专题02 全等三角形的判定与性质重难点题型专训（22大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（华东师大版）

专题02 全等三角形的判定与性质重难点题型专训（22大题型+15道拓展培优） 题型一 图形的全等 题型二 全等三角形的概念与性质 题型三 利用全等三角形的性质求角度 题型四 利用全等三角形的性质求长度 题型五 利用全等三角形的性质求面积 题型六 用SAS证明三角形全等（SAS） 题型七 全等的性质和SAS综合（SAS） 题型八 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 题型九 线段垂直平分线的性质 题型十 全等的性质和SSS综合（SSS） 题型十一 全等的性质和HL综合（HL） 题型十二 添加条件使三角形全等 题型十三 灵活选用判定方法证全等 题型十四 结合尺规作图的全等问题 题型十五 倍长中线模型 题型十六 旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 题型十七 垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 题型十八 其他模型(全等三角形的辅助线问题) 题型十九 证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 题型二十 全等三角形中的新定义问题 题型二十一 全等三角形中的最值问题 题型二十二 全等三角形综合问题 知识点一、全等图形 定义：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等图形. 例如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形。 图1 图2 知识点二、全等三角形 定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。 要点诠释： 1.对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。 2.找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 知识点三、全等三角形的性质 ①全等三角形的对应边相等； ②全等三角形的对应角相等； 要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 全等变换：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 知识点四、全等三角形的判定 一、全等三角形判定1——“边边边” 定理1：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 二、全等三角形判定2——“边角边” 定理2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：1. 这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 三、全等三角形判定3——“角边角” 定理3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 四、全等三角形判定4——“角角边” 定理4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 要点三、判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 3.三角形证全等思路 五、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL” 定理5：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 【经典例题一 全等图形相关问题】 【例1】（2024·江西·二模）如图，正方形纸片分成五块，其中点为正方形的中心，点，，，分别为，，，的中点．用这五块纸片拼成与此正方形不全等的四边形（要求这五块纸片不重叠无缝隙），符合要求的拼图方法有（   ）种 A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【分析】考查了平面镶嵌（密铺），关键是得到与此正方形不全等的四边形（要求这五块纸片不重叠无缝隙）的各种情况．先根据题意画出图形，即可得到结论． 【详解】解：如图所示： 符合要求的拼图方法有6种， 故选：D． 1．（23-24八年级上·河南南阳·期末）已知如图，、为的平分线上的两点，连接、、、；如图，、、为的平分线上的三点，连接、、、、、；如图，、、、为的平分线上的四点，连接、、、、、、、依此规律，第个图形中有全等三角形的对数是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过观察分析，找出图形变换中，有全等三角形的对数规律：当有个点时，图中有个全等三角形，然后把n=17代入计算即可求解． 【详解】解：图中，当有点、时，有对全等三角形； 图中，当有点、、时，有对全等三角形； 图中，当有点时，有对全等三角形； 图中，当有个点时，图中有个全等三角形， 当时，全等三角形的对数是， 故选：D． 【点睛】本题考查图形变换规律，全等三角形的判定，找出图形变换规律是解题的关键． 2．（23-24八年级上·山东青岛·期末）蜂房的顶部由三个全等的四边形围成，每个四边形的形状如图所示，，其中，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，全等图形的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补；全等图形对应角相等．先求出，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵蜂房的顶部由三个全等的四边形围成， ∴， 故答案为：． 3．（2024八年级上·江苏·专题练习）找出下列各组图中的全等图形． 【答案】（）③和④是全等形；（）①和④是全等形 【分析】本题考查了全等形的概念和性质，利用能够完全重合的两个图形称为全等图形，全等图形的大小和形状都相同，据此即可判断求解，掌握全等形的概念和性质是解题的关键． 【详解】解：（）由图形可得，③和④是全等形； （）由图形可得，①和④是全等形． 【经典例题二 全等三角形的概念与性质】 【例2】（23-24八年级上·重庆·期中）罗同学学习了全等三角形后，利用全等三角形绘制出了下面系列图案，第（1）个图案由2个全等三角形组成，第（2）个图案由4个全等三角形组成，第（3）个图案由7个全等三角形组成，第（4）个图案由12个全等三角形组成，则第（6）个图案中全等三角形的个数为（    ） A．25 B．38 C．70 D．135 【答案】B 【分析】仔细观察图形，发现第个图形有个三角形，根据规律求解即可． 【详解】解：观察发现： 第一个图形有个全等三角形； 第二个图形有个全等三角形； 第三个图形有个全等三角形； 第四个图形有个全等三角形； 第个图形有个全等三角形； 当时，（个． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等的定义，图形类规律题，正确找到规律是解题的关键．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，按照什么规律变化的． 1．（23-24八年级上·陕西汉中·期末）如图，在四边形中，，，，，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D匀速运动．若 与在某一时刻全等，则点Q运动速度为（  ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设点P运动时间为t秒，点Q运动速度为，则，，根据可得或，再根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：设点P运动时间为t秒，点Q运动速度为，则，， ， ， 或， 当时，，， ，， 解得，； 当时，，， ，， 解得，； 综上可知，点Q运动速度为或， 故选D． 2．（24-25八年级上·广东清远·期中）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在中，分别取、的中点、，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．已知，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的面积等知识点，读懂图形中的信息是解题的关键． 由题意可知，，于是可得，，，，进而可得，，然后根据的面积=长方形面积即可得解． 【详解】解：由题意可知： ，， ，，，，的面积=四边形面积 ， 四边形是长方形， ， ， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，点，在线段上，与全等，点与点，点与点是对应顶点，与交于点． (1)表示这两个三角形全等； (2)写出对应边及对应角． 【答案】(1) (2)与，与，与；与，与，与 【分析】本题主要考查全等三角形的对应边，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据题意写出全等三角形即可； （2）根据全等三角形的表示找出对应边与对应角． 【详解】（1）解：点与点，点与点是对应顶点， ； （2）解：， 故与，与，与为对应边；与，与，与为对应角． 【经典例题三 利用全等三角形的性质求角度】 【例3】 （2024·山西吕梁·模拟预测）如图，用两对全等的三角形纸片拼成如图所示的六边形，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查全等三角形的性质及三角形内角和定理，根据题意得出，然后进行等量代换求解即可，熟练掌握全等三角形的性质及三角形内角和定理是解题关键 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ， 故选：B 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知，，，则的度数为 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握全等三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 由，可得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，相交于点O．若，则 ． 【答案】80 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，先由得，，再由三角形内角和定理得，进而可得． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：80． 3．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，全等于，E在边 上，与交于点 F．若， (1)求线段的长． (2)求 的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点， （1）先根据图形和已知判定出全等三角形的对应边，然后根据全等三角形的性质得到，，结合图形计算，得到答案； （2）根据全等三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理求出，计算即可得解； 掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键． 【详解】（1）∵ ， ∴， 如图所示，为中的最短边，为中的最短边， ∵， ∴和不可能是全等三角形的对应边， ∵E在边上， ∴， ∵全等于， ∴， ∴，， ∴； （2）∵，，， ∴，， ∴， ∴． 【经典例题四 利用全等三角形的性质求长度】 【例4】（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，已知，点F，B，E，C在同一条直线上，若，则的长度为（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得出，求出，再求出答案即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 1．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，若，点B、E、C、F在同一直线上，，，则的长是（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，得到继而得到，计算即可． 【详解】．∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：D． 2．（24-25八年级上·河南商丘·期中）已知的三边长为3，5，7，的三边长为5，，，若与全等，则x等于 【答案】3 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 根据全等三角形的性质，分两种情况列方程求解即可． 【详解】解：∵的三边长为3，5，7，的三边长为5，，，若与全等， ∴当时，，则，符合题意； 当时，，则，不符合题意； ∴． 故答案为：3． 3．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，，点A，E，B，D在同一条直线上． (1)若，，求的度数； (2)若，，是奇数，求的长度． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理以及三角形的三边关系： （1）根据平角的定义，求出的度数，全等得到，利用三角形的内角和定理求出的度数； （2）三角形的三边关系求出的长，全等得到，进而求出的长，再利用线段的和差关系求出的长即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∵是奇数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【经典例题五 利用全等三角形的性质求面积】 【例5】（23-24八年级上·山东聊城·期末）如图，已知，下列说法：①；②是的中线；③；④与面积相等．其中正确的是：（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，根据，可知，，，． 【详解】①∵， ∴． 说法①错误． ②∵， ∴． ∴是的中线． 说法②正确． ③∵， ∴． ∴． 说法③正确． ④∵， ∴，且的边上的高与的边上的高相等． ∴与面积相等． 说法④正确． 综上所述，说法正确的有②③④，共3个． 故选：C 1．（23-24八年级上·四川乐山·期末）如图，直角沿直角边所在的直线向下平移得到，下列结论中不一定正确的是（   ）    A． B． C． D．四边形的面积=四边形的面积 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，三角形的面积，平行线的判定，根据平移的性质逐一判断即可． 【详解】解：沿直线边所在的直线向下平移得到， ，， ，， ，， 故A、C、D项结论正确， 平移中，当点D接近点B时，可知：，故B项结论不一定正确， 故选：B． 2．（2024·陕西西安·二模）如图，在四边形中，，，于点，若，，，则四边形的面积是 ． 【答案】40 【分析】根据∠ABC+∠ADC =180°，∠ADF+∠ADC=180°，可知∠ABC=∠ADF，根据全等三角形的判定，不难推出△ABE≌△ADF，则AE=AF；观察图形可知，，根据三角形面积公式进行计算，即可求出四边形ABCD的面积． 【详解】过A点作AF⊥CD交CD延长线于F，连接AC， ∵∠ABC+∠ADC =180°，∠ADF+∠ADC=180°， ∴∠ABC=∠ADF. ∵， ∴△ABE≌△ADF， ∴AE=AF， ∴ =×BC×AE+×CD×AF = 故答案为：40． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定、三角形的面积计算，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与面积的计算． 3．