小练3 勾股定理的逆定理-【小练大卷得高分】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（苏科版）

小练夫卷得高方数学八年级上册 小练3 勾股定理的逆定理 定议用时20分钟 答案D28 练重点 重点3勾股数 4.(中等)根据下列各组勾股数的规律解答后 重点①验证直角三角形 面的问题. 1.(2022·内蒙古包头自主招生，中等)在 3,4.55,12,137,24,259,40,41 a.b.c △ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c, 下列说法错误的是 () (1)当a=11时，求b,c的值. A.如果∠C-∠B=∠A,则△ABC是直角三 (2)判断21,220,221是否为一组勾股数？若 角形 是，请说明理由. B.如果c2=一a2,则△ABC是直角三角形 C.如果∠A：∠B:∠C=1:2:3,则△ABC 是直角三角形 D.如果a2+?≠c2,则△ABC不是直角三角形 重点2求面积和长度 2.(中等)如图，在△ABC 中，AB=10,AC=8,BC= 6,AC的垂直平分线交AB 于点D,交AC于点E,连接CD,则CD的长为 () A.3 B.4 C.4.8 D.5 3.(2022秋·苏州太仓市期末， 5.(较难)同学们都知道，凡是可 较难)如图，在△ABC中，ADI 以构成一个直角三角形三边的一 BC,垂足为D,BD=1,AD=2, 组正整数称之为“勾股数”，比如 CD=4. 3,4,5或11,60,61等 (1)求证：∠BAC=90° (1)请你写出另外两组勾股数：6， (2)P为BC上一点，连接AP.若△ABP为等 :7, 腰三角形，求BP的长 (2)清朝的扬州籍数学家罗士琳提出了四个构 造勾股数的法则，其中有两个法则如下： (1)如果k是大于1的奇数，那么，“2， 生是一组勾股数 （Ⅱ)如果是大于2的偶数，那么，（伶） 1,()+1是一组勾股数。 58 错题记录 概念与分析 粗心与计算 方法与策略 第3章勾股定理 ①如果在一组勾股数中，有一个数为12，根 练思维 据法则(I)求出另外两个数 ②请你任选一个法则证明它的正确性. 9.(难)如图，在Rt△ABC中， ∠ABC=90°，AB=20,BC=15, D为边AC上的动点，点D从点 C出发，沿边CA向点A运动，当 运动到，点A时停止.设点D运动的时间为ts, 速度为2个单位长度/s. (1)当1为何值时，△CBD是直角三角形？ 重点④勾股定理与网格图 (2)若△CBD是等腰三角形，求1的值 6.(较难)如图所示是一个正方 形网格，点A,B,C,D,E都在网 格线交点处，则∠BAC一∠DAE 的度数为 () A.45 B.40 C.30 D.25 7.(2022·内蒙古包头自主招 生，较难)在如图所示的方格中， 连接格点A,B与A,C,则∠1+ ∠2= 2 8.(2022·盐城滨海县模拟，较 难)如图所示是一个正方形网格 (点A,B,C,D,E是网格线交 点)，则∠BAC+∠CDE= 错题记录 概念与分析 粗心与计算 方法与策略 59∠CEA=∠BDC. △AEC与△CDB中，∠CAE=∠BCD,∴.△AEC≌△CDB DB=号AB=5. AC=CB. 3.(1D证明：，ADLBC,∴.∠ADB=∠ADC=90.°在Rt△ADB (AAS),.EC=DB.(2)解：，△AEC的三边长分别为a,b, 中，由勾股定理得AB=AD+BD=22+12=5.在 DB-C=a,CD-=AE-6AC-C=c…∴Ses=2(a+ R△ADC中，由勾股定理得AC=CD+AD=4十2：= 20.BC=CD+BD=5,.BC=25,.AC+AB=25= b(a+b)=之d+ah+2.:Snw=Sag十Sam十 BC,·△ABC是直角三角形，且∠BAC-90°.(2)解：由 (1)知，AB=5,BC=5.AB=/5.分三种情况：①当BP AB时，BP=AB=5:②当BP=AP时，P是BC的中点， a6叶2d+8=, ∴Bm=号C=25:圆当AP=AB时，BP=2BD=2.综上所 4.解：(1)根据题意，得AB=10m,BC=8m,由勾股定理得 述，BP的长为w5或2或2.5. AC=、10一8=6(m),当梯子的顶端下滑1m时，如图， 图思路分析(1)在R△ABD中利用勾股定理可求AB,同理 ∴.CB=7m,由勾股定理得A'C=10一7产=15I(m), 在Rt△ACD中利用勾股定理可求AC,而BC=CD+BD=5, .A4=A'C-AC=(、5I一6)m,∴.梯子的底端A向外滑 易求AC十AB=25=BC,从而可知△ABC是直角三角形： (2)分三种情况：O①当BP=AB时：②当BP=AP时：③当AP 动（√T一6）m(2)存在顶端下滑的距离与底端向外滑动AB时，分别求出BP的长即可. 