小练1 勾股定理-【小练大卷得高分】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（苏科版）

:∠MDN=60°，∠BDC=120°，同理(2)可得∠MDN=恩关键点拨根据勾股定理得到AC+BC=AB,再结合半国 ∠MDN=60°，∴.△MDN2△MDN(SAS),.MN=MN.的而积公式，完全平方公式计算即可， .NC-CM=M N..'NC-BM=MN. 5.A解析：，OA1=A1A=A:Aa=…=AAa=1,.由勾股 定理可得，OA=/1+1下=2，OA=1(2)+1= 3,,.01=m.0As=8=22. @关键点拨根据勾股定理找到OA。=V万的规律是解题的 关键. 6.C解析：如图，延长AD,BC交于点E.:∠A=90°， ∠ABC=30°，∴∠E=90°-∠ABC=60°.∠DCB=90°， ∴.∠D=180-∠DCB=90.∴.∠EDC=90°-∠E=30°， 图1 图2 CE=号DE.在R△DCE中，由勾股定理得CD 目思路分析(I)先证明△MDN是等边三角形，则MN=DM= DN,再证明Rt△DBM≌Rt△DCN,得BM=CV,∠BDM= VDE-CE=√DE-(2DE)-号DE,又：CD ∠CDN=30°，从而得DM=2BM,可得结论MN=2BM=BM十 23,.DE=4.∴.CE=2.,AD=2,.AE=AD+DE=2+ NC,利用等量代换得△AMN的周长Q=AM+AN十MN 4=6,..BE=2AE=2×6=12..BC=BE-CE=12-2 AM+BM+CN+AN=AB+AC,从而得出是的值：(2)知图1， 10.在R1△BCD中，由勾股定理得BD=√CD+BC 作辅助线，构造三角形全等，证明△DBM≌△DCM(SAS),从 /(23)2+102=47. 而得到DM=DM,∠BDM=∠CDM,再证明△MDN≌ △MDN(SAS),从而得到MN=NM,最后可得结论MN= BM+CN.是的值的计算方法与第(1)题相同：(3)解题思路与 第(2)题相同，作辅助线构造全等三角形证明即可. 第3章勾股定理 小练1勾股定理 阁思路分析根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助 1.A解析：设AC=a,BC=b,由题意，得a+b=6,a2+= 线是解题的关键.延长AD,BC交于点E,先利用直角三角形的 20,∠BCD=90.,a2+=(a+b)2-2ab.,20=6-2ab, 两个锐角互余可得∠E=60°，再利用平角定义可得∠ECD ∴ab=8,∴S%m=2ab=号×8=4 90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠EDC=30°，然 后在R1△EDC中，利用含30角的直角三角形的性质及勾股定 2.A解析：在R:△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理，得 理可得CE=2,DE=4,再在Rt△AEB中，利用含30°角的直角 AC+BC=AB=152=225,∴.正方形ADEC与正方形三角形的性质可得BE=12,从而求出BC的长，最后在 BCFG的面积和为AC+BC=225. Rt△BCD中，利用勾股定理进行计算即可解答. @关键点拨以直角三角形两条直角边的长为边长作正方形，这7.C解析：如图，过点A作AE⊥C,垂足为E.由等腰三角形 两个正方形的面积和等于斜边长的平方. 的性质可知，AB=AC,BE=EC..PB·PC=(BE+ 36解析：由题意，得S=x·()=日x·A5,S EP)(EC-EP)=(BE+EP)(BE一EP)=BE一EP.由勾 股定理可知，BE=AB一AE,AE十EP严=AP严，∴PB· ()=·B0,=x…(罗)'=x PC=AB-AE-EP AB-(AE EP)=AB- AP=5一3=16此时点P恰好与点E重合，为BC的中点. CD.5-x·(9)-名x…AD,s+S- 8 AB+名x·Ce=名x·(AB+0),S-S=gx· CD-8x·AD=8元·(CD-AD.:∠ABC=∠CD 90,∴A+BC=AC,CD一AD=AC,.AB+BC=圆关键点拨将PB·PC变形是解题的关能. CD-AD,日x·A话+)=日(CD-AD).