和中 ， ． 【经典例题五 作垂直法】 【例5】（23-24·湖北武汉·八年级期中）我们定义：三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个内角相邻的外角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角． (1)如图1，是中的遥望角． ①直接写出与的数量关系___________； ②连接AE，猜想与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，四边形ABCD中，，点E在BD的延长线上，连CE，若已知，求证：是中的遥望角． 【答案】(1)①；②，理由见解析 (2)见解析 【分析】（1）①运用角平分线的定义，以及三角形外角的性质，推导得到，，即、可得出；②过点作交延长线于点，过点作交于点，过点作交延长线于点，运用角平分线的性质及判定定理可证，由，可得； （2）过作交于点，过作交延长线于点，先证四边形是矩形，再证，最后证得平分，平分即可． 【详解】（1）解：①∵平分，即， ∴． ∵平分，即， ∴． 又∵， ∴． ②猜想：，理由如下： 如图2，过点作交延长线于点，过点作交于点，过点作交延长线于点， ∵平分，，， ∴， 同理，， ∴， ∵，， ∴平分，即， ∵， ∴． （2）证明：如图3，过作交于点，过作交延长线于点， ∵，，， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴，即平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∵平分， ∴是中的遥望角． 【点睛】本题考查了角平分线的性质及判定，全等三角形的性质及判定，熟练掌握角平分线判定定理及相关性质是解题的关键． 1．（23-24·八年级课时练习）如图1，已知四边形ABCD，连接AC，其中AD⊥AC，BC⊥AC，AC＝BC，延长CA到点E，使得AE＝AD，点F为AB上一点，连接FE、FD，FD交AC于点G． （1）求证：△EAF≌△DAF； （2）如图2，连接CF，若EF＝FC，求∠DCF的度数． 【答案】（1）见解析；（2）∠DCF＝45°． 【分析】（1）由垂直定义可得∠CAD=∠ACB=90°，再根据题意得∠EAF=∠DAF，即可证得结论； （2）过点F作FM⊥FA交AC于点M，由“AAS”可证△AEF≌△MCF，可得∠AFE=∠MFC，EF=DF，可证△CDF是等腰直角三角形，可得∠DCF=45°． 【详解】证明：（1）∵AD⊥AC，BC⊥AC， ∴∠CAD＝∠ACB＝90°， ∵AC＝BC， ∴∠BAC＝∠B＝45°， ∴∠EAF＝180°﹣∠BAC＝135°，∠DAF＝∠CAD+∠BAC＝135°， ∴∠EAF＝∠DAF， 在△EAF和△DAF中， ， ∴△EAF≌△DAF（SAS）； （2）如图2，过点F作FM⊥FA交AC于点M， ∵FA⊥FM，∠FAM＝45°， ∴∠FMA＝45°＝∠FAM， ∴FA＝FM，∠FMC＝∠FAE＝135°， ∵EF＝FC， ∴∠FEM＝∠FCA， 在△AEF和△MCF中， ， ∴△AEF≌△MCF（AAS）， ∴∠AFE＝∠MFC，EF＝DF， ∵△EAF≌△DAF， ∴∠EFA＝∠DFA， ∴∠DFA＝∠MFC， ∴∠AFM＝∠DFC＝90°， ∵DF＝EF＝CF， ∴△CDF是等腰直角三角形， ∴∠DCF＝45°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．（2024·全国·八年级专题练习）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明． 已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE． 求证：AB＝CD． 分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形． （1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明． ①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF； ②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G． （2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析； 【分析】（1）①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，△BEF≌△CED，∠BAE＝∠F， AB＝CD； ②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G，△BEF≌△CEG △BAF≌△CDG，AB＝CD； （2）如图3，过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M，则∠BAE＝∠EMC，△BAE≌△CFE（AAS），∠F＝∠EDC，CF＝CD，AB＝CD； 【详解】（1）①如图1， 延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF， ∵点E是BC的中点，∴BE＝CE， 在△BEF和△CED中， ， ∴△BEF≌△CED（SAS），∴BF＝CD，∠F＝∠CDE， ∵∠BAE＝∠CDE，∴∠BAE＝∠F， ∴AB＝BF，∴AB＝CD； ②如图2， 分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G， ∴∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°， ∵点E是BC的中点，∴BE＝CE， 在△BEF和△CEG中， ， ∴△BEF≌△CEG（AAS），∴BF＝CG， 在△BAF和△CDG中， ， ∴△BAF≌△CDG（AAS）， ∴AB＝CD； （2）如图3， 过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M， 则∠BAE＝∠EMC， ∵E是BC中点， ∴BE＝CE， 在△BAE和△CME中， ， ∴△BAE≌△CFE（AAS），∴CF＝AB，∠BAE＝∠F， ∵∠BAE＝∠EDC， ∴∠F＝∠EDC，∴CF＝CD，∴AB＝CD． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，对顶角相等，平行线的性质，构造出全等三角形是解本题的关键． 3．（23-24·八年级课时练习）如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明． 已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE． 求证：AB=CD． 分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形请用二种不同的方法证明． 