专题03 导数研究函数中的应用（知识归纳+分层小练）-2024-2025学年高二数学教学同步知识归纳与分层小练（人教A版2019选择性必修第二册）

03 导数在研究函数中的应用 一、知识填空： 1．函数的单调性与导数的关系 一般地，函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间具有如下的关系：在某个区间(a,b)上，如果 ，那么函数y＝ f(x)在区间(a,b)上单调递增；如果 ，那么函数y＝ f(x)在区间(a,b)上单调递减. 注：在某区间内f′(x)>0（f′(x)<0）是函数f(x)在此区间上单调递增(减)的充分不必要条件. 可导函数f(x)在(a,b)上单调递增(减)的充要条件是对∀x∈(a,b)，都有f′(x)≥0（f′(x)≤0）且f′(x)在(a,b)上的任何子区间内都不恒为零. 2．利用导数研究函数的极值 （1）极大值与极小值：在附近存在一个小区间，该区间内其他自变量所对应的函数值都 ，则称在处取得 ，点称为函数的 ；在附近存在一个小区间，该区间内其他自变量所对应的函数值都 ，则称在处取得极小值，点称为函数的 ； （2）定理：设是函数的驻点． ①若在点的左侧附近有 ，而在的右侧附近有 ，则函数在处取得 ； ②若在点的左侧附近有 ，而在的右侧附近有 ，则函数在处取得 . 3．利用导数研究函数的最值 （1）在闭区间上的连续函数，函数的最大值和最小值 ； （2）在导数存在的前提下，对于闭区间上的连续函数，将极值点处的函数值与区间端点处的 进行比较，其中最大的就是 ，最小的就是 ． 自检自纠： 1．f′(x)>0，f′(x)<0 2．（1）不大于，极大值，极大值点，不小于，极小值点 （2），，极大值，，，极小值 3． 一定存在，函数值，函数值，最大值，最小值 二、分层小练： A.基础训练 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象为（    ） A． B． C． D． 2．函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 3．函数在[－3，3]上的最大值、最小值分别是(    ) A．6，0 B．32，0 C．25，6 D．32，16 4．函数有（    ） A．极大值为5，无极小值 B．极小值为，无极大值 C．极大值为5，极小值为 D．极大值为5，极小值为 5．设函数，则（    ） A．在区间递减 B．在区间上递增 C．在点处有极大值 D．在区间上递减 6．若在处有极值，则（     ） A．0 B． C．1 D． 7．已知函数在处有极值2，则的极小值点为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数f(x)＝＋ln x，则有(　　) A．f(2)＜f(e)＜f(3) B．f(e)＜f(2)＜f(3) C．f(3)＜f(e)＜f(2) D．f(e)＜f(3)＜f(2) 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．设函数，则（    ） A．有两个极大值点 B．有两个极小值点 C．是的极大值点 D．是的极小值点 10．已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．为其定义域上的增函数 B．为偶函数 C．的图象与直线相切 D．有唯一的零点 11．已知是的导函数，且，则（    ） A． B． C．的图象在处的切线的斜率为0 D．在上的最小值为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．函数的极大值为 . 13．函数的值域为 ． 14．函数f(x)=(x2+2x)ex(x∈R)的单调递减区间为 ． B.提升强化 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．函数，的最大值是 A． B． C． D． 2．若函数，则函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 3．函数在处有极值10，则a，b的值为（    ） A．，，或， B．，，或， C．， D．， 4．已知函数在区间上单调递减，则实数的最小值为（    ） A． B． C．0 D． 5．已知函数的最小值为， 则 （    ） A． B． C．e D． 6．设，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数满足，且的导函数，则的解集为（    ） A． B．或 C． D． 8．已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．若是区间上的单调函数，则实数的值可以是（   ） A． B． C．3 D．4 10．已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．函数的极小值点为 C．函数无极大值 D．函数在上的最大值为 11．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设是函数的导函数，若，对，，且，总有，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．函数的极值点为，则的值为 . 13．若函数有三个单调区间，则实数a的取值范围是 ． 14．