小练2 证明勾股定理-【小练大卷得高分】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（苏科版）

小练夫卷得高方数学八年级上册 小练2 证明勾股定理 审议用时28分钟 答案D27 练重点 重点2面积法证明勾股定理 3.(2023春·北京海淀区期中，中等)一等腰直 重点①赵爽弦图 角三角尺ABC按照如图所示的方式放置，直角 1.(较难)勾股定理是几何中的 顶点C在直线m上，分别过点A,B作AE⊥直 一个重要定理.在我国古算书《周 线m于点E,BD⊥直线m于点D, 髀算经》中就有“若勾三，股四，则 (1)求证：EC=DB. 弦五”的记载.如图1是由边长相 (2)设△AEC的三边长分别为a,b,c,请你利用 等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其 此图证明勾股定理。 面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入长 方形内得到的，∠BAC=90°，AB=3,AC=4, 点D,E,F,G,H,I都在长方形KLM)的边上， 则LM的长为 图1 图2 A.10 B.11 C.110 D.121 2.(2022·浙江杭州西湖区自主 招生，较难)如图，我国古代的“赵 爽弦图”是由四个全等的直角三 角形和一个小正方形密铺构成的 大正方形.若小正方形的面积为1，大正方形的 面积为13，则直角三角形较短的直角边a与较 长的直角边b的比号的值是 56 错题记录 概念与分析 粗心与计算 方法与策略 第3章勾股定理 重点目生活中的勾股定理 5.(较难)如图1，娜娜家的窗户 4.(2023·山东淄博张店区自主 是双扇对开型，早晨她推开窗户， 招生，较难)如图，一个梯子AB 两扇窗户从点O处分别旋转到，点 斜靠在一面墙上，梯子底端为A, A,B,当两扇窗户之间的距离AB 梯子的顶端B距地面的垂直距离 为2cm时，点A和点B到窗框CD的距离 为BC的长. AE-BF-10cm,如图2所示.求该窗框CD的长. (1)若梯子的长度是10m,梯子的顶端B距地 面的垂直距离为8m,如果梯子的顶端下滑 2 cm 1m,那么梯子的底端A向外滑动多少米？ (2)设AB=cm,BC=am,AC=bm,且a>b. 图1 图2 请思考，梯子在滑动的过程中，是否一定存 在顶端下滑的距离与底端向外滑动的距离 相等的情况？若存在，请求出这个距离：若 不存在，请说明理由. 练思维 6.(2023秋·镇江句容市期中， 备用图 难)在创建“全国文明城市”期间， 某小区在临街的拐角清理出了一 块可以绿化的空地，如图所示.经 技术人员测量，已知AB=9m,BC=12m, CD=17m,AD=8m,∠ABC=90°.若平均每 平方米空地的绿化费用为100元，试计算绿化 这片空地共需花费多少元 D 住宅 街 B 街道 错题记录 概念与分析 粗心与计算 方法与策略 57D B 恩关键点拨根据题目的已知条件并结合图形添加造当的辅助 线是解题的关键。 D 9.解：1)AB=AC.∠A=40.∴∠B=∠ACB=2(180 ∠A)=号×(180-40)=70.又：CDLAB..:∠DCB 90°-∠B=90°-70°-20°.(2)在R1△BCD中，由勾股定 理得BD=,BC-CD=√15一12=9.设AC=AB=x 图2 回思路分析方法一：作点A关于直线MC的对称点D,连接 则AD=x一9.，在Rt△ACD中，由勾股定理得AD十 DA.DM.DC.DN.则MD=MA,CD=CA=CB.△MDC≌ CD=AC,∴.(x一9)+122=x,解得x=12.5,即AC的长 △MAC,然后证明△DCN≌△BCN(SAS),再利用勾股定理即 为12.5. 可解决问题：方法二：将△CBV沿CN翻折得△CDN,则 10.解：(1)EF⊥AC.证明如下：如图，连接AE,CE.:∠BAD △DCN≌△BCV,然后证明△DCM2△ACM(SAS),再利用句 90°，E为BD的中点，.AE=DB.同理可得，CE 股定理即可解决问题， 2BD,AE=CE.又F是AC的中点，EF⊥AC 小练2证明勾股定理 1.B解析：如图，延长AB交KF于点O,延长AC交LM于点 (2),AC-16,BD=20,E,F分别是边BD,AC的中点， P,则四边形AO儿P是长方形.，∠CBF=90°，∴.