小练7 尺规作图-【小练大卷得高分】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（苏科版）

小练夫卷得高方数学八年级上册 小练⑦ 尺规作图 定议用时20分钟 答案D5 练重点 重点3由作法提炼条件 4.(较难)如图，AB∥CD,以点A 重点】辨别作图依据 为圆心、小于AC的长为半径作 1.(中等)用直尺和圆规作一个角的平分线的 圆弧，分别交AB,AC于点E,F, 示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的 再分别以点E和点F为圆心、大 依据是 于2EF的长为半径作圆弧，两条圆弧交于点 P,作射线AP,交CD于点M. B (1)求证：AP平分∠CAB. A.AAS B.ASA (2)若∠ACD=114°，求∠MAB的度数. C.SSS D.SAS 2.(中等)如图是用直尺和圆规作一个角等于 已知角的方法，它是由判定三角形全等的结论 得到的，判定全等的依据是 ( C A.AAS B.SAS C.ASA D.SSS 重点2尺规作图 3.(较难)如图，在△ABC中，D 是边BC上一点，过点D作BC 的垂线DE交边AB于点E,作 ∠BAC的平分线AF交直线DE 于点F(保留作图痕迹，不用写作法) 12 错题记录 概念与分析 粗心与计算 方法与策略 第引章全等三角形 5.(较难)小明已经会用三角尺 交于点M;③作射线OM,则射线OM即为 过直线外一点作已知直线的垂 ∠AOB的平分线. 线，后来发现利用直尺和圆规也 (1)用尺规作图作∠AOB的平分线的原理是证 可以做到.如图，已知直线a,P为 明两个三角形全等，那么证明三角形全等的 直线α外一点，以下是小明的作图方法：①以点 依据是 P为圆心、大于点P到直线a的距离的长为半 【数学思考】在学习了这个尺规作图作角的平分 径作弧，交直线a于点A,B;②分别以点A和 线后，小亮同学研究了如下画角平分线的方法： 点B为圆心大于7AB的长为半径作孤，两弧 ①在∠AOB的两边OA,OB上分别截取OC= OD:②过点C作CEL⊥OB,垂足为E,过点D作 交于直线a下方一点Q;③作直线PQ,交直线a DF⊥OA,垂足为F,CE,DF交于点M:③作射 于点C,则有PQ⊥a. 线OM. (2)请在图2中画出相应的图形，并证明OM平 分∠AOB. (3)如图3，在四边形ABCD中，∠ABC+∠D= 180°，AC平分∠BAD,CE⊥AB交AB的延 长线于点E.试写出线段AB,AD,AE之间 请将下列证明过程补充完整. 的数量关系，并说明理由， 证明：连接AP,BP,AQ,BQ.在△APQ与 AP- (同一半径作孤)， △BPQ中， =BQ(同一半径作孤)， PQ=PQ(公共边)， '.△APQ≌△BPQ( ), 图1 图2 E 图3 练思维 6.(难)角平分线的探究 【课本再现】八年级上册数学课本 上介绍了用尺规作图作角平分 线，作法如下：①如图1，以点O 为圆心、任意长为半径作弧，分别交射线OA, OB于点C,D;②分别以点C和点D为圆心、大 于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部 错题记录 概念与分析 粗心与计算 方法与策略 13夏关键点拨分别把相应的条件代入，判断是否符合三角形全等 的判定定理是关键，要注意“SSA”不能判定两个三角形全等. 3.B解析：根据三角形的稳定性可知，要使五边形木架不变 形，至少还要再钉上的木条的根数为2. 关键点拨五边形不具有稳定性，只有三角形有稳定性，关键 是把五边形分割成三角形. B OA=OB. 4.60°解析：在△ACO和△BCO中，AC=BC,△AOC2 10.(I)证明：，AF=CE,.AF+EF=CE+EF,即AE=CF在 AD-CB. OC=OC. △ADE和△CBF中，DE=BF,,△ADE≌△CBF(SS). △BOC(SSS).∴.∠BCO=∠AC0=30°，∴.∠ACB= LAE-CE. ∠BC0+∠AC0=30°+30°=60°. 圆关瓣点拨由已知条件找出图形中的两个全等三角形，得对应 (2)解：成立.理由如下：AF=CE..AF-EF=CE-EF, AD-CB. 相等的角，再由未知角与已知角的关系求出未知角 即AE=CF在△ALDE和△CBF中，DE=BF,∴.△ADE≌ (AB=AD, AE-CF. 5.证明：(1)在△ABC和△ADC中，AC=AC,.△ABC≌ △CBF(SSS).(3)解：AD与CB不一定平行.