【答案】见解析 【分析】方法一：如图1，作BF⊥DE交DE的延长线于点F，CG⊥DE于点G，先证明△BFE≌△CGE，得BF=CG，再证明△ABF≌△DCG即可； 方法二：如图2中，作CF∥AB交DE的延长线于点F，先证明CF=CD，再证明△ABE≌△FCE即可． 【详解】证明：方法一：如图1，作BF⊥DE交DE的延长线于点F，CG⊥DE于点G． ∴∠F=∠CGE=90°， 在△BFE和△CGE中，， ∴△BFE≌△CGE（AAS）， ∴BF=CG， 在△ABF和△DCG中，， ∴△ABF≌△DCG（AAS）， ∴AB=CD； 方法二：如图2，作CF∥AB交DE的延长线于点F． ∴∠F=∠BAE． 又∵∠BAE=∠D， ∴∠F=∠D， ∴CF=CD， 在△ABE和△FCE中，， ∴△ABE≌△FCE（AAS）， ∴AB=CF， ∴AB=CD． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 【经典例题六 见直角作延长线】 【例6】（24-25八年级上·福建·期中）如图，在中，是的角平分线，于点．若点为动点，在点运动的过程中满足，则的最大值为（　　）    A．28 B．24 C．14 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义；延长和相交于点，构造出，从而求出的值；，根据当时，有最大值求解即可； 【详解】解：延长和相交于点，如图：    ∵ 是 的角平分线 ∴ ∵ ∴ ， 当时， 有最大值； 故选：D． 1．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，已知是的平分线，，若，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的角平分线和全等三角形的判定，解题的关键是熟练运用三角形的角平分线和全等三角形的判定．延长交于点C，根据题意，易证，因为和同高等底，所以面积相等，根据等量代换便可得出． 【详解】解：如图所示，延长，交于点D，   ， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵和同底等高， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，在中，平分，于点P，已知的面积为，则阴影部分的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形中线的性质．遇到角平分线和垂线，构造全等三角形是解题的关键． 延长交于，证明，利用三角形的中线的性质即可得解． 【详解】解：延长交于， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴阴影部分的面积 ∴阴影部分的面积； 故答案为：6． 3．（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）如图，在中，是的平分线，，垂足为E，若的面积为6，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的面积等知识，证明，由全等三角形的性质得出则，可得出答案，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：延长交于点，如图： ∵平分， ， ， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 1．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，已知是的中线，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了倍长中线证全等，三角形的三边关系；延长至点E，使，连接，证明，得出，进而根据三角形的三边关系，即可得证． 【详解】证明：如图，延长至点E，使，连接， 在中， ∴， ∴． 在中，， ∴， 即． 2．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，在四边形中，，，连接，点为上任意一点，过点作直线分别交，的延长线于点，，试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质是解题的关键 证明，则，可得，进而可证． 【详解】解：在和中， ， ∴，                             ∴，                                    ∴， ∴． 3．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期中）（1）如图①，已知，，，且，求B点的坐标； （2）如图②，已知，，，且，直接写出点A的坐标    【答案】（1）B点的坐标为；（2）点A的坐标为； 【分析】（1）过点B作轴于D，证明，根据全等三角形的性质得到，求出，进而求出B点的坐标； （2）过点A作轴于E，证明，根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：（1）如图①，过点B作轴于D，    则， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴B点的坐标为； （2）如图②，过点A作轴于E，    则， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点A的坐标为； 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 4．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，平分，，交的延长线于点F，在上有一点M，且， (1)若，，求的长． (2)试说明与的关系． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等，全等三角形对应角相等，对应边相等． （1）根据角平分线的性质得出，通过证明，得出，通过证明，得出，再进行分类讨论：当点M在点E左边时，当点M在点E右边时； （2）根据全等的性质得出，，再进行分类讨论即可：当点M在点E右边时，当点M在点E左边时，即可解答． 【详解】（1）解：∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， 当点M在点E左边时，， 当点M在点E右边时，， 综上：或． （2）解：由（1）可得， ∴，， 当点M在点E右边时，∵， ∴，即； 当点M在点E左边时，∵，， ∴， 综上：或． 5．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，四边形中，，连接对角线，且，点在边上，连接，过点作，垂足为，若．