（24-25八年级上·广西来宾·期中）如图，在中，点D在边上，点E在边上，延长交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2)4 【分析】（1）先根据全等三角形的性质得到，，再根据平角的定义计算出，然后根据三角形内角和定理可证明； （2）先计算出，再根据全等三角形的性质得到，然后计算即可． 本题考查了三角形内角和性质以及全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，全等三角形的面积相等． 【详解】（1）解： ，， ， ， ， 而， ； （2）解：，， ， ∵， ， ． 【经典例题六 用SAS证明三角形全等（SAS）】 【例6】（24-25八年级上·山西临汾·期中）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），在图中由三角形全等可知，测量工件内槽宽，那么判定的理由是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的应用，根据已知条件可用边角边定理判断出全等．根据测量两点之间的距离，只要符合全等三角形全等的条件之一，只需要测量易测量的边上，进而得出答案． 【详解】解：连接，，如图， 点分别是、的中点， ，， 在和中， ， ． ． 答：需要测量的长度，即为工件内槽宽． 其依据是根据证明； 故选：B． 1．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，点在点正北方向，点在点正东方向，且点、到点的距离相等，甲从点出发，以每小时50千米的速度朝正东方向行驶，乙从点出发，以每小时30千米的速度朝正北方向行驶，1小时后，位于点处的观察员发现甲、乙两人之间的夹角为，此时甲、乙两人相距（    ） A．60千米 B．70千米 C．80千米 D．90千米 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识点，延长至，使，连接，结合全等三角形的判定与性质得出，则进而求出即可，得出是解题关键． 【详解】解：如图，延长至，使，连接， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， （千米）， 故选：C． 2．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，延长，在的延长线上截取，延长，在的延长线上截取，则这两个三角形全等的依据是 （写出全等依据的简写）．    【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用证明三角形全等成为解题的关键． 由已知条件可得、，再结合对顶角相等以及全等三角形的判定方法即可解答． 【详解】解：在核对中， ， ∴． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图所示，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定方法根据三角形全等的判定，由已知先证，再根据可证． 【详解】证明：， ． ， 在与中 ， ． 【经典例题7 全等的性质和SAS综合（SAS）】 【例7】（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O即跷跷板的中点到地面的距离是，当小明从水平位置上升时，小敏离地面的高度是（　 　）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 证明，则，根据小敏离地面的高度是，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴小敏离地面的高度是， 故选：B． 1．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）如图，中，，，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的运用，根据题意可得，得到，根据平角的性质可得，即，根据三角形的内角和，，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故选：A ． 2．（24-25八年级上·广东广州·期中）小明在测量妹妹保温杯的壁厚时，按如图方法进行测量，其中， 测得， 则保温杯的壁厚为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 证明，则，根据保温杯的壁厚为，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴保温杯的壁厚为， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·湖南永州·期中）在中，，D是上的一动点（点D不与点B、C重合），以为边在其右侧作，使，，连接． (1)如图1，点D在线段上，且． 求证：，并求的度数． (2)设，． ①如图2，点D在线段上，探究和之间的数量关系，并证明你的结论． ②如图3，点D在的延长线上，写出和的关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析， (2)①，证明见解析；②，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，本题中求证是解题的关键． （1）先证，再证明，可得，即可解题； （2）①先证，再证明，可得，根据即可解题；②先证，再证明，可得，根据，即可解题； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①，理由如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【经典例题八 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）】 【例8】（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，是的平分线，于点，若的面积为，则的面积（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题考查了全等三角形的性质和判定，三角形中线的性质，熟知等底等高的三角形的面积相等是解题的关键． 延长交于E，根据已知条件证得，根据全等三角形的性质得到，得出，推出，进而可求出答案． 【详解】解：如图所示，延长交于E， ∵是的平分线，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选B． 1．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，，，，，连接，交于点M，连接．下列结论：①：②；③平分；④平分中，正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由证明得出，，②正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，①正确；作于，于，如图所示：则，利用全等三角形对应边上的高相等，得出，由角平分线的判定方法得出平分，④正确；假设平分，则，由全等三角形的判定定理可得，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论． 本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；熟练掌握证明三角形全等的方法是解题的关键． 【详解】解：， ， 即， 在和中， ， ，，故②正确； ， 由三角形的外角性质得： ， ， 故①正确； 作于，于，如图所示， 则， ∵， ∴， （全等三角形的对应边上的高也相等）， 平分， 故④正确； 假设平分，则， ∵平分， ∴， ∵， 则， 在与中， ， ， ， ， 而，故③错误； 正确的个数有3个； 故选：C． 2．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，给出下列结论：①；②；③过点作于点，延长交于点，则；④．其中正确的结论有 （只填写序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线．首先根据题意证明出，进而得到，即可判断①；过点F作交延长线于点O，证明出，得到，然后利用三角形面积公式即可得到，即可判断②；过点A作交的延长线于点P，过点C作，证明出，得到，同理得到，得到，然后证明出，得到，即可判断③；证明与不一定全等，即可判断④． 【详解】解：∵在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 如图所示，过点F作交延长线于点O，    ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∵，， ∴， 同理可得：， ∴，故②正确； 如图所示，过点A作交的延长线于点P，过点C作，    ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 同理可证，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故③正确； 连接， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴与不一定全等， ∴，故④不正确． 故答案为：①②③． 3．（24-25八年级上·云南昆明·期中）昆明大观楼位于昆明市西南部，南临滇池，始建于清朝康熙年间，是昆明市最具代表性的古建筑物之一．某数学研究小组的同学们把测量大观楼的高度作为一项课题活动，设计了如表所示的测量方案： 课题 测量大观楼的高度 成员 组长：组员： 测量工具 测角仪、皮尺等 测量示意图 测量说明 如图，，，甲同学在小树与楼之间的点处，分别测得、，发现与互余 测量数据 米，米 请你根据上述信息求出大观楼的高度． 【答案】大观楼的高度为21米 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用等知识点，先求解，再证明，利用全等三角形的性质可得答案，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决此题的关键． 【详解】∵米，米， ∴（米）， ∵，， ∴， ∴与互余， ∵与互余，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴（米）， 答：大观楼的高度为21米． 【经典例题九 线段垂直平分线的性质】 【例9】（23-24八年级上·广东清远·单元测试）如图， 在中， ，，观察图中尺规作图的痕迹， 则的长为（       ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了基本作图-作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法． 根据作图过程可得是线段的垂直平分线，垂直平分线上的点与线段两个端点距离相等可得，进而可得的长． 【详解】解：根据作图过程可知：是线段的垂直平分线， ， ，， ， 故选：C． 1．（23-24八年级上·安徽·期末）如图，在中，，，，观察图中尺规作图的痕迹，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质．连接，根据线段垂直平分线的性质得到，则，进一步得到是等边三角形，即可得到答案． 【详解】解：连接， 根据图中尺规作图的痕迹，可知， ， ， ， 是等边三角形， ， 故选：C． 2．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，E是上一点，，垂直平分，于点D，的周长为，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形性质，线段的和差，根据垂直平分线的性质和三线合一得到，，继而结合的周长得出，即可求出结果． 【详解】解：，， ， 垂直平分， ， 的周长为， ， ， ， 解得， 故答案为：． 3．（2024·陕西西安·三模）如图，在中，点是边上的一点，请用尺规作图法，在上求作一点，使．（不要求写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解为基本作图，逐步操作． 连接，作的垂直平分线交于点，连接即可． 【详解】解：解：如图，点即为所求， 理由：由作图知是的垂直平分线， ， 【经典例题十 全等的性质和SSS综合（SSS）】 【例10】（24-25八年级上·福建福州·期中）如图是一个平分角的仪器，其中，． 将点A放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，就是这个角的平分线． 此仪器的原理是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质应用，熟练掌握其性质是解题的关键．为公共边，其中，，利用证三角形全等，根据三角形全等的性质解题即可． 【详解】解：为公共边， 在和中， ， ， 就是的平分线， 故选：A． 1．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，，，，，则四边形与面积的比值是（   ） A．3 B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．先证明，从而得到，通过，推出，从而得到答案． 【详解】， 又， 四边形与面积的比值是1 故选：D． 2．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，点F，C在上，，，，与相交于点G，若，则的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，证明是解题的关键．先证明，然后利用即可证得得，然后根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）阅读下题及其证明过程： 已知：如图，是中BC的中点，，试说明：． 证明：是中BC的中点 在和中， （第一步） （第二步） 在和中 （第三步） 问： (1)上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据，若不正确，请指出错在哪一步？ (2)写出你认为正确的推理过程． 【答案】(1)不正确．证明三角形全等的第二个条件错误，所以第一步错误 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）可以用证明； （2）根据证明，再证明可得结论． 【详解】（1）解：不正确．证明三角形全等的第二个条件错误，所以第一步错误； （2）证明：是中的中点， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【经典例题十一 全等的性质和HL综合（HL）】 【例11】 （2024·陕西渭南·模拟预测）如图，正方形中，，点在边上，且，将沿对折至，延长交边于点，连接、，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据翻折变换的性质和正方形的性质证明，再根据勾股定理证明，通过计算求出，求出，即可得到答案． 【详解】解：正方形， 由折叠的性质可知， 在和 ，故选项A正确； 设 则 在中，根据勾股定理可得： 解得 ，故选项B正确； ，故选项C正确； ，故选项D错误，符合题意． 故选D． 1．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，于点于，且的延长线分别交，于点C，F．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，以及全等三角形对应边相等，对应角相等． 通过证明，得出，，即可解答． 【详解】解：在和中， ， ∴，故A正确，不符合题意； ∴，，故C正确，不符合题意； ∴平分，故D正确，不符合题意； ∵，， ∴，故B错误，符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以2厘米/秒沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E经过 秒时，与全等． 