若函数有三个零点，则的取值范围是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 03 导数在研究函数中的应用 一、知识填空： 1．函数的单调性与导数的关系 一般地，函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间具有如下的关系：在某个区间(a,b)上，如果 ，那么函数y＝ f(x)在区间(a,b)上单调递增；如果 ，那么函数y＝ f(x)在区间(a,b)上单调递减. 注：在某区间内f′(x)>0（f′(x)<0）是函数f(x)在此区间上单调递增(减)的充分不必要条件. 可导函数f(x)在(a,b)上单调递增(减)的充要条件是对∀x∈(a,b)，都有f′(x)≥0（f′(x)≤0）且f′(x)在(a,b)上的任何子区间内都不恒为零. 2．利用导数研究函数的极值 （1）极大值与极小值：在附近存在一个小区间，该区间内其他自变量所对应的函数值都 ，则称在处取得 ，点称为函数的 ；在附近存在一个小区间，该区间内其他自变量所对应的函数值都 ，则称在处取得极小值，点称为函数的 ； （2）定理：设是函数的驻点． ①若在点的左侧附近有 ，而在的右侧附近有 ，则函数在处取得 ； ②若在点的左侧附近有 ，而在的右侧附近有 ，则函数在处取得 . 3．利用导数研究函数的最值 （1）在闭区间上的连续函数，函数的最大值和最小值 ； （2）在导数存在的前提下，对于闭区间上的连续函数，将极值点处的函数值与区间端点处的 进行比较，其中最大的就是 ，最小的就是 ． 自检自纠： 1．f′(x)>0，f′(x)<0 2．（1）不大于，极大值，极大值点，不小于，极小值点 （2），，极大值，，，极小值 3． 一定存在，函数值，函数值，最大值，最小值 二、分层小练： A.基础训练 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图可知，函数在上单调递减，所以在上恒成立，排除选项B和D；函数在上先递减后递增再递减，所以在上应为负、正、负的趋势，即选项A错误，C正确；故选：C． 2．函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得，由得，解得，因此函数的单调增区间是.故选：C. 3．函数在[－3，3]上的最大值、最小值分别是(    ) A．6，0 B．32，0 C．25，6 D．32，16 【答案】B 【详解】函数y求导得：，∴在上，，函数y单调递增； 在上，，函数y单调递减；在上，，函数y单调递增．又时， 时，时，时，∴函数y在[－3，3]上的最大值为32，最小值为0．故选：B． 4．函数有（    ） A．极大值为5，无极小值 B．极小值为，无极大值 C．极大值为5，极小值为 D．极大值为5，极小值为 【答案】A 【详解】,由，得，由，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以在时，取得极大值，无极小值.故选：A 5．设函数，则（    ） A．在区间递减 B．在区间上递增 C．在点处有极大值 D．在区间上递减 【答案】A 【详解】，令，解得，令，解得，所以函数在单调递减，单调递增，所以在区间递减，A正确；在区间递减，B错误；在点处有极小值，C错误；在区间递增，D错误；故选:A. 6．若在处有极值，则（     ） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【详解】由，可得，因为在处有极值，所以，解得，此时，，当时，；当时，，则在处取得极小值.故选：B. 7．已知函数在处有极值2，则的极小值点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由，得，因为函数在处有极值2，所以，即，解得，所以，则，由，得，解得或，因为当或时，，当时，，所以的极小值点为，故选：B 8．已知函数f(x)＝＋ln x，则有(　　) A．f(2)＜f(e)＜f(3) B．f(e)＜f(2)＜f(3) C．f(3)＜f(e)＜f(2) D．f(e)＜f(3)＜f(2) 【答案】A 【详解】因为在定义域上，，所以在上是增函数，所以有，故选A. 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．设函数，则（    ） A．有两个极大值点 B．有两个极小值点 C．是的极大值点 D．是的极小值点 【答案】BC 【详解】根据题意，可得，于是 x 1 0 0 0 极小值 极大值 极小值 因此函数有2个极小值点，以及1个极大值点．故选：BC 10．已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．为其定义域上的增函数 B．为偶函数 C．的图象与直线相切 D．有唯一的零点 【答案】B 【详解】由题意，的定义域为，则，所以为上的增函数，故A正确；，所以为奇函数，B错误；因为当时，解得：， 此时，所以斜率为0的切线为，当时，的在原点的切线方程为，所以C正确；为上的增函数，，所以有唯一的零点，D正确.故选：B 11．已知是的导函数，且，则（    ） A． B． C．的图象在处的切线的斜率为0 D．在上的最小值为 【答案】BCD 【详解】，， 对于B：令，则，故B正确； 对于A：，，，故A错误； 对于C：的图象在处的切线的斜率为，故C正确； 对于D：，当时，，单调递减，当时，，单调递增，在上的最小值为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．