小练5 三角形全等的条件(AAS)-【小练大卷得高分】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（苏科版）

小练夫卷得高方数学八年级上册 小练⑤ 三角形全等的条件(AAS) 定议用时18分钟 答案D3 练重点 重点2条件中没有平行线 3.(2023·广东广州越秀区自主 重点①条件中有平行线 招生，较难)在△ABC中，若高 1.(较难)如图，已知AC,BD相 AD和高BE所在的直线相交于 交于点O,AB∥CD,BF=DE, 点F,且BF=AC,则∠ABC的度 ∠OAE=∠OCF.求证：AE=CF. 数为 4.(2023·山东淄博张店区自主招生，中等)如 图，在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE= ∠ACD,∠BAC=∠D,BC=CE. (1)求证：AC=CD (2)若AC=AE,∠ACD=80°，求∠DEC的度数. D 2.(2022秋·南京鼓楼区月考， 较难)如图，已知AD∥BC, ∠PAB的平分线与∠CBA的平 分线相交于点E,CE的连线交 AP于点D.求证：AD+BC=AB. 8 错题记录 概念与分析 粗心与计算 方法与策略 0。金60 第引章全等三角形 5.(2023·辽宁鞍山一模，中等)如图，在 练思维/ △ABC和△DBE中，AC=DE,点E在边AC 上，∠DBF=∠CBE=∠AED,求证：△ABC≌ 7.(2023秋·扬州仪征市期中， △DBE. 难)如图，在△ABC中，∠A= D ∠ABC,延长AC到点E,过点E 作EF⊥AB交AB的延长线于点 F,延长CB到点G,过点G作GH⊥AB交AB 的延长线于点H,且EF=GH (1)求证：△AEF≌△BGH. (2)连接EG与FH相交于点D,若AB=4,求 DH的长. 重点3同角（等角）的余角相等 6.(2022秋·杨州江都区月考， 较难)如图，在△ABC中，AD⊥ BC于点D,BE⊥AC于点E,AD 与BE相交于点F,BF=AC, ∠CAD=25° (1)求证：△BDF≌△ADC. (2)求∠ABE的度数. 错题记录 概念与分析 粗心与计算 方法与策略 9BD⊥AB,.∠A=∠B=90°.在△ACP和△BPQ中，5.(1)证明：：DE∥AC,∴∠ACB=∠CDE.在△ABC和 AP-BQ I∠ACB=∠CDE, ∠A=∠B,.△ACP≌△BPQ(SAS),.∠ACP=∠BPQ △CED中，AC=CD, ∴.△ABC≌△CED(ASA). AC=BP. ∠A=∠DCE. :∠APC+∠ACP+∠A=∠APC+∠BPQ+∠CPQ= (2)解：由(1)得△ABC≌△CED,.CB=DE.又，CD= 180°，∴.∠CPQ=∠A=90°，.PC⊥PQ.(2)存在.理由如 AC=3,BD=10,.DE=CB=BD-CD=10-3=7. 下：由题意得，AP=tcm,BP=(4-t)cm,BQ=xtcm①若目思路分析(1)先利用DE∥AC证明∠ACB=∠CDE,再利用 △ACP2△BPQ,则AC=BP,AP=BQ.则{3=4-·解得 “ASA”证明△ABC≌△CED即可：(2)利用全等三角形的性质 t=xt. 得到CB=DE,结合CD=AC=3.BD=10可得DE=CB= I=I:②若△ACP≌△BQP,则AC=-BQ,AP=BP,则 BD-CD=10-3=7. x=1: 6.证明：，AF=CD,.AF+FC=CD+FC,即AC=DE,EF∥ 1=2, 3=,解得 t=2, BC,.∠DFE=∠ACB.AB∥DE,∠A=∠D.