小练9 等腰三角形的性质-【小练大卷得高分】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（苏科版）

第2章 轴对称图形 小练9 等腰三角形的性质 25分钟 建议用时 D17 练重点 (3)若将条件“BAC=120””改为“BAC a”,其他条件与(2)相同,则DAE的度数 重点等边对等角 为 1.(2022·南京自主招生,较难) 如图,在△ABC中,AB-AC,AD AE. BAD=40{*},则 EDC的 度数为 C A. 20* B.40* C. 60” D. 80* 2.(广东广州海珠区自主招生, 难)如图,AOB是一钢架:且 /AOB-10{},为了使钢架更加牢 固,需在其内部添加一些钢管PP,PP。 重点2 与等腰三角形有关的求角度 P.P。,......且添加的钢管长度都与OP相等,最 4.(湖北武汉江夏区自主招生; 多能添加这样的钢管 根。 较难)如图,在△ABC中,AB三 AC.D.E分别为AB,AC上的 点, BDE,CED的平分线分别交边BC所 3.(较难)如图,在△ABC中, 在直线于点F,G,EG/AB.若 BGE=100^$*;$ 。 则 ADE的度数为 ) BAC=120{*},AB-AC.点D在 BC上,且BD=BA,点E在BC 的延长线上,且CE一CA (1)试求/DAE的度数 A. 18* (2)若将条件“AB一AC”去掉,其余条件不变, B.20{ C. 250 试求 DAE的度数. D. 30* 错题记录 概念与分析 粗心与计算 方法与策略 小练大卷得高分 数学八年级上册 5.(2022秋·无锡锡山区期中. 6.(难)在△ABC中,B=C 难)在△ABC中,点D在边BC 点D在边BC上(不与点B,C重 上,点E在边BC的延长线上,且 合),点E在边AC上,且4 BD-BA.CE-CA AED. (1)如图1,若 BAC=90{*$B=45^{*,试求 (1)如图1,B- C-45*。 DAE的度数 ①若 1-60时,求2的度数 (2)若 BAC-90*,B=60{*},则 DAE的度 ②试猜想 1与 2的数量关系,并给出 数为 证明. (直接写出结果). (3)如图2,若 BAC90{}其余条件不变,探究 (2)如图2,若 /B=C.但 C关45{*,其他条件 DAE与 BAC之间的数量关系 不变,试探究/1与/2的数量关系(要求有 简单的推理过程) 图1 图2 图1 图2 40 概念与分析 粗心与计算 错题记录 方法与策略 第2章 轴对称图形 重点图三线合一 练思维 7.(2023·陕西西安碑林区自主 9.(2023春·辽宁丹东期末,较 招生,较难)如图,BP是ABC 难)在△ABC和△DCE中,CA= 的平分线,AP BP于点P,连接 CB.CD-CE,CAB=/CED-。 PC.若ABC的面积为2cm{②},则△PBC的面 (1)如图1,将AD,EB延长,延长线相交于 积为 ) 点O. ①求证:BE一AD ②用含a的式子表示 AOB的度数(直接 写出结果). A. 0.8cm} B. 1 cm^{} (2)如图2,当a=45*时,连接BD,AE,过点C C. 1.2cm D. 不能确定 作CM IAE于点M,延长MC与BD交于 8.(较难)如图,D是△ABC内一 点N.求证:N是BD的中点 点,且满足BD=CD,/ABD ACD. ### (1)求证:AB-AC (2)求证:AD|BC 图1 图2 粗心与计算 错题记录 概念与分析 方法与策略BE-AB又'AC-AB'.BE-AC.'.AC-AF,即点 2. 8 解析;·添加的钢管长度都与OP相等,乙AOB-10{。 $. PPP=PPP=20PPPPPP-30 ,.... F与点C重合.又.DF1AC...CDAC 从图中我们会发现有好几个等腰三角形,即第一个等腰三角 形的底角是10{},第二个等腰三角形的底角是20{,第三个等 腰三角形的底角是30{,第四个等腰三角形的底角是40{,第 五个等腰三角形的底角是50{,第六个等腰三角形的底角是 60{,第七个等腰三角形的底角是70{},第八个等腰三角形的 底角是80{},第九个等腰三角形的底角是90{就不存在了, '.最多可以添加8根这样的钢管. 思路分析过点D作DE |AB于点E,DF AC于点F,则 3. 