理由如下： BC=DC. 在△ADE和△CBF中，仅有AD=CB,DE=BF,不能判定 △ADC(SSS),,'.∠BAC=∠DAC,即AC平分∠BAD. 它们全等，即不能得出∠A=∠C,故AD与CB不一定 (2)由(I)得，∠BAE=∠DAE.在△BAE和△DAE中， 平行. BA=DA. ∠BAE=∠DAE,.△BAE≌△DAE(SAS),,.BE=DE 圆关键点拨本题已知两组对应边相等，要证明两个三角形全等 AE-=AE. 只有两个思路，要么补充夹角对应相等，要么补充第三组对应边 相等，而问题中提供的都是线段之间的关系，所以本题必然要补 AD-BC. 充第三组对应边相等 6.证明：如图，连接CD.在△ACD和△BDC中，AC=BD, CD-DC. 小练7尺规作图 ,.△ACD2△BDC(SSS),,.∠DAO=∠CBO.在△OAD和 ON-OM. ∠AOD=∠BC, 1.C解析：连接NC,C,在△OC和△OC中，CN=CM △OBC中，∠DAO=∠CBO,.△OAD≌△OBC(AAS). O-C. AD-BC. .△ONC≌△(OMC(SSS),.∠AC=∠BC @关键点拨判断角相等的依据就是判断△(ONC和△OMC全 等的依据。 2.D解析：由作法得OC‘=OD=OC=OD,CD'=CD,则可 根据“SSS"判定△OCD2△OC'D'.∴.∠O-∠O. 3.解：如图，直线EF,射线AF即为所求作 国方法总结已知条件提供的线段相等一般是对应边相等，这时 我们可以将这些线段置于三角形中，如AD与AC在同一个三 角形中，这两条线段涉及的三个字母A,C,D确定了△ACD,这 就是三点定形法。 7.证明：，CE=BF,.CE+BE=BF+BE,即BC=EF.又 ,'AB=DE.AC=DF,,.△ABC≌△DEF(SS),,.∠ABC ∠DEF,,∴.AB∥DE. 8.(1)证明：AD=BE..AD+DB=BE十DB,即AB=DE. 画日积月累然然掌提基本作图：作一个角等于已知角，过一点 AC=EF, 在△ABC和△EDF中，AB=DE,.△ABC≌△EDF 作已知直线的垂线，作已知角的平分线，作已知线段的垂直平 BC=DF. 分线， (SSS).(2)解：由(1)得△ABC≌△EDF,.∠C=∠F= 4.(1)证明：如图，连接PF,PE.由作图过程可知，AE=AF, 65".又，∠A=60°，.∠ABC=180°-∠A-∠C=180° PE=PF又AP=AP,∴.△AFP≌△AEP(SSS), 60°-65=55°. ∠FAP=∠EAP,即AP平分∠CAB.(2)解：AB∥CD, 司思路分析(1)由“SSS”可证△ABC2△EDF:(2)由全等三角 .∠ACD十∠CAB=180°，，.∠CAB=180°-∠ACD= 180°-114°=66°.由(1)知，AP平分∠CAB,即∠MAB= 形的性质可得∠C=∠F=65°，再根据三角形内角和定理即可 求解 ∠MAC.∴∠MAB=号∠CAB-=号×66=33 (AB=AC, 9.证明：(1)在△ABD和△ACD中，BD=CD,,∴.△ABD≌ AD-AD. △ACD(SSS).(2)如图，延长AD交BC于点E.由(1)得 △ABD≌△ACD,.∠BAD=∠CAD.又：'AB=AC.∴AE BC,即AD⊥BC. 小练大卷得商分·数学·八年级上册答案 ·D5 5.解：连接AP,BP,AQ.BQ.在△APQ与△BPQ中，△PQA.则AP=CA=8. AP=BP(同一半径作燕)， 4.(1)证明：：∠ABC=90,.∠CBF=∠ABE=90°.在 AQ-BQ(同一半径作孤)，.△APQ2△BPQ(SSS), PQ=PQ(公共边)， R△ABE和R△CBF中，{ACB:·R1△ABE② ∴·∠APQ-∠BPQ,即∠APC=∠BPC.在△APC和 Rt△CBF(H..(2)解：，∠ABC=90°，∠BAC=45. AP=BP. ∴.∠ACB=90°-∠B4C=90°-45=45，∠BAE=∠BMC △BPC中，∠APC=∠BPC,∴.△APC≌△BPC(SAS), ∠CAE=45°-30°=15.又由(I)知，Rt△ABE≌Rt△CBF PC=PC. ∴∠BCF=∠BAE=15,.∠ACF=∠BCF+∠ACB=15+ .∠ACP=∠BCP.又∠ACP+∠ECP=180°，∴.∠ACP= 45°=60 ∠BCP=90°.∴.PC⊥AB,即PQ⊥a. 回思路分析首先结合图形，根据题目中的推理过程完成填空， 5.a)证明：在R△ABC和R△ECD中.C-CD. AC-DE, 并由△APQ≌△BPQ得∠APQ=∠BPQ,即∠APC=∠BPC. ∴.R△ABC≌R△ECD(HL).(2)解：AC⊥DE.理由如 由此可依据“SAS”判定△APC≌△BPC,从而得∠ACP 下：由(1)得△ABC≌△D,·.∠BCA=∠CDE:∠B= ∠BCP,然后再根据平角的定义可得出∠ACP=∠BCP=90°， ∠DCE=90,∴.∠BCA+∠ACD=90,∴.∠CDE+∠ACD= 从而得出结论. 90°，.∠DF℃=180°-（∠CDE+∠ACD)=180°-90°= 6.(1)SSS(2)解：作图如图1所示.证明如下：：CE⊥OB 90°，.ACI DE. DF⊥OA.∴.∠OC=∠OFD=90.在△OEC和△OFD中，雪思路分析(1)根据HL.即可得出结论：(2)根据△ABC≌ ∠OEC=∠OFD, △ECD得到∠BCA=∠CDE,结合∠B=∠DCE=90°得到 ∠COE=∠[XOF,∴.△OCE≌△ODF(AAS),.OE=OF, ∠DFC=90°，从而可得结论 C-OD. OD-OE=(OC-OF,即DE=CF.又，'∠DM=∠CFM= 6.(1)证明：在R△AC和△ADE中，(AC二AS AB=AD.R△ABC≌ 90°，∠DME=∠CMF,∴.△DEM≌△CFM(AAS),.DM= Rt△ADE(HL),.∠CAB=∠EAD.∴∠CAB-∠BAD= CM.又，OD=OC,OM=OM,,.△ODM≌△OCM(SSS). ∠EAD-∠BAD,即∠CAD=∠EAB.(2)解：CF=EF.理 ,.∠=∠FOM,即M平分∠AOB.(3)解：AB+AD= 由如下：如图，连接CE.AC=AE,.∠ACE=∠AEC.由 2AE.理由如下：如图2，过点C作CF⊥AD于点F,则 ∠CFA=∠CFD=90.CE⊥AB,∴.∠CEA=90, (1)得RI△ABC≌R:△ADE,∴.∠ACB=∠AED, ∴∠ACE-∠ACB=∠AEC-∠AED,即∠FCE=∠FEC, ,.∠CFA=∠CEA.又·AC平分∠BAD,.∠CAE .CF=EF. ∠CEA=∠CFA. ∠CAF在△CAE和△CAF中.∠CAE=∠CAF,∴.△CAE≌ LAC=AC, △CAF(AAS),∴，AE=AF,CE=CF.又：∠ABC+∠D= 180°，∠ABC+∠CBE=180,∴.∠CBE-∠D.在△CDF和 ∠D=∠CBE, △CBE中， ∠CFD=∠CEB,.△CDF≌△CBE(AAS), C￥ CF-CE. 智思路分析(I)根据已知利用Hl.可证R△ABC≌R1△ADE, ..DF=BE..AB+BE=AE.AD-DF=AF,.AB+BE+ 然后利用全等三角形的性质可得∠CAB=∠EAD,从而利用等 AD-DF-AE+AF...AB+AD-2AE. 式的性质即可得出结论：(2)连接CE,利用等腰三角形的性质可 得∠ACE=∠AEC,再利用(1)的结论可得∠ACB=∠AED,从 而利用等式的性质可得∠FCE-∠FEC,然后利用等角对等边 即可得出结论. 7.(1)证明：如图1，连接BF.△ABC2△DBE,∴.BC=BE. ∠ACB=∠DEB=90°，∴∠BCF=∠BEF=90°.在 图1 图2 R人E和△xF中，E-:R△EFa 小练8三角形全等的条件(HL) R△BCF(HL),∴.EF=CF.(2)解：画出图形如图2所示， 1.(I)证明：在Rt△ACB和Rt△BDA中，BC=AD, AB=BA. 数量关系为AF+EF=DE.理由如下：连接BF.由(1)可知， EF=CF,又'△ABC≌△DBE,,,AC=DE,,'.AF+EF ∴.Rt△ACB2Rt△BDA(HL).(2)解：由(1)可知， AF+CF=AC=DE.(3)解：不成立，结论为AF=DE+ Rt△BDA≌Rt△ACB,∠BAD=∠ABC=31.∠C=90°， EF.理由如下：如图3.连接BF,同理(2)可得，EF=CF, .∠BAC=90°-∠ABC=90°-31°=59°..∠CAO=∠BAC AC=DE,..AF=AC+CF=DE+EF. ∠BAD=59°-31°=28°. 2.(I)证明：BE=FC.∴BE+BF=FC+BF,即EF=CB.在 R△ABC和R△DFE中，{BDE,R△ABCg R△DFE(HI).(2)解：·∠A=90°，∠ABC=62,.∠C 90°-∠ABC=90°-62°=28°.由(1D得△ABC≌△DFE, ∴∠E=∠C-28" 3.8或3解析：若△ABC≌△QPA,则AP=CB=3:若△AB≌ 图1 小练大卷得商分·数学·八年级上册答案 ·D6.