∠ABC+ AE=CE=10,CF=8.由(1)知，EF⊥AC.在R△CFE ∠OBF=90°.又：∠ABC+∠ACB=90°，∴.∠OBF= 中，由勾股定理得EF-√CE一C=IO一8=6. ∠BAC=∠FOB, ∠ACB.在△ACB和△OBF中， ∠ACB=∠OBF, BC=FB. ,.△ACB≌△OBF(AAS),,.AC=OB.同理可证△ACB≌ △PGC,∴.PC=AB,.OA=AP,.长方形AOLP是正方 形，∴.AO=AB+OB=AB+AC=3+4=7,.LM=1,P+ PM-AO+AC-7+4-11. 11.证明：方法一：如图1，作点A关于直线MC的对称点D,连 接DA,DM,DC,DN,则MD=MA,CD=CA=CB,△MC △MAC,,△ABC是等腰直角三角形，CA=CB,且∠NM= 45,∴.∠CAB=∠B=45,∠DCN=∠DCM+∠MCA+ ∠ACN=∠DCM+45,∠BCV=∠BCA-∠NCA=90° (45-∠MCA)=45°+∠MCA=45+∠DM,.∠DCN= CD=CB, ∠BCN.在△DCN和△BCN中，∠DCN=∠BCN, CN-CN. 租关键点拨构造辅助线后，△ABC与△PCG是一个K型（一 ∴.△DCN≌△BCN(SAS),∴.ND=NB,∠CDN=∠B= 线三等角)的金等基本图形. 45.:△MIC≌△MAC,∴.∠CDM=∠CAM=180°- ∠CAB=180°-45=135，∴.∠MDN=∠MDC-∠NDC= 2.号解析：设大正方形的边长为c,则2=13，∴d+: 135-45=90°.∴.MD⊥DN.MD=MA.∴.MN=Df+ DN=AM+BN,方法二：如图2，将△CBN沿CN翻 C=13.每个直角三角形的面积是8=3∴6=3. 4 折得△CDN,连接DM,则△DCN≌△BCN,∴.CD=CB= ∴.ah=6,.(a+b)2=a2++2ab=2+2ab=13+2X6= CA,DN=BN,∠CDN=∠B=45,∠DCV=∠BCN. 13+12=25,.a+h=5.,小正方形的面积为(b-a)2=1, :∠NCM=45,.∠ICM=∠IDCN-∠NCM=∠BCN- 45=90°-∠ACN-45°=45°-∠.ACN=∠ACM.在 6-a=16=8=2∴号-景 (CD=CA. 圈思路分析根据勾股定理可以求得十伊等于大正方形的面 △DCM和△ACM中.{∠DCM=∠ACM,.△DCM2 积，然后求每个直角三角形的面积，即可得到b的值，然后根据 CM=CM. (a+)2=d2十2ab十F即可求得(a十b)的值，再根据小正方形 △ACM(SAS),.MD=MA,∠CDM=∠CAM=180°- 的面积即可求得(h一a)的值，从而求出答案， ∠CAB=180°-45°=135°，∴∠MDN=∠CDM-∠NDC=3.(1)证明：：∠ACB=∠AEC=∠BDC=90°.∴.∠ACE+ 135°-45=90°，∴.MN2=DM+DN=Af+BN. ∠BCD=∠ACE+∠CAE=90°，∴.∠CAE=∠BCD.在 小练大卷得商分·数学·八年级上册答案 ·D27. ∠CEA=∠BDC. △AEC与△CDB中，∠CAE=∠BCD,∴.△AEC≌△CDB DB=号AB=5. AC=CB. 3.(1D证明：，ADLBC,∴.∠ADB=∠ADC=90.°在Rt△ADB (AAS),.EC=DB.(2)解：，△AEC的三边长分别为a,b, 中，由勾股定理得AB=AD+BD=22+12=5.在 DB-C=a,CD-=AE-6AC-C=c…∴Ses=2(a+ R△ADC中，由勾股定理得AC=CD+AD=4十2：= 20.BC=CD+BD=5,.BC=25,.AC+AB=25= b(a+b)=之d+ah+2.:Snw=Sag十Sam十 BC,·△ABC是直角三角形，且∠BAC-90°.(2)解：由 (1)知，AB=5,BC=5.AB=/5.分三种情况：①当BP AB时，BP=AB=5:②当BP=AP时，P是BC的中点， a6叶2d+8=, ∴Bm=号C=25:圆当AP=AB时，BP=2BD=2.综上所 4.解：(1)根据题意，得AB=10m,BC=8m,由勾股定理得 述，BP的长为w5或2或2.5. AC=、10一8=6(m),当梯子的顶端下滑1m时，如图， 图思路分析(1)在R△ABD中利用勾股定理可求AB,同理 ∴.CB=7m,由勾股定理得A'C=10一7产=15I(m), 在Rt△ACD中利用勾股定理可求AC,而BC=CD+BD=5, .A4=A'C-AC=(、5I一6)m,∴.