专题01 命题与证明重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（华东师大版）

专题01 命题与证明重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 判断是否是命题 题型二 判断命题的真假 题型三举例说明假（真）命题 题型四 写出命题的题设与结论 题型五 写出命题的逆命题 题型六 定理与证明 题型七 反证法证明中的假设 题型八 用反证法证明命题 题型九 逻辑推理与证明 题型十 以几何为背景的推理与论证 题型十一 以代数为背景的推理与论证 【经典例题一 判断是否是命题】 【例1】（23-24八年级上·河南郑州·期末）下列语句中，是命题的是（　　） A．你喜欢数学吗？ B．取线段的中点 C．美丽的天空 D．两直线平行，内错角相等 【答案】D 【分析】本题考查了命题的定义，判断一件事情的语句叫命题，根据命题的定义逐一进行判断即可得到答案，掌握命题的定义是解题的关键． 【详解】解：、你喜欢数学吗？是疑问句，没有作出判断，不是命题，不符合题意； 、取线段的中点，没有作出判断，不是命题，不符合题意； 、美丽的天空，是描叙性语言，没有作出判断，不是命题； 、两直线平行，内错角相等，是命题，符合题意； 故选：． 1．（23-24八年级上·贵州铜仁·阶段练习）下列语句中：①同角的补角相等；②雪是白的；③画；④他是小张吗？⑤两直线相交只有一个交点．其中是命题的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据命题的定义分别对各语句进行判断． 【详解】解：“同角的补角相等”是命题，“雪是白的”是命题；“画∠AOB=Rt∠”不是命题；“他是小张吗？”不是命题；“两直线相交只有一个交点”是命题． 故选：C． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 2．（23-24八年级上·福建厦门·期中）下列语句：①同旁内角相等；②如果，那么；③对顶角相等吗？④画线段；⑤两点确定一条直线．其中是命题的有 ；是真命题的有 ．（只填序号） 【答案】 ①②⑤ ②⑤ 【分析】判断一件事情的语句叫命题，正确的命题叫真命题，根据定义依次分析解答． 【详解】解：①同旁内角相等是命题，是假命题； ②如果，那么是命题，是真命题； ③对顶角相等吗？不是命题； ④画线段不是命题； ⑤两点确定一条直线是命题，是真命题． 故答案为：①②⑤，②⑤． 【点睛】此题考查命题的定义，真命题的定义，熟记相关性质是解题的关键． 3．（23-24八年级上·浙江温州·期中）在学习中，小明发现：当n=1，2，3时，n2—10n的值都是负数．于是小明猜想：当n为任意正整数时，n2-10n的值都是负数．判断小明的猜想是真命题还是假命题，并说明你的理由． 【答案】假命题，理由见解析. 【详解】试题分析：利用反例可证明小明的猜想为假命题． 试题解析：假命题．理由如下： 如：当n=10时，n2-10n=102-10×10=0，不是负数，所以小明的猜想是假命题． 【经典例题二 判断命题的真假】 【例2】（23-24八年级上·全国·单元测试）下列命题中，不正确的是 （         ） A．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 B．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 C．两条直线被第三条直线所截，那么这两条直线平行 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定定理、判断命题的真假，根据平行线的判定定理对各选项逐一判断即可得出答案，熟练掌握平行线的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A、如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，原说法正确，不符合题意； B、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，原说法正确，不符合题意； C、两条直线被第三条直线所截，位置不确定，不能准确判定这两条直线平行，原说法错误，符合题意； 故选：C． 1．（23-24八年级上·山东临沂·开学考试）下列命题：①不相交的两条直线是平行线，②同旁内角互补；③同位角相等，两直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤在同一平面内，若，则．其中，真命题的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了判断真假命题，掌握相关定义定理是解题的关键．根据平行线的定义， 平行线的判定与性质逐个分析判断即可求解． 【详解】解：同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故①是假命题； 两直线平行，同旁内角互补，故②是假命题； 同位角相等，两直线平行，故③是真命题； 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故④是假命题； 在同一平面内，若，则，故⑤是假命题； 故③是真命题，共1个． 故选：D． 2．（24-25八年级上·陕西榆林·开学考试）已知下列命题：①同旁内角互补；②平行于同一条直线的两条直线平行；③相等的角是对顶角；④正数的立方根是正数．其中是真命题的有 个． 【答案】1 【分析】本题考查了命题真假的判定，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．根据平行线的判定与性质可判定①与②的真假，根据对顶角的性质可判断③的真假，根据立方根的定义可判断④的真假． 【详解】一般情况下，同旁内角不一定互补，命题①是假命题； “平行于同一条直线的两条直线可能平行，也可能共线”，命题②是假命题； 相等的角不一定是对顶角，命题③是假命题； “正数的立方根是正数”，命题④是真命题． 所以是真命题的有1个． 故答案为：1． 3．（24-25八年级上·山东德州·开学考试）如图，如果，那么，判断这个命题的真假．若是真命题，则写出推理的根据；若是假命题，则添加一个条件，使该命题成为真命题，并给予证明． 【答案】假命题，添加，证明见解析 【分析】此题考查了平行线的判定与性质．命题真假的判断， 注意同位角相等，两直线平行这一定理是解答本题的关键， 本题不是唯一答案， 给考生了一定发挥空间， 考生可按照自己掌握知识的熟练程度来解决问题． 根据平行线的性质添加条件再证明可得答案． 【详解】解：假命题，添加，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． 【经典例题三 写出命题的题设与假设】 【例3】（23-24八年级上·广东清远·期末）用一组的值说明命题“则”是错误的，这组值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了命题，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 根据题意代入验算即可． 【详解】解：A. 当时，，得到，但，故选项符合题意； B.当时，，得到，但，故选项不符合题意； C. 当时，，得到，但，故选项不符合题意；     D. 当时，，得到，但，故选项不符合题意； 故选：A． 1．（23-24八年级上·河南鹤壁·期中）能说明“锐角与锐角的和是锐角”是假命题的反例图是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形的外角性质即可判断． 【详解】、是锐角， 且， 所以此图说明 “锐角，锐角的和是锐角”是真命题，此选项不符合题意； 、是锐角， 且， 所以此图说明 “锐角，锐角的和是锐角”是真命题，此选项不符合题意； 、是钝角， 且， 所以此图说明 “锐角，锐角的和是锐角”是假命题，此选项符合题意； 、∠是锐角， 且， 所以此图说明 “锐角，锐角的和是锐角”是真命题，此选项不符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了真假命题、举反例说明一个命题是假命题以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握上述基本知识是解题的关键． 2．（2024·北京·模拟预测）已知“若 a>b，则 ac>bc”是假命题，请写出一个满足条件的 c 的值是 ． 【答案】0(答案不唯一) 【分析】举出一个能使得ac=bc或ac＜bc的一个c的值即可． 【详解】若a＞b，当c=0时ac=bc=0， 故答案为：0(答案不唯一)． 【点睛】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 3．（23-24八年级·全国·课后作业）判断下列命题的真假，并说明理由： （1）若，则，； （2）若，则； （3）互补的两个角一定是一个锐角，一个是钝角； （4）不论取何值，代数式的值一定是正数． 【答案】（1）假命题．（2）假命题．（3）假命题．（4）真命题． 【分析】（1）由实数的性质判断，，，或，； （2）由实数的性质判断，，或a、b互为相反数； （3）根据两个角角度和为180°，则这两个角互补即可判断； （4）把代数式进行配方得到，根据平方数的非负性即可判断． 【详解】（1）假命题．如：，但，． （2）假命题．如：，但． （3）假命题．如：两个直角互补，但它们既不是锐角也不是钝角． （4）真命题．因为，又因为不论取何值，，所以，所以不论取何值，的值一定是正数． 【点睛】本题考查了命题真假判断的知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【经典例题四 写出命题的逆命题】 【例4】（23-24八年级上·河北邯郸·期末）命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是（  ） A．