求证： (1)； (2)； 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）由，得，再证明，根据全等三角形的性质得，最后由角度和差即可求证； （）连接，由“”可证可得，最后通过线段和差即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，线段和差，角度和差，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键. 【详解】（1）证明： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， 由（）得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．（24-25八年级上·甘肃陇南·期中）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． (1)如图1，中，，，，为上一点，当 时，与是偏等积三角形； (2)如图2，，是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点作交的延长线于点，求的长． 【答案】(1)4 (2)3 【分析】本题主要考查了三角形的面积，全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系，理解等底（或同底）等高（或同高）的两个三角形的面积相等是解答此题的关键． （1）根据与同高且是偏等积三角形得，可得答案 （2）根据与同高且是偏等积三角形得，再证和全等得，， ， ，进而得，然后在中利用三角形三边之间的关系可得出，最后再根据线段的长度为正整数可求出的长． 【详解】（1）解：∵点P为上一点，如图， 与同高， 又与是偏等积三角形， ， ， 故答案为：4． （2）如图2中与同高， ，是偏等积三角形， ， ， ，， 在和中 ， ， ，， ， ，， 在中 ，， ， ， 线段的长度为正整数， ． 7．（23-24八年级上·山东济宁·期中）某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点E，使，连接，和全等吗？为什么？ 　   【理解与运用】 （2）如图2，是的中线，若，，设，则x的取值范围是______．    【答案】（1）．理由见解析；（2） 【分析】本题考查了三角形的中线的定义，全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，熟知相关定理并根据题意证明全等三角形是解题关键． （1）根据“边角边”即可证明三角形全等； （2）延长到Q，使,证明得到,根据三角形三边关系求出，即可求出． 【详解】（1）． 理由：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴； （2）如图,延长到Q，使,    ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴, ∴, ∵， ∴在中，， ∴， 即． 故答案为： 8．（24-25八年级上·全国·期中）定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． (1)互补四边形中，若，则°； (2)已知：如图1，在四边形中平分．求证：四边形是互补四边形； (3)如图2，互补四边形中，，点E，F分别是边的动点，且，周长是否变化？若不变，请求出不变的值；若有变化，说明理由． 【答案】(1)90 (2)见解析 (3)6 【分析】（1）由互补四边形和四边形内角和定理即可求出的度数； （2）在上截取，连接，证，得，．再证．然后由等腰三角形的性质得出，即可得出结论； （3）延长到G，使，连接，证，得，，再由证，得，，然后由证，得，进而得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是互补四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：90； （2）证明：在上截取，连接，如图1所示： 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴四边形是互补四边形； （3）解：周长不变，值为6．理由如下： 延长到G，使，连接，如图2所示： ∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即的周长． 【点睛】本题主要考查了互补四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定的判定与性质等知识；正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 9．（24-25八年级上·河南·期中）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段、、集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是______． 【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，，试说明：； 【问题拓展】（3）如图3，是的中线，过点分别向外作、，使得，，判断线段与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），，理由见解析． 【分析】（1）由三角形三边关系可得到的取值范围，再根据即可求得的取值范围； （2）由可证，可得，由可证，可得； （3）延长到，使得，连接，先证明，得，再证明，得，，则，然后由三角形的外角性质证出，即可得出结论． 【详解】解：（1）在，，，由三角形三边关系可得： ，即取值范围为：， ∴的取值范围为：； 故答案为：； （2）如图，延长至点，使得，连接，则， ∵是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， ， ∵， ， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； (3)，，理由如下： 如图，延长交于点，延长到，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、倍长中线法、三角形的三边关系、平行线的判定与性质以及三角形的外角性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 10．（23-24八年级上·湖南邵阳·期中）（1）如图①，在四边形中，．E、F分别是上的点， 且，探究图中之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法：延长到点G，使．连接． 先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 （2）如图②，在四边形中，分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？ 请说明理由． （3）如图③，在四边形中，．