【答案】0，3，9，12 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，分四种情况：当E在线段上，时，；当E在上，时，；当E在线段上，时，；当E在上，时，；分别利用三角形全等的性质进行求解即可，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ①当E在线段上，时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点E的运动时间为（秒）； ②当E在上，时，， 则， ∴， 点E的运动时间为（秒）； ③当E在线段上，时， ∵， ∴， 这时E在A点未动，因此时间为0秒； ④当E在上，时，， 则， ∴， 点E的运动时间为（秒）． 综上所述，当点E经过0秒，或3秒，9秒，12秒时，与全等． 故答案为：0，3，9，12． 3．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，四边形中，，连接对角线，且，点在边上，连接，过点作，垂足为，若．求证： (1)； (2)； 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）由，得，再证明，根据全等三角形的性质得，最后由角度和差即可求证； （）连接，由“”可证可得，最后通过线段和差即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，线段和差，角度和差，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键. 【详解】（1）证明： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， 由（）得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【经典例题十二 添加条件使三角形全等】 【例12】（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，，．添加下列的一个选项后．不能证明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定，依据三角形全等的判定定理逐一判断即可，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴， 在和中， ， ∴，此选项不符合题意； 、∵， ∴， ∵， ∴ 在和中， ， ∴，此选项不符合题意； 、∵， ∴， 添加，此选项不能证明，此选项符合题意； 、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，此选项不符合题意； 故选：． 1．（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，四点在一条直线上，，，再添一个条件仍不能证明的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由可得，再根据全等三角形的判定方法逐项判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， 、添加与原条件满足，不能证明，该选项符合题意； 、添加可得，由可证明，该选项不合题意； 、添加，由可证明，该选项不合题意； 、添加可得，由可证明，该选项不合题意； 故选：． 2．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，与交于点P，，从以下四个选项①，②，③，④中选择一个作为条件，使，符合条件的有 （填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握各全等三角形的判定定理是解题的关键．①当添加后可根据全等三角形的判定定理证出，①可以；②当添加后可根据全等三角形的判定定理证出，②可以；③当添加后，利用不能证出，③不可以；④根据即可找出，再根据全等三角形的判定定理即可证出，④可以．综上即可得出结论． 【详解】解：①在和中， ， ， 故①符合条件； ②在和中， ， ， 故②符合条件； ③在和中，、、不满足全等三角形的判定定理的条件， 添上不能证出， 故③不符合条件； ④， ． 在和中， ， 故④符合条件． 故答案为：①②④． 3．（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）某校八年级上学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案． 甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接，，并分别延长至D，至E，使，，最后测出的长即为A，B的距离． 乙：如图②，先过点B作的垂线，再在上取C，D两点，使_____，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E，则测出的长即为A，B的距离． 丙：如图③，过点B作，再由点D观测，在的延长线上取一点C，使_____，这时只要测出的长即为A，B的距离． (1)请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分． 乙：　　　；丙：　　　． (2)请你选择其中一种方案进行说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的证明方法是解题的关键． （1）结合甲同学的“边角边”，乙同学的“角边角”，丙同学的“角边角”证明全等三角形，填空即可； （2）甲同学利用的是“边角边”，乙同学利用的是“角边角”，丙同学利用的是“角边角”证明两三角形全等，分别证明即可． 【详解】（1）解：乙：如图②，先过点作的垂线，再在上取，两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为，的距离； 丙：如图③，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离． 故答案为：，； （2）解：答案不唯一． 选甲：在和中， ， ∴， ； 选乙：，， ， 在和中， ， ∴， ； 选丙： 在和中， ， ∴， ． 【经典例题十三 灵活选用判定方法证全等】 【例13】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，平分，，则图中的全等三角形共有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的对应边相等，对应角相等． 根据角平分线的性质及全等三角形的判定可求得图中的全等三角形有3对，分别是：，，． 【详解】解：平分 ，，， ，， ，， ， ， 所以共有3对全等三角形， 故选：B． 1．（24-25八年级上·河北邢台·期中）在和中， ， ， ， 若， 则 （     ） A． B． C． D．不只是，还有可能是其他值 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由已知可知无法判断和是否全等，进而可得的度数不只是，还有可能是其他值，据此即可求解，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：∵， ， ， ∴无法判断和是否全等， ∴的度数不只是，还有可能是其他值， 故选：． 2．（23-24八年级上·江苏·周测）如图，已知，，垂足分别为，相交于点，且平分，那么图中全等三角形共有 对． 【答案】4/四 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．由平分，，可得，证明，则，证明，则，，，，证明，同理，，然后判断作答即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，， ∵，，， ∴， 同理，， 综上所述，图中全等三角形共有4对， 故答案为：4． 3．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图， ，，．求证：．    以下是合作小组三名同学关于此题的讨论： 小丽说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．” 小颖说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．” 小雨说：“我可以根据三角形的面积相等，来证明．” 看了他们的讨论，你一定也有了自己的主意，请写出你的证明． 【答案】见解析 【分析】本题目考查了三角形全等的判定方法，解题关键是熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键； ①根据垂线的知识可得，在结合证明，最后根据全等三角形的性质得出结论；②连接，根据直角三角形的，证明，即可得出结论；③连接，证明，可得，再结合三角形面积计算方法即可得出结论；④连接，证明，得，，在利用证明，得出结论． 【详解】小丽方法： ，， ． 在和中， ，． ，即． 小颖方法： 连接． ，，， ． 在和中， ． ． 小雨方法： 连接． ， ． 在和中， ， ， ．即． 又，， ， ， ．    方法4：连接，    ，， ． 在和中， ，， ， 在和中， ， ． 【经典例题十四 结合尺规作图的全等问题】 【例14】（23-24八年级上·四川广安·期末）如图，在外找一个点（与点A不重合），并以为一边作，使之与全等，且不是等腰三角形，则符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题是开放题，要想使△A′BC与△ABC全等，先确定题中条件，再对应三角形全等条件求解． 【详解】解：如图： 以B点为圆心，CA为半径上下画弧，C点为圆心，BA为半径上下画弧，两弧相交分别得到点、；以C点为圆心，CA为半径画弧，以B点为圆心，BA为半径画弧，两弧的交点得到点，所以符合条件的点A′有3种可能的位置． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等的判定综合．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法去求证． 1．（2024·河南焦作·二模）已知锐角，如图，（1）在射线上取点，，分别以点为圆心，，长为半径作弧，交射线于点，；（2）连接，交于点．根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误的是（   ） A． B． C．若，则 D．点在的平分线上 【答案】C 【分析】根据题意可知，即可推断结论A；先证明，再证明即可证明结论B；连接OP，可证明可证明结论D；由此可知答案． 【详解】解：由题意可知， ， ， 故选项A正确，不符合题意； 在和中， ， ， 在和中， ， ， ， 故选项B正确，不符合题意； 连接OP， ， ， 在和中， ， ， ， 点在的平分线上， 故选项D正确，不符合题意； 若，， 则， 而根据题意不能证明， 故不能证明， 故选项C错误，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，明确以某一半径画弧时，准确找到相等的线段是解题的关键． 2．（23-24八年级上·山东烟台·期中）如图，点B在直线l上，分别以线段BA的端点为圆心，以BC（小于线段BA）长为半径画弧，分别交直线l，线段BA于点C，D，E，再以点E为圆心，以CD长为半径画弧交前面的弧于点F，画射线AF．若∠BAF的平分线AH交直线l于点H，∠ABC=70°，则∠AHB的度数为 ． 【答案】35°/35度 【分析】连接CD，EF．由题目中尺规作图可知：，．可证，所以，可得．所以．由于AH平分，所以．即：． 【详解】解：连接CD，EF 由题目中尺规作图可知：， 在和中 AH平分 故答案为：． 【点睛】本题主要考查知识点为，全等三角形的性质及判定、定点为圆心定长为半径的性质、平行线的判定及性质，角平分线的性质．能看懂尺规作图，熟练掌握全等三角形的性质及判定、平行线的性质及判定，角平分线的性质，是解决本题的关键． 3．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）（1）尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法. 如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是（    ） A．    B．   C．    D． （2）如图，直线a是一条公路，M，N是公路a同侧的两个居民区，现计划在公路a上修建一个公交候车亭O，及修建两居民区M，N之间的道路，为了使最短，请在图中作出点O的位置(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)． 【答案】（1）B；（2）见解析 【分析】（1）本题考查了全等三角形的判定定理，三边对应相等的两个三角形全等，以及作一个角等于已知角，根据用尺规画一个角等于已知角的步骤，据此即可求解． （2）本题考查将军饮马模型，作关于直线a的对称点，连接与直线a交于点,根据对称的性质和两点之间线段最短，即可得到最短． 【详解】（1）解：根据做法可知：，，， ∴， 故选：B． （2）解：点O的位置如图所示： 【经典例题十五 倍长中线模型】 【例15】（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在长方形中，是中点，在边上，若，则（    ） A．3 B．2 C．1.5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质和判定，延长，交于点G，构造，利用三角形中线的性质得出，进而求出，再由求出答案． 【详解】解：延长，交于点G， ∵在长方形中，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选A． 1．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）在中，为的中线，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】延长到点E，使，连接，可证明，得，而，根据三角形的三边关系得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：延长到点E，使，则， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系．解题的关键是倍长中线法构造全等三角形． 2．（24-25八年级上·全国·期中）如图，是的中线，，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，三角形三边关系，由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解． 【详解】解：如图，延长至，使，连接， 是的中线， ， 在和中， ， ∴， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·广东广州·期中）（1）温故知新：在小学数学我们认识了等腰三角形，知道了底角、顶角等概念，请用全等的知识证明“等腰三角形的两个底角相等”．已知：如图1，中，若，求证：． （2）运用“等腰三角形的两个底角相等”和全等的知识来解决以下问题：如图2，在中，是边上的中线，E是上一点，延长交于F．若，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，涉及倍长中线、全等三角形的判定与性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）取中点，连接．利用证明，由全等三角形的性质可得出结论； （2）延长到点，使得，连接，由“”可证，可得，，进而可得，对顶角相等即可证明结论． 【详解】（1）证明：如图，取中点，则，连接， 在和中， ， ， ； （2）证明：延长到点，使得，连接，如图所示： 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， ， ，即． 【经典例题十六 旋转模型】 【例16】（23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【答案】B 【分析】将关于对称得到，从而可得的面积为15，再根据对称的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，最后根据与的面积之和等于与的面积之和即可得． 