小练7 角平分线的性质与判定-【小练大卷得高分】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（苏科版）

⑤作∠ABE的平分线，其所在直线即为对称轴d. 可得BD=DI,然后根据等角对等边的性质以及三角形的任意 一个外角等于与它不相年的两个内角的和可得∠CDI 2∠DBI,再根据角平分线的定义即可求出∠CDI=∠ABC,最 后由∠BAC=2∠CAI代入数据进行计算即可求解. 4.3解析：当DP⊥AB于点P时，PD取得最小值，由尺规作 图可知，AD平分∠CAB.又，∠C=90°，即D℃⊥AC,,,DP DC=3. 5.1 解：(1)如图1所示，点E即为所求.(2)猜想：∠APE= 图1 图2 图3 ∠ACB.证明如下：如图2，过点E分别作EM⊥AB于点M, 酒方法总结利用轴对称变换进行作图，先确定一些特殊点的对 EN⊥BC于点N,由(1)中作图可知，EP=EC.:BE平分 称，点，再利用这些特殊，点的对称点确定所要画的图形 ∠ABC,∴.EM=EN.在Rt△EMP和R:△ENC中， 小练7角平分线的性质与判定 EM=EN.R△EMP≌R:△ENC(HI.),∠EPM EP=EC. 1.36解析：如图，过点D作DF⊥AC于点F.'AD是△ABC 的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC,DF=DE=4,S△m ∠ECN,即∠APE=∠ACB. 含AC,DF=号×8X4=16.又：Sm=之AB:DE 2X10×4=20..S6m=56m+Sr=20+16=36. D 图1 图2 A E 恩关键点拨本题考查复杂作图，解题的关键是熟练掌握线段垂 2.6解析：如图，过点P作PE⊥OB,PF⊥MN,P心⊥OA,垂直平分线的性质、角平分线的性质和金等三角形的判定定理. 足分别为E,F,G,连接OP.:P是△MON外角平分线的交6.A解析：：BD,CE分别是∠AC和∠ACB的平分线， 点PF=G=PE:MN=2.△PN的面积是2∴号MN· ∠0BC-∠BC=2×40=20,∠0CB=2∠ACB PF=2,.PF=2,.PG=PE=2.:△OMN的周长是10 ..OM+ON=8..SMMN SAOMP SAONP -SAPMN 2×80'=40'.∴∠B0C=180°-∠0BC-∠0CB=180- 20MPG+20N·PE-2=号(oM+0NW·PE-2= 20°一40°=120°，故①正确：如图，过点O作OH⊥BC于点 H,连接OA,,BD,CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线， 2×8×2-2=6. OM⊥AB.ON⊥AC,OH⊥BC,.OH=OM,OH=ON, ,.OM=ON,'∠MEC=∠EBC+∠ECB=40°+40°=80°， ∠ODN=180°-∠DBC-∠DCB=180°-20°-80°=80°， ∴.R△(OEM≌Rt△ODN,∴.OE=OD,ME=DN,故②④正 确：在R△AOM和R△AON中，{C,&R△AO9 01 R1△AON(Hl),.AM=AN,故③正确.综上所述，正确的 3.70°解析：如图，在BC上取CD=AC,连接BL,DL.:C1平 结论有①②③④，共4个. 分∠ACB,.∠ACI=∠BCI.在△ACI与△DCI中， (AC=DC. ∠ACI-=∠BCI,·△ACI≌△DCI(SAS),.A1=DI, CI=CI. ∠CAI=∠CDI.,BC=AI+AC=BD+IDC,.BD=AI. .BD=DI,∴∠IBD=∠BID,.∠CDI=∠IBD+∠BID 2∠IBD.又：AL,CI分别是∠BAC,∠ACB的平分线，7.(1)证明：：AD平分∠BAC,DE⊥AB,∠C=90°，.DC= .BI是∠ABC的平分线，∴∠ABC=2∠IBD,∠BAC= 2∠CAI,∴.∠CDI=∠ABC,∴.∠BAC=2∠CAI=2∠CDI= DE在R△DCF和R△DEB中，PCDE:R△DCF 2∠ABC.∠ABC=35,∴.∠BAC=2×35=70°. Rt△DEB,.CF=EB.(2)解：AF+BE=AE.