若点E在的延长线上，点F在的延长线上，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）上述结论仍然成立，理由见解析；（3），理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定： （1）延长到点G，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点G，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出； （3）在延长线上取一点G，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）如图1，延长到点G，使，连接， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， 故答案为：； （2）上述结论仍然成立，理由如下： 如图2，延长到点G，使，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ； （3），理由如下： 图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即， 11．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α()得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．    (1)【探索一】如图1，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”，探索与的数量关系． 在探索这个问题之前，请先阅读材料： 【材料】如图2在中，若，．求边上的中线的取值范围．是这样思考的：延长至E，使，连结．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．中线的取值范围是　 ． 请仿照上面材料中的方法，猜想图1中与的数量关系，并给予证明． (2)【探索二】如图3，当时，是的“旋补三角形”，，垂足为点E，的反向延长线交于点D，探索是否是的“旋补中线”，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由． 【答案】(1)；，证明见解析； (2)是的“旋补中线”， 证明见解析 【分析】（1）材料：三角形三边关系可得，进而可得中线的取值范围； 探索一：延长至点E使，连接，证明，可得，，求出，再证，根据全等三角形的性质可得结论； （2）作于H，作交延长线于F，求出，证明，可得，同理证明，可得，求出，可证，根据全等三角形的性质可得，然后可得是的“旋补中线”． 【详解】（1）解：材料：由题意得：，，， 由三角形三边关系可得：，即， ∴， 故答案为：； 探索一：； 证明：如图1，延长至点E使，连接，    ∵是的“旋补中线”， ∴是的中线，即， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵是的“旋补中线”， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）是的“旋补中线”； 证明：如图，作于H，作交延长线于F，    ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是的中线， ∴是的“旋补中线”． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、同角的余角相等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 全等三角形6大解题必备辅助线专项训练（6大题型+11道提优训练） 必备辅助线添法一 倍长中线法 必备辅助线添法二 截长补短法 必备辅助线添法三 旋转法 必备辅助线添法四 作平行线法 必备辅助线添法五 作垂线法 必备辅助线添法六 见直角作延长线 【经典例题一 倍长中线法】 【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【常见模型】 【例1】（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：． 【理解与运用】 （2）如图2，是的中线，若，求的取值范围； （3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． 1．（23-24八年级上·广西北海·期末）八年级数学课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围小红在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小红的方法思考作答： (1)由已知和作图能得到的理由是______； A．    B．    C．    D． (2)求得的取值范围是______； A．      B．       C．        D． (3)归纳总结：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中完成上题之后，小红善于探究，她又提出了如下的问题，请你解答． 如图，在中，点在上，且，过作，且求证：平分． 2．（23-24八年级上·江苏南通·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是 ． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． (2)如图2，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，D，E在边上，且．求证：． 3．（23-24八年级上·山东济南·期中）阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至E，使， ∵是边上的中线， ∴， 在△BDE和△CDA中，， ∴△BDE≌△    CDA（依据1）， ∴， 在中，（依据2）， ∴． (1)任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1： ；依据2： ． 【归纳总结】 上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． (2)任务二：如图3，，，则的取值范围是 ； A．； B． ； C． (3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题． 如图4，中，，D为中点，求证：． 【经典例题二 截长补短法】 【模型分析】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系．截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段．该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）． 【模型图示】 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段． 