垂直 B．两条直线互相平行 C．同一条直线 D．两条直线垂直于同一条直线 【答案】D 【分析】命题有条件和结论两部分组成，条件是已知的部分，结论是由条件得出的推论． 【详解】“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是“两条直线垂直于同一条直线”，结论是“两条直线互相平行”． 故选：D． 【点睛】本题考查了对命题的题设和结论的理解，解题的关键在于利用直线垂直的定义进行判断． 1．（23-24八年级上·北京海淀·阶段练习）用三个不等式中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】由题意得出三个命题，根据不等式的性质判断命题的真假. 【详解】若，则为假命题.反例：a=-1,b=-2 若，则为假命题.反例：a=2,b=-1 若，则为假命题.反例:a=-2,b=-1 故选：A 【点睛】本题考查了命题与不等式的性质，解题的关键在于根据题意得出命题，根据不等式的性质判断真假. 2．（23-24八年级上·广东东莞·期中）把命题“同旁内角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为： 【答案】如果两个角是同旁内角，那么这两个角相等 【分析】本题考查了命题的概念，命题是由题设和结论两部分组成，根据命题的概念作答即可． 【详解】解：把命题“同旁内角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果两个角是同旁内角，那么这两个角相等， 故答案为：如果两个角是同旁内角，那么这两个角相等 ． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）根据下图和命题“等腰三角形底边上的中线是顶角的角平分线”写出： 已知： 求证： 【答案】已知：中，，是边上的中线．求证：平分 【分析】本题考查了命题与定理，熟练掌握命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论是解题的关键． 结合几何图形写出已知条件和结论即可． 【详解】解：由题意知，已知：中，，是边上的中线． 求证：平分． 【经典例题五 定理与命题】 【例5】（23-24八年级上·全国·单元测试）下列说法正确的是（ ） A．真命题的逆命题一定还是真命题 B．“两条直线被第三条直线所截，同位角相等”是真命题 C．“作线段”是真命题 D．命题“同角的余角相等”的逆命题是“相等的角是同一个角的余角” 【答案】D 【分析】根据命题，逆命题，真假命题，结合关联知识解答即可． 本题考查了命题，逆命题，真假命题，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、真命题的逆命题不一定是真命题，如：对顶角相等，逆命题是相等的角是对顶角，此逆命题是错误的，故此选项错误； B、“两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等”是真命题，故此选项错误； C、“作线段”不是判断句，故不是命题，故此选项错误； D、命题“同角的余角相等”的逆命题是“相等的角是同一个角的余角”，此选项正确，确是一个假命题； 故选D． 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知下列命题：①若，则；②若，则；③三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分；④内错角相等，两直线平行其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据所学知识，逐一判断解答即可． 本题考查了命题，逆命题，真命题，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：①“若，则”是真命题； 其逆命题“若，则”也是真命题； ②“若，则”是真命题， 其逆命题“若，则”是假命题， ∵当时，不成立； ③三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分是真命题， 其逆命题“若一条直线把三角形分成面积相等的两部分，则这条直线是三角形的中线”是假命题， ∵直线不是中线； ④“内错角相等，两直线平行”是真命题，是判定定理， 其逆命题“若两直线平行，则内错角相等”也是真命题，是平行线的性质定理； 综上所述，原命题与逆命题均为真命题的只有①④，2个. 故选：B. 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）在命题“同位角相等，两直线平行”中，条件是 ，结论是 如果把条件作为结论，结论作为条件，我们就可以得到它的逆命题： ． 【答案】 同位角相等 两直线平行 两直线平行， 同位角相等 【分析】本题考查命题的基本概念与组成、逆命题，命题是由题设和结论构成．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质和定理． 【详解】解：∵题设是条件，结论是结果， ∴在命题“同位角相等，两直线平行”中，条件是同位角相等，结论是两直线平行， ∴如果把条件作为结论，结论作为条件，我们就可以得到它的逆命题：两直线平行，同位角相等． 故答案为：两直线平行，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）写出下列命题的逆命题，并判断其真假： (1)三角形的内角和等于 (2)互为相反数的两数的绝对值相等 (3)同号两数相乘，积为正数 (4)钝角三角形有两个锐角． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】根据逆命题的定义，结合所学相关的知识判断真假即可． 本题考查了逆命题的书写，命题真假的判定，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：内角和等于的多边形是三角形，真命题． （2）解：绝对值相等的两个数互为相反数，假命题． （3）解：积为正数的两个数同号，真命题． （4）解：有两个锐角的三角形是钝角三角形，假命题，如等边三角形． 【经典例题六 举反例】 【例6】（23-24八年级上·河南开封·期中）下列命题中，不是定理的是（　　） A．直角三角形两锐角互余 B．两直线平行，同旁内角互补 C．n边形的内角和为（n﹣2）×180° D．相等的角是对顶角 【答案】D 【分析】根据定理是正确的命题判断． 【详解】直角三角形两锐角互余，A是定理； 两直线平行，同旁内角互补，B是定理； n边形的内角和为（n﹣2）×180°，C是定理； 相等的角不一定是对顶角，D不是定理． 故选D． 【点睛】本题考查了命题和定理，命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）下列不是基本事实的是(     ) A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．两条平行线被第三条直线所截，内错角相等 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】C 【详解】解：A．两点确定一条直线，是公理，是基本事实； B．两点之间线段最短，是公理，是基本事实； C．两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，不是公理，不是基本事实； D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，是公理，是基本事实． 故选C． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）下列命题可以作定理的有 个． ①2与6的平均值是8；②能被3整除的数能被6整除；③5是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数仍是等式． 【答案】2/两 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理． 首先利用定理的定义先判断命题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证； 经过判断可以得到①、②、③是假命题，④、⑤是真命题，是经过推理论证的，据此可以解决问题． 【详解】解：①2与6的平均值是4，故此命题是假命题，不是定理； ②能被3整除的数，不一定能被6整除，故此命题是假命题，不是定理； ③把5代入方程，方程两边不相等，故不是真命题，更不是定理； ④三角形的内角和为，是经过证明的是真命题，故是定理； ⑤等式两边加上同一个数仍是等式，符合等式的性质，是定理； 综上所述：③和④是定理，共2个． 故答案为：2． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）“定义、定理、基本事实、命题、真命题、假命题”它们之间的关系恰好可以用下图表示，请指出A，B，C，D，E，F分别与它们中的哪一个对应． 【答案】A表示命题，B表示假命题，C表示真命题，D，E，F分别表示定义、定理、基本事实中任意一个． 【详解】试题分析：根据命题包括真命题、假命题，真命题包括定义、定理、基本事实等作答． 试题解析：解：命题包括真命题、假命题．真命题包括定义、定理、基本事实等．故A表示命题，B表示假命题，C表示真命题，D，E，F分别表示定义、定理、基本事实中任意一个． 【经典例题七 反证法证明中的假设】 【例7】（2024·河南郑州·八年级校考期中）用反证法证明“一个三角形中最多有一个角是直角或钝角”时，应假设（    ） A．一个三角形中至少有一个角是直角或钝角 B．一个三角形中至少有两个角是直角或钝角 C．一个三角形中至多有一个角是直角或钝角 D．一个三角形中没有一个直角或钝角 【答案】C 【分析】利用反证法证明一个命题，首先要假设所证的结论不正确，结论的反面正确． 