即S+8 解析：如图，过点F作FH⊥AB于点H,则∠FHD= S=S8-S.S=6,S=4,S=16∴.6+4=16-S..S=6 90°=∠A.,△DEF为等腰直角三角形，∴·∠FDE=∠A= 冒思路分析先根据半國的面积公式将S,S2,S,S,分别用含 ∠FHD=9O°，DE=DF,EF=√2DF,∴.∠DFH+∠HDF= AB,BC,CD,AD的式子表示，再根据句股定理得出等式AB十 90°=∠ADE+∠HDF,.∠ADE=∠DFH,.△ADE≌ BC=CD-AD,再转化为S+S=S一S:,即可求出结采. △HFD(AAS),.HF=AD,HD=AE=2.,在R△ABC +.A解析：由勾股定理，得AC十BC=AB,,S十S=7, 中，AB=AC,.∠B=45.,HF⊥AB,,.△BHF是等腰直 x·(S)+x·(竖)+号AC·B-号 角三角形，.BH=HF=AD.:AB=AC=3,.BH+DH+ ()1.AC BC-14.AB- AD=3.:AD=HF=.:DF =/DFTHF= /(AC+BC)-2AC·BC=/8-2X14=6. V什于=四F-DF= 2 小练大卷得商分·数学·八年级上册答案 ·D26· D B 恩关键点拨根据题目的已知条件并结合图形添加造当的辅助 线是解题的关键。 D 9.解：1)AB=AC.∠A=40.∴∠B=∠ACB=2(180 ∠A)=号×(180-40)=70.又：CDLAB..:∠DCB 90°-∠B=90°-70°-20°.(2)在R1△BCD中，由勾股定 理得BD=,BC-CD=√15一12=9.设AC=AB=x 图2 回思路分析方法一：作点A关于直线MC的对称点D,连接 则AD=x一9.，在Rt△ACD中，由勾股定理得AD十 DA.DM.DC.DN.则MD=MA,CD=CA=CB.△MDC≌ CD=AC,∴.(x一9)+122=x,解得x=12.5,即AC的长 △MAC,然后证明△DCN≌△BCN(SAS),再利用勾股定理即 为12.5. 可解决问题：方法二：将△CBV沿CN翻折得△CDN,则 10.解：(1)EF⊥AC.证明如下：如图，连接AE,CE.:∠BAD △DCN≌△BCV,然后证明△DCM2△ACM(SAS),再利用句 90°，E为BD的中点，.AE=DB.同理可得，CE 股定理即可解决问题， 2BD,AE=CE.又F是AC的中点，EF⊥AC 小练2证明勾股定理 1.B解析：如图，延长AB交KF于点O,延长AC交LM于点 (2),AC-16,BD=20,E,F分别是边BD,AC的中点， P,则四边形AO儿P是长方形.，∠CBF=90°，∴.∠ABC+ AE=CE=10,CF=8.由(1)知，EF⊥AC.在R△CFE ∠OBF=90°.又：∠ABC+∠ACB=90°，∴.∠OBF= 中，由勾股定理得EF-√CE一C=IO一8=6. ∠BAC=∠FOB, ∠ACB.在△ACB和△OBF中， ∠ACB=∠OBF, BC=FB. ,.△ACB≌△OBF(AAS),,.AC=OB.同理可证△ACB≌ △PGC,∴.PC=AB,.OA=AP,.长方形AOLP是正方 形，∴.AO=AB+OB=AB+AC=3+4=7,.LM=1,P+ PM-AO+AC-7+4-11. 11.证明：方法一：如图1，作点A关于直线MC的对称点D,连 接DA,DM,DC,DN,则MD=MA,CD=CA=CB,△MC △MAC,,△ABC是等腰直角三角形，CA=CB,且∠NM= 45,∴.∠CAB=∠B=45,∠DCN=∠DCM+∠MCA+ ∠ACN=∠DCM+45,∠BCV=∠BCA-∠NCA=90° (45-∠MCA)=45°+∠MCA=45+∠DM,.∠DCN= CD=CB, ∠BCN.在△DCN和△BCN中，∠DCN=∠BCN, CN-CN. 租关键点拨构造辅助线后，△ABC与△PCG是一个K型（一 ∴.△DCN≌△BCN(SAS),∴.ND=NB,∠CDN=∠B= 线三等角)的金等基本图形. 45.:△MIC≌△MAC,∴.∠CDM=∠CAM=180°- ∠CAB=180°-45=135，∴.∠MDN=∠MDC-∠NDC= 2.号解析：设大正方形的边长为c,则2=13，∴d+: 135-45=90°.∴.MD⊥DN.MD=MA.∴.MN=Df+ DN=AM+BN,方法二：如图2，将△CBN沿CN翻 C=13.每个直角三角形的面积是8=3∴6=3. 4 折得△CDN,连接DM,则△DCN≌△BCN,∴.CD=CB= ∴.ah=6,.