函数的极大值为 . 【答案】 【详解】令，则.所以当时，；当时，.所以当时，函数有极大值为.故答案为：. 13．函数的值域为 ． 【答案】[2,+∞） 【详解】的定义域为，,令得：,令得：. 所以函数在上单调递减,在上单调递增.所以时，函数取得极小值，也是最小值, 即.所以此函数值域为.故答案为： 14．函数f(x)=(x2+2x)ex(x∈R)的单调递减区间为 ． 【答案】 【详解】，由，即，解得，所以f(x)=(x2+2x)ex的单调递减区间为．故答案为： B.提升强化 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．函数，的最大值是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，易得当时，恒成立，所以在闭区间内单调递减，故当时，取最大值，即，故选A． 2．若函数，则函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数，定义域为，，令，解得，则函数的单调递减区间为.故选：C. 3．函数在处有极值10，则a，b的值为（    ） A．，，或， B．，，或， C．， D．， 【答案】C 【详解】因为，所以，由题意可得：，解得：或.当时，，在x=1的左右两侧正负相反，所以在处有极值，符合题意；当时，恒成立， 所以在处无极值，应舍去；故选：C 4．已知函数在区间上单调递减，则实数的最小值为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【详解】函数，则，函数在区间上单调递减，则在上恒成立，故，即在上恒成立，令，，则在上恒成立，故在上单调递增，故，故，故m的最小值为．故选：A． 5．已知函数的最小值为， 则 （    ） A． B． C．e D． 【答案】D 【详解】由，得， 当时，则，函数在上为减函数，函数无最小值，不合题意， 当时，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 时，函数有最小值，解得.故选：D. 6．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则，令，解得，根据函数的单调性，则当时，；当时，，可得在上单调递增，在上单调递减.而，，，因为，所以.故选：C. 7．已知函数满足，且的导函数，则的解集为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【详解】设，则函数的导函数，的导函数，，则函数单调递减，，，则不等式，等价为，即，则，即的解集为，故选：C. 8．已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得，，当时，，∴在单调递减，∴是函数的最小值，当时，为增函数，∴是函数的最小值，又∵，都，使得，可得在的最小值不小于在的最小值，即，解得，故选：A． 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．若是区间上的单调函数，则实数的值可以是（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】CD 【详解】由题意，， 令，解得，令，解得或，所以在上单调递减，在，上单调递减，若函数在区间上单调，则或或，解得或或，即或.故选：CD. 10．已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．函数的极小值点为 C．函数无极大值 D．函数在上的最大值为 【答案】BCD 【详解】因为，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以A错误，B正确，C正确；在上递减，在上递增，，，所以函数在上的最大值为，D正确.故选：BCD. 11．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设是函数的导函数，若，对，，且，总有，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】A选项，由得在R上单调递增，因为，所以，A正确； B选项，因为，，且，总有，所以函数图象上凸，画出函数图象，由几何意义可知，表示函数图象上的各点处的切线斜率，显然随着的增大，切线斜率变小，且恒为正，因为，所以，B正确； C选项，，结合函数图象可知，C错误，D正确.  故选：ABD 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．函数的极值点为，则的值为 . 【答案】 【详解】因为函数的极值点为，，所以，解得，此时，故当，，单调递增，当，，单调递减；所以是函数的极小值点.故答案为： 13．若函数有三个单调区间，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】，由于函数有三个单调区间，所以有两个不相等的实数根，所以.故答案为： 14．若函数有三个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】当时，，当时，单调递减；当时，单调递增，且，所以在上有两个零点，所以要使有三个零点，只需时，有1个零点，令，解得，令，解得，故的取值范围是．故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$