【详解】解：假设正确的是：假设三角形中至少有两个角是直角或钝角， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了反证法，正确理解反证法的思想方法，理解求设的方法是解决本题的关键． 1．（2024·陕西西安·八年级校考阶段练习）用反证法证明命题：“已知，，求证：”第一步应先假设 ． 【答案】 【分析】根据反证法的步骤，先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，进行作答即可． 【详解】解：第一步应先假设； 故答案为：． 【点睛】本题考查反证法．熟练掌握反证法的步骤，是解题的关键． 2．（2024·浙江·八年级专题练习）八年级上教材在图形与几何部分给出了五条基本事实，在《证明》一章中我们从两条基本事实出发，把前面得到的平行线相关性质进行了严格的证明，体会了数学的公里化思想.请完成下列证明活动： 活动．利用基本事实证明：“两直线平行，同位角相等”.（在括号内填上相应的基本事实） 已知：如图，直线、被直线所截，． 求证：． 证明：假设，则可以过点作， ∵， ∴（ ）， ∴过点存在两条直线、两条直线与平行，这与基本事实（ ）矛盾， ∴假设不成立， ∴． 活动．利用刚刚证明的“两直线平行，同位角相等”证明“两直线平行，同旁内角互补”.（要求画图，写出已知、求证并写出证明过程） 已知: ． 求证： ． 证明： 【答案】活动1：同位角相等，两直线平行；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；活动2：；两直线平行，同旁内角互补；证明见解析 【分析】活动1，根据同位角相等，两直线平行可得出结论； 活动2，利用∠1＝∠2，再由补角的定义即可得出结论． 【详解】活动1，证明：假设∠1≠∠2，则可以过点O作∠EOG＝∠2， ∵∠EOG＝∠2， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴过O点存在两条直线AB、OG两条直线与CD平行，这与基本事实（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行）矛盾， ∴假设不成立， ∴∠1＝∠2． 故答案为：同位角相等，两直线平行；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 活动2，已知：． 求证：两直线平行，同旁内角互补． 证明：如图， ∵， ∴∠1＝∠2， ∵∠1＋∠3＝180°， ∴∠2＋∠3＝180°，即两直线平行，同旁内角互补． 故答案为：；两直线平行，同旁内角互补． 【点睛】本题主要考查的是平行线性质的证明，熟知平行线的性质定理和平行线的公理，是解答此题的关键． 【经典例题八 用反证法证明命题】 【例8】（23-24八年级上·河南南阳·期末）下面是小华证明“是无理数”的过程：“假设是有理数，那么它可以表示为两个整数的商，设（是互质的正整数），则，两边平方，得①，是偶数，是一个偶数，因此也是一个偶数，设（是正整数），由①式得，，从而是偶数，因而也是一个偶数，这与互质矛盾，所以不是有理数，因此是无理数． ”则下列说法错误的是（    ） A．这种证明方法叫反证法； B．反证法是一种间接的证明方法； C．是无理数，可以表示成两个正整数的商的形式； D．是无理数，不能表示成两个正整数的商的形式． 【答案】C 【分析】利用反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确，进而判断即可． 【详解】A. 由反证法的一般步骤可以得出这种证明方法叫反证法，故本选项正确； B. 反证法是一种间接的证明方法，故本选项正确； C. 是无理数，但不能表示成两个正整数的商的形式，故本选项错误； D. 是无理数，不能表示成两个正整数的商的形式，故本选项正确． 故选：C 【点睛】此题主要考查了反证法及无理数，正确把握反证法的一般步骤是解题关键． 1．（23-24八年级上·浙江温州·期末）用反证法证明“在中，若，则”时，应假设（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行解答． 【详解】解：用反证法证明命题“在△ABC中，若AB=AC，则∠B＜90°”时，应假设若AB=AC，则∠B≥90°， 故选：D． 【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 2．（2024·福建泉州·二模）数学课上，学生提出如何证明以下问题： 如图，．求证：．    老师说，我们可以用反证法来证明，具体过程如下： 证明：假设， 如图，延长交的延长线于点，为延长线上一点．    ∵， ∴． ∵， ∴， 这与“________”相矛盾， ∴假设不成立， ∴． 以上证明过程中，横线上的内容应该为 ． 【答案】三角形的外角和等于 【分析】先假设，通过证明假设不成立，从而得到正确的结论． 【详解】证明：假设， 如图，延长交的延长线于点，为延长线上一点．    ∵， ∴． ∵， ∴， 这与“三角形的外角和等于”相矛盾， ∴假设不成立， ∴． 故答案为：三角形的外角和等于 【点睛】本题考查的是反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 3．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）小明在解答“已知中，，求证”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤： （1）所以，这与三角形内角和定理相矛盾． （2）所以． （3）假设． （4）那么，由，得，即，即． 请你写出这四个步骤正确的顺序 ． 【答案】（3）（4）（1）（2） 【分析】本题考查的是反证法，解题的关键是掌握反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．根据反证法的一般步骤解答即可． 【详解】证明：假设， 那么，由，得，即， 所以，这与三角形内角和定理相矛盾， 所以， 所以这四个步骤正确的顺序是（3）（4）（1）（2）， 故答案为：（3）（4）（1）（2）． 【经典例题九 逻辑推理与证明】 【例9】（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）A，B，C，D，E五名学生猜测自己能否进入市中国象棋前三强．A说：“如果我进入，那么B也进入．”B说：“如果我进入，那么C也进入．”C说：“如果我进入，那么D也进入．”D说：“如果我进入，那么E也进入，”大家都没有说错，则进入前三强的三个人是（   ） A．A，B，C B．B，C，D C．D，E，A D．C，D，E 【答案】D 【分析】此题考查了推理与论证．若，进入了前三强，那么、、、也均能进入，由于前三强只有三个人，显然这是不合理的；因此只有当进行前三强，那么、也进入，这样才符合题意． 【详解】解：若进入前三强，那么进入前三强的有、、、、共5人，显然不合题意， 同理，当进入前三强时，也不合题意，所以应从开始进入前三强．即进入前三强的是，，． 故选：D． 1．（23-24八年级上·浙江宁波·开学考试）A、B、C、D、E五位同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场，到现在为止，A赛了4场，B赛了3场，C赛了2场，D赛了1场，那么E赛了（   ）场 A．2 B．3 C．4 【答案】A 【分析】本题主要考查逻辑推理，五人进行比赛，每两人都要比赛一盘，则每个人都要和其他4人进行一场比赛，即每人要赛4场，据此推断即可． 【详解】解：由题意可知，每人要进行（场）比赛， A已赛4场，B已赛3场，C已赛2场，D已赛1场，则A已赛4场，即A已和B、C、D、E各赛一场； D只赛过一场，这一场是和A比赛的； 所以B的3场是和A、C、E比赛的； 此时C的2场已满，不与E比赛； 则E和A与B各赛1场，即E赛了2场， 故选：A 2．（24-25八年级上·北京·期中）2024年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为“节”．附中今年“节”策划了五个活动，规则如下： “节”活动规则 ·活动前每人先发放两枚“币” ·每参与一个活动消耗两枚“币” ·没有“币”不能参与活动 ·每个活动至多参与一次 ·挑战成功，按右表发放奖励 ·挑战失败，谢谢参与 活动名称 奖励的“币”数量/枚 数独 4 魔方 4 华容道 6 鲁班锁 6 汉诺塔 8 小达参与了所有活动． （1）若小达只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为 ； （2）若小达共挑战成功两个，且他参与的第四个活动成功，则小达最终剩下的“币”数量的所有可能取值为 【答案】 汉诺塔 2，4，6 【分析】本题主要考查了简单的逻辑推理： （1）由于小达参与了所有活动，则小达一共消耗了10枚“币”，据此可得小达通过成功参与活动获得了8枚 “币”，而小达只挑战成功一个，故挑战成功的活动名称为汉诺塔； （2）根据题意可得第一次活动小达必定挑战成功，根据他参与的第四个活动成功，且他只挑战成功了2次，那么他参与的第二个，第三个，第五个活动都失败，则第一次挑战成功获取的“币”数量要大于等于6枚，则第一次参加的活动可以为华容道或鲁班锁或汉诺塔；据此讨论第一次参加的活动，在此基础上再讨论第四次参与的活动，用总获得“币”数量加上初始“币”数量减去参与五个活动消耗的“币”数量即可得到答案． 