在 3使 t=4-t, =3.综上所述，存在· 1 I∠A=∠D, x=2: x=2 △ABC和△DEF中，AC=DF, ,.△ABC≌△DEF 得△ACP与△BPQ全等. ∠ACB=∠DFE, 冒思路分析(1)利用“SAS”证得△ACP≌△BPQ,从而得出 (ASA). ∠ACP=∠BPQ,再根据∠APC+∠A+∠ACP=∠APC+7.证明：CD⊥AB,BE⊥AC,∴·∠ADC=∠FDB=∠AEB= ∠CPQ十∠BPQ=180°即可得出结论：(2)分△ACP2△BPQ 90°，.∠A+∠ACD=∠A+∠FBD=90°，∴.∠ACD= 和△ACP2△BQP两种情况，由全等三角形的性质得出AC ∠FBD.又：∠AC=45.∴∠BCD=∠ABC=45,∴.BD=(CD BP,AP=BQ或AC=BQ,AP=BP,分别建立方程组求解 ∠ADC=∠FDB, 即可， 在△ACD和△FBD中， CD-BD. ∴△ACD≌ 小练4三角形全等的条件(ASA) ∠ACD=∠FBD. △FBD(ASA). 1.24解析：，AB∥CD,,.∠B=∠DEF,在△BAF和△EDF 8.(1)解：：∠ABC=60°，∴.∠BAC+∠ACB=180° ∠B=∠DEF, ∠ABC=180°-60°=120°.AD.CE分别平分∠BAC. 中，BF=EF, .△BAF≌△EDF(ASA),.Saw L∠AFB=∠DFE. ∠ACB.·∠CAD=合∠BAC,∠ACE=寸∠ACB, SA,.S雨影幅分=Sg边形M十S△U=Sg边形r十SA来一 Sm=吉AC.AD=号×6X8=24 ∴∠ACC=18°-（∠CAD+∠AE)=180°-号（∠BAC+ 恩关键点拔阴影部分是一个直接求面积有困难的四边形，通过 ∠ACH)=180°-号×120°=120，∠B0D=∠A0C 重新分再组合成一个面积易求的新图形是常用的思路。 120°，(2)证明：如图，在边AC上截取CF=CD,连接OF 2.(1)证明：，CE⊥AB,AD⊥BC,,.∠CEB=∠AEH= ,"CE平分∠ACB,.∠(OCF=∠OCD.由(1)得∠AC ∠ADC=90°，∴.∠ECB+∠CHD=∠EAH+∠AHE=90°. 120°，∴.∠AOE=∠C0D=180°-∠A0C=180°-120°= 又，'∠CHD=∠AHE,∴，∠ECB=∠EAH.在△BEC和 CF=CD. I∠ECB=∠EAH. 60°.在△COF和△COD中，∠OCF=∠OCD,∴.△COF☑ OC=OC. △HEA中.〈CE=AE .△BE2△HEA(ASA). △COD(SAS),,.OF=OD,∠COF=∠COD=60°， ∠CEB=∠AEH, .∠A0F=∠AOC-∠C0F=120°-60°=60°，'.∠A0E= (2)解：由(1)得△BEC≌△HEA,∴.HE=BE=8,AE=CE ∠AOF.又：AD平分∠BAC,∴.∠OAE=∠OAF.在△AOE 又，'CH=3,,,CE=HE+CH=8+3=11,,.AB=AE+ ∠O0AE=∠OAF, BE=CE+BE=11+8=19. 和△AOF中， 04=0A. ,.△AOE≌△AOF(ASA), 国方法总结证明两个三角形全等就是根据已知条件找出对应 ∠OE=∠AOF, 相等的边或角，再根据判定定理证明；直接求长度困难的线较 ∴.OE=OF,.OD=OE 长可以通过全等三角形的对应边相等进行适当转化来解决. 3.(1)证明：，AB∥CD,∴∠BAE=∠DCF.,AF=CE,∴.AF EF=CE一EF,即AE=CF,又，AB=CD,.△ABE≌ △CDF(SAS.(2)解：：∠BCE=30°，∠CBE=70°. ∴.