梯子的底端A向外滑 易求AC十AB=25=BC,从而可知△ABC是直角三角形： (2)分三种情况：O①当BP=AB时：②当BP=AP时：③当AP 动（√T一6）m(2)存在顶端下滑的距离与底端向外滑动AB时，分别求出BP的长即可. 的距离相等的情况.设梯子底端向外滑动xm,则(a一x)2+4.解：(1)由a=11,b十1=c,2一=a2,得(b十1)”一=(b十 (b+x)2=2,解得=a-b,z=0(舍)，∴x=a一b,即梯子 1+b)(b+1-b)=121,解得b=60,c=b+1=6L.(2)21, 底端向外滑动(a一b)m, 220,221是一组勾股数.理由如下：，221一220=(221+ 220)(221-220)=441,212=441,.2212-220=21°，.∴.21， 220,221是一一组勾股数. 置思路分析(1)观察各如勾股数可得+1=c,当a=11时，再 结合2-F=口即可求解：(2)只需求出2212-220，看结果是 否等于212即可求解. 5.解：根据题意，得OC=(OD=AD=BC,设OD=rcm,则AD= 5.(1)8102425(2)解：①根据法则(1)，则，1=12 2 xcm.:AB=2cm,∴.OE=OF=1cm,∴.DE=(x-1)cm 在R△DEA中，由勾股定理得DE十AE=AD,即(x 酸生-12k=5或长=V丽（不是奇数，合去， 1)2+102=x,解得x=50,5,.2x=101,即窗框CD的长为 :子十1一13，即另外两个数为5,13。②选择法则 101cm. 2 2 关键点拨根据题意可得OC=OD=AD=BC,再在 (I,证明如下：+(2)=发++2张- Rt△ADE中利用勾股定理列方程求解即可. 6.解：：∠ABC=90°，AB=9m,BC=12m,∴.AC= +2出少-（岁，是- 4 √AB+BC=/+12=15(m).,CD=17m,AD 组勾股数。 8m,.AD十AC=DC,.△ACD是直角三角形， 选择法则(D,证明如下：发+[（受）广-1了 ∠DAC=90,Sam=号AD·AC=号X8X15 +结+1号-能+号+1-（得+）-[()广+， 60(m).Sam=号AB·BC=号×9×12=54(m㎡)， k,(冬)广-1，（冬）广+1是一组勾股数 ∴.5mu形m=60+54=114(m2),.100X114=11400(元). 方法总结(1)要灵活应用勾股定理的逆定理：(2)利用法则 答：绿化这片空地共需花费11400元. (I)和法则（Ⅱ）可列出无数组勾股数。 题关锻点拨先证明△ADC为直角三角形，则空地的面积等于6.A解析：设每个小正方形的边长为1，如图，连接CG,AG 两个直角三角形的而积和 由勾股定理，得AC=A=12+2=5,CG=12+32=10, 小练3勾股定理的逆定理 ∴AC+AG=CG,∴.∠CAG=90°，∴.△CAG是等腰直角 三角形，.∠ACG=45.'CF∥AB,.∠ACF=∠BAC在 1.D解析：·∠C-∠B=∠A,∴.∠A+∠B=∠C,又，∠A+ CF-AD. ∠B+∠C=180°，则∠C=90°，∴.△ABC是直角三角形，枚 △CFG和△ADE中， ∠CFG=∠ADE=90°，.△CFG≌ A选项说法正确：2=序一a,,.a2十2=，.△ABC是 FG=DE. 直角三角形，且∠B=90°，故B选项说法正确：，'∠A: △ADE(SAS),.∠FG=∠DAE,.∠BAC-∠DAE ∠B:∠C=1:2:3,且∠A+∠B+∠C=180°，∠C= ∠ACF-∠FCG=∠ACG=45°. 90°，∴△ABC是直角三角形，故C选项说法正确：，a=3, b=5,0=4,3°+5≠4，但是32+4=5，△ABC可能是 直角三角形，故D选项说法错误 2.D解析：AB=10,AC=8,BC=6,∴.BC十AC=AB, ·△ABC是直角三角形.：DE是AC的垂直平分线， .DA=DC,.∠A=∠ACD.:∠A十∠B=∠ACD十7.45解析：设每个小正方形的边长为L如图，由勾股定理，得 ∠DCB=90,∴.∠B=∠DCB,.DC=DB,.DC=DA= AD=2+12=5,D=2+1=5,A=3+12=10,则 小练大卷得商分·数学·八年级上册答案 ·D28.