【详解】解：（1）∵小达参与了所有活动，且共有5个活动， ∴小达一共消耗了10枚“币”， ∵活动前小达有两枚“币”， ∴小达通过成功参与活动获得了8枚 “币”， 又∵小达只挑战成功一个， ∴挑战成功的活动名称为汉诺塔， 故答案为：汉诺塔； （2）∵活动前小达有两枚“币”， 每参与一个活动消耗两枚“币”，且小达参与了所有活动， ∴第一次活动小达必定挑战成功， ∵他参与的第四个活动成功，且他只挑战成功了2次， ∴他参与的第二个，第三个，第五个活动都失败， ∵第一次挑战成功获取的“币”数量能够支持他参与第二，第三，第四次活动， ∴第一次挑战成功获取的“币”数量要大于等于6枚， ∴第一次参加的活动可以为华容道或鲁班锁或汉诺塔； 当第一次参加的活动为华容道时， 若第四次参加的活动为数独或者魔方时，则剩下的“币”数量为枚； 若第四次参加的活动为鲁班锁时，则剩下的“币”数量为枚； 若第四次参加的活动为汉诺塔时，则剩下的“币”数量为枚； 当第一次参加的活动为鲁班锁时， 若第四次参加的活动为数独或者魔方时，则剩下的“币”数量为枚； 若第四次参加的活动为华容道时，则剩下的“币”数量为枚； 若第四次参加的活动为汉诺塔时，则剩下的“币”数量为枚； 当第一次参加的活动为汉诺塔时， 若第四次参加的活动为数独或者魔方时，则剩下的“币”数量为枚； 若第四次参加的活动为华容道时，则剩下的“币”数量为枚； 若第四次参加的活动为鲁班锁时，则剩下的“币”数量为枚； 综上所述，小达最终剩下的“币”数量的所有可能取值为2，4，6， 故答案为：2，4，6． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）足球比赛的记分规则为胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分，某足球队在本赛季共需比赛14场，现已比赛了8场，其中输了一场，得17分． (1)前8场比赛中，这支球队共胜了多少场？（用列方程的方法解） (2)通过对比赛情况的分析，这支球队踢满14场比赛，得分不低于29分，就可以达到预期目标．请你分析一下，在后面的6场比赛中，这支球队至少要胜几场，才能达到预期目标． 【答案】(1)这支球队共胜了5场 (2)至少胜3场 【分析】（1）设这支球队胜了场，则平了场，根据总分为17分，列出一元一次方程，解方程即可； （2）由题意可得在以后的6场比赛中，只要得分不低于12分即可，胜场不少于4场，一定可达到预期目标，而胜3场，平3场，正好也达到预期目标，即可得到答案． 【详解】（1）解：设这支球队胜了场，则平了场， 由题意得： ， 解得， 答：这支球队共胜了5场； （2）解：由题意可知，在以后的6场比赛中，只要得分不低于12分即可， 胜场不少于4场，一定可达到预期目标，而胜3场，平3场，正好也达到预期目标， 因此在以后的比赛中至少要胜3场， 答：至少胜3场． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，逻辑推理，理解题意，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【经典例题十 以几何为背景的推理与论证】 【例10】（23-24八年级上·浙江·期末）最近网上一个烧脑问题的关注度很高（如图所示），通过仔细观察、分析图形，你认为打开水龙头，哪个标号的杯子会先装满水（    ） A．3号杯子 B．5号杯子 C．6号杯子 D．7号杯子 【答案】A 【分析】根据水先从位置低的出口可判断先灌满1号杯子左侧几个杯子，再观察3号杯子的两个出口即可得出答案． 【详解】解：号杯子左侧出口比右侧高， 水先从左侧流出，进入3号杯子， 杯子左侧封闭，只有右侧流出，而右侧流入5号杯子，但5号杯子的出口端封闭 水最终会先灌满3号杯子， 故选：A． 【点睛】本题考查推理与论证，解题的关键是掌握水先从位置低的出口流出，并仔细观察各出口闭合状态即可． 1．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，某小区有东西方向的街道3条，南北方向的街道4条，从位置A出发沿街道行走到达位置B，要求路程最短，研究有多少种不同的走法. 小聪是这样思考的：要使路程最短，就不能走“回头路”，只能分五步来完成，其中三步向右行进，两步向上行进，如果用数字“1”表示向右行走一格，数字“2”表示向上行走一格，如“11221”与“11212”就表示两种符合要求的不同走法，那么符合要求的不同走法的种数为（    ） A．6种 B．8种 C．10种 D．12种 【答案】C 【分析】由于只能分五步来完成，其中三步向右行进，两步向上行进；因此1、1、1、2、2这五个数有多少种组合方法，就有多少种不同的走法． 【详解】根据题意，则不同的走法有：11122；11221；11212；12112；12211；12121；22111；21112；21121；21211．因此共有10种不同的走法． 故选C. 【点睛】此题实际上是探索1、1、1、2、2组成的不同的五位数的个数． 2．（23-24八年级上·浙江·阶段练习）电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则：一个广场下面最多埋一个雷，如果无雷，掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数字周围的广场（最多八个）中雷的个数（实际游戏中，通常省略不标，为方便大家识别与印刷，我把图乙中的都标出来了，以示与未掀开者的区别），如图甲中的“”表示它的周围八个广块中仅有个埋有雷．图乙是张三玩游戏中的局部，图中有个方块已确定是雷（方块上标有旗子），则图乙第一行从左数起的七个方块中（方块上标有字母），能够确定一定不是雷的有 ，一定是雷的有 ．（请填入方块上的字母） 【答案】 A、C、E B、D、F、G. 【分析】根据题意，初步推断出C对应的方格必定不是雷，A、B对应的方格中有一个雷，中间D、E对应方格中有一个雷且最右边的“4”周围4个方格中有3个雷．由此再观察C下方“2”、B下方的“2”、D下方的“2”和F下方的“4”，即可推断出A、C、E对应的方格不是雷，且B、D、F、G对应的方格是雷，由此得到本题答案． 【详解】解：图乙中最左边的“1”和最右边的“1”，可得如下推断， 由第三行最左边的“1”，可得它的上方必定是雷． 结合B下方的“2”，可得最左边的A、B对应的方格中有一个雷； 同理可得最右边的“4”周围4个方格中有3个雷，中间D、E对应方格中有一个雷； 由于B下方的“2”和第二行最右边的“2”，它们周围的雷已经够数， 所以C对应的方格肯定不是雷，如下图所示： 进行下一步推理： 因为C对应的方格不是雷，所以C下方“2”的左上、右上的方格，即B、D都是雷； 而B下方的“2”的周围的雷也已经够数，所以A对应的方格也不是雷． 因为D下方的“2”，它的周围的雷已经够数，可得E对应的方格不是雷， 根据F下方的“4”周围应该有4个雷，结合E不是雷，可得F、G对应的方格都是雷． 综上所述，A、C、E对应的方格不是雷，且B、D、F、G对应的方格是雷． 故答案为A、C、E；B、D、F、G. 【点睛】本题主要考查了推理论证，本题给出扫雷游戏的图形，要求我们推理A、B、C、D、E、F对应方格是否为雷．着重考查了扫雷的基本原理和推理与证明的知识. 3．（23-24八年级·全国·课后作业）如图所示，通过画图可知：三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部，于是可得出结论：任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部，这个结论正确吗？          【答案】不正确 【分析】通过题意举出反例证明结论错误即可. 【详解】解:对于如图所示的等腰直角△ABC, 该三角形三条边的垂直平分线的交点在该三角形斜边AC的中点O处,并不在三角形的内部,故“任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部”的结论是错误的. 故答案为不正确 【点睛】对于本题,首先要判断该结论是否正确,若该结论正确,则给出证明;若该结论错误,只需举出反例即可;判断本题所给结论的关键是考虑问题要全面,即:该三角形是锐角三角形,钝角三角形,直角三角形的情况都要考虑到.通过对等腰直角三角形三条边的垂直平分线的交点在斜边AC的中点O处,即可举出反例,从而使本题解答. 【经典例题十一 以代数为背景的推理与论证】 【例11】（23-24八年级上·山东潍坊·期中）某中学举行了数学基础知识竞赛，经过选拔，甲、乙、丙三位同学进入最后角逐．他们还将进行四轮知识竞赛，规定每轮知识竞赛第一名得分，第二名得分，第三名得分（且，，均为正整数）；最后总分为四轮得分之和．四轮竞赛后，甲最终得分为16分，乙和丙最终得分均为8分，且乙只有一轮竞赛获得了第一名，则下列说法正确的是（    ）． A．为4 B．甲有一轮竞赛获得第三名 C．乙在四轮竞赛中没有获得过第二名 D．丙至少有一轮竞赛获得第三名 【答案】BC 【分析】首先根据每轮分别决出第1，2，3名（不并列），可得，所以，然后根据甲的得分，推得；再根据及最小取3，可知，进而求出和的值，再逐项判断即可．此题主要考查了比赛得分问题中的推理与论证，解答此题的关键是求出、、的值． 【详解】解：每轮分别决出第1，2，3名（不并列）， ， ； 乙只有一轮竞赛获得了第一名， 甲最多3轮获得第一名， ， 为正整数， ， ，且，，均为正整数， 、的最小值分别为2、1， ， ， ， 又， ，，，选项A不符合题意； ， 甲3轮得第一，1轮得第三，选项B符合题意； 假设乙有1轮获得第2名， 则乙的得分至少是（分，与乙实际得了8分不符， 乙没有1轮获得第2名，选项C符合题意， 乙1轮得第一，3轮得第三， 丙4轮得第二，选项D不符合题意． 故选：． 1．（2024八年级上·全国·竞赛）如图A、B、C是固定在桌面上的三根小棒，其中A上有5个大小不同的圆片，从上到下，圆片的直径依次增大．现要将这5个圆片移动到B上，要求：①每次只能移动一个圆片；②圆片只能在A、B、C之间移动；③大圆片不能放在小圆片上面．那么完成这件事情最少要移动圆片（    ）    A．31次 B．33次 C．17次 D．25次 【答案】A 【分析】本题考查的是数字类的规律探究，逻辑推理的应用，由题意，一个圆片至少要移动一次，两个圆片至少要移动3次，三个圆片至少要移动7次，从而归纳出五个圆片至少要移动的数量． 【详解】解：移动一个圆片，至少移动1次，而， 移动两个圆片，至少要移动3次，而， 移动三个圆片，至少要移动7次，而， ∴移动五个圆片，至少要移动（次）， 故选：A． 2．