例：如图，求证BE＋DC＝AD 方法：①在AD上取一点F，使得AF＝BE，证DF＝DC；②在AD上取一点F，使DF＝DC，证AF＝BE （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 例：如图，求证BE＋DC＝AD 方法：①延长DC至点M处，使CM＝BE，证DM＝AD；②延长DC至点M处，使DM＝AD，证CM＝BE 【例2】（23-24八年级上·四川成都·期中）三角形的角平分线、中线、高都是三角形的重要线段，我们知道，它们各有不同的性质为了进一步探究它们的作用，德馨小组合作学习时做了以下尝试： (1)如图，中，，分别是，的角平分线，若，求； (2)如图，中，，分别是，边上的中线，若，求； (3)如图，中，，，分别是，边上的高线，若，求． 1．（24-25八年级上·广西防城港·阶段练习）【探究与证明】 【问题呈现】如图①所示，已知在中，，，是的中线，过点作，垂足为，且交于点． 【问题提出】（1）小虎通过度量发现，请你帮他说明理由； 【尝试探究】（2）如图②所示，小明在图中添加了一条线段，且平分交于点，即可得，该结论正确吗？请说明理由； 2．（24-25八年级上·北京·期中）定义：如图1，，为直线同侧的两点，过点作直线的对称点，连接交直线于点，连接，则称点为点，关于直线的“等角点”． 如图2，在、中，，，，连接、． (1)猜想与的数量关系是______；并证明你的结论． (2)延长交的延长线于点，延长至点，使，连接． ①先补全图形． ②求证：点为点，关于直线的“等角点”． 3．（24-25八年级上·湖北咸宁·期中）（1）方法呈现： 如图①：在中，若，点D为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，可证，从而把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； （2）探究应用： 如图②，在中，点D是的中点，于点D，交于点E，交于F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中， ，与的延长线交于点F、点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段之间的数量关系，并加以证明． 【经典例题三 旋转法】 【模型分析】旋转：将包含一条短边的图形旋转，使两短边构成一条边，证与长边相等． 注：旋转需要特定条件（两个图形的短边共线），该方法常在半角模型中使用． 【模型图示】 例：如图，已知AB＝AC，∠ABM＝∠CAN＝90°，求证BM＋CN＝MN 方法：旋转△ABM至△ACF处，证NE＝MN 【例3】（23-24八年级上·湖北孝感·期中）已知：，，． (1)如图1当点在上，______． (2)如图2猜想与的面积有何关系？请说明理由．（温馨提示：两三角形可以看成是等底的） 1．（23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 2．（23-24八年级上·山西·期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得． 大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故． 任务： 如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 3．（23-24八年级上·山西吕梁·期中）实践与探究 已知：△ABC和△DOE都是等腰三角形，∠CAB=∠DOE=90°，点O是BC的中点，发现结论： （1）如图1，当OE经过点A，OD经过点C时，线段AE和CD的数量关系是 ，位置关系是 ． （2）在图1的基础上，将△DOE绕点O顺时针旋转（）得到图2，则问题（1）中的结论是否成立？请说明理由． （3）如图3在（2）的基础上，当AE=CE时，请求出的度数． （4）在（2）的基础上，△DOE在旋转的过程中设AC与OE相交于点F，当△OFC为等腰三角形时，请直接写出的度数． 【经典例题四 作平行线法】 【例4】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知，的延长线交于点，交的延长线于点，且．求和的度数． 1．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如1，在四边形中，若或，则四边形是“对补四边形”． (1)如图2，四边形是“对补四边形”，是四边形的一个外角，求证：； (2)在（1）的条件下，，，在上取点E，使，在上取点F，使，连接，点G是的中点，过点E作与的延长线相交于点H，连接，，探索与的关系，并证明． 2．（24-25八年级上·重庆江北·开学考试）已知：在中，，点D在上，连接，且． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，点E为的中点，过点E作的垂线分别交的延长线，的延长线， 于点F，G，H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点E分别作于点M，于点N，若，，求的值． 3．（23-24八年级上·河南信阳·期末）阅读下面材料： 学习了三角形全等的判定方法（即“”“ ”“ ”“ ” 和直角三角形全等的判定方法（即“” 后，小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究 小聪将命题用符号语言表示为：在和中，，，． 小聪的探究方法是对分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 第一种情况：当是直角时 如图1，和中，，，，根据“”定理，可以知道． 第二种情况：当是锐角时 如图2，，，在射线上有点，使，画出符合条件的点，则和的关系是 ； ．全等        ．不全等           ．不一定全等 第三种情况：当是钝角时 如图3，在和中，，，．过点作边的垂线交延长线于点；同理过点作边的垂线交延长线于，根据“”，可以知道，请补全图形，进而证出． 【经典例题五 作垂直法】 【例5】（23-24·湖北武汉·八年级期中）我们定义：三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个内角相邻的外角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角． (1)如图1，是中的遥望角． ①直接写出与的数量关系___________； ②连接AE，猜想与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，四边形ABCD中，，点E在BD的延长线上，连CE，若已知，求证：是中的遥望角． 1．（23-24·八年级课时练习）如图1，已知四边形ABCD，连接AC，其中AD⊥AC，BC⊥AC，AC＝BC，延长CA到点E，使得AE＝AD，点F为AB上一点，连接FE、FD，FD交AC于点G． （1）求证：△EAF≌△DAF； （2）如图2，连接CF，若EF＝FC，求∠DCF的度数． 