第六单元第7课时 梯形面积的计算（四四三作业设计）-【大单元教学】五年级数学上册同备课系列（人教版)

人教版 五年级上册 第六单元《多边形的面积》 ————6.7《梯形面积的计算》 （四基四能三会)作业设计 1．我国古代数学家（    ）利用“出入相补”原理来计算平面图形的面积。出入相补原理就是把一个图形分割、移补，而面积保持不变。 A．华罗庚 B．祖冲之 C．刘徽 D．张衡 2．一块梯形的车窗玻璃，上底1m，下底1.2m，高0.6m，它的面积是( )m2。 3．计算下面各图的面积。 4． 如图，把平行四边形沿着 分成两个部分，通过 的方法，可以把这两个部分拼成一个 。它和平行四边形相比， 没变。 5．下面a、b、c三个图形的面积相等，高也相等，平行四边形b的底是( )cm，三角形c的底是( )cm。 6．下面是同学们写出的四种探究梯形面积的计算方法，正确的有( )。（可填写多个答案） 7．姥姥在农场种了三种蔬菜。（如下图） （1）请你算算姥姥这三种蔬菜各种了多少平方米？这块地共有多少平方米？ （2）你还记得在数学课上是怎样和老师、同学推导出这几种图形的面积计算公式吗？先想一想，然后选择（“转化”、“割补”、“拼摆”、“割补或拼摆”）词语填空。 例如：平行四边形（________）成长方形 三角形（________）成平行四边形 梯形（________）成平行四边形 } 他们都是把一种图形转化成另一种已经学过面积计算的图形。 8．李奶奶家有一块梯形形状的蔬菜大棚（见下图）。为改善新农村的交通状况，村委会决定修一条从李奶奶家蔬菜大棚穿过的公路。修公路后，李奶奶家的蔬菜大棚的面积是多少？ 9．我国古代伟大数学家刘徽在研究平面图形面积时提出了“以盈补虚”的思想方法，即以多余补不足，本质上是等积变换。请你观察下面两幅图，你能运用这种方法解释并推导出三角形和梯形的面积公式吗？ 10．同学们在研究平行四边形面积的计算公式时，想到了如图方法。 （1）哪位同学的方法可以推导出平行四边形面积的计算公式，就请在这位同学名字下面的括号里划“√”。 （2）本学期学习三角形、梯形的面积计算公式时是怎样推导的？请你选择其中一种平面图形，用画图和文字叙述的方式简要表示出它的推导过程。 11．如下图，两条平行线间有四个图形，它们的面积大小关系是：甲＞乙＞丁＞丙。( ) 12．我国古代数学名著《九章算术》中记载了一些常见图形的面积计算方法。我国数学家刘徽在注文中用“以盈补虚”的方法加以说明。 （1）如图用“以盈补虚”的方法将三角形转化成长方形进行计算，你能找到三角形和长方形之间的哪些联系？（至少写2条） （2）请你将如图方格图中的梯形也用“以盈补虚”的方法转化为长方形，并在图中画一画。 13．如图，两条平行线之间有三个图形，其中图②面积( )图③面积（填“大于”“小于”或“等于”）。如果想让图①与图③面积相等，在不改变其它条件的情况下，图①的底需要增加( )厘米。 14．已知两条平行线之间的三个图形的面积相等（如下图），根据图形①的信息推测出图形②和③的底分别是（    ）。 A．6cm，6cm B．4cm，4cm C．8cm，6cm D．8cm，4cm 15．下图是一个直角梯形，如果把上底延长4厘米，就变成了一个长方形，这样，直角梯形的面积就增加了12平方厘米。原来的这个直角梯形的面积是( )平方厘米。 16．如图是两个相同的直角三角形叠在一起，求阴影部分的面积。（单位：厘米） 17．梯形面积计算公式是怎样推导出来的呢？在课本中我们是把两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，平行四边形的底等于梯形的（        ），平行四边形的高等于梯形的高。因为平行四边形的面积等于底×高，所以梯形的面积等于（                  ）。 （1）丽丽是个爱动脑筋的孩子，她认为可以用老师讲过的转化思想把它转化成已学过的图形来求面积（如下图）。 平行四边形的面积S＝ a × h 相等↓ ↓ ↓ 梯形的面积S＝ × （2）乐乐不甘示弱，他想：我可不可以用分割法把梯形分成两个三角形，来推导梯形的面积计算公式呢？（请你采用文字、图表等喜欢的方式，来说说乐乐是怎样得到梯形的面积计算公式的） 18．如图所示，长方形ABCD中，AD－AB＝9厘米，梯形ABCE的面积是三角形ADE面积的5倍，三角形ADE的周长比梯形ABCE的周长短68厘米。长方形ABCD的面积是( )平方厘米。 19．等腰梯形的对角线互相垂直，一条对角线的长是9厘米，求梯形的面积。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 【四基形成】： 1．C 【问题分析】根据数学常识“出入相补”的原理进行解答。 【名师解析】我国古代数学家刘徽利用“出入相补”原理来计算平面图形的面积。