的距离相等的情况.设梯子底端向外滑动xm,则(a一x)2+4.解：(1)由a=11,b十1=c,2一=a2,得(b十1)”一=(b十 (b+x)2=2,解得=a-b,z=0(舍)，∴x=a一b,即梯子 1+b)(b+1-b)=121,解得b=60,c=b+1=6L.(2)21, 底端向外滑动(a一b)m, 220,221是一组勾股数.理由如下：，221一220=(221+ 220)(221-220)=441,212=441,.2212-220=21°，.∴.21， 220,221是一一组勾股数. 置思路分析(1)观察各如勾股数可得+1=c,当a=11时，再 结合2-F=口即可求解：(2)只需求出2212-220，看结果是 否等于212即可求解. 5.解：根据题意，得OC=(OD=AD=BC,设OD=rcm,则AD= 5.(1)8102425(2)解：①根据法则(1)，则，1=12 2 xcm.:AB=2cm,∴.OE=OF=1cm,∴.DE=(x-1)cm 在R△DEA中，由勾股定理得DE十AE=AD,即(x 酸生-12k=5或长=V丽（不是奇数，合去， 1)2+102=x,解得x=50,5,.2x=101,即窗框CD的长为 :子十1一13，即另外两个数为5,13。②选择法则 101cm. 2 2 关键点拨根据题意可得OC=OD=AD=BC,再在 (I,证明如下：+(2)=发++2张- Rt△ADE中利用勾股定理列方程求解即可. 6.解：：∠ABC=90°，AB=9m,BC=12m,∴.AC= +2出少-（岁，是- 4 √AB+BC=/+12=15(m).,CD=17m,AD 组勾股数。 8m,.AD十AC=DC,.△ACD是直角三角形， 选择法则(D,证明如下：发+[（受）广-1了 ∠DAC=90,Sam=号AD·AC=号X8X15 +结+1号-能+号+1-（得+）-[()广+， 60(m).Sam=号AB·BC=号×9×12=54(m㎡)， k,(冬)广-1，（冬）广+1是一组勾股数 ∴.5mu形m=60+54=114(m2),.100X114=11400(元). 方法总结(1)要灵活应用勾股定理的逆定理：(2)利用法则 答：绿化这片空地共需花费11400元. (I)和法则（Ⅱ）可列出无数组勾股数。 题关锻点拨先证明△ADC为直角三角形，则空地的面积等于6.A解析：设每个小正方形的边长为1，如图，连接CG,AG 两个直角三角形的而积和 由勾股定理，得AC=A=12+2=5,CG=12+32=10, 小练3勾股定理的逆定理 ∴AC+AG=CG,∴.∠CAG=90°，∴.△CAG是等腰直角 三角形，.∠ACG=45.'CF∥AB,.∠ACF=∠BAC在 1.D解析：·∠C-∠B=∠A,∴.∠A+∠B=∠C,又，∠A+ CF-AD. ∠B+∠C=180°，则∠C=90°，∴.△ABC是直角三角形，枚 △CFG和△ADE中， ∠CFG=∠ADE=90°，.△CFG≌ A选项说法正确：2=序一a,,.a2十2=，.△ABC是 FG=DE. 直角三角形，且∠B=90°，故B选项说法正确：，'∠A: △ADE(SAS),.∠FG=∠DAE,.∠BAC-∠DAE ∠B:∠C=1:2:3,且∠A+∠B+∠C=180°，∠C= ∠ACF-∠FCG=∠ACG=45°. 90°，∴△ABC是直角三角形，故C选项说法正确：，a=3, b=5,0=4,3°+5≠4，但是32+4=5，△ABC可能是 直角三角形，故D选项说法错误 2.D解析：AB=10,AC=8,BC=6,∴.BC十AC=AB, ·△ABC是直角三角形.：DE是AC的垂直平分线， .DA=DC,.∠A=∠ACD.:∠A十∠B=∠ACD十7.45解析：设每个小正方形的边长为L如图，由勾股定理，得 ∠DCB=90,∴.∠B=∠DCB,.DC=DB,.DC=DA= AD=2+12=5,D=2+1=5,A=3+12=10,则 小练大卷得商分·数学·八年级上册答案 ·D28. AD十DE=AE.∴.△ADE为等腰直角三角形.且∠ADE= 平方向滑动了0.8m 90°，，∠DAE=45°，.∠GAD十∠EAF=∠GAF一∠DAE=2.B解析：设折断处离地面x尺.根据题意，得x2十4=(10一 90°-45=45°..'AB=AD,AG⊥BD..∠BAG=∠GAD. x)产，解得x=4.2.即竹子折断处离地面的高度为4.2尺 由平行线的性质可知，∠2=∠BAG,∴∠2=∠GAD.同理可国方法总结勾股定理是用代数关系式表达的一个几何图形的 得，∠1=∠EAF,∴.∠1+∠2=45 性质，它将代数和几何紧密联系起来，因此涉及含直角的三角形 计算问题，可设未知线段为，根据勾股定理列方程求解」 3.