（2024·浙江杭州·一模）一次数学考试共有8道判断题，每道题10分，满分80分． 规定正确的画√，错误的画×．甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如表所示，则的值为 ． 题号 学生 1 2 3 4 5 6 7 8 得分 甲 × √ × √ × × √ × 60 乙 × × √ √ √ × × √ 50 丙 √ × × × √ √ √ × 50 丁 × √ × √ √ × √ √ 【答案】60 【分析】本题考查合情推理，考查学生阅读能力和逻辑思维能力，属于基础题． 由乙丙的答案和得分得出第2，5两题答案正确；由甲的得分结合乙丙的答案可得其余6题答案均正确;由正确答案求出丁的得分，可得m值． 【详解】解：因为乙丙的第2，5题答案相同，且总得分都是50分，所以第2，5两题答案正确; 又因为甲得分60分，即甲错两题且第2，5题与乙，丙不同，所以其余6题答案均正确，故这8道判断题的答案分别是； 对比丁的答案，可知其第2，8两题错误，故得分， 故答案为：60． 3．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）桌子上有7张反面向上的纸牌，每次翻转n张（n为正整数）纸牌，多次操作后能使所有纸牌正面向上吗？用“”、“”分别表示一张纸牌“正面向上”、“反面向上”，将所有牌的对应值相加得到总和，我们的目标是将总和从变化为． (1)当时，每翻转1张纸牌，总和的变化量是2或，则最少______次操作后所有纸牌全部正面向上； (2)当时，每翻转2张纸牌，总和的变化量是______，多次操作后能使所有纸牌全部正面向上吗？若能，最少需要几次操作？若不能，简要说明理由． 【答案】(1)7 (2)14 【分析】（1）根据翻转的操作方法即可得出答案； （2）根据三种情况进行分析，进而得出答案． 【详解】（1）解：总变化量：， 次数（至少）：， 故答案为：7； （2）解：①两张由反到正，变化：； ②两张由正到反，变化：； ③一正一反变一反一正，变化， 要使所有纸牌正面向上，则总变化量仍为14， ∵14无法由4，，0相加得到， ∴不能全正，故不能所有纸牌全正； 故答案为：14． 【点睛】此题主要考查了推理与论证，此题解题的关键是要明确：只有将一张牌翻动奇数次，才能使它的正面向上，根据“奇数奇数偶数，偶数奇数奇数”进行解答即可． 1．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）下列命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．如果，那么 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理，有理数的乘方，不等式的性质等知识，根据有理数的乘方和绝对值的意义对各选项逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、如果，那么不一定大于，如：，则，故选项不符合题意； B、如果，那么不一定大于，如：，则，故选项不符合题意； C、如果，那么可能等于，如：，则，故选项不符合题意； D、如果，则，正确，故选项符合题意； 故选：D． 2．（23-24八年级上·山东青岛·开学考试）下列命题是假命题的为（    ） A．对角线相等的菱形是正方形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形 C．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 D．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 【答案】D 【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握正方形和菱形的判定． 根据正方形和菱形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A、对角线相等的菱形是正方形，是真命题，故此选项不符合题意； B、对角线互相垂直的矩形是正方形，是真命题，故此选项不符合题意； C、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，是真命题，故此选项不符合题意； D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，是假命题，故此选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级上·全国·期中）给出下列命题：①三角形的三条高相交于一点；②如果不等式的解集为，那么；③如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则这个三角形是直角三角形，其中正确的命题有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高，三角形的外角与内角，解不等式，①三角形的三条高相交于一点或三角形的三条高所在直线相交于一点，可判断①；根据解集得即可判断②；根据平角定义一个外角与它相邻的一个内角之和为，可判断③，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：①三角形的三条高相交于一点或三角形的三条高所在直线相交于一点，故①不符合题意； ②如果不等式的解集为，那么，说法正确，故②符合题意； ③如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则这个三角形是直角三角形，说法正确，故③符合题意； ∴符合题意的有个， 故选：B． 4．（23-24八年级上·河南信阳·开学考试）下列命题：（1）满足的a、b、c三条线段一定能组成三角形；（2）过三角形一顶点作对边的垂线叫做三角形的高；（3）三角形的外角大于它的任何一个内角；（4）直角三角形的两条高和边重合其中假命题的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的外角性质，三角形的三边关系，三角形高的定义，以及命题与定理，熟练掌握它们的性质是解题的关键； （1）根据三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，举出反例即可判断； （2）根据三角形的高：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，三角形的高是线段不是直线，据此判断； （3）根据三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角即可判断； （4）根据直角三角形有一个内角为直角，即两条边互相垂直，根据三角形高的定义即可判断． 【详解】解：（1）满足的、、三条线段不一定能组成三角形， 例如，但是，，中，不能构成三角形，本选项为假命题； （2）过三角形一顶点作对边的垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，所做的垂线为直线，不是三角形的高，三角形的高指的是线段，故本选项为假命题；； （3）根据三角形的外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，得到三角形的外角大于与它不相邻的任意一个内角，而外角与它相邻的内角大小不确定，比如外角为直角时，与它相邻的内角也为直角，两者相等，故本选项为假命题； （4）由直角三角形有一个内角为直角，即两条边互相垂直，根据三角形高的定义可知直角三角形的两条高即为两直角边，本选项为真命题； 则假命题有个． 故选：C． 5．（23-24八年级上·江苏南通·期中）关于x，y的二元一次方程（a，b是常数，且），有下列命题： ①是方程的解；②；③；④是方程的解，若上述四个命题中只有一个假命题，则该假命题是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查了假命题，解二元一次方程组等知识．熟练掌握假命题，解二元一次方程组是解题的关键． 若①④为真命题，则，可得，此时，，②③均为假命题，与四个命题中只有一个假命题矛盾；即①④中有一个是假命题，当①②③为真命题时，，解得，，此时④假命题，故符合要求；当②③④为真命题时，，解得，，此时①②为假命题，与四个命题中只有一个假命题矛盾；然后判断作答即可． 【详解】解：若①④为真命题，则， 解得，， 此时，，②③均为假命题，与四个命题中只有一个假命题矛盾； ∴①④中有一个是假命题， 当①②③为真命题时，， 解得，，此时④假命题，故符合要求； 当②③④为真命题时，， 解得，，此时①②为假命题，与四个命题中只有一个假命题矛盾； 综上，④为假命题， 故选：D． 6．（24-25八年级上·湖南常德·期中）将命题“对顶角相等”改写为如果 ，那么 ． 【答案】 两个角是对顶角 这两个角相等 【分析】本题考查了命题与定理的知识，将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是这两个角相等，应放在“那么”的后面． 【详解】解：题设为：对顶角，结论为：相等， 故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等； 故答案为：两个角是对顶角，这两个角相等． 7．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）要说明命题若“，则”是假命题，可以举的反例是 （一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查命题的判断，以及不等式的性质，要使得成立，则，因此举反例可列举的数字即可，理解命题的定义，能够根据命题适当的举出反例是解题关键． 【详解】解：由题意可知，当时，满足，但不满足， 故答案为：（答案不唯一）． 8．（24-25八年级上·北京昌平·期中）用三个不等式，，中的两个不等式作为题设条件，余下的一个不等式作为结论，组成一个命题，可以组成真命题的个数为 个，请同学们写出一个真命题 ． 