【详解】解：如图，将关于AE对称得到， 则，， ， ， ， 在和中，， ， ， ，即是直角三角形， ， ， 即与的面积之和为21， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 1．（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图，等边三角形ABC的边长为2，点O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，将∠FOG绕点O旋转，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD＝OE；②S四边形ODBE＝S△ABC；③S△ODE＝S△BDE；④△BDE周长的最小值为3．上述结论中正确的个数是（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】①通过证明△BOD≌△COE可得结论；②根据①的结论可以推出；③S△ODE随OE的变化而变化；④当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长的最小值为2+OE． 【详解】连接OB、OC，如图， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵点O是△ABC的中心， ∴OB＝OC，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB， ∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°， ∴∠BOC＝120°，即∠BOE+∠COE＝120°， 而∠DOE＝120°，即∠BOE+∠BOD＝120°， ∴∠BOD＝∠COE， 在△BOD和△COE中， ， ∴△BOD≌△COE（ASA）， ∴BD＝CE，OD＝OE， ∴①正确； ∵△BOD≌△COE， ∴S△BOD＝S△COE， ∴四边形ODBE的面积＝S△OBC═S△ABC， 故②正确； 作OH⊥DE于H，如图，则DH＝EH， ∵∠DOE＝120°， ∴∠ODE＝∠OEH＝30°， ∴OH＝OE，HE＝OH＝OE， ∴DE＝OE， ∴S△ODE＝×OE×OE＝OE2， 即S△ODE随OE的变化而变化， 而四边形ODBE的面积为定值， ∴S△ODE≠S△BDE； 故③错误； ∵BD＝CE， ∴△BDE的周长＝BD+BE+DE＝CE+BE+DE＝BC+DE＝2+DE＝2+OE， 当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE＝， ∴△BDE周长的最小值＝2+1＝3， 故④正确． 综上所述，正确的有①②④共3个． 故选C．    【点睛】本题考查了等边角形性质，图形的旋转，三角形全等，勾股定理，动点问题，熟练等边三角的性质是解题的关键． 2．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分，AD=3厘米，阴影部分的面积是6平方厘米，长 厘米． 【答案】4 【分析】如图，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△GDF，求出∠GDB＝90°，可得△GDF与△DBF组成一个直角△DBG，直角边DG是3厘米，面积是6平方厘米，由此利用三角形的面积公式即可求出DB的长． 【详解】解：如图，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△GDF，则△ADE≌△GDF，点G、F在BC上， ∴∠ADE＝∠GDF， ∵在正方形DECF中，∠EDF＝90°， ∴∠ADE＋∠FDB＝90°， ∴∠GDF＋∠FDB＝90°，即∠GDB＝90°， ∴△GDF与△DBF组成一个直角△DBG，直角边DG是3厘米，面积是6平方厘米， ∴DB的长为：6×2÷3＝12÷3＝4（厘米）， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，解答此题的关键是巧妙地把阴影部分△ADE通过旋转与阴影部分△DBF 组成一个直角三角形． 3．（23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1），证明见解析（2），证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形． （1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）结论：，证明方法同法（1）． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，，， ∴，即：三点共线， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， 又， ． （2）结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：， 同法（1）可得：， ， 又， ． 【经典例题十七 垂线模型】 【例17】（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中空白部分的面积为（　　） A．54 B．60 C．100 D．110 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一线三垂直证明全等是突破本题的关键．利用一线三直角证明三角形全等，可得长方形的长11与宽10，计算出长方形的面积后减去三个正方形的面积即可． 【详解】解：如图延长交于M，其他字母标注如图示：根据题意，，，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理可证， ∴， ∴． 空白部分的面积＝长方形面积三个正方形的面积和． 故选：B． 1．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，△ABC是一个什么三角形？（    ）请说明理由． A．等腰三角形； B．等边三角形 C．直角三角形； D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】通过SAS证明全等，进而证明AB=BC，∠ABC=90°，进而得到答案． 【详解】如图， 由题意知：AE=BF=3，CF=BE=1，∠AEB=∠BFC=90°， 在和中： ∴， ∴∠ABE=∠BCF，AB=BC， 又∵∠BCF+∠CBF=90°， ∴∠ABE+∠CBF=90°， ∴为等腰直角三角形， 故选：D 2．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为 ． 【答案】3 【分析】过点作交延长线于点，先证明，则，然后根据求即可． 【详解】解：过点作交延长线于点， 则∠DMC=90°=∠ABC， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 故填． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积，正确作出辅助线、构造全等三角形证得成为解答本题的关键． 3．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）【提出问题】（1）如图1，在和中，，点B，C，D在一条直线上，且．，，求的长度； 【解决问题】（2）如图2，在中，，，过点C作，且，求点D到直线的距离； 【拓展应用】（3）某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境，如图3，在河流段的周边规划一个面积为的四边形森林公园，按设计要求，在四边形中，，，，点E在边上，且，，的面积为，请直接写出河流段的另一边森林公园的面积． 【答案】（1）9（2）4（3） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三直角全等模型，是解题的关键： （1）证明，得到，，根据线段的和差关系进行求解即可； （2）过点作，交的延长线于点，证明，进而得到，即可得出结果； （3）过点作，交的延长线于点，根据的面积为，求出的长，证明，得到，进而求出的长，再利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴； （2）过点作，交的延长线于点， 则：， ∵， ∴， 同（1）可得：， ∴， ∴点D到直线的距离为4； （3）过点作，交于点， 则：， ∵， ∴， 同法（1）可得：， ∴， ∴， ∵，， ∴的面积． 【经典例题十八 其他模型】 【例18】（23-24八年级上·重庆·期中）如图：，，，，连接与交于，则：①；②；③；正确的有（  ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用垂直的定义得到，则，于是可对①进行判断；利用“”可证明，于是可对②进行判断；利用全等的性质得到，则根据三角形内角和和对顶角相等得到，于是可对③进行判断． 【详解】解：，， ，， ， 即，所以①正确； 在和中， ， ，所以②正确； ， ∵∠AFD=∠MFB， ， ，所以③正确． 故选：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 1．（23-24八年级上·广西贵港·期中）如图，中，是的外角平分线，是上异于的任意一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可在CA的延长线上取一点E，使AE=AB，得出△ABP≌△AEP，从而将四条不同的线段转化到一个三角形中进行求解，即可得出结论． 【详解】解： 如图，在CA的延长线上取一点E，使AE=AB，连接EP． 由AD是∠BAC的外角平分线，可知∠BAP=∠EAP， 又AP是公共边，AE=AB， 故△ABP≌△AEP 从而有BP=PE， ∵在△CPE中，CB+PE＞CE ∴CB+PB＞CE 而CE=AC+AE=AC+AB ∴CB+PB＞AB+AC， 故选D. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形三边关系的问题，应熟练掌握． 2．（23-24八年级上·山西阳泉·期末）有些数学题，表面上看起来无从下手，但根据图形的特点，可补全成为特殊的图形，然后根据特殊几何图形的性质去考虑，常常可以获得简捷解法．根据阅读，请解答问题：如图所示，已知△ABC的面积为16cm2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则△ADC的面积为 cm2． 【答案】8 【分析】延长BD、AC交于点E，由题意证得△ABD≌△AED（ASA），证得AB＝AE，BD＝DE，即可证得S△ABD＝S△AED，S△BDC＝S△EDC，设S△EDC＝x，利用S△ABE＝S△ABC+S△BCD＝12+2S△EDC即可求得结果． 【详解】解：延长BD、AC交于点E， ∵AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D， ∴在△ABD和△AED中， ∴△ABD≌△AED（ASA）， ∴AB＝AE，BD＝DE， ∴S△ABD＝S△AED，S△BDC＝S△EDC， 设S△EDC＝x， ∵△ABC的面积为16cm2， ∴S△ABE＝S△ABC+S△BCD＝16+2S△EDC＝16+2x， ∴S△ADC＝S△ADE﹣S△EDC＝ 故答案为8． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，以及三角形面积的求法，根据图形的特点，补全成特殊的图形是解题的关键. 3．（23-24八年级上·福建三明·期中）如图1，△ABC和△ABD中，∠BAC＝∠ABD＝90°，点C和点D在AB的异侧，点E为AD边上的一点，且AC＝AE，连接CE交直线AB于点G，过点A作AF⊥AD交直线CE于点F． （Ⅰ）求证：△AGE≌△AFC； （Ⅱ）若AB＝AC，求证：AD＝AF+BD； （Ⅲ）如图2，若AB＝AC，点C和点D在AB的同侧，题目其他条件不变，直接写出线段AD，AF，BD的数量关系　 　． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）AF＝AD+BD 【分析】（Ⅰ）先判断出∠ACF＝∠AEG，再用同角的余角相等判断出∠CAF＝∠EAG，即可得出结论； （Ⅱ）先用ASA判断出△ACM≌△ABD，得出AM＝AD，CM＝BD，由（Ⅰ）知，△AGE≌△AFC，得出∠AGE＝∠AFC，再判断出CM∥AB，得出∠MCF＝∠AGC，进而判断出MF＝CM，即可得出结论； （Ⅲ）同（Ⅱ）的方法，即可得出结论． 【详解】解：（Ⅰ）∵AC＝AE， ∴∠ACF＝∠AEG， ∵AF⊥AD， ∴∠DAF＝90°＝∠CAB， ∴∠DAF﹣∠FAG＝∠CAB﹣∠FAG， ∴∠CAF＝∠EAG， 在△AGE和△AFC中， ， ∴△AGE≌△AFC（ASA）； （Ⅱ）如图1，过点C作CM⊥AC，交AF延长线于点M， ∴∠ACM＝90°＝∠ABD， 由（Ⅰ）知，∠CAF＝∠EAB， 在△ACM和△ABD中， ， ∴△ACM≌△ABD（ASA）， ∴AM＝AD，CM＝BD， 由（Ⅰ）知，△AGE≌△AFC， ∴∠AGE＝∠AFC， ∴180°﹣∠AGE＝180°﹣∠AFC， ∴∠AGC＝∠AFG， ∵∠CFM＝∠AFG， ∴∠AGC＝∠CFM， ∵∠BAC＝90°＝∠ACM， ∴∠BAC+∠ACM＝180°， ∴CM∥AB， ∴∠MCF＝∠AGC， ∴∠CFM＝∠MCF， ∴MF＝CM， ∴AM＝AF+CM， ∴AD＝AF+BD； （Ⅲ）AD＝AF﹣BD； 过点C作CM⊥AC，交AF于点M， ∴∠ACM＝90°＝∠ABD， 由（Ⅰ）知，∠CAF＝∠EAB， 在△ACM和△ABD中， ， ∴△ACM≌△ABD（ASA）， ∴AM＝AD，CM＝BD， 由（Ⅰ）知，△AGE≌△AFC， ∴∠G＝∠F， ∵∠BAC＝90°＝∠ACM， ∴CM∥AB， ∴∠MCF＝∠G， ∴∠F＝∠MCF， ∴MF＝CM， ∴AF＝AM+CM＝AD+BD， 故答案为：AF＝AD+BD． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，结合平行线的判定与性质证明是解题的关键． 【经典例题十九 证一条线段等于两条线段和差】 【例19】（23-24八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，在四边形中，是的平分线，且．若，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在线段AC上作AF=AB，证明△AEF≌△AEB可得∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，再证明△CEF≌△CED可得CD=CF，即可求得四边形的周长． 【详解】解：在线段AC上作AF=AB， ∵AE是的平分线， ∴∠CAE=∠BAE， 又∵AE=AE， ∴△AEF≌△AEB（SAS）， ∴∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB， ∵AB∥CD， ∴∠D+∠B=180°， ∵∠AFE+∠CFE=180°， ∴∠D=∠CFE， ∵， ∴∠AEF+∠CEF=90°，∠AEB+∠CED=90°， ∴∠CEF=∠CED， 在△CEF和△CED中 ∵, ∴△CEF≌△CED（AAS） ∴CD=CF， ∴四边形的周长=AC+AB+BD+CD=AC+AF+CF+BD=2AC+BD=， 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判断．能正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． 1．（23-24八年级上·湖北黄冈·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分线AE交CD于E，连结BE，且BE也平分∠ABC，则以下的命题中正确的个数是（ ） ①BC+AD=AB ； ②Ｅ为CD中点 ③∠AEB=90°； ④S△ABE=S四边形ABCD A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】在AB上截取AF=AD．