(a+b)2=a2++2ab=2+2ab=13+2X6= CA,DN=BN,∠CDN=∠B=45,∠DCV=∠BCN. 13+12=25,.a+h=5.,小正方形的面积为(b-a)2=1, :∠NCM=45,.∠ICM=∠IDCN-∠NCM=∠BCN- 45=90°-∠ACN-45°=45°-∠.ACN=∠ACM.在 6-a=16=8=2∴号-景 (CD=CA. 圈思路分析根据勾股定理可以求得十伊等于大正方形的面 △DCM和△ACM中.{∠DCM=∠ACM,.△DCM2 积，然后求每个直角三角形的面积，即可得到b的值，然后根据 CM=CM. (a+)2=d2十2ab十F即可求得(a十b)的值，再根据小正方形 △ACM(SAS),.MD=MA,∠CDM=∠CAM=180°- 的面积即可求得(h一a)的值，从而求出答案， ∠CAB=180°-45°=135°，∴∠MDN=∠CDM-∠NDC=3.(1)证明：：∠ACB=∠AEC=∠BDC=90°.∴.∠ACE+ 135°-45=90°，∴.MN2=DM+DN=Af+BN. ∠BCD=∠ACE+∠CAE=90°，∴.∠CAE=∠BCD.在 小练大卷得商分·数学·八年级上册答案 ·D27.第3章 勾股定理 小练1 勾股定理 25分钟 建议用时 答案 D26 练重点/ 4.(2022·内蒙古包头自主招生,中等)如图; 阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个 重点求图形面积 半圆所组成的两个新月形,已知S.十S。=7,且 1.(2023春·四川凉山州期末,中等)如图,C AC+BC一8,则AB的长为 ( ) 是线段AB.上的一点,分别以AC,BC为边向两 A.6 B. 2V23 侧作正方形,记两个正方形的面积分别为S C. 5V2 D. 78 S.若AB-6.S+S-20,则图中△BCD的面 ) 重点2求边长 积为 ( A.4 B.6 D.10 C.8 5.(2022·内蒙古包头自主招生,中等)图1是 第七届国际数学教育大会(ICME-7)的会徽图 案,它是由一串有公共顶点O的直角三角形演 化而成的(如图2所示).如果图2中的OA AA=AA =..=AA=1,那么OA的长为 - -G _ 第1题图 第2题图 ) 2.(2023秋·山东滨州期末,中等)如图,在 ## Rt△ABC中,ACB-90*}若AB=15,则正方 形ADEC与正方形BCFG的面积和为( ~_ ICM-7 B. 200 图1 A. 225 图2 C. 150 D. 无法计算 A. 2/2 B. 3 3.(2022秋·苏州相城区月考. C. v10 D. v1T 较难)如图,在Rt△ABC中,以 6. (2022·湖北武汉洪山区自主 AC为直角边向外作Rt△ACD. 招生:难)如图,在四边形ABCD ABC=/CAD=90{,分别以 中,A=/C=90*,ABC= AB,BC,CD,DA为直径向外作半圆,面积分别 30* AD-2,CD-2 ③,则BD的 记为S,S.S.S.已知S=6.S=4.S=16 长为 ) 则S一 C $. D 83 B.439 C.47 A. D. 4/8 第4题图 第3题图 3 ) 概念与分析 粗心与计算 错题记录 方法与策略 第3章 勾股定理 7.(较难)在等腰三角形ABC 10.(2023秋·宿迁述阳县期末, 中,AB=AC=5,P为BC上一 较难)如图,在四边形ABCD中. 点,PA=3,则PB·PC的值为 BAD-90$*$DCB=90*$E$F 分别是BD,AC的中点 A.9 B. 12 C.16 D. 25 (1)请你猜想EF与AC的位置关系,并给予 8.(2023·南京秦淮区自主招 证明. 生,较难)如图,在RtABC中. (2)当AC=16,BD-20时,求EF的长. $$A$B$-AC-3$ A-9 $0{*,AE- $ 八DEF为等腰直角三角形,则 EF的长为 9.(2022春·无锡锡山区期末,中等)如图,在 等腰三角形ABC中,AB=AC,CD |AB于 点D. 练思维 (1)若 A一40{},求/DCB的度数。 (2)若BC=15,CD=12,求AC的长 11.(难)如图,八ABC是等腰直 角三角形,CA一CB,点N在线段 AB上(与点A,B不重合),点M 在射线BA上,且/NCM-45*。 求证,MN-AM+BN② 粗心与计算 错题记录 概念与分析 方法与策略