【答案】 3 如果，，那么或如果，，那么或如果，，那么 【分析】本题主要考查了判断命题真假，不等式的性质，写出命题的题设和结论当选取，作为条件，为结论时，根据不等式两边同时除以一个正数不等号不改变方向即可证明；当选取，作为条件，为结论时，根据不等式两边同时乘以一个正数，不等号不改变方向即可证明；当选取，作为条件 为结论时，据不等式两边同时乘以一个正数，不等号不改变方向即可证明． 【详解】解：当选取，作为条件，为结论时， ∵，， ∴，即， ∴此时命题是真命题； 当选取，作为条件，为结论时， ∵， ∴当时，则 ，即，符合题意； 当时，则 ，即，不符合题意； ∴此时命题是真命题； 当选取，作为条件 为结论时， ∵，， ∴，即， ∴此时命题是真命题； 综上所述，可以组成真命题的个数为3个，命题为：如果，，那么；如果，，那么；如果，，那么． 故答案为：3；如果，，那．么或如果，，那么或如果，，那么． 9．（23-24八年级上·四川南充·期末）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图，直角三角形的直角边长为a，b，斜边长为c，若，每个直角三角形的面积为15，则c的长为 ．    【答案】8 【分析】由直角三角形的面积可求出，再把两边平方得，再结合勾股定理可知，从而可求出结论． 【详解】解：∵每个直角三角形的面积为15， ∴， ∴， 又， ∴， 整理得，， 又， ∴， 解得，或（负值舍去）， 故答案为：8． 【点睛】本题考查勾股定理的应用、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出的值． 10．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，三角形中，，是边上的两点，是边上一点，连接并延长．交的延长线于点．现有以下条件：①平分；②；③．从三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明． 条件： ； 结论： ．（填序号） 【答案】 ①② ③ 【详解】条件：①② 结论：③ 证明：平分， ． ， ，． ．（答案不唯一） 11．（23-24八年级上·江苏南京·自主招生）求证：对于任意连续的四个正整数，都存在一个质数p，使得四个数中有且只有一个数是p的整数倍． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是数的整除、质因数的概念，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 分和为2或3两种情况，根据数的整除证明． 【详解】解：对于任意连续的四个正整数，考察它们的所有质因子． 如果有某一个正整数有质因子， 则该数为的整数倍，而其它三个数都不是的整数倍，则命题成立． 如果所有的质因子都为2或3， 设四个连续正整数为：， 若和为3的整数倍， 则均只含质因子2，且均为不小于2的正整数， 故均为偶数，矛盾； 若和不为3的整数倍， 则中有且只有一个数为3的整数倍，命题成立． 综上可知，命题成立． 12．（23-24八年级上·全国·单元测试）（1） 当 3时，分别求出代数式 与 的值； （2）判断下列命题是真命题还是假命题，若是真命题，给出证明；若是假命题，举出反例． 命题1．对任何正整数n， 的值都是自然数； 命题 2．对任何正整数n， 的值都是自然数． 【答案】（1）当时，，；当时，，；当时，，；（2）命题1是假命题，命题2是真命题，证明见解析 【分析】本题主要考查了代数式求值，证明命题的真假： （1）直接代值计算即可； （2）利用完全平方公式得到，，再根据的非负数求解即可． 【详解】解：（1）当时，，； 当时，，； 当时，，； （2）命题1是假命题，命题2是真命题，证明如下： ∵， ∴当时，，此时不是自然数，故命题1是假命题； ∵， ∴当n为自然数时，为大于等于1的整数，即此时也为自然数，故命题2是真命题． 13．（23-24八年级上·全国·阶段练习）如图，有三个论断： ① ； ② ； ③． (1)请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题； (2)选择（）中的一个真命题加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的性质与判定： （1）任选两个条件作为题设，另外一个条件作为结论写出对应的明天，再判断真假即可； （2）根据（1）所求结合平行线的性质与判定条件证明即可． 【详解】（1）解：选择①②为题设，③为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； 选择①③为题设，②为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； 选择②③为题设，①为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； （2）证明：选择①②为题设，③为结论， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 选择①③为题设，②为结论， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 选择②③为题设，①为结论 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 14．（23-24八年级上·安徽合肥·单元测试）（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，分别平分和． 求证：． 证明：∵分别平分和（已知）， ∴______，______（____________）． ∵（____________）， ∴（______________________）． ∴____________（____________）， ∴∠____________（等式的基本性质）， ∴（______________________）； （2）说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【答案】（1）；；角平分线的定义；已知；两直线平行，内错角相等；；；等量代换；；；内错角相等，两直线平行；（2）两个互逆的真命题为两直线平行，内错角相等和内错角相等，两直线平行． 见析解 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． （1）根据平行线的性质，可得，根据角平分线的定义，可得，再根据平行线的判定，即可得出， （2）在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【详解】解：（1）∵、分别平分和(已知)， ∴(角平分线的定义)， ∵(已知)， ∴(两直线平行，内错角相等)， ∴(等量代换)， ∴(等式的性质)， ∴(内错角相等，两直线平行)． 故答案为：；；角平分线的定义；已知；两直线平行，内错角相等；；；等量代换；；；内错角相等，两直线平行； （2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 15．（23-24八年级上·山西吕梁·期中）阅读与思考 提出命题 如果一个角的两边与另一角的两边互相垂直，那么这两个角相等 （1）判断真假 这个命题是______命题（填“真”或“假”） （2）求证过程 ①若是真命题，请证明； ②若是假命题，请举出一个反例 （要求画出相应的图形，并用文字语言或符号语言叙述所举的反例） （3）结论应用 若两个角的两边互相垂直，且一个角比另一个角的2倍少，则这两个角的度数分别为______（直接写出结果） 【答案】（1）假；（2）见解析；（3）或 【分析】本题考查的是命题的真假判断，，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． （1）根据真假命题的定义判断即可； （2）画出图形举反例即可； （3）根据如果一个角的两边与另一角的两边互相垂直，那么这两个角相等或互补求解即可． 【详解】．解：（1）如果一个角的两边与另一角的两边互相垂直，那么这两个角相等，这个命题是假命题． 故答案为：假； （2）反例：如图，和的两边互相垂直，符合条件，由图可知，但，不符合结论．    （3）设另一个角的度数为α，则一个角的度数为， 根据题意可得，或， 解得，或， 当时，， 当时，， ∴这两个角的度数为或． 故答案为：或． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 命题与证明重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 判断是否是命题 题型二 判断命题的真假 题型三举例说明假（真）命题 题型四 写出命题的题设与结论 题型五 写出命题的逆命题 题型六 定理与证明 题型七 反证法证明中的假设 题型八 用反证法证明命题 题型九 逻辑推理与证明 题型十 以几何为背景的推理与论证 题型十一 以代数为背景的推理与论证 【经典例题一 判断是否是命题】 【例1】（23-24八年级上·河南郑州·期末）下列语句中，是命题的是（　　） A．你喜欢数学吗？ B．取线段的中点 C．美丽的天空 D．两直线平行，内错角相等 1．（23-24八年级上·贵州铜仁·阶段练习）下列语句中：①同角的补角相等；②雪是白的；③画；④他是小张吗？⑤两直线相交只有一个交点．其中是命题的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24八年级上·福建厦门·期中）下列语句：①同旁内角相等；②如果，那么；③对顶角相等吗？④画线段；⑤两点确定一条直线．其中是命题的有 ；是真命题的有 ．（只填序号） 3．（23-24八年级上·浙江温州·期中）在学习中，小明发现：当n=1，2，3时，n2—10n的值都是负数．于是小明猜想：当n为任意正整数时，n2-10n的值都是负数．