证明△AED≌△AEF，△BEC≌△BEF．可证4个结论都正确． 【详解】解：在AB上截取AF=AD． 则△AED≌△AEF（SAS）． ∴∠AFE=∠D． ∵AD∥BC，∴∠D+∠C=180°． ∴∠C=∠BFE． ∴△BEC≌△BEF（AAS）． ∴①BC=BF，故AB=BC+AD； ②CE=EF=ED，即E是CD中点； ③∠AEB=∠AEF+∠BEF=∠DEF+∠CEF=×180°=90°； ④S△AEF=S△AED，S△BEF=S△BEC， ∴S△AEB=S四边形BCEF+S四边形EFAD=S四边形ABCD． 故选D． 【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，运用了截取法构造全等三角形解决问题，难度中等． 2．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点E是CD上的一点，Rt△ACD≌Rt△EBC，则下结论：①AC＝BC，②AD∥BE，③∠ACB＝90°，④AD+DE＝BE， 成立的有 个．    【答案】1 【分析】根据全等三角形的性质可以得出AC=BE，CD=BC， ，根据以上结论可以推导出 ，，即可求解． 【详解】解：∵Rt△ACD≌Rt△EBC， ∴AC＝BE， ∵在Rt△BEC中，BE＜BC， ∴AC＜BC， ∴①错误； ∵∠CAD＝∠CEB＝∠BED＝90°，∠D＜∠CAD， ∴∠D≠∠BED， ∴AD和BE不平行， ∴②错误； ∵Rt△ACD≌Rt△EBC， ∴∠ACD＝∠CBE，∠D＝∠BCE， ∵∠CAD＝90°， ∴∠ACD+∠D＝90°， ∴∠ACB＝∠ACD+∠BCE＝90°， ∴③正确； ∵Rt△ACD≌Rt△EBC， ∴AD＝CE，CD＝BC， CD＝CE+DE＝AD+DE＝BC， ∵BE＜BC， ∴AD+DE＞BE， ∴④错误； 故答案为：1． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，直角三角形斜边大于直角边等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． 3．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）已知，在四边形中，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1， 当时．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接．请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明__________；再证明了__________，即可得出之间的数量关系为__________． (2)如图②，在四边形中，，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：______________． 【答案】(1)；； (2)成立，过程见解析 (3)或或 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． （1）依据题意，补图，补充思路即可； （2）延长到，使，连接，证明即可； （3）分三种情况讨论，分别采用截长补短，证明即可，再进行线段和差计算． 【详解】（1）解：补全图形，如图： 小明的解题思路：先证明，再证明了，即可得出之间的数量关系为， 故答案为：，，； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ∵ ∴， ∵在与中， ， ∴． ∴， ∴． ∴． 又， ∴． ∴． ∵． ∴； （3）解：①分别在边上，则有成立，第（2）问已证明； ②点在边延长线上，点在边延长线上，此时； 证明：在上截取，使，连接． ∵, ∴． ∵在与中， , ∴ ∴． ∴． ∴． ∵， ∴ ∴ ∵ ∴； ③当点在延长线，点在延长线，如图，在上截取，连接， 同上可证明：， ∴， ∴， 即， 综上所述：线段之间的数量关系为或或， 故答案为：或或． 【经典例题二十 全等三角形中的新定义问题】 【例20】（24-25八年级上·北京·期中）定义：如图1，，为直线同侧的两点，过点作直线的对称点，连接交直线于点，连接，则称点为点，关于直线的“等角点”． 如图2，在、中，，，，连接、． (1)猜想与的数量关系是______；并证明你的结论． (2)延长交的延长线于点，延长至点，使，连接． ①先补全图形． ②求证：点为点，关于直线的“等角点”． 【答案】(1)，证明见解析 (2)①图见解析；②证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等角的补角相等，正确理解“等角点”的概念是解题的关键． （1）根据题意，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等得出，根据全等三角形的对应边相等即可证明； （2）①根据题意，作图即可求解； ②根据全等三角形的对应角相等得出，根据等角的补角相等得出，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等得出，全等三角形的对应角相等得出，推得，即，过点作关于的对称点，连接，根据对称的性质可得出，推得、、三点共线，在结合“等角点”的定义即可证明． 【详解】（1）解：， 证明如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）①解：如图： ②证明：由（1）得：， ∴， ∵，， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点作关于的对称点，连接，如图： 则， ∵， ∴， ∴、、三点共线， 即交直线于点， ∴点为点，关于直线的“等角点”． 1．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）定义：若两个三角形，有两边相等且其中一组等边所对的角对应相等，我们就称这两个三角形为珺琟友谊三角形． (1)若两个三角形全等，它们_____（填是或否）珺琟友谊三角形； (2)如图1，在四边形中，平分，，与是珺琟友谊三角形，请探究与之间的关系； (3)如图2，在四边形中，，求证：与是珺琟友谊三角形． 【答案】(1)是 (2)∠B+∠D＝180° (3)证明见解析 【分析】本题主要考查了新定义、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理等知识点，理解珺琟友谊三角形的定义是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质即可解答； （2）如图1中，在上取一点H，使得．再证明，然后根据全等三角形的性质及等量代换即可解答； （3）如图2中，根据三角形的内角和可得，如图：延长到点G，连接，使，易证可得，再结合为公共边以及珺琟友谊三角形的定义即可证明结论． 【详解】（1）解：∵全等三角形的对应边相等，对应角相等， ∴两个三角形全等，必有有两边相等且其中一组等边所对的角对应相等， ∴若两个三角形全等，它们是珺琟友谊三角形． 故答案为：是． （2）解：∵平分， ∴， ∵，与是珺琟友谊三角形， ∴， 如图1中，在上取一点H，使得． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）证明：如图2中， ∵， ∴， 如图：延长到点G，连接，使， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵为公共边， ∴与是珺琟友谊三角形． 2．（24-25八年级上·河北邢台·期中）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，，为边上一点，若与是积等三角形，求的长； 【理解运用】 （2）如图2，在中，为边上一点，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题考查了三角形的中线的性质，全等三角形的性质与判定，三角形的三边关系等知识； （1）利用三角形的中线的性质即可解决问题； （2）延长至，使，连接证明，推出A，利用三角形的三边关系即可解决问题； 【详解】（1）解：过点作垂直于， ∵与是积等三角形， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，延长至，使，连接 ∵与为积等三角形， 在与中， ∴ ∴ 在中 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵为正整数， ∴或3； 3．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，和为“同源三角形”，，，与为“同源角”． (1)如图1，和为“同源三角形”，试判断与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若“同源三角形”和上的点，，在同一条直线上，且，则______°． (3)如图3，和为“同源三角形”，且“同源角”的度数为时，分别取，的中点，，连接，，，试说明是等腰直角三角形． 【答案】(1)，详见解析 (2)45 (3)见解析 【分析】本题考查了新定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，三角形内角和定理等知识， （1）由“同源三角形”的定义可证，然后根据证明即可； （2）由“同源三角形”的定义和可求出，由（1）可知，得，然后根据“8”字形图形即可求出的度数； （3）由（1）可知，可得，根据证明，可得，进而可证结论成立； 熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【详解】（1）． 理由：∵和是“同源三角形”， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （2）∵和是“同源三角形”， ∴． ∵， ∴． 由（1）可知， ∴． ∵， ∴． 故答案为：45； （3）由（1）可知， ∴，． ，的中点分别为， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 【经典例题二十一 全等三角形中的最值问题】 【例21】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)在图中作出关于y轴对称的； (2)如果要使以B，C，D为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的点D坐标（A点除外）． (3)在y轴上有一动点P，使的距离最小，直接写出P点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)或或． (3) 【分析】本题考查了轴对称的性质、全等三角形的判定、坐标与图形等知识点，熟练掌握轴对称图形的性质及数形结合解决问题是解题的关键． （1）先点关于y轴对称的点的坐标为，同理可得：，，然后再顺次连接即可解答； （2）先根据全等三角形的判定可画出图形，再根据图形可直接写出符合条件的点D坐标； （3）如图：连接，与y轴的交点即为点P，然后直接写出坐标即可． 【详解】（1）解： 如图：即为所求． （2）解：如图：以B，C，D为顶点的三角形与全等时，点D的坐标为：或或． （3）解：如图：连接，与y轴的交点P即为所求． 由平面直角坐标系可得：． 1．（23-24八年级上·广东揭阳·期末）如图，长方形中，，，为长方形上的动点，动点从出发，沿着运动到点停止，速度为，设点P运动时间为x秒，△APD的面积为．    (1)填空： ①当时，对应的值为 ； ②当时，与之间的关系式为 ； (2)当时，对应的值为 ； (3)当在线段上运动时，是否存在点使得 的周长最小？若存在，求出此时的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2) 或 (3)存在，． 【分析】（1）①利用三角形面积求法即可得出答案； ②当＜时，点运动到边上，得出与的函数关系式即可； （2）分别求出点在、、上与的函数关系式，利用，求出的值即可； （3）利用轴对称求最短路线的方法得出点位置，进而利用全等三角形的性质求出答案． 【详解】（1）解：①依题意时，点在上，， 故答案为：． ②当时，点在边上， ＝ （2）当 从 运动时，； 当 从 运动时，； 当 从 运动时，； 令 ，则 或， 解得 ： 或 故答案为： 或 ． （3）存在．理由：如图，延长 ，使得 ，连接 ，交 于点 ，则 为所求，    则， ， ， ∵四边形 是长方形 ， ， 在 与 中， ， ，   ，， ，， ， ． 【点睛】此题主要考查了四边形综合以及全等三角形的判定与性质和三角形面积求法等知识，利用分类讨论求出与的函数关系式是解题关键． 2．（23-24八年级上·湖北黄冈·期末）如图1，直线y＝kx+b交两轴于点A（4，0），B（0，3）． (1)求直线y＝kx+b的解析式； (2)过A点的直线AQ交y轴负半轴于点Q，若∠BAQ＝45°，求点Q的坐标； (3)如图2，在线段AB上找一点D，x轴上找一点E，使BE+DE最小，简要说明点D、E的找法（不需说明理由），并求出此时点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3)D、E的找法见解析， 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）如图，过点，作交于点，过点作轴于点，证明，进而可得，直线的解析式为，即可求得； （3）如图，取点关于轴的对称点，过点作，交于点，交轴于点，则的最小值为，求得直线的解析式为，根据一次函数的平移可得的解析式为，令，解得，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线y＝kx+b交两轴于点A（4，0），B（0，3） ∴ 解得 则直线的解析式为 （2）如图，过点，作交于点，过点作轴于点， ∠BAQ＝45°， 是等腰直角三角形， 又 设直线的解析式为， 解得 直线的解析式为， 令，得 （3）如图，取点关于轴的对称点 过点作，交于点，交轴于点， ，而， 的最小值为， 设直线的解析式为， 由， ， 解得， 直线的解析式为， ， 设的解析式为， ， 的解析式为， 令，解得， 即点． 【点睛】本题考查了一次函数的综合运用，待定系数求解析式，全等三角形的性质与判定，两直线交点问题，轴对称求线段和最小值问题，正确的添加辅助线是解题的关键． 3．（23-24八年级上·天津滨海新·期末）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，，D是BC的中点，，P为AB上一个动点． (1)在AB上，是否存在一点P，使PC + PD的值最小 （填“是”或“否”）； (2)若存在，请直接写出PC + PD的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)是； (2) 【分析】（1）作D关于直线AB的对称点E，连接CE，与AB的交点即为P，此时PC + PD的值最小； （2）证明∠CBE=90°，根据PC + PD的最小值等于CE计算即可． 【详解】（1）如图，作D关于直线AB的对称点E，连接CE，与AB的交点即为P，此时PC + PD的值最小； 故答案为：是 （2）∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠CBA=45° ∵D关于直线AB的对称点E ∴∠CBA=∠EBA=45°，EB=BE，PD=PE ∴∠CBE=90° ∵D是BC的中点 ∴DB=DC=BE ∵ ∴ ∴ ∴ 即PC + PD的最小值为 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、全等三角形的性质及判定，利用轴对称的性质对线段进行转化是解题的关键． 