解：设水深x尺，则芦苇长(x十1)尺.由题意，得x十5 (x+1).解得x=12,∴x+1=13.答：水深12尺，芦苇长 13尺. 4.(3x)十102=(7x一10)解析：设经x个单位时间两人在C 处相海，AC=3x步，AB+BC=7x步，：AB=10步， 8.45°解析：如图，连接AD,设每个小正方形的边长为1. .BC=(7x一10)步，由勾股定理得(3x)+10=(7x-10). :AD=/3+1平=10，CD=+3=,10,AC= 5.解：(1)根据题意，得AB=302km,∠ABC=30°+15° /+2=20,∴.AD=CD,AD+CD=AC,.∠ADC 45,∠BAC=(90°-30)+45=105，.∠C=180°-∠ABC 90,即△ADC是等腰直角三角形，∠DAC=∠DCA=45 ∠BAC=180°-45-105°=30°.如图，过点A作AD⊥BC,垂 :AB∥DE,∴.∠BAC+∠DAC+∠ADC+∠CDE=180, 足为D.在R△ABD中，AD=BD,AD+BD=AB,.AD= ∴∠BAC+∠CDE=180°-90°-45=45 BD=30(km.在Rt△ADC中，∠C=30°.∴.AC=2AD=0km ∴.CD=、AC-AD=√60-30=30v3(km),∴.BC BD十CD=(30十30/3)km,,.辽宁号航母从A航行到C的 时间为60÷15=4(h),则长沙舰从B航行到C所用时间为 4一2=2(h).答：长沙舰从海港出发航行到达阅兵地点用了 2h.(2)长沙脱的速度为(30+303)÷2=(15+ 15√3)km/h答：长沙舰的航行速度为(15十155)kmh 9.解：(1)由题意，得CD=21.:∠ABC=90°，AB=20,BC 北 15,∴.AC=√AB+C=/20+1F=25.∴.AD=AC-CD 25-2.①当∠CDB=90时.Sr=号AC·BD=号AB·BC 西B 东 即号×25BD=专×20×15，解得BD=12.∴CD 南 6.解：如图，过点E作EF⊥AC于点F,MN⊥AB于点M,交 /BC-BD=V15-12=9..1=9÷2=4.5:@当 CD于点N.由题意，得AB=25m,CD=30m,AC=35m, ∠CBD=90时，此时点D和点A重合，1=25÷2=12.5.综 EF=10m,AB∥CD,AB⊥AC,CD⊥AC,BE=DE,'.MN 上所述，当1=4.5或12.5时，△CBD是直角三角形. CD,.四边形AMEF,四边形EFCN,四边形ACNM都是长 (2)①当CD=BC时，CD=15,∴.1=15÷2=7.5：②当CD= 方形，.∴.MN=AC=35m,BM=15m,DN=20m,EN BD时，∠C=∠DBC.:'∠C+∠A=∠DBC+∠DBA= (35-EM)m在Rt△EBM中，BE=BF+EF,在 90,∴∠A=∠DBA.BD=AD,CD=AD=2AC-=12.5, R△DEN中，DE=DN+EN,'.BF+EF=DN+ ,∴.1=12.5÷2=6.25：③当BD=BC时，如图，过点B作 EN2,.152+EF=202+(35-EM)2.解得EM=20m, BF⊥AC于点F,根据等腰三角形“三线合一”的性质可得 .BE=√15+20=25(m),∴.BE+DE=50m答：无人机 CF=DF,:CF=√BC-BF=9,∴.CD=2CF=9X2= 从点D到点E再到点B一共飞行了50m 18,1=18÷2=9.综上所述，1的值为6.25或7.5或9. 圈方法总结三角形一边上的高将三角形分成两个直角三角形， 专题八折叠与勾股定理 运用勾股定理解决问题 1.(1)35° 解析：：'把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与 小练4勾股定理的简单应用 △BDE重合，.∠ABD=∠A.:∠C=90°，∠CBD=20, 1.解：(1)AB=2.5m,BC=0.7m,.AC=√AB-B ∴∠ABD+∠A=180°-90°-20=70°.∴.∠A=70°÷2=35. /2.5一0.7下=2.4(m).答：这个梯子的顶端距地面有 (2)解：：△ADE与△BDE重合，∴.BD=AD.设BD= 2.4m(2)梯子底部在水平方向滑动了0.8m.理由如下： AD=x,则CD=AC-AD=8-x,在Rt△BCD中，由勾股定 在Rt△A'CB'中，A'C=AC-0.4=2.4-0.4=2(m),A'B'= 理得CD+BC=BD.∴(8-x)+6=,解得r=距， 2.5m..BC=√/AB-A=√2.5-2=1.5(m), ∴.BB=BC一BC=1.5一0.7=0.8(m).答：梯子底部在水 ∴AD的长为至。 (3)解：∠C=90°，△ABC的面积为 小练大卷得商分·数学·八年级上册答案 ·D29.