解:(1)'AB-AC.BAC-120。.'B= ACB=30 DEB- DFA-90”,由角平分线的性质得出DE=DF,由 ·BA=BD. BAD= ADB=75 DAC= BAC- HL证明Rt△BDE2RtADF得出BE-AF,由等腰三角形的 BAD=45又.CA=CE..'E=CAE=15* . DAE=DAC+CAE=60{(2)设 B=x 性质得出AE-BE-AB,证出BE-AC,得出AC-AF,即点 .BA-BD. BADADB-180B-(90-)”: F与点C重合,即可得出结论. 2 9. 解:(1)BD/MF.证明如下;如图1.过点D作DHIBC于 “'BAC=120*$ACB-180{-B-BAC-(60- 点H..BHD=90{*BAD..BD平分 BAC. )”. DAC-乙ADB-/ACB-(30+)”.又:CA- [BAD- BHD. ABD- HBD .ABD=CBD在△ABD和△HBD中. CF.'. F= CAE-(30-)":.DAE= DAC十 BD-BD. '.△ABD△HBD(AAS)...ADB=HDB,..ADB CAE=60”(3)(。)*解析:设 B=^”·'BA=BD. 乙ADH.又'ME BC.'.ME//DH.乙AME- ADH. '. BAD- ADB-(so-)",ACB-(180-x-a)”, 由题意可知,MF平分乙AME,即 AMF-乙AME. '. DAC= ADB-ACB=(-90+x+a)又'CA . ADB- AMF..'.BD/MF. (2)BD 1 MF.证明如 下:如图2.延长MF交BD于点H.' BAC-90”,ME B$C.'BAM= BEM=90{.AOM=BOE$ AOM+CME+BAM-BOE+ABC+BEM DAC+CAE-() 180*.乙ABC-CME.由题意可知,乙AMF-CME, 关键点拨 多次利用外角的性质得到角之间的关系是正确解 ABD-乙ABC.AMF- ABD.又':AFM- 答本题的关键. 4. B 解析:':FG/AB BGE-100{。* B-180{-BGE$ BFH.AFM十 AMF+ BAM= BFH十 ABD+ 80 CEG= A.GED= ADE.:AB=AC...ACB B$HM-180{ /BHM-BAM-90{ .'$MF|BD. B-80” A-180*-B- ACB=20”'CEG= A= (3)如图3所示.MF1BD.证明方法同(2). 2 0{.又:EG平分CED,.GED=CEG=2 0{。$ . ADE- GED=20"。 5.(1解:' BAC-90”, B-45{'ACB-45”·CE= CA. CAE=E:ACB=CAE+E=45 '. E-22.5”·BD=BA ADB-(180*-45°) 67.5* 'DAE- ADB-E-67.5*-22.5*-45^$。 图1 图2 ($)45^*}解析:' BAC-90B-60$.' ACB=30{}$$$ .CE=AC..CAE=E.ACB=CAE十E= 30* E-15”.'BD=BA.'.乙ADB-x(180*-60°)= $ 0 . $ DAE- ADB-E-60*-15{-45*$(3)解:设 BAC=, B=ACB=180*--:CE=AC *CAF-E'ACB-CAE+E-180*-a-. 图3 小练9 等腰三角形的性质 )90-9 . DAE- ADB- EF-90--B 1. A 解析:设 EDC=x,B= C=,则 AED=EDC+$ C=(r十y).又*:AD-AE.ADE= AED=(r十 (9*--a)-. DAF- BAC. y)..ADC=ADE十EDC-(2r+y)又ADC= B+BAD-(y+40)*,2x+y-y+40,解得x-20. 思路分析 先根据三角形内角和定理求出 ACB和 ADB ..EDC的度数是20{。 的度数,再根据三角形的外角性质和等腰三角形“等边对等角' 关键点拨根据等腰三角形的性质正确确定相等关系列出方 的性质求出 E的度数,最后再根据三角形的外角性质求出 程是解题的关键 DAE的度数. 小练大卷得高分·数学·八年级上册答案 .D17. 6. 解:(1)①.B-C-45.BAC=90”:ADC是 *.BN-DN,即N是BD的中点. ABD的外角, ADC=1+B=60{+45{*=105^°$$$ $DAE= $BAC- 1=90-6 60{-30{ '$AED= 4= 7 .'2- AD[C-4=105^*-75*=30 $ ②1一 22.