【经典例题二十二 全等三角形的综合问题】 【例22】（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图，在中，，平分，于E，则下列结论：①平分；②；③平分；④；⑤A、D两点一定在线段的垂直平分线上，其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件可证明，从而可判断①、④正确；利用直角三角形的两锐角互余可判断②；利用角平分线的定义可判断③；利用线段垂直平分线的判定可判断⑤；从而可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴平分 故①正确； ∵，且， ∴； 故④正确； ∵， ∴A、D都在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线， 故⑤正确； ∵， ∴， 故②正确； 若平分，则E应为中点，由条件无法得出， 故③不正确； 综上可知正确的结论有：①②④⑤，共四个， 故选：C． 1．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图所示，在中，，于，平分交于，在上，并且，则下列四个结论： ①，②，③，④，其中正确的结论有（　　） A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义；根据证明，再利用三角形全等的性质证明，，进而得出，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解此题的关键． 【详解】解：平分交于， ， 在和中， ， ，故④正确； ，故②③正确； ，于， ，， ， ，故①正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故选：D． 2．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是 ．（将你认为正确的结论序号都填上） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，利用全等三角形的判定和性质，可以证明，由此即可一一判断． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ， ∴，故①②正确， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确， 在和中， ， ∴，故③正确， 故答案为：①②③④． 3．（23-24八年级上·广东揭阳·期末）综合与实践： 【问题情境】如图①所示， 已知在中， ， ， 是的中线，过点C作， 垂足为M， 且交于点E． 【数学思考】（1）小虎通过度量发现，请你帮他说明理由； 【猜想证明】（2）如图②所示，小明在图中添加了一条线段，且平分交于点N， 即可得， 该结论正确吗? 请说明理由； 【拓展延伸】（3）小刚在（2）的基础上，连接，如图③所示，请你帮助小刚证明． 【答案】（1）见解析 ；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）根据题意，得，，利用余角的性质证明即可； （2）利用等腰直角三角形的性质，结合角的平分线定义，证明，结合三角形全等的判定定理即可证明； （3）根据，结合证明即可． 本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，余角的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴． （2）结论是正确的．理由如下： 证明：∵， ， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）证明：∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 1．（24-25八年级上·天津和平·期中）已知如图中的两个三角形全等，则度数等于 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握全等三角形的性质确定对应角是解题的关键． 根据全等三角形对应角相等，三角形内角和定理即可求出结果． 【详解】解：∵图中的两个三角形全等， ∴． 故选：B． 2．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）如图，已知与关于直线l对称，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的性质，三角形内角和定理等知识，根据轴对称的性质得到，进而得到，再利用三角形内角和定理即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵与关于直线l对称， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，是的角平分线，于D．则的最大值为（  ） A． 10   B．12.5 C．17.5 D．25 【答案】B 【分析】延长，交点于，可证，得出，，则，当时，取最大值，即取最大值． 【详解】解：如图：延长，交点于， 平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ，即； ∵， ， 当时，取最大值，即取最大值． ． 故答案为：B． 【点睛】本题考查了角平分线定义、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是利用三角形中线的性质得到 4．（24-25八年级上·山东东营·期中）如图，分别以的边，所在直线为对称轴作的对称图形和，，线段与相交于点O，连接、、、．有如下结论：①；②；③；④平分．其中正确的结论正确的是（      ）    A．②③ B．③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、轴对称的性质的综合运用等知识点，熟记相关性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 根据轴对称的性质可得，再根据周角等于列式计算即可求出，判断出①正确；再求出，根据翻折可得，利用三角形的内角和定理可得，判断出②正确；根据全等三角形的对应边上的高相等，即可判断出④正确；判断出和不全等，从而得到，判断出③错误． 【详解】解：∵和是的轴对称图形， ∴， ∴，故①正确． ∴， 由翻折的性质得，， 又∵， ∴，故②正确． ∵， ∴，， ∴边上的高与边上的高相等，即点A到两边的距离相等， ∴平分，故④正确． 在和中，，，，， 则和不全等， ∴，故③错误； 综上所述，结论正确的是①②④． 故选：C． 5．（24-25八年级上·北京丰台·期中）李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点在轨道槽上运动，点既能在以为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当，时，可得到形状唯一确定的； ②当，时，可得到形状唯一确定的； ③当，时，可得到形状唯一确定的； 其中所有正确结论有几个？（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定之边边角问题，边边角在某些情况下得到的图形是唯一的，而有些情况却有两种情况，解题关键是确定所得的图形是否只有一种画法，据此分别判断①②③即可． 【详解】解：如图，Q点位置有两个，故①错误； 当，时，可得到形状唯一确定的正确，故②正确； 当，时，可得到形状唯一确定的正确，故③正确； 故选：C ． 6．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，四边形是矩形，根据尺规作图痕迹，计算的大小为 ． 【答案】58 【分析】本题考查矩形的性质，尺规作角平分线，作垂线，利用矩形的性质，中垂线和角平分线和三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由作图可知：，， ∴， ∴； 故答案为：58． 7．（24-25八年级上·陕西安康·期中）如图，网格中的所有小正方形的边长相同，则 【答案】/90度 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，先证明得出，即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图， 在和中 ， ， ， ， ， 故答案为：． 8．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，、、是的四等分点，，则图中的全等三角形共有 对． 【答案】4 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法． 由“边边边”可证明图中4对三角形全等． 【详解】解：、、是的四等分点， ， ，，，， ，， ，，， ，，，． 图中的全等三角形共有4对． 故答案为：4． 9．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，平分交的延长线于点E．若，则 ． 【答案】20 【分析】延长，交于点，证，，得出，，及，则． 【详解】解：延长，交于点，      ∵， ，， ∵， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的性质及判定是解题的关键． 10．（2024八年级上·全国·专题练习）三个全等三角形摆成如图所示的形式，则的度数为 ． 【答案】 【分析】直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出，，进而得出答案． 此题主要考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，正确掌握全等三角形的性质是解题关键． 【详解】解：如图所示： 由图形可得：， ∵三个三角形全等， ∴， 又∵， ∴， ∴的度数是． 故答案为：． 11．（24-25八年级上·湖南常德·期中）如图，点B，E，C，F在一条直线上， ，，老师说：再添加一个条件就可以使．下面是课堂上三位同学的发言：甲说：“添加”．乙说：“添加”．丙说：“添加”．请选择甲、乙、丙三个同学中说法正确的一种，并给出相应的证明过程． 【答案】见解析． 【分析】本题主要考查三角形全等的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键； 由可得，再加上已知条件，然后分别根据添加的条件，利用三角形全等的判定方法分别判定甲、乙、丙同学的说法即可，然后选一个证明即可； 【详解】∵， ∴， ∵， ∴添加，条件为，不可以证明； 所以，甲同学中说法不正确， 选乙同学的说法，证明： ∵， ∴． ∵， ∴， 在与中， ， ∴； 选丙同学的说法，证明： ∵， ∴． ∵， ∴， 在与中， ， ∴． 12．（24-25八年级上·上海·期中）如图，点为的中点，，，，与交于点． (1)求证：； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握三角形的判定和性质是解题的关键； （1）根据全等三角形的判定和性质证明即可； （2）取的中点，连接，分别证明和，进而证明； 【详解】（1）证明：点为的中点， ， ， ， ，， ∴， 在和中， ， ， （2）证明：取的中点，连接， ∴ 又 ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴ 又 ∴， ∴ ∴； 又点为的中点，点为的中点， ∴， ∵ ∴ 在和中， ， ， ． 13．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，在中，、的平分线交于点，延长交于，点、分别在、上，连接、，若，． (1)当时（为锐角），判断的形状并加以证明； (2)求证：． 【答案】(1)是直角三角形，证明见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）线根据角平分线的定义和三角形内角和定理求出，进而推出，再推出即可得到答案； （2）在上截取，连接，证明，得到，推出，由（1）知，，进一步得到 证明，得到，即可证明 【详解】（1）解：是直角三角形，证明如下： ∵平分平分 ∴， ∵， ∴， ∴ ． ∵ ， ∴． ∴， ∴是直角三角形； （2）证明：在上截取，连接． ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴ 又∵ ∴， ∴， ∴ 14．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，点D在线段上，，， (1)求作的角平分线，并交于点F（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）； (2)在（1）的条件下试证明：．请将以下推导过程补充完整． 证明：∵，∴___①___； 在和中， ∴ ∴___③___    ∵平分，∴___④___． 在和中， ∴， ∴（___⑤___）． 【答案】(1)作图见详解 (2)①，②，③，④，⑤全等三角形对应边相等 【分析】本题主要考查尺规作角平分线，全等三角形的判定和性质的运用， （1）以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接交于点，即可求解； （2）根据题意证明，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）证明：， ， 在和中， ， ， ， 平分， 在和中 ， （全等三角形对应边相等）． 故答案为：①，②，③，④，⑤全等三角形对应边相等． 15．（24-25八年级上·广东广州·期中）数学兴趣小组在探讨全等三角形相关问题的解决方法时发现：当条件中出现“中线”或“中点”时，可考虑倍长中线或作一条边的平行线来解决问题． (1)【问题初探】如图：在中，为边上的中线，则的取值范围为__________． (2)【类比分析】如图：在中，是的中线，于点且． 求的长度． 【答案】(1)； (2)． 【分析】延长到点使，构造使，根据全等三角形对应边相等可知，根据三角形三边关系可得，从而可得； 延长交的延长线于点，构造，从而可证，，，可证，根据全等三角形对应边相等可得，从而可得 【详解】（1）解：如下图所示，延长到点使， 是边上的中线， ， 在和中， ， 在中，， ， ， ， ， ， ； （2）解：如下图所示，延长交的延长线于点， 是的中线， ， ， ， 在和中， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形三边的关系、全等三角形的判定与性质．解决本题的关键是构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等的关系找边之间的关系． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 全等三角形的判定与性质重难点题型专训（22大题型+15道拓展培优） 题型一 图形的全等 题型二 全等三角形的概念与性质 题型三 利用全等三角形的性质求角度 题型四 利用全等三角形的性质求长度 题型五 利用全等三角形的性质求面积 题型六 用SAS证明三角形全等（SAS） 题型七 全等的性质和SAS综合（SAS） 题型八 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 题型九 线段垂直平分线的性质 题型十 全等的性质和SSS综合（SSS） 题型十一 全等的性质和HL综合（HL） 题型十二 添加条件使三角形全等 题型十三 灵活选用判定方法证全等 题型十四 结合尺规作图的全等问题 题型十五 倍长中线模型 题型十六 旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 题型十七 垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 题型十八 其他模型(全等三角形的辅助线问题) 题型十九 证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 题型二十 全等三角形中的新定义问题 题型二十一 全等三角形中的最值问题 题型二十二 全等三角形综合问题 知识点一、全等图形 定义：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等图形. 例如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形。 图1 图2 知识点二、全等三角形 定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。 要点诠释： 1.