四川省成都市成华区某校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

高二数学半期 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若直线的一个方向向量是，则直线的倾斜角是（ ） A． B． C． D． 2．已知圆：，则圆心的坐标和半径分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为：，那么这组数据的上四分位数为（   ） A．37.5 B．38 C．39 D．40 4．如图，已知空间四边形OABC，其对角线OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且，现用向量，，表示向量， 设，则x，y，z的值分别为（   ） A． B． C． D． 5．已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点,则反射光线所在的直线方程为（ ） A． B． C． D． 7．设是一个随机试验中的两个事件，且，则（    ） A． B． C． D． 8．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则下列结论错误的是（    ） A．乙发生的概率为 B．丙的概率为 C．甲与丁相互独立 D．丙与丁互为对立事件 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知直线，则（    ） A．若，则或 B． 若，则 C．若不经过第二象限，则 D． 点到直线的最大距离为 10．关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若空间向量，，则在上的投影向量为 B．已知，，则点到直线的距离为 C．若对空间中任意一点有，则，，，四点共面 D．若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则 11．如图，棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，G为面对角线 上一个动点，则下列选项中正确的有（ ） A．三棱锥的体积为定值． B．无论点G在线段的什么位置，都有平面平面 C．线段存在G点，使平面平面． D．G为上靠近的四等分点时，直线与所成角最小 第II卷（非选择题） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知圆过，两点，且圆心在直线上，则圆的方程为___________. 13．如图，已知二面角的大小为，已知A，B两点在棱上， 线段，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于． 已知，，则的长度为________． 14．如图，经过边长为1的正方体的三个项点的平面截正方体得到一个 正三角形，将这个截面上方部分去掉，得到一个七面体，则这个七面 体内部能容纳的最大的球半径是 ． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分） 某中学举办科技文化节活动，报名参加数学史知识竞赛的同学需要通过两轮选拔.第一轮为笔试，若笔试不合格则不能进入下一轮选拔；若笔试合格，则进入第二轮现场面试.最终由面试合格者代表年级组参加全校的决赛，两轮选拔之间相互独立.现有甲、乙、丙三名学生报名参加本次知识竞赛，假设甲、乙、丙三名考生笔试合格的概率分别是，，，面试合格的概率分别是，，. (1)求甲、乙两位考生中有且只有一位学生获得决赛资格的概率； (2)求三人中至少有一人获得决赛资格的概率. 16．（本小题满分15分） 某高校承办了成都世乒赛志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三､四､五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. (1)求的值； (2)估计这100名候选者面试成绩的众数､平均数和分位数（分位数精确到0.1）； (3)在第四､第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率. 17．（本小题满分15分）已知直线经过点， (1)若点到直线的距离为，求直线的方程； (2)若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程. (3)直线与，轴的正半轴交于A，B两点，求的最小值． 18．（本小题满分17分） 如图，在四棱锥．中，底面为直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连接． (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值： (3)点为的四等分点（靠近），求直线与平面所成的角的余弦值． 19．（本小题满分17分） 如图，在四棱台中，底面是菱形，，，平面． (1)证明：； (2)若点在棱上，且平面，求线段的长； (3)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由． ( 4 )高二数学试题 第 页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二半期数学参考答案 一、单项选择题：DBCC ACDC 二、多项选择题：9．BD 10．AC 11．ABD 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．解：（1）设事件A表示“甲考生获得决赛资格”，设事件B表示“乙考生获得决赛资格”， 由题意可知事件A、B相互独立.因为两轮选拔之间相互独立， 所以，.………………………………………………4分 则甲、乙两位考生中有且只有一位学生获得决赛资格的概率为： 所以甲、乙两位考生中有且只有一位学生获得决赛资格的概率.……………………7分 （2）设事件C表示“丙考生获得决赛资格”，则.…………………………9分 因为事件“三人中至少有一人获得决赛资格”的对立事件是“三人都没有获得决赛资格” 所以三人中至少有一人获得决赛资格的概率为 …………………13分 16．（本小题满分15分） 解：（1）因为第三､四､五组的频率之和为0.7， 所以，解得，……………………………………2分 所以前两组的频率之和为，即，所以.…………4分 （2）众数为 平均数为， 前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75， 所以分位数在第三组，且为.………………………………8分 （3）第四､第五两组志愿者分别有20人，5人，采用分层抽样的方法从中抽取5人， 则第四组抽4人，记为，第五组抽1人，记为，……………………………10分 则从这5人中选出2人，有共10种结果，…………………………………………………………………………………12分 两人来自不同组有共4种结果，……………………………14分 所以两人来自不同组的概率为.………………………………………………15分 17．（本小题满分15分） 解：（1）当直线斜率不存在时，，此时点到直线的距离1，符合要求；…2分 当直线斜率存在时，设，即， 则有，解得，故； 综上所述，直线的方程为或；………………………………………………5分 （2）当直线在两坐标轴上截距都为0时，设直线的方程为，因为直线过点，所以，解得，此时直线的方程为…………………………………7分 当直线在两坐标轴上截距不为0时，由已知设直线的方程，因为直线过点，所以，此时直线的方程为 综上所述，直线的方程为或；………………………………10分 （3）如图，设，则，， 即， 由，则， 故当时，有.………15分 18．解：（1）因为，，，所以四边形为矩形， 在中，，，， 则，，， 又平面平面，平面，平面平面， 平面；……………………………………………………………………5分 （2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， ，，可得， 则，，，，， 设平面的法向量为，，， 由，令，则，即， 设平面的法向量为，， 由，令，则，，即， 则， 二面角的正弦值为； ……………………………11分 （3）由点为靠近点的的四等分点，故， 则， 又平面的法向量为， 故直线与平面所成的角的正弦值为： ， 即直线与平面所成的角的余弦值为.……………17分 19．（本小题满分17分） 解：（1）连接，因为为棱台，所以四点共面， 又因为四边形为菱形，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为，且平面， 所以平面，因为平面，所以；……………5分 （2）取中点，连接， 因为底面是菱形，且，所以是正三角形， 所以，即，由于平面，以为原点， 分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，， 则， 设，则，， ，， 设平面的法向量为， 则有，令，则，，即， 由平面，则，即有， 解得，即；…………………………………………………………………11分 （3）假设点存在，设点的坐标为，其中，可得， 设平面的法向量，则， 令，即，所以， 又由平面的法向量为，所以，解得， 由于二面角为锐角，则点在线段上，所以，即， 故棱上存在一点E，当时，二面角的余弦值为.…………17分 ( 4 )高二数学试题 第 页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$