证明如下;.ADC是ABD的外角,.ADC 1+45·DAE-90*-1..乙AED=4-(180 * 90*+ 1)-45*+11.2-ADC- 4=1+45^- 小练10 等腰三角形的判定与等边三角形 (45 +1)-1,即 1-22(2)B-C 1. D 解析:如图,延长CB到点E,使BE一CD.连接AE '. ABE+ ABC-180.'BAD=BCD=90'D “DAE-180*-B-C-1-180*-2C-. ABC-180*.. D=ABE.·AD-AB,BE-DC ADC= 1+ B= 1+ C又:' 4- AED= 2+ '.△ABE△ADC(SAS)...EAB=CAD,AE=AC C= ADC-22+C=1C-2.1 Sr=S.CAB+ EAB-CAB+CAD=90 2/2. 即EAC-90”,.'.△EAC是等腰直角三角形,',Sgn形Ap 7. B 解析:延长AP交BC于点E.·BP平分ABC. $AcAC-×6*-18. ' ABP= /EBP.又:AP BP..' APB=/EPB 90”...△ABP△EBP(ASA)...AP=PE,..S S.nr,Sw.-Sn...Sn.= 2x2= 1(cm). 8. 证明:(1):BD=CD...DBC=DCB.又:ABD ACD...DBC+ABD-DCB十ACD.即 ABC ACB..'.AB-AC (2)如图,延长AD交BC于点E.在 [BD-CD. △ABD和△ACD中, ABD-乙ACD,.△ABD AB-AC. 思路分析延长CB到点E,使BE一CD,连接AE,证明 △ACD(SAS)...DAB-DAC,即EAB=EAC 又 △ABE2△ADC(SAS),由全等三角形的性质得出 EAB= .AB-AC.'.AE1BC.即ADIBC. CAD.AE-AC,S-S,即可得出答案. 2. D解析:·在△ABC中,ABC和ACB的平分线相交于 点O.'OBC=OBE,OCB=OCF.:EF /BC. '. OBC-EOB.OCB-FOC.. EOB=OBE. FOC=OCF...BE-OE,CF=OF...EF=OE+OF= BE+CF,故①正确:·在△ABC中.ABC和ACB的平 分线相交于点O,.OBC= 关键点拨熟练掌握等腰三角形“等边对等角”“三线合一”的 ACB,又:ABC+ACB=180*-A,OBC+ 性质以及全等三角形的判定定理是解答本题的关键 9. (1)证明:①':CA-CB,CD=CE,CAB=CED-. 0CB-90-A.1. B0C=180°-(OBC+0B)- '. ACB= DCE-180*-2a.'. ACB-DCB= DCE 90*+之A,故②正确;如图,过点O作OMIAB于点M, 一DCB,即ACD=BCE.在△BCE和△ACD中. BC-AC. 作ONBC于点N,连接OA..'在△ABC中,ABC和 {BCE- ACD...△BCE△ACD(SAS)..BE-AD. ACB的平分线相交于点O...ON-OD-OM,故③正确; CE-DC. ②解:△ACD△BCE..CAD-CBE-a+BAO .ABE-AOB+BAO.CBE+。=AOB十 AF·OD-OD.(AE+AF)-m,故④正确.综上 BAO.BAO十。 AOB十BAO.AOB 2a. (2)证明:如图.过点B作BP|MN交MN的延长线 所述,正确的结论有①②③④,共4个. 干点P,过点D作DO MN于点O.则 BPN DON 90°.又':CMAE..AMC-90”.又'CA-CB.CAB =45.ACB=90. ACM+BCP-90。又 :ACM十CAM-90”,..BCP=CAM.在△CBP和 (乙CPB-AMC. △ACM中,BCP-CAM..△CBP△ACM(AAS). 思路分析由平行线的性质和角平分线的定义得出八BEO和 CB一AC. △CFO都是等腰三角形,从而得出EF一BE十CF,故①正确;根 '.BP-CM;同理,CM-DQ.'.BP一DQ.在△BPN和 据角平分线的定义与三角形内角和定理,即可求得 BOC- (BNP-/DNQ. △DQN中, BPN- DQN..△BPN△DQN(AAS). 90{+一A,故②正确;由角平分线的性质得出点O到△ABC BP-DQ. 各边的距离相等,故③正确;由角平分线定理与三角形面积的求 小练大卷得高分·数学·八年级上册答案 .D18.