对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。 2.找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 知识点三、全等三角形的性质 ①全等三角形的对应边相等； ②全等三角形的对应角相等； 要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 全等变换：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 知识点四、全等三角形的判定 一、全等三角形判定1——“边边边” 定理1：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 二、全等三角形判定2——“边角边” 定理2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：1. 这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 三、全等三角形判定3——“角边角” 定理3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 四、全等三角形判定4——“角角边” 定理4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 要点三、判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 3.三角形证全等思路 五、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL” 定理5：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 【经典例题一 全等图形相关问题】 【例1】（2024·江西·二模）如图，正方形纸片分成五块，其中点为正方形的中心，点，，，分别为，，，的中点．用这五块纸片拼成与此正方形不全等的四边形（要求这五块纸片不重叠无缝隙），符合要求的拼图方法有（   ）种 A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 1．（23-24八年级上·河南南阳·期末）已知如图，、为的平分线上的两点，连接、、、；如图，、、为的平分线上的三点，连接、、、、、；如图，、、、为的平分线上的四点，连接、、、、、、、依此规律，第个图形中有全等三角形的对数是 A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·山东青岛·期末）蜂房的顶部由三个全等的四边形围成，每个四边形的形状如图所示，，其中，则 ．    3．（2024八年级上·江苏·专题练习）找出下列各组图中的全等图形． 【经典例题二 全等三角形的概念与性质】 【例2】（23-24八年级上·重庆·期中）罗同学学习了全等三角形后，利用全等三角形绘制出了下面系列图案，第（1）个图案由2个全等三角形组成，第（2）个图案由4个全等三角形组成，第（3）个图案由7个全等三角形组成，第（4）个图案由12个全等三角形组成，则第（6）个图案中全等三角形的个数为（    ） A．25 B．38 C．70 D．135 1．（23-24八年级上·陕西汉中·期末）如图，在四边形中，，，，，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D匀速运动．若 与在某一时刻全等，则点Q运动速度为（  ） A． B．或 C．或 D．或 2．（24-25八年级上·广东清远·期中）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在中，分别取、的中点、，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．已知，，则的面积为 ． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，点，在线段上，与全等，点与点，点与点是对应顶点，与交于点． (1)表示这两个三角形全等； (2)写出对应边及对应角． 【经典例题三 利用全等三角形的性质求角度】 【例3】 （2024·山西吕梁·模拟预测）如图，用两对全等的三角形纸片拼成如图所示的六边形，，，则（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知，，，则的度数为 （ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，相交于点O．若，则 ． 3．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，全等于，E在边 上，与交于点 F．若， (1)求线段的长． (2)求 的度数． 【经典例题四 利用全等三角形的性质求长度】 【例4】（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，已知，点F，B，E，C在同一条直线上，若，则的长度为（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 1．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，若，点B、E、C、F在同一直线上，，，则的长是（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 2．（24-25八年级上·河南商丘·期中）已知的三边长为3，5，7，的三边长为5，，，若与全等，则x等于 3．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，，点A，E，B，D在同一条直线上． (1)若，，求的度数； (2)若，，是奇数，求的长度． 【经典例题五 利用全等三角形的性质求面积】 【例5】（23-24八年级上·山东聊城·期末）如图，已知，下列说法：①；②是的中线；③；④与面积相等．其中正确的是：（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（23-24八年级上·四川乐山·期末）如图，直角沿直角边所在的直线向下平移得到，下列结论中不一定正确的是（   ）    A． B． C． D．四边形的面积=四边形的面积 2．（2024·陕西西安·二模）如图，在四边形中，，，于点，若，，，则四边形的面积是 ． 3．（24-25八年级上·广西来宾·期中）如图，在中，点D在边上，点E在边上，延长交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【经典例题六 用SAS证明三角形全等（SAS）】 【例6】（24-25八年级上·山西临汾·期中）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），在图中由三角形全等可知，测量工件内槽宽，那么判定的理由是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，点在点正北方向，点在点正东方向，且点、到点的距离相等，甲从点出发，以每小时50千米的速度朝正东方向行驶，乙从点出发，以每小时30千米的速度朝正北方向行驶，1小时后，位于点处的观察员发现甲、乙两人之间的夹角为，此时甲、乙两人相距（    ） A．60千米 B．70千米 C．80千米 D．90千米 2．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，延长，在的延长线上截取，延长，在的延长线上截取，则这两个三角形全等的依据是 （写出全等依据的简写）．    3．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图所示，，，，求证：． 【经典例题7 全等的性质和SAS综合（SAS）】 【例7】（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O即跷跷板的中点到地面的距离是，当小明从水平位置上升时，小敏离地面的高度是（　 　）． A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）如图，中，，，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东广州·期中）小明在测量妹妹保温杯的壁厚时，按如图方法进行测量，其中， 测得， 则保温杯的壁厚为 ． 3．（24-25八年级上·湖南永州·期中）在中，，D是上的一动点（点D不与点B、C重合），以为边在其右侧作，使，，连接． (1)如图1，点D在线段上，且． 求证：，并求的度数． (2)设，． ①如图2，点D在线段上，探究和之间的数量关系，并证明你的结论． ②如图3，点D在的延长线上，写出和的关系，并证明． 【经典例题八 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）】 【例8】（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，是的平分线，于点，若的面积为，则的面积（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，，，，，连接，交于点M，连接．下列结论：①：②；③平分；④平分中，正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，给出下列结论：①；②；③过点作于点，延长交于点，则；④．其中正确的结论有 （只填写序号）． 3．（24-25八年级上·云南昆明·期中）昆明大观楼位于昆明市西南部，南临滇池，始建于清朝康熙年间，是昆明市最具代表性的古建筑物之一．某数学研究小组的同学们把测量大观楼的高度作为一项课题活动，设计了如表所示的测量方案： 课题 测量大观楼的高度 成员 组长：组员： 测量工具 测角仪、皮尺等 测量示意图 测量说明 如图，，，甲同学在小树与楼之间的点处，分别测得、，发现与互余 测量数据 米，米 请你根据上述信息求出大观楼的高度． 【经典例题九 线段垂直平分线的性质】 【例9】（23-24八年级上·广东清远·单元测试）如图， 在中， ，，观察图中尺规作图的痕迹， 则的长为（       ） A．2 B．3 C．4 D．6 1．（23-24八年级上·安徽·期末）如图，在中，，，，观察图中尺规作图的痕迹，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，E是上一点，，垂直平分，于点D，的周长为，，则的长为 ． 3．（2024·陕西西安·三模）如图，在中，点是边上的一点，请用尺规作图法，在上求作一点，使．（不要求写作法，保留作图痕迹） 【经典例题十 全等的性质和SSS综合（SSS）】 【例10】（24-25八年级上·福建福州·期中）如图是一个平分角的仪器，其中，． 将点A放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，就是这个角的平分线． 此仪器的原理是（   ） A． B． C． D． 1．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，，，，，则四边形与面积的比值是（   ） A．3 B．2 C． D．1 2．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，点F，C在上，，，，与相交于点G，若，则的度数为 ． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）阅读下题及其证明过程： 已知：如图，是中BC的中点，，试说明：． 证明：是中BC的中点 在和中， （第一步） （第二步） 在和中 （第三步） 问： (1)上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据，若不正确，请指出错在哪一步？ (2)写出你认为正确的推理过程． 【经典例题十一 全等的性质和HL综合（HL）】 【例11】 （2024·陕西渭南·模拟预测）如图，正方形中，，点在边上，且，将沿对折至，延长交边于点，连接、，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，于点于，且的延长线分别交，于点C，F．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．平分 2．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以2厘米/秒沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E经过 秒时，与全等． 3．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，四边形中，，连接对角线，且，点在边上，连接，过点作，垂足为，若．求证： (1)； (2)； 【经典例题十二 添加条件使三角形全等】 【例12】（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，，．添加下列的一个选项后．不能证明的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，四点在一条直线上，，，再添一个条件仍不能证明的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，与交于点P，，从以下四个选项①，②，③，④中选择一个作为条件，使，符合条件的有 （填序号） 3．（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）某校八年级上学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案． 甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接，，并分别延长至D，至E，使，，最后测出的长即为A，B的距离． 乙：如图②，先过点B作的垂线，再在上取C，D两点，使_____，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E，则测出的长即为A，B的距离． 丙：如图③，过点B作，再由点D观测，在的延长线上取一点C，使_____，这时只要测出的长即为A，B的距离． (1)请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分． 乙：　　　；丙：　　　． (2)请你选择其中一种方案进行说明理由． 【经典例题十三 灵活选用判定方法证全等】 【例13】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，平分，，则图中的全等三角形共有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 1．（24-25八年级上·河北邢台·期中）在和中， ， ， ， 若， 则 （     ） A． B． C． D．不只是，还有可能是其他值 2．（23-24八年级上·江苏·周测）如图，已知，，垂足分别为，相交于点，且平分，那么图中全等三角形共有 对． 3．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图， ，，．求证：．    以下是合作小组三名同学关于此题的讨论： 小丽说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．” 小颖说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．” 小雨说：“我可以根据三角形的面积相等，来证明．” 看了他们的讨论，你一定也有了自己的主意，请写出你的证明． 【经典例题十四 结合尺规作图的全等问题】 【例14】（23-24八年级上·四川广安·期末）如图，在外找一个点（与点A不重合），并以为一边作，使之与全等，且不是等腰三角形，则符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（2024·河南焦作·二模）已知锐角，如图，（1）在射线上取点，，分别以点为圆心，，长为半径作弧，交射线于点，；（2）连接，交于点．根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误的是（   ） A． B． C．