判断小明的猜想是真命题还是假命题，并说明你的理由． 【经典例题二 判断命题的真假】 【例2】（23-24八年级上·全国·单元测试）下列命题中，不正确的是 （         ） A．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 B．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 C．两条直线被第三条直线所截，那么这两条直线平行 1．（23-24八年级上·山东临沂·开学考试）下列命题：①不相交的两条直线是平行线，②同旁内角互补；③同位角相等，两直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤在同一平面内，若，则．其中，真命题的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（24-25八年级上·陕西榆林·开学考试）已知下列命题：①同旁内角互补；②平行于同一条直线的两条直线平行；③相等的角是对顶角；④正数的立方根是正数．其中是真命题的有 个． 3．（24-25八年级上·山东德州·开学考试）如图，如果，那么，判断这个命题的真假．若是真命题，则写出推理的根据；若是假命题，则添加一个条件，使该命题成为真命题，并给予证明． 【经典例题三 写出命题的题设与假设】 【例3】（23-24八年级上·广东清远·期末）用一组的值说明命题“则”是错误的，这组值可以是（     ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·河南鹤壁·期中）能说明“锐角与锐角的和是锐角”是假命题的反例图是（    ）． A． B． C． D． 2．（2024·北京·模拟预测）已知“若 a>b，则 ac>bc”是假命题，请写出一个满足条件的 c 的值是 ． 3．（23-24八年级·全国·课后作业）判断下列命题的真假，并说明理由： （1）若，则，； （2）若，则； （3）互补的两个角一定是一个锐角，一个是钝角； （4）不论取何值，代数式的值一定是正数． 【经典例题四 写出命题的逆命题】 【例4】（23-24八年级上·河北邯郸·期末）命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是（  ） A．垂直 B．两条直线互相平行 C．同一条直线 D．两条直线垂直于同一条直线 1．（23-24八年级上·北京海淀·阶段练习）用三个不等式中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24八年级上·广东东莞·期中）把命题“同旁内角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为： 3．（2024八年级上·全国·专题练习）根据下图和命题“等腰三角形底边上的中线是顶角的角平分线”写出： 已知： 求证： 【经典例题五 定理与命题】 【例5】（23-24八年级上·全国·单元测试）下列说法正确的是（ ） A．真命题的逆命题一定还是真命题 B．“两条直线被第三条直线所截，同位角相等”是真命题 C．“作线段”是真命题 D．命题“同角的余角相等”的逆命题是“相等的角是同一个角的余角” 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知下列命题：①若，则；②若，则；③三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分；④内错角相等，两直线平行其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）在命题“同位角相等，两直线平行”中，条件是 ，结论是 如果把条件作为结论，结论作为条件，我们就可以得到它的逆命题： ． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）写出下列命题的逆命题，并判断其真假： (1)三角形的内角和等于 (2)互为相反数的两数的绝对值相等 (3)同号两数相乘，积为正数 (4)钝角三角形有两个锐角． 【经典例题六 举反例】 【例6】（23-24八年级上·河南开封·期中）下列命题中，不是定理的是（　　） A．直角三角形两锐角互余 B．两直线平行，同旁内角互补 C．n边形的内角和为（n﹣2）×180° D．相等的角是对顶角 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）下列不是基本事实的是(     ) A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．两条平行线被第三条直线所截，内错角相等 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 2．（2024八年级上·全国·专题练习）下列命题可以作定理的有 个． ①2与6的平均值是8；②能被3整除的数能被6整除；③5是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数仍是等式． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）“定义、定理、基本事实、命题、真命题、假命题”它们之间的关系恰好可以用下图表示，请指出A，B，C，D，E，F分别与它们中的哪一个对应． 【经典例题七 反证法证明中的假设】 【例7】（2024·河南郑州·八年级校考期中）用反证法证明“一个三角形中最多有一个角是直角或钝角”时，应假设（    ） A．一个三角形中至少有一个角是直角或钝角 B．一个三角形中至少有两个角是直角或钝角 C．一个三角形中至多有一个角是直角或钝角 D．一个三角形中没有一个直角或钝角 1．（2024·陕西西安·八年级校考阶段练习）用反证法证明命题：“已知，，求证：”第一步应先假设 ． 2．（2024·浙江·八年级专题练习）八年级上教材在图形与几何部分给出了五条基本事实，在《证明》一章中我们从两条基本事实出发，把前面得到的平行线相关性质进行了严格的证明，体会了数学的公里化思想.请完成下列证明活动： 活动．利用基本事实证明：“两直线平行，同位角相等”.（在括号内填上相应的基本事实） 已知：如图，直线、被直线所截，． 求证：． 证明：假设，则可以过点作， ∵， ∴（ ）， ∴过点存在两条直线、两条直线与平行，这与基本事实（ ）矛盾， ∴假设不成立， ∴． 活动．利用刚刚证明的“两直线平行，同位角相等”证明“两直线平行，同旁内角互补”.（要求画图，写出已知、求证并写出证明过程） 已知: ． 求证： ． 证明： 【经典例题八 用反证法证明命题】 【例8】（23-24八年级上·河南南阳·期末）下面是小华证明“是无理数”的过程：“假设是有理数，那么它可以表示为两个整数的商，设（是互质的正整数），则，两边平方，得①，是偶数，是一个偶数，因此也是一个偶数，设（是正整数），由①式得，，从而是偶数，因而也是一个偶数，这与互质矛盾，所以不是有理数，因此是无理数． ”则下列说法错误的是（    ） A．这种证明方法叫反证法； B．反证法是一种间接的证明方法； C．是无理数，可以表示成两个正整数的商的形式； D．是无理数，不能表示成两个正整数的商的形式． 1．（23-24八年级上·浙江温州·期末）用反证法证明“在中，若，则”时，应假设（    ） A． B． C． D． 2．（2024·福建泉州·二模）数学课上，学生提出如何证明以下问题： 如图，．求证：．    老师说，我们可以用反证法来证明，具体过程如下： 证明：假设， 如图，延长交的延长线于点，为延长线上一点．    ∵， ∴． ∵， ∴， 这与“________”相矛盾， ∴假设不成立， ∴． 以上证明过程中，横线上的内容应该为 ． 3．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）小明在解答“已知中，，求证”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤： （1）所以，这与三角形内角和定理相矛盾． （2）所以． （3）假设． （4）那么，由，得，即，即． 请你写出这四个步骤正确的顺序 ． 【经典例题九 逻辑推理与证明】 【例9】（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）A，B，C，D，E五名学生猜测自己能否进入市中国象棋前三强．A说：“如果我进入，那么B也进入．”B说：“如果我进入，那么C也进入．”C说：“如果我进入，那么D也进入．”D说：“如果我进入，那么E也进入，”大家都没有说错，则进入前三强的三个人是（   ） A．A，B，C B．B，C，D C．D，E，A D．C，D，E 1．（23-24八年级上·浙江宁波·开学考试）A、B、C、D、E五位同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场，到现在为止，A赛了4场，B赛了3场，C赛了2场，D赛了1场，那么E赛了（   ）场 A．2 B．3 C．4 2．（24-25八年级上·北京·期中）2024年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为“节”．附中今年“节”策划了五个活动，规则如下： “节”活动规则 ·活动前每人先发放两枚“币” ·每参与一个活动消耗两枚“币” ·没有“币”不能参与活动 ·每个活动至多参与一次 ·挑战成功，按右表发放奖励 ·挑战失败，谢谢参与 活动名称 奖励的“币”数量/枚 数独 4 魔方 4 华容道 6 鲁班锁 6 汉诺塔 8 小达参与了所有活动． （1）若小达只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为 ； （2）若小达共挑战成功两个，且他参与的第四个活动成功，则小达最终剩下的“币”数量的所有可能取值为 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）足球比赛的记分规则为胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分，某足球队在本赛季共需比赛14场，现已比赛了8场，其中输了一场，得17分． (1)前8场比赛中，这支球队共胜了多少场？