2．（2024·全国·八年级专题练习）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明． 已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE． 求证：AB＝CD． 分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形． （1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明． ①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF； ②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G． （2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明． 3．（23-24·八年级课时练习）如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明． 已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE． 求证：AB=CD． 分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形请用二种不同的方法证明． 【经典例题六 见直角作延长线】 【例6】（24-25八年级上·福建·期中）如图，在中，是的角平分线，于点．若点为动点，在点运动的过程中满足，则的最大值为（　　）    A．28 B．24 C．14 D．7 1．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，已知是的平分线，，若，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，在中，平分，于点P，已知的面积为，则阴影部分的面积为 ． 3．（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）如图，在中，是的平分线，，垂足为E，若的面积为6，则的面积为 ． 1．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，已知是的中线，且．求证：． 2．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，在四边形中，，，连接，点为上任意一点，过点作直线分别交，的延长线于点，，试说明：．                                                          3．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期中）（1）如图①，已知，，，且，求B点的坐标； （2）如图②，已知，，，且，直接写出点A的坐标    4．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，平分，，交的延长线于点F，在上有一点M，且， (1)若，，求的长． (2)试说明与的关系． 5．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，四边形中，，连接对角线，且，点在边上，连接，过点作，垂足为，若．求证： (1)； (2)； 6．（24-25八年级上·甘肃陇南·期中）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． (1)如图1，中，，，，为上一点，当 时，与是偏等积三角形； (2)如图2，，是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点作交的延长线于点，求的长． 7．（23-24八年级上·山东济宁·期中）某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点E，使，连接，和全等吗？为什么？ 　   【理解与运用】 （2）如图2，是的中线，若，，设，则x的取值范围是______．    8．（24-25八年级上·全国·期中）定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． (1)互补四边形中，若，则°； (2)已知：如图1，在四边形中平分．求证：四边形是互补四边形； (3)如图2，互补四边形中，，点E，F分别是边的动点，且，周长是否变化？若不变，请求出不变的值；若有变化，说明理由． 9．（24-25八年级上·河南·期中）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段、、集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是______． 【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，，试说明：； 【问题拓展】（3）如图3，是的中线，过点分别向外作、，使得，，判断线段与的位置关系，并说明理由． 10．（23-24八年级上·湖南邵阳·期中）（1）如图①，在四边形中，．E、F分别是上的点， 且，探究图中之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法：延长到点G，使．连接． 先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 （2）如图②，在四边形中，分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？ 请说明理由． （3）如图③，在四边形中，．若点E在的延长线上，点F在的延长线上，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 11．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α()得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．    (1)【探索一】如图1，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”，探索与的数量关系． 在探索这个问题之前，请先阅读材料： 【材料】如图2在中，若，．求边上的中线的取值范围．是这样思考的：延长至E，使，连结．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．中线的取值范围是　 ． 请仿照上面材料中的方法，猜想图1中与的数量关系，并给予证明． (2)【探索二】如图3，当时，是的“旋补三角形”，，垂足为点E，的反向延长线交于点D，探索是否是的“旋补中线”，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$