若，则 D．点在的平分线上 2．（23-24八年级上·山东烟台·期中）如图，点B在直线l上，分别以线段BA的端点为圆心，以BC（小于线段BA）长为半径画弧，分别交直线l，线段BA于点C，D，E，再以点E为圆心，以CD长为半径画弧交前面的弧于点F，画射线AF．若∠BAF的平分线AH交直线l于点H，∠ABC=70°，则∠AHB的度数为 ． 3．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）（1）尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法. 如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是（    ） A．    B．   C．    D． （2）如图，直线a是一条公路，M，N是公路a同侧的两个居民区，现计划在公路a上修建一个公交候车亭O，及修建两居民区M，N之间的道路，为了使最短，请在图中作出点O的位置(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)． 【经典例题十五 倍长中线模型】 【例15】（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在长方形中，是中点，在边上，若，则（    ） A．3 B．2 C．1.5 D． 1．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）在中，为的中线，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．无法确定 2．（24-25八年级上·全国·期中）如图，是的中线，，，则的取值范围是 ． 3．（24-25八年级上·广东广州·期中）（1）温故知新：在小学数学我们认识了等腰三角形，知道了底角、顶角等概念，请用全等的知识证明“等腰三角形的两个底角相等”．已知：如图1，中，若，求证：． （2）运用“等腰三角形的两个底角相等”和全等的知识来解决以下问题：如图2，在中，是边上的中线，E是上一点，延长交于F．若，求证：． 【经典例题十六 旋转模型】 【例16】（23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 1．（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图，等边三角形ABC的边长为2，点O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，将∠FOG绕点O旋转，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD＝OE；②S四边形ODBE＝S△ABC；③S△ODE＝S△BDE；④△BDE周长的最小值为3．上述结论中正确的个数是（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分，AD=3厘米，阴影部分的面积是6平方厘米，长 厘米． 3．（23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【经典例题十七 垂线模型】 【例17】（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中空白部分的面积为（　　） A．54 B．60 C．100 D．110 1．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，△ABC是一个什么三角形？（    ）请说明理由． A．等腰三角形； B．等边三角形 C．直角三角形； D．等腰直角三角形 2．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为 ． 3．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）【提出问题】（1）如图1，在和中，，点B，C，D在一条直线上，且．，，求的长度； 【解决问题】（2）如图2，在中，，，过点C作，且，求点D到直线的距离； 【拓展应用】（3）某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境，如图3，在河流段的周边规划一个面积为的四边形森林公园，按设计要求，在四边形中，，，，点E在边上，且，，的面积为，请直接写出河流段的另一边森林公园的面积． 【经典例题十八 其他模型】 【例18】（23-24八年级上·重庆·期中）如图：，，，，连接与交于，则：①；②；③；正确的有（  ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 1．（23-24八年级上·广西贵港·期中）如图，中，是的外角平分线，是上异于的任意一点，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·山西阳泉·期末）有些数学题，表面上看起来无从下手，但根据图形的特点，可补全成为特殊的图形，然后根据特殊几何图形的性质去考虑，常常可以获得简捷解法．根据阅读，请解答问题：如图所示，已知△ABC的面积为16cm2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则△ADC的面积为 cm2． 3．（23-24八年级上·福建三明·期中）如图1，△ABC和△ABD中，∠BAC＝∠ABD＝90°，点C和点D在AB的异侧，点E为AD边上的一点，且AC＝AE，连接CE交直线AB于点G，过点A作AF⊥AD交直线CE于点F． （Ⅰ）求证：△AGE≌△AFC； （Ⅱ）若AB＝AC，求证：AD＝AF+BD； （Ⅲ）如图2，若AB＝AC，点C和点D在AB的同侧，题目其他条件不变，直接写出线段AD，AF，BD的数量关系　 　． 【经典例题十九 证一条线段等于两条线段和差】 【例19】（23-24八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，在四边形中，是的平分线，且．若，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·湖北黄冈·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分线AE交CD于E，连结BE，且BE也平分∠ABC，则以下的命题中正确的个数是（ ） ①BC+AD=AB ； ②Ｅ为CD中点 ③∠AEB=90°； ④S△ABE=S四边形ABCD A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点E是CD上的一点，Rt△ACD≌Rt△EBC，则下结论：①AC＝BC，②AD∥BE，③∠ACB＝90°，④AD+DE＝BE， 成立的有 个．    3．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）已知，在四边形中，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1， 当时．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接．请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明__________；再证明了__________，即可得出之间的数量关系为__________． (2)如图②，在四边形中，，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：______________． 【经典例题二十 全等三角形中的新定义问题】 【例20】（24-25八年级上·北京·期中）定义：如图1，，为直线同侧的两点，过点作直线的对称点，连接交直线于点，连接，则称点为点，关于直线的“等角点”． 如图2，在、中，，，，连接、． (1)猜想与的数量关系是______；并证明你的结论． (2)延长交的延长线于点，延长至点，使，连接． ①先补全图形． ②求证：点为点，关于直线的“等角点”． 1．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）定义：若两个三角形，有两边相等且其中一组等边所对的角对应相等，我们就称这两个三角形为珺琟友谊三角形． (1)若两个三角形全等，它们_____（填是或否）珺琟友谊三角形； (2)如图1，在四边形中，平分，，与是珺琟友谊三角形，请探究与之间的关系； (3)如图2，在四边形中，，求证：与是珺琟友谊三角形． 2．（24-25八年级上·河北邢台·期中）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，，为边上一点，若与是积等三角形，求的长； 【理解运用】 （2）如图2，在中，为边上一点，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长． 3．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，和为“同源三角形”，，，与为“同源角”． (1)如图1，和为“同源三角形”，试判断与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若“同源三角形”和上的点，，在同一条直线上，且，则______°． (3)如图3，和为“同源三角形”，且“同源角”的度数为时，分别取，的中点，，连接，，，试说明是等腰直角三角形． 【经典例题二十一 全等三角形中的最值问题】 【例21】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)在图中作出关于y轴对称的； (2)如果要使以B，C，D为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的点D坐标（A点除外）． (3)在y轴上有一动点P，使的距离最小，直接写出P点的坐标． 1．（23-24八年级上·广东揭阳·期末）如图，长方形中，，，为长方形上的动点，动点从出发，沿着运动到点停止，速度为，设点P运动时间为x秒，△APD的面积为．    (1)填空： ①当时，对应的值为 ； ②当时，与之间的关系式为 ； (2)当时，对应的值为 ； (3)当在线段上运动时，是否存在点使得 的周长最小？若存在，求出此时的度数；若不存在，请说明理由． 2．（23-24八年级上·湖北黄冈·期末）如图1，直线y＝kx+b交两轴于点A（4，0），B（0，3）． (1)求直线y＝kx+b的解析式； (2)过A点的直线AQ交y轴负半轴于点Q，若∠BAQ＝45°，求点Q的坐标； (3)如图2，在线段AB上找一点D，x轴上找一点E，使BE+DE最小，简要说明点D、E的找法（不需说明理由），并求出此时点E的坐标． 3．（23-24八年级上·天津滨海新·期末）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，，D是BC的中点，，P为AB上一个动点． (1)在AB上，是否存在一点P，使PC + PD的值最小 （填“是”或“否”）； (2)若存在，请直接写出PC + PD的最小值；若不存在，请说明理由． 【经典例题二十二 全等三角形的综合问题】 【例22】（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图，在中，，平分，于E，则下列结论：①平分；②；③平分；④；⑤A、D两点一定在线段的垂直平分线上，其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 1．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图所示，在中，，于，平分交于，在上，并且，则下列四个结论： ①，②，③，④，其中正确的结论有（　　） A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②③④ 2．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是 ．（将你认为正确的结论序号都填上） 3．（23-24八年级上·广东揭阳·期末）综合与实践： 【问题情境】如图①所示， 已知在中， ， ， 是的中线，过点C作， 垂足为M， 且交于点E． 【数学思考】（1）小虎通过度量发现，请你帮他说明理由； 【猜想证明】（2）如图②所示，小明在图中添加了一条线段，且平分交于点N， 即可得， 该结论正确吗? 请说明理由； 【拓展延伸】（3）小刚在（2）的基础上，连接，如图③所示，请你帮助小刚证明． 1．（24-25八年级上·天津和平·期中）已知如图中的两个三角形全等，则度数等于 （    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）如图，已知与关于直线l对称，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，是的角平分线，于D．则的最大值为（  ） A． 10   B．12.5 C．17.5 D．25 4．（24-25八年级上·山东东营·期中）如图，分别以的边，所在直线为对称轴作的对称图形和，，线段与相交于点O，连接、、、．有如下结论：①；②；③；④平分．其中正确的结论正确的是（      ）    A．②③ B．③④ C．①②④ D．①②③ 5．（24-25八年级上·北京丰台·期中）李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点在轨道槽上运动，点既能在以为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当，时，可得到形状唯一确定的； ②当，时，可得到形状唯一确定的； ③当，时，可得到形状唯一确定的； 其中所有正确结论有几个？（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，四边形是矩形，根据尺规作图痕迹，计算的大小为 ． 7．（24-25八年级上·陕西安康·期中）如图，网格中的所有小正方形的边长相同，则 8．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，、、是的四等分点，，则图中的全等三角形共有 对． 9．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，平分交的延长线于点E．若，则 ． 10．（2024八年级上·全国·专题练习）三个全等三角形摆成如图所示的形式，则的度数为 ． 11．（24-25八年级上·湖南常德·期中）如图，点B，E，C，F在一条直线上， ，，老师说：再添加一个条件就可以使．下面是课堂上三位同学的发言：甲说：“添加”．乙说：“添加”．丙说：“添加”．请选择甲、乙、丙三个同学中说法正确的一种，并给出相应的证明过程． 12．（24-25八年级上·上海·期中）如图，点为的中点，，，，与交于点． (1)求证：； (2)连接，求证：． 13．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，在中，、的平分线交于点，延长交于，点、分别在、上，连接、，若，． (1)当时（为锐角），判断的形状并加以证明； (2)求证：． 14．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，点D在线段上，，， (1)求作的角平分线，并交于点F（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）； (2)在（1）的条件下试证明：．请将以下推导过程补充完整． 证明：∵，∴___①___； 在和中， ∴ ∴___③___    ∵平分，∴___④___． 在和中， ∴， ∴（___⑤___）． 15．（24-25八年级上·广东广州·期中）数学兴趣小组在探讨全等三角形相关问题的解决方法时发现：当条件中出现“中线”或“中点”时，可考虑倍长中线或作一条边的平行线来解决问题． (1)【问题初探】如图：在中，为边上的中线，则的取值范围为__________． (2)【类比分析】如图：在中，是的中线，于点且． 求的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $$