小练8 三角形全等的条件(HL)-【小练大卷得高分】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（苏科版）

小练大卷得高分 数学八年级上册 小练8 三角形全等的条件(HL) 建议用时 18分钟 练重点/ 重点2 全等条件中斜边对应相等直接给 3.(中等)如图,已知 \C-90*,AC=8,BC=3 重点全等条件中角边对应相等直接给 线段PQ与线段AB的长度相等,P.Q两点分 1.(2022·南京模拟,中等)如图,AD,BC相交 别在线段AC上和过点A且垂直于AC的射线 于点O,AD=BC.C-D-90* AX上运动,则当AP的长为 时,才能 (1D)求证:△ACB△BDA. 使△ABC与△APQ全等. (2)若/ABC=31*,求/CAO的度数 :2 4.(2022秋·河南南阳期末,中等)如图,在 ABC中,AB=BC, ABC=90{*$F为AB延$$$ 长线上一点,点E在BC上,目AE=CE (1)求证:RtABE:2Rt△CBE (2)若 CAE=30*,BAC=45*,求 ACF的 2.(较难)如图,E,B,F,C四点 度数. 在同一直线上,A=D=90 BE=FC,AB=DF (1)求证:△ABCDFE (2)若 ABC-62*,求 /E的度数 r 概念与分析 粗心与计算 错题记录 方法与策略 第1章 全等三角形 重点3 全等条件中直角和斜边相等都给出 练思维 5.(2022春·苏州张家港市期末,中等)如图 7.(难)将两个全等的Rt△ABC 在四边形ABCD中,已知BC=CD,AC=DE 和Rt△DBE按图1方式摆放,其 AB/CD,B= DCE-90*,AC与DE相交 于点F. 中 ACB= DEB-90{, A= D-30{*},点E落在斜边AB上; (D)求证:ABCECD DE所在直线交AC所在直线于点F (2)判断线段AC与DE的位置关系,并说明 (1)求证:EF-CF 理由: (2)若将图1中的△DBE绕点B按顺时针方向 旋转,旋转角为a,且0^{}<a{60^{},其他条件 不变,请在图2中画出变换后的图形,写出 AF,EF,DE之间的数量关系,并说明理由. (3)若将图1中的△DBE绕点B按顺时针方向 旋转,旋转角为3,且60^{}{B{ 180{*},其他条 件不变,如图3.你认为(2)中猜想的AF. EF,DE的数量关系还成立吗?若成立,写 出证明过程;若不成立,请写出AF,EF与 DE之间的数量关系,并说明理由 ,, 6.(较难)如图,在RtABC和 Rt△ADE中,ABC= ADE 90{*,BC与DE相交于点F,且 AB-AD.AC-AE,连接CD.EB 图1 (1D)求证:CAD= EAB 图2 (2)试判断CF与EF的数量关系,并说明理由 图3 粗心与计算 错题记录 概念与分析 方法与策略5. 解:连接AP,BP,AQ.BQ. 在△APQ与△BPQ中. △PQA,则AP-CA-8. [AP一BP(同一半径作蕴), 4.(1)证明:· ABC=90{}.CBF= ABE=90{ 在$ AQ-BQ(同一半径作孤)...△APQ△BPQ(SSS). AE=CF.. Rt△ABE PQ-PQ(公共边). Rt△ABE和Rt△CBF 中. AB-CB. '.APQ=BPQ.即APCBPC. 在△APC 和 Rt△CBF(HL). (2)解: ABC=90*BAC=45^。 [AP-BP. '. ACB-90{-BAC-90-45-45{ BAE- BAC △BPC中.APC-BPC...△APC△BPC(SAS). CAE-45*-30*-15”又由(1)知,Rt△ABERt△CBF IPC-PC. '. BCF=BAE-15*$' ACF-BCF+ACB=15 $+ '.ACP=BCP.又ACP十BCP=180”.ACP 45-60{ BCP-90*.'.PC1AB,即PQa. 1AC-DE. 5.(1)证明:在Rt△ABC和Rt△ECD中, 思路分析首先结合图形,根据题目中的推理过程完成填空: BC-CD. 并由△APQ △BPQ得 APQ- BPQ,即 APC= BP$C. '.Rt△ABCRt△ECD(HL.). (2)解:AC1DE.理由如 由此可依据“SAS”判定△APC△BPC,从而得ACP 下:由(1)得△ABC△ECD.. BCA-CDE.B BCP,然后再根据平角的定义可得出 ACP- BCP-90{ DCE=90.BCA+ACD=90.:CDE+ACD 从而得出结论. 90{,'乙DFC-180*-(CDE+乙ACD)-180*-90*= 6.(1)sSS (2)解:作图如图1所示.证明如下:.CE OB. 90”.'.ACIDE. DF |OA...OEC=OFD=90{.在△OEC和△OFD中. 思路分析(1)根据HI.即可得出结论;(2)根据△ABC (OEC=OFD. COE=DOF..'△OCE△ODF(AAS)..OE=OF. AFCD得到 BCA=/CDE,结合 B= DCE=90*得致 OC-OD. DFC-90{},从而可得结论. 90.DME-CMF..'△DEM△CFM(AAS)..'.DM- CM.又'OD-OC.OM-OM...△ODM△OCM(SSS). Rt△ADE(HL)..CAB=EAD...CAB- BAD EAD- BAD,即 CAD- EAB. . FOM- FOM.即OM平分AOB. (3)解:AB十AD .(2)解:CF一EF.理 由如下:如图,连接CE..AC-AE,..ACE-AEC.由 2AE.理由如下:如图2,过点C作CFIAD于点F,则 CFA=CFD=90*.CE ]AB,.CEA=90*. (1)得 Rt ABCRt △ADE,.. ACB=AED. '.CFA=CEA.又.AC平分BAD..CAE *. ACE-ACB=AEC-AED,即 FCE-FEC .CF-EF. CEA-CFA. CAF.在△CAE和△CAF中.CAE一CAF...△CAE AC-AC. △CAF(AAS)...AE-AF,CE-CF.又:ABC十D= 180} ABC+CBE=180{。. CBE=D.在△CDF和 D# (乙D-/CBE △CBE中.{CFD-CEB..△CDF△CBE(AAS). .CF-CE. 思路分析(1)根据已知利用HI.可证Rt△ABC2Rt△ADE. '.DF=BE ''AB+BE-AE,AD-DF=AF.:$AB+BE+ 然后利用全等三角形的性质可得 CAB一 EAD,从而利用等 AD-DF-AE+AF...AB+AD-2AE. 式的性质即可得出结论;(2)连接CE,利用等腰三角形的性质可 得 ACE一 AEC,再利用(1)的结论可得 ACB= AED,从 ## 而利用等式的性质可得 FCE一 FEC,然后利用等角对等边 即可得出结论。 7.(1D证明:如图1.连接BF.·.△ABC△DBE...BC=BE . ACB=DEB=90{*}。. B[CF= BEF=90{* 在$$$ R△BEF和 Rt△BCF中, BE-BC. BF-BF.. Rt△BEF 图2 小练8 三角形全等的条件(HL) Rt△BCF(HL)..'.EF-CF.(2)解:画出图形如图2所示. AB-BA. 数量关系为AF十EF一DE.理由如下:连接BF.由(1)可知, 1.(1)证明:在Rt△ACB和Rt△BDA中, BC-AD. EF-CF.又:△ABC△DBE...AC-DE...AF+EF AF+CF-AC-DE. '.R△ACBRt△BDA(HL). (2)解:由(1)可知 (3)解:不成立,结论为AF一DE+ RtBDARtACB.BADABC-31”C-90 EF.理由如下:如图3.连接BF.同理(2)可得,EF一CF. 'BAC=90*-ABC-90-31'-59”.CAO-BAC AC=DE..'.AF=AC+CF=DE+EF. 乙BAD-59*-31*-28”。 D 2. (1)证明:·BE-FC...BE+BF-FC+BF,即EF=CB.在 CB=FF..Rt△ABC Rt△ABC和Rt△DFE中, AB-DF: Rt△DFE(HL)(2)解:.A-90ABC-62*.C 90{- ABC=90{-62*-28*,由(1)得△ABC △DFE .E-/C-28". 3. 8或3 解析:若△ABCQPA,则AP=CB=3;若△ABC 图1 图2 图3 小练大卷得高分·数学·八年级上册答案 .D6. 关键点拨在解决第(2)(3)题的时候,图形虽然变化了,但题 关键点拨延长AM至点N,使MN一AM,只要再证DE 目并没有交代旋转的角度,可见在给定的范围内,不管旋转多 NA即可,这就是“中线倍长”,实质是“补短法”。 少度,不影响线段之间的相等关系,所以我们可以根据第(1)题 4. 证明:如图,延长AD至点M,使DM-AD,连接CM.·'AD 中三条线段之间的数量关系来推测第(2)(3)题的数量关系. 是△ABC的中线,..BD=CD.在△MCD和△ABD中. 专题一 与中点有关的问题 [CD-BD. 1.(1)证明:如图,延长AD至点E,使DE一AD.连接BE.·D MDC=ADB..△MCD△ABD(SAS).'.MC= 为BC的中点,..BD=CD.在△ADC和△EDB中, MD-AD, (AD-ED. AB.MCD= B.又:'CE=AB..'.CM=CE..ACM ADC-EDB.'△ADC△EDB(SAS)...AC=EB. BCA+ MCD. ACE-BAC+ B.BAC= BCA. DC-DB. [AC-AC. ·在△ABE中,AB+EBAE-2AD...AB+AC>2AD. .ACM=ACE.在△ACM和△ACE中, ACM-ACE, (2)解:·'在△ABE中,AB-BE<2AD<AB+BE,即5 CM-CE. 3<2AD5+3...1AD4. '.△ACM△ACE(SAS)..AM=AE..AM=AD+ DM-2AD.'AF-2AD 日积月累倍长中线法是一种常见的辅助线添加法. 5. 解:EF一2AD,EF1AD.理由如下:如图,延长AD至点H 2. 证明:如图,延长NO至点P,使 使DH-AD,连接CH,延长FE,AH交于点N.·.AD是 OP-NO.连接MP.BP.·O为BC △ABC的中线...BD=CD.又:ADB=HDC,AD 的中点,..BO-CO.在△BOP和 HD...ADB△HDC(SAS)...AB=HC=AE [OP-ON. ABC-乙HCD.'乙ABC十ACB= HCD十ACB= △CON中. BOP-/CON. ACH. BAE-CAF-90,. EAF+BAC BO-CO. $8 0°BAC+ABC+ ACB-180BAC+ ..△BOPCON(SAS)...BP ACH=180*,.ACH= FAE. 又:FA=AC CN..OM ON..MOP=MON-90.又:OP-ON '.△FAE△ACH(SAS)...FE=AH.CAH-AFE. OM=OM.'△MOP△MON(SAS)...MP=MN. .AH-AD+DH-2AD..'EF-2AD.. FAC-90 即 .在△BMP中.BM+BPMP..'.BM+CNMN. CAH+FAH=90.AFE+FAH-90{,即 关键点拨 利用倍长中线法构造全等三角形,使得BM与CN AFN+FAN-90”FNA-180*-(乙AFN十 在同一个三角形中,由三角形的三边关系定理可得结论. FAN)-180*-90*-90*..'.EF1AD 3. 证明:如图,延长AM至点N.使MN一AM.连接BN.·M 为BC的中点,.'.CM=BM.在△AMC和△NMB中 [AM-NM. AMC=NMB.'△AMC△NMB(SAS)...AC= CM-BM. NB.C-NBM.又:AC-AD...AD=NB.'ABAE AD AC..' EAB=/DAC=90.EAD+/BAC 18 0{ .乙ABN-ABC+NBM-ABC+C=180*- [AE-BA. 思路分析 由 BAC十 EAF-BAC十ACB十ABC BAC-EAD.在△EAD和△ABN中EAD=ABN. 180{},可得 EAF-ACB十 ABC,如果倍长中线AD,使得 AD-BN. DH=AD,可得△ADB △HDC,这样就可以将 ACB+ '.△EAD△ABN(SAS)...DE=NA..NA=NM+ ABC转化成ACH. AM-2AM..'.DE-2AM 6. 证明:如图,过点C作CMIAD于点M,过点E作EN AD.交AD的延长线于点N,则 CMD= END=90*。·D 为CE的中点,..DE=DC.在△DCM和△DEN中. CMD- END. CDM=EDN.'.△DCM△DEN(AAS)...CM=EN DC=DE, EF=CA..Rt△FEN 在Rt△FEN和Rt△ACM中, 1-CM. Rt△ACM(HL).. NFE= MAC,即 DFE- DAC 小练大卷得高分·数学·八年级上册答案 ·D7.