出入相补原理就是把一个图形分割、移补，而面积保持不变。 故答案为：C 2．0.66 【问题分析】根据梯形的面积公式：S＝（a＋b）h÷2，把数据代入公式解答。 【名师解析】（1＋1.2）×0.6÷2 ＝2.2×0.6÷2 ＝1.32÷2 ＝0.66（m2） 它的面积是0.66 m2。 【名师点拨】此题主要考查梯形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 3．3.41m2；525m2 【问题分析】直角三角形两直角边可以看作底和高，根据三角形的面积＝底×高÷2，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，列式计算即可。 【名师解析】2.2×3.1÷2＝3.41（m2） （14＋36）×21÷2 ＝50×21÷2 ＝525（m2） 三角形的面积是3.41m2，梯形的面积是525m2。 4． 高 割补 长方形或正方形 面积 【问题分析】如上图，计算平行四边形的面积时，可以通过割补法，把平行四边形沿着高分成两部分，再把左边的部分平移右边，拼成一个长方形或正方形，拼成的长方形或正方形的面积和平行四边形的面积相等，把求平行四边形的面积变成求长方形或正方形的面积，据此即可解答。 【名师解析】根据分析可知，把平行四边形沿着高分成两个部分，通过平移的方法，可以把这两个部分拼成一个长方形或正方形。它和平行四边形相比，面积没变。 5． 8 16 【问题分析】由于三个图形的高也相等，可以设高为1cm，根据梯形的面积公式：（上底＋下底）×高÷2，据此即可求出梯形的面积，由于三个图形的面积相等，根据平行四边形的面积公式：底×高；三角形的面积公式：底×高÷2，把数代入公式即可求解。 【名师解析】设三个图形的高是1cm。 （6＋10）×1÷2 ＝16×1÷2 ＝8（cm2） 8÷1＝8（cm） 8×2÷1＝16（cm） 所以平行四边形b的底是8cm，三角形c的底是16cm。 6．①②③④ 【问题分析】根据梯形面积公式的推导过程可知，①把两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，根据平行四边形的面积公式推导出梯形的面积公式；②把一个梯形分割为两个三角形，根据三角形的面积公式推导出梯形的面积公式；③把一个梯形沿高的一半剪两个梯形，然后通过旋转平移拼成一个平行四边形，根据平行四边形的面积公式推导出梯形的面积公式；④把一个梯形沿着两腰中点做垂线分割出来的两个三角形，通过旋转拼成一个长方形，根据长方形的面积公式推导出梯形的面积公式；据此解答。 【名师解析】 两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，梯形的上底＋下底＝平行四边形的底，梯形的高＝平行四边形的高，平行四边形的面积＝底×高，梯形的面积＝平行四边形的面积÷2，即S＝（a＋b）h÷2，所以①正确。 梯形分割为两个三角形，这个两个三角形的高相等，梯形的面积＝两个三角形之和，即S＝，所以②正确。 梯形分割拼成一个平行四边形，梯形的上底＋下底＝平行四边形的底，梯形的高÷2＝平行四边形的高，梯形的面积＝平行四边形的面积，平行四边形的面积＝底×高，即S＝，所以③正确。 梯形分割拼成长方形，梯形的（上底＋下底）÷2＝长方形的长，梯形的高＝长方形的宽，梯形的面积＝长方形的面积，长方形的面积＝长×宽，即S＝，所以④正确。 综上可知正确的有：①②③④。 【四能发展】： 7．①茄子240平方米；黄瓜800平方米；西红柿608平方米；1648平方米 ②割补；拼摆；割补 【问题分析】（1）由图可知，茄子地是底为15米，高为32米的三角形菜地，黄瓜地是底为25米，高为32米的平行四边形菜地，西红柿地是上底为15米，下底为23米，高为32米的梯形菜地，根据三角形的面积＝底×高÷2，平行四边形的面积＝底×高，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据求出三个菜地的面积，再把三个菜地的面积相加即可解答； （2）将未知解法或难以解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换，化归为已知知识范围内已经解决或容易解决的问题方法的数学思想，据此分析即可。 【名师解析】（1）15×32÷2 ＝480÷2 ＝240（平方米） 25×32＝800（平方米） （15＋23）×32÷2 ＝38×32÷2 ＝1216÷2 ＝608（平方米） 240＋800＋608 ＝1040＋608 ＝1648（平方米） 答：姥姥这茄子种了240平方米，黄瓜种了800平方米，西红柿种了608平方米，这块地共有1648平方米。 （2）如图： 平行四边形割补成长方形 三角形拼摆成平行四边形 梯形割补成平行四边形 他们都是把一种图形转化成另一种已经学过面积计算的图形。 8．1400平方米 【问题分析】根据题意，李奶奶家蔬菜大棚的面积＝梯形面积－公路的面积，公路的面积即为平行四边形的面积，依据梯形面积公式：梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，平行四边形面积：平行四边形面积＝底×高，平行四边形的高与梯形等高，据此解答。 【名师解析】（50＋46）×35÷2－8×35 ＝96×35÷2－8×35 ＝3360÷2－8×35 ＝1680－280 ＝1400（平方米） 答：李奶奶家的蔬菜大棚的面积是1400平方米。 9．见详解 【问题分析】根据三角形、梯形面积公式的推导过程可知，都是通过“转化”，把三角形转化长方形、梯形转化为平行四边形，根据长方形和平行四边形的面积公式推导出三角形、梯形的面积公式。据此解答。 【名师解析】 把三角形通过分割、移补，拼成一个长方形，这个长方形的长等于三角形的底，长方形的宽等于三角形高的一半，因为长方形的面积＝长×宽，所以三角形的面积＝底×高÷2； 同理：把梯形通过分割、移补，拼成一个平行四边形，这个平行四边形的底等于梯形上下底之和，平行四边形的高等于梯形高的一半，因为平行四边形的面积＝底×高，所以梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2。 10．见详解 【问题分析】（1）红红把平行四边形分成一个直角三角形和一个直角梯形，然后把直角三角形和直角梯形重新拼成一个长方形，长方形的宽等于平行四边形的高，长方形的长等于平行四边形底，长方形的面积等于平行四边形的面积，所以平行四边形的面积等于底乘高，红红的方法可以推导出平行四边形面积的计算公式； 军军把平行四边形分成两个直角梯形，然后把两个直角梯形重新拼成一个长方形，长方形的宽等于平行四边形的高，长方形的长等于平行四边形底，长方形的面积等于平行四边形的面积，所以平行四边形的面积等于底乘高，军军的方法可以推导出平行四边形面积的计算公式； 丽丽把平行四边形拉成了一个长方形，长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽不等于平行四边形的高，长方形的面积与平行四边形不相等，不能推导出平行四边形面积的计算公式。 （2）可以推导梯形的面积公式，把两个相同的梯形拼成一个平行四边，平行四边形的底等于梯形的上底加下底，平行四边形的高等于梯形的高，平行四边形的面积等于两个梯形的面积和，平行四边形的面积除以2即等于梯形的面积，据此推导出梯形面积的计算公式。 【名师解析】 （1） （2）如下图，把两个相同的梯形拼成一个平行四边，平行四边形的底等于梯形的上底加下底，平行四边形的高等于梯形的高，平行四边形的面积＝（上底＋下底）×高，平行四边形的面积等于两个梯形的面积，平行四边形的面积除以2等于梯形的面积，所以梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2。 （答案不唯一） 11．× 【问题分析】平行线间的距离处处相等，假设平行线间的距离是h，根据长方形面积＝长×宽，平行四边形面积＝底×高，三角形面积＝底×高÷2，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，分别用字母表示出甲、乙、丙、丁的面积，比较即可。 【名师解析】假设平行线间的距离是h。 甲：7h 乙：6h 丙：8h÷2＝4h 丁：（5＋7）h÷2＝12h÷2＝6h 7h＞6h＞4h 它们的面积大小关系是：甲＞乙＝丁＞丙，原题说法错误。 故答案为：× 【三会达成】： 12．（1）长方形的长等于三角形的高，长方形的宽等于三角形的底的一半，长方形的面积等于三角形的面积；（2）见详解 【问题分析】（1）根据图示可知，长方形的长等于三角形的高，长方形的宽等于三角形的底的一半，面积不变，据此回答； （2）先确定梯形两条腰的中点，再沿中点画垂直于梯形的底的线段；然后通过“以盈补虚”的方法把梯形转化为长方形即可。 【名师解析】（1）长方形的长等于三角形的高，长方形的宽等于三角形的底的一半，长方形的面积等于三角形的面积； （2）如图： 13． 等于 16 【问题分析】根据梯形的面积公式：S＝（a＋b）×h÷2，三角形的面积公式：S＝ah÷2，平行四边形的面积公式：S＝ah，它们的高相等，高用h表示，根据图形②和图③的面积公式计算出来进行比较即可解答； 想让图①与图③面积相等，根据已计算出来的图③的面积，根据图①三角形的面积公式计算出来图①的底的长度，再减去原图形长度即可解答。 