理由如下： 在△1和△DEA中，C记AC=AB即 AF+CF=AE.又：CF=BE,∴.AF+BE=AE 8.(1)1:1解析：如图1，过点A作AE⊥BC于点E.:D是 边C的中点∴BD=DC∴Sm1S6m=(受BD·AE) 爵思路分析在BC上取CD=AC,连接BI,D1,然后利用SAS 证明△ACI与△DCI全等，根据全等三角形的性质可得AI= (2CD·AE)-11.(2)解：如图2，过点D作DE⊥AB DI,∠CAI=∠CDI,再根据BC=AI+AC求出AI=BD,从而 于点E,DF⊥AC于点F,AD为∠BAC的平分线，∴.DE 小练大卷得商分·数学·八年级上册答案 ·D15. DF.AB=m.AC=n.SS=(AB.DE): (3AC·DF)=m:n(3)解：：AD=DE,∴Sm: Sm=1:1.S△mE=2,.S△0=2.AC=2,AB=4, AD平分∠CAB,∴.由(2)知Sww:S△D=AB:AC=2: 1,SAND=1,SAAR=SM+SAND=2+1=3. 恩关键点拨由平移可得AC∥DL,IE∥BC,利用平行线的性质 和角平分线的定义可证明△ADI和△BEI都是等腰三角形， 6.4解析：如图，过点P作PM⊥BC于点M,PN⊥AC于点 N,PK⊥AB于点K,在EB上取一点J,使得MJ=FN,连 接PJ,CP.,BP平分∠ABC,AP平分∠CAB,PM⊥BC, PN⊥AC,PK⊥AB,.PM=PK=PN.∠C=∠PMC 图1 图2 ∠PNC=90°，∴.∠MPN=9O°.在Rt△PMC和Rt△PNC 小练8三角形的内角平分线 中，PMPN,.R△PMC≌Rt△PC(Hl,),CM 1.D解析：如图，过点E作EF⊥AC于点F,EG⊥AB于点 PC=PC. G.AE,BE,CE分别平分∠BAC,∠ABC,∠ACB,ED⊥ CN,∠MPC=∠NPC=45°，∴.△PMC,△PNC都是等腰直 BC,.EG=EF=ED=1,∴.S=S®+S+S么BB= 角三角形，∴.CM=PM=CN=PN.在△PMW和△PNF中， 2BC,ED+2AC·EF+2AB·BG=2(BC+AC+ PM-PN. ∠PMU=∠PNF=90°，.∴.△PMU2△PNF(SAS),.∠MPJ AB)·ED.又：△ABC的周长为24，即BC+AC+AB=24, MI=NF. “S6w=2X24X1=12 ∠NPF,PJ=PF,,,∠MPJ+∠MPF=∠NPF+∠MPF, 即∠JPF=∠MPN=g0°.又，∠EPF=45,∴∠EPJ= ∠JPF-∠EPF=90°-45°=45，.∠EPF=∠EPL.在 PE=PE. △PEF和△PEI中，∠EPF=∠EPI,.△PEF≌△PEI PF=PI. (SAS)..EF=EJ...EF=EM+MI=EM+FN...C= 国日积月累已知△ABC三边的长分别为a,b,c,角平分线的交 CE+EF +CF=CE+EM+CF+FN=2CM=2PM. 点到三边的距离为d,剥Suw=2(a十什c)d Sam=2BC·AC-(AC+B+AB)·PMPM= 2.B解析：如图，过点P分别作PD⊥BC于点D,PE⊥AC于 6+8F0=2.C2r=4,即△ECF的周长为4. 6×8 点E,PF⊥AB于点F.P是三条角平分线的交点，PD PE=PF.AB=30,BC=40,CA=15,∴.SAwI:S△r SmA=AB:BC:CA=30:40:15=6:8:3. 7.解：BF=(CG证明如下：如图，连接EB,EC.AE是∠BAC 的平分线，且EF⊥AB,EG⊥AC,∴.EF=EG.:ED⊥BC,D 方法总结已知角平分线，常用的辅助线是过角平分线上的点 是BC的中点，∴.EB=EC.在Rt△EFB和Rt△EGC中， 作角两边的垂线段，根据角平分线的性质得垂线段相等 EFfC:R△EFB2R△EGC(HLY.BF=CG. 3.A解析：由题意可知，BO,(CO分别平分∠ABC,∠ACB, ∴.∠ABC+∠ACB=2(∠OBC+∠OCB).:∠BC=126°. ∴.∠OBC+∠0CB=180°-∠BC=180°-126°=54°. ∴∠ABC+∠ACB=2X5A°=108°，∴.∠A=180°-（∠ABC+ ∠ACB)=180-108°=72. 