∠AEB=∠BCE+∠CBE=30°十70°=100°.由(1)得 △ABE≌△CDF,.∠CFD=∠AEB=100° 圈思路分析(1)由平行线的性质得出∠BAE=∠DC℉，根据国方法总结在证明OD=OE的时侯，可利用角平分线的轴对 “SAS”可得出△ABE≌△CDF:(2)先由三角形外角的性质求出 称性来构造全等三角形， ∠AEB=∠BCE十∠CBE=100°，再根据三角形全等的性质可 小练5三角形全等的条件(AAS】 得出∠CFD=∠AEB=100° 1. 证明：：AB∥CD,∠B=∠D,∠B4O=∠DO:∠OAE 4.证明：·∠ADC=∠1+∠B=∠ADE+∠2，∠1=∠2， ∠OXF,∴·∠BAO-∠OAE=∠IO-∠CCF,即∠BAE= 1∠C=∠E, ∠DCF.,BF=DE..BF-EF=DE-EF,即BE=DF在 ∴∠B=∠ADE.在△ABC和△ADE中，BC=DE, I∠BAE=∠DCF, ∠B=∠ADE. △ABE和△CDF中，∠B=∠D, .△ABE≌△CDE ,.△ABC≌△ADE(ASA). BE-=DF. 小练大卷得商分·数学·八年级上册答案 ·D3· (AAS)...AE=CF 国思路分析由AB∥CD得∠B=∠D,∠BAO=∠DCO,而 AC,∴∠ACE=∠ABC=号(180°-∠CAD)=7X(180° ∠OAE=∠(OCF,可证明∠B.AE=∠DCF,由BF=DE可证明 50)=65°，.∠DEC=180°-∠AEC=180°-65=115 BE=DF,于是根据“有两个角及其中一组角的对边相等的两 图思路分析(1)根据等式的性质可得到∠BCA=∠ECD,结合 个三角形全等”可证明△ABE≌△CDF,得AE=CF 条件∠BAC=∠D,BC=CE,可证得结论：(2)根据∠ACD= 2.证明：如图，延长BE交AP于点F.:AD∥BC,∠AFE= 80°，AC=CD,得到∠CAD=∠D=50°，根据等腰三角形的性质 ∠CBE.·∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E,得到∠ACE=∠AEC=5,由邻补角的定义得到∠DEC= ∠FAE=∠BAE,∠CBE=∠ABE,·∠AFE-∠ABE.180°-∠AEC=115 ∠AFE=∠ABE, 5.证明：：∠DBF=∠CBE,∠DBF+∠ABE=∠CBE+ 在△AFE和△ABE中， ∠FAE=∠BAE,.△AFE≌ ∠ABE,即∠DBE=∠ABC.:∠D+∠DBF+∠DFB AE-AE. ∠A+∠AED+∠AFE=I80°，∠DBF=∠AED,∠AFE= △ABE(AAS),,.FE=BE,AF=AB.在△DEF和△CEB ∠DFB,,.∠D=∠A.又，AC=DE,.△ABC≌△DBE ∠DFE=∠CBE (AAS). 中，FE=BE. .△DEF≌△CEB(ASA),.FD= 图思路分析利用∠DBF=∠CBE可证出∠DBE-∠ABC,利用 ∠FED=∠BEC. ∠DBF=∠AED,∠AFE=∠DFB和三角形内角和定理可证 BC...AD+BC=AD+FD=AF=AB. 出∠D=∠A,进而可证出△ABC≌△DBE. 6.(1)证明：.AD⊥BC,BE⊥AC..∠BDF=,∠ADC=∠BEC= 90°，∴.∠C+∠FBD=∠C+∠CAD=90,∴.∠FBD=∠CAD I∠BDF=∠ADC, 在△BDF和△AIDC中， ∠FBD=∠CAD,.△BDF≌ BF=AC. △ADC(AAS).(2)解：由(1)得△BDF≌△ADC, ∴.∠FBD=∠CAD=25,BD=AD.'