（用列方程的方法解） (2)通过对比赛情况的分析，这支球队踢满14场比赛，得分不低于29分，就可以达到预期目标．请你分析一下，在后面的6场比赛中，这支球队至少要胜几场，才能达到预期目标． 【经典例题十 以几何为背景的推理与论证】 【例10】（23-24八年级上·浙江·期末）最近网上一个烧脑问题的关注度很高（如图所示），通过仔细观察、分析图形，你认为打开水龙头，哪个标号的杯子会先装满水（    ） A．3号杯子 B．5号杯子 C．6号杯子 D．7号杯子 1．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，某小区有东西方向的街道3条，南北方向的街道4条，从位置A出发沿街道行走到达位置B，要求路程最短，研究有多少种不同的走法. 小聪是这样思考的：要使路程最短，就不能走“回头路”，只能分五步来完成，其中三步向右行进，两步向上行进，如果用数字“1”表示向右行走一格，数字“2”表示向上行走一格，如“11221”与“11212”就表示两种符合要求的不同走法，那么符合要求的不同走法的种数为（    ） A．6种 B．8种 C．10种 D．12种 2．（23-24八年级上·浙江·阶段练习）电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则：一个广场下面最多埋一个雷，如果无雷，掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数字周围的广场（最多八个）中雷的个数（实际游戏中，通常省略不标，为方便大家识别与印刷，我把图乙中的都标出来了，以示与未掀开者的区别），如图甲中的“”表示它的周围八个广块中仅有个埋有雷．图乙是张三玩游戏中的局部，图中有个方块已确定是雷（方块上标有旗子），则图乙第一行从左数起的七个方块中（方块上标有字母），能够确定一定不是雷的有 ，一定是雷的有 ．（请填入方块上的字母） 3．（23-24八年级·全国·课后作业）如图所示，通过画图可知：三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部，于是可得出结论：任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部，这个结论正确吗？          【经典例题十一 以代数为背景的推理与论证】 【例11】（23-24八年级上·山东潍坊·期中）某中学举行了数学基础知识竞赛，经过选拔，甲、乙、丙三位同学进入最后角逐．他们还将进行四轮知识竞赛，规定每轮知识竞赛第一名得分，第二名得分，第三名得分（且，，均为正整数）；最后总分为四轮得分之和．四轮竞赛后，甲最终得分为16分，乙和丙最终得分均为8分，且乙只有一轮竞赛获得了第一名，则下列说法正确的是（    ）． A．为4 B．甲有一轮竞赛获得第三名 C．乙在四轮竞赛中没有获得过第二名 D．丙至少有一轮竞赛获得第三名 1．（2024八年级上·全国·竞赛）如图A、B、C是固定在桌面上的三根小棒，其中A上有5个大小不同的圆片，从上到下，圆片的直径依次增大．现要将这5个圆片移动到B上，要求：①每次只能移动一个圆片；②圆片只能在A、B、C之间移动；③大圆片不能放在小圆片上面．那么完成这件事情最少要移动圆片（    ）    A．31次 B．33次 C．17次 D．25次 2．（2024·浙江杭州·一模）一次数学考试共有8道判断题，每道题10分，满分80分． 规定正确的画√，错误的画×．甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如表所示，则的值为 ． 题号 学生 1 2 3 4 5 6 7 8 得分 甲 × √ × √ × × √ × 60 乙 × × √ √ √ × × √ 50 丙 √ × × × √ √ √ × 50 丁 × √ × √ √ × √ √ 3．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）桌子上有7张反面向上的纸牌，每次翻转n张（n为正整数）纸牌，多次操作后能使所有纸牌正面向上吗？用“”、“”分别表示一张纸牌“正面向上”、“反面向上”，将所有牌的对应值相加得到总和，我们的目标是将总和从变化为． (1)当时，每翻转1张纸牌，总和的变化量是2或，则最少______次操作后所有纸牌全部正面向上； (2)当时，每翻转2张纸牌，总和的变化量是______，多次操作后能使所有纸牌全部正面向上吗？若能，最少需要几次操作？若不能，简要说明理由． 1．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）下列命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．如果，那么 D．若，则 2．（23-24八年级上·山东青岛·开学考试）下列命题是假命题的为（    ） A．对角线相等的菱形是正方形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形 C．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 D．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 3．（24-25八年级上·全国·期中）给出下列命题：①三角形的三条高相交于一点；②如果不等式的解集为，那么；③如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则这个三角形是直角三角形，其中正确的命题有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 4．（23-24八年级上·河南信阳·开学考试）下列命题：（1）满足的a、b、c三条线段一定能组成三角形；（2）过三角形一顶点作对边的垂线叫做三角形的高；（3）三角形的外角大于它的任何一个内角；（4）直角三角形的两条高和边重合其中假命题的个数是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·江苏南通·期中）关于x，y的二元一次方程（a，b是常数，且），有下列命题： ①是方程的解；②；③；④是方程的解，若上述四个命题中只有一个假命题，则该假命题是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 6．（24-25八年级上·湖南常德·期中）将命题“对顶角相等”改写为如果 ，那么 ． 7．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）要说明命题若“，则”是假命题，可以举的反例是 （一个即可）． 8．（24-25八年级上·北京昌平·期中）用三个不等式，，中的两个不等式作为题设条件，余下的一个不等式作为结论，组成一个命题，可以组成真命题的个数为 个，请同学们写出一个真命题 ． 9．（23-24八年级上·四川南充·期末）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图，直角三角形的直角边长为a，b，斜边长为c，若，每个直角三角形的面积为15，则c的长为 ．    10．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，三角形中，，是边上的两点，是边上一点，连接并延长．交的延长线于点．现有以下条件：①平分；②；③．从三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明． 条件： ； 结论： ．（填序号） 11．（23-24八年级上·江苏南京·自主招生）求证：对于任意连续的四个正整数，都存在一个质数p，使得四个数中有且只有一个数是p的整数倍． 12．（23-24八年级上·全国·单元测试）（1） 当 3时，分别求出代数式 与 的值； （2）判断下列命题是真命题还是假命题，若是真命题，给出证明；若是假命题，举出反例． 命题1．对任何正整数n， 的值都是自然数； 命题 2．对任何正整数n， 的值都是自然数． 13．（23-24八年级上·全国·阶段练习）如图，有三个论断： ① ； ② ； ③． (1)请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题； (2)选择（）中的一个真命题加以证明． 14．（23-24八年级上·安徽合肥·单元测试）（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，分别平分和． 求证：． 证明：∵分别平分和（已知）， ∴______，______（____________）． ∵（____________）， ∴（______________________）． ∴____________（____________）， ∴∠____________（等式的基本性质）， ∴（______________________）； （2）说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 15．（23-24八年级上·山西吕梁·期中）阅读与思考 提出命题 如果一个角的两边与另一角的两边互相垂直，那么这两个角相等 （1）判断真假 这个命题是______命题（填“真”或“假”） （2）求证过程 ①若是真命题，请证明； ②若是假命题，请举出一个反例 （要求画出相应的图形，并用文字语言或符号语言叙述所举的反例） （3）结论应用 若两个角的两边互相垂直，且一个角比另一个角的2倍少，则这两个角的度数分别为______（直接写出结果） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$