4.A解析：直线【为BC的垂直平分线，.PB=PC, ∴∠PBC=∠PB.BP为∠ABC的角平分线，∴.∠ABP ∠CBP,∴∠PBC=∠PCB=∠ABP.,∠ABC+∠ACB十四方法总结由角平分线、线校垂直平分线的性质可以得到一些 ∠A=180.∴3∠ABP十∠A十∠ACP=180.又：∠A=64°，线段相等，而线段相等为判定三角形全等创造了条件.当题目出 ∠ACP=26°..∠ABP=30 现垂直平分线和角平分线的时候，要考虑连接垂直平分线上一 5,5解析：如图，设阴影部分与边AB的交点分别为D,E.,I点与线段的两个端，点和作角平分线上一点到角两边的垂线段. 为△ABC的三个内角的平分线的交点，∴AI平分∠CAB,8.证明：如图，过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,则 ∴∠CAI=∠BAL.由平移的性质，得AC∥DI,∠CAI= ∠DEB=∠DFA=90°.又AD平分∠BAC.∴.DE=DF. ∠AID,∴∠BAI=∠AID,∴.AD=DI.同理可得BE=EI. ,AB=5,∴.C△mE=DE+DI+E1=DE+AD+BE=AB= 在R△BDE和R△ADF中，BE-R△BDEa 5,即图中阴影部分的周长为5. R△ADF(HI),∴.BE=AF.AD=BD,DE⊥AB,.AE= 小练大卷得商分·数学·八年级上册答案 ·D16·第2章 轴对称图形 小练7 角平分线的性质与判定 25分钟 建议用时 D15 练重点 重点2 角平分线相关的作图 4.(较难)如图,在Rt△ABC中. 重点利用角平分线的性质求面积 C-90{},以点A为圆心、任意长 1.(2023春·陕西西安月考,中等)如图,AD 为半径画孤,分别交AC,AB于 是ABC的角平分线,DE AB于点E,DE 点M,N,再分别以点M和点N为圆心、大干 4.AC-8,AB-10,则S= MN的长为半径画孤,两狐交于点O.作射线 AO交BC于点D.若CD=3,P为边AB上一 动点,则PD的最小值为 2.(2022秋·广东东壳期末,较 难)如图,分别在AOB的边 OA.OB上取点M,N,连接MN MP平分 AMN,NP平分MNB.若MN 5.(2022·福建厦门一模,较难) 2.△OMN的周长是10,△PMN的面积是2. (1)如图,在△ABC中,P为边 则△OMN的面积是 AB上一点,请用尺规作图的 方法在边AC上求作一点E,使AE士EP AC(保留作图痕迹,不写作法). E (2)在(1)的条件下,若点E在/ABC的平分线 3.(2022·安徽芜湖南陵县自主 上,猜想 APE和 ACB的数量关系并 招生,难)如图,在△ABC中 证明. /BAC. /BCA的平分线相交于 点I.且BC=AI十AC. 若 ABC=35{*,则 BAC的度数为 错题记录 粗心与计算 概念与分析 方法与策略 小练大卷得高分 数学八年级上册 重点3 利用角平分线的判定定理进行证明 练思维 6.(2023春·山东威海期末,较 8.(较难)在△ABC中,D是边 难)如图,在△ABC中,ABC BC上的点(不与点B,C重合) 40{}. ACB=80{*},BD.CE分别 连接AD. 是 ABC和/ACB的平分线,BD.CE交于点 (1)如图1.当D是边BC的中点时,Swo: O.分别过点O作OM AB于点M,作ONI S△Acp一 AC于点N.现有下列结论:① BOC=120*; (2)如图2,当AD平分BAC时,若AB=m. ②OE-OD;③AM=AN;④EM-DN.其中正 AC=n,求Spp·Sc的值(用含m,n的 _ 确的结论有 ) 式子表示). (3)如图3,AD平分 BAC,延长AD到E,使 # 得DE-AD,连接BE.若AC-2,AB-4. C Snor-2,求△ABC的面积. C. 2个 A.4个 B.3个 D.1个 7.(较难)如图,在△ABC中. C=90,AD平分 BAC. 图1 图2 DE AB于点E,点F在AC上 且 BD-DF. (1)求证:CF-EB 图3 (2)请你判断AE,AF与BE之间的数量关系, 并说明理由 36 概念与分析 粗心与计算 错题记录 方法与策略