【名师解析】三角形的面积： 16×h÷2 ＝16h÷2 ＝8h（平方厘米） 平行四边形面积： 16×h＝16h（平方厘米） 梯形的面积： （8＋24）×h÷2 ＝32×h÷2 ＝32h÷2 ＝16h（平方厘米） 16h＝16h，因此图②面积等于图③面积； 16h×2÷h ＝32h÷h ＝32（厘米） 32－16＝16（厘米） 图①的底需要增加16厘米。 14．D 【问题分析】图中的三个图形分别为梯形、三角形和平行四边形，它们的高相同；梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，三角形的底＝面积×2÷高，平行四边形的底＝面积÷高；假设高是3cm，根据已知数据求出梯形的面积，因为三个图形面积相等，将面积代入公式，分别求出三角形和平行四边形的底即可。 【名师解析】假设高是3cm 梯形的面积： （2＋6）×3÷2 ＝8×3÷2 ＝24÷2 ＝12（cm2） 三角形的底： 12×2÷3 ＝24÷3 ＝8（cm） 平行四边形的底： 12÷3＝4（cm） 故答案为：D 15．42 【问题分析】根据题意可知，增加部分的面积是一个底为4厘米的三角形的面积，根据三角形的高＝三角形的面积×2÷底，求出三角形的高，也是原来直角梯形的高；又已知把上底延长4厘米，就变成一个长方形，根据长方形对边相等的特点，则梯形的上底是（9－4）厘米；最后根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算即可求出原来的这个直角梯形的面积。 【名师解析】三角形的高（梯形的高）： 12×2÷4 ＝24÷4 ＝6（厘米） 梯形的上底： 9－4＝5（厘米） 梯形的面积： （5＋9）×6÷2 ＝14×6÷2 ＝84÷2 ＝42（平方厘米） 原来的这个直角梯形的面积是42平方厘米。 【名师点拨】本题考查三角形、梯形面积公式的灵活运用，求出梯形的上底和高是解题的关键。 16．63平方厘米 【问题分析】由图可知：两个三角形都去掉公共部分，则剩余部分的面积仍然相等，即阴影部分的面积＝梯形的面积，已知梯形的下底是12厘米，高为6厘米。先求出梯形的上底，进而利用梯形的面积公式即可求解。 【名师解析】上底：12－3＝9（厘米） （9＋12）×6÷2 ＝21×6÷2 ＝126÷2 ＝63（平方厘米） 答：阴影部分的面积是63平方厘米。 【名师点拨】解答此题的关键是明白阴影部分的面积＝梯形的面积。 17．上底＋下底；（上底＋下底）×高÷2 （1）a＋b；h÷2 （2）见详解 【问题分析】在课本中我们是把两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，找出平行四边形的底、高与梯形的上底、下底、高之间的关系，再根据平行四边形的面积＝底×高，推导出梯形的面积公式。 （1）丽丽是把一个梯形转化成平行四边形，根据平行四边形的面积＝底×高，推导出梯形的面积公式。 （2）乐乐用分割法把梯形分成两个三角形，根据三角形的面积＝底×高÷2，分别求出两个三角形的面积，再相加，即可推导出梯形的面积公式。 【名师解析】在课本中我们是把两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，平行四边形的底等于梯形的（上底＋下底），平行四边形的高等于梯形的高。因为平行四边形的面积等于底×高，所以梯形的面积等于（上底＋下底）×高÷2。 （1）丽丽的方法： 平行四边形的面积S＝ a × h 相等↓ ↓ ↓ 梯形的面积S＝ a＋b × h÷2 （2）乐乐的方法，如图： 梯形的面积＝三角形①的面积＋三角形②的面积 ah÷2＋bh÷2＝（a＋b）×h÷2 所以，梯形的面积S＝（a＋b）×h÷2。 【名师点拨】本题考查转化思想、分割法在数学中的应用，掌握图形转换和面积公式推导的过程是解题的关键。 18．3060 【问题分析】梯形ABCE的面积是三角形ADE面积的5倍，那么梯形上、下底的和是DE的5倍，三角形ADE的周长比梯形ABCE的周长短68厘米，那么DE的长度比梯形上下底的和短68厘米，按照差倍问题求出DE，再计算长方形的长和宽，最后求面积。 【名师解析】 （厘米） （厘米） （厘米） （平方厘米） 所以：长方形ABCD的面积是3060平方厘米 【名师点拨】本题是将三角形、梯形的周长和面积与差倍问题相结合，最关键的是求出对应的差和倍数关系。 19．40.5平方厘米 【问题分析】如图，梯形的面积可以表示为三角形ABD的面积加上三角形BCD的面积，分别表示出两个三角形的面积，相加即可。 【名师解析】如图所示： （平方厘米） 答：梯形的面积是40.5平方厘米。 【名师点拨】对于对角线互相垂直的四边形，其面积等于对角线的乘积除以2。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$