∠ADB=90°，∴.∠ABD 图方法总结证明线段的和羞关系常用延长藏取法：把校短的两 45°，∴.∠ABE=∠ABD-∠FBD=45°-25=20. 条线段中的一条延长，使延长部分等于另一条较短的线段，证7.(1)证明：∠A=∠ABC,∴.AC=BC.∠ABC=∠GBH, 明整条线段等于最长的那条线段 ∠A=∠GBH.EF⊥AB,GH⊥AB,.∠AFE= 3.45或135°解析：①若△ABC为锐角三角形，∠BAC为锐 ∠A=∠GBH, 角，如图1.：AD⊥BC,BE⊥AC,∴∠BDF=∠ADC ∠BHG=90°.在△AEF和△BGH中， ∠AFE=∠BHG, ∠BEC=90°，∴.∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°， EF-GH. I∠BHDF=∠ADC ∴.△AEF2△BGH(AAS).(2)解：由(1)得△AEF≌ ,'.∠DBF=∠DAC在△BDF和△AC中，∠DBF=∠DAC △BGH,.AF=BH,∴，AF-BF=BH一BF,即AB=FH BF-AC. 又AB=4,∴.FH=4.EF⊥AB,GH⊥AB,∴∠EFD= .△BDF2△ADC(AAS)..BD=AD.,.∠ABD=45,即 (∠EDF=∠GDH. ∠ABC=45.②若△ABC为钝角三角形，∠ABC为钝角，如 ∠GHD=90.在△EFD和△GHD中， ∠EFD=∠GHD. 图2.同理可证△BDF≌△ADC(AAS),.BD=AD, EF=GH. ∴∠ABD=45,.∠ABC=135°.综上所述，∠ABC的度数 ∴.△EFD2△GHD(AAS),.DH=DF.又FH=DFH 为45或135. DH.DH-DF-2FH-2X4-2. 忽关键点拨要求DH的长，需要根据△EFD≌△GHD证明D 是FH的中点，并根据△AEF≌△BGH求出FH的长 小练6三角形全等的条件(SSS) 1.B 解析：A选项根据“ASA”能够判定△ABC≌△A'B'C,故 不符合题意：B选项根据“SSA”不能判定两个三角形全等，故 符合题意：C选项根据“AAS”能够判定△AB2△A'BC,故不 符合题意：D选项根据“SSS”能够判定△ABC≌△A'BC,故 不符合题意 @关键点拨判定两个三角形全等的一般方法有：SAS、ASA, 图1 图2 AAS,SSS注意：AAA,SSA不能到定两个三角形全等.判定两 关键点拔分两种情况画出图形是解题的关健 个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时， 4.(1)证明：'∠BCE=∠ACD,.∠BCE-∠ACE=∠ACD 角必须是两边的夹角才能判定两个三角形全等 ∠ACE,即∠BCA=∠ECD.在△ABC和△DEC中， 2.B解析：由题意可得，OA=OC,∠AOE=∠COF.当添加条 ∠BAC=∠D, 件∠A=∠C时，可根据“ASA"证得△AOE≌△COF,故A ∠BCA=∠ECD,∴.△ABC≌△DEC(AAS),,AC=CD 选项不符合题意：当添加条件AE=CF时，无法判定 BC-CE. △AOE≌△COF,故B选项符合题意：当添加条件AB∥CD (2)解：由(1)，得AC=CD.又，∠ACD=80,∴.∠CAD= 时，则∠A=∠C,可根据“ASA"证得△ACOE2△COF,故C ∠D=号(18r-∠AcD)=号×(180°-80m=50.又：AE- 选项不符合题意：当添加条件)E=)F时，可根据“SAS”证 得△AOE≌△COF,故D选项不符合题意 小练大卷得商分·数学·八年级上册答案 ·D4·