辽宁省鞍山市重点高中协作校2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷A

2024年期中考试 高三数学试题(A) 参考答案 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A B D B C D A BC CD BD 三．填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.6 ; 13. ；14.5x-y+2=0 四．解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分13分）注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 解：选条件①：； （Ⅰ） ， 所以的最小正周期是． ………………7分 （Ⅱ）因为， 所以≤≤， 所以≤≤， 所以≤≤， 当，即时，有最小值． ………………13分 选条件②：． （Ⅰ） ， 所以最小正周期是． ………………7分 （Ⅱ）因为， 所以≤≤， 所以≤≤， 当，即时，有最小值． ………………13分 16.（本小题满分15分） 解析：(1)证明：由PE⊥EB，PE⊥ED，EB∩ED＝E，所以PE⊥平面EBCD，又BC⊂平面EBCD， 故PE⊥BC，又BC⊥BE，PE∩BE＝E，故BC⊥平面PEB，EM⊂平面PEB，故EM⊥BC， 又等腰三角形PEB，EM⊥PB，BC∩PB＝B，故EM⊥平面PBC， EM⊂平面EMN，故平面EMN⊥平面PBC； ………………7分 (2)以E为原点，EB，ED，EP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设PE＝EB＝2，设N(2，m,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，M(1,0,1)， ＝(1,0,1)，＝(2,0,0)，＝(2，m,0)， 设平面EMN的法向量为＝(x，y，z)， 由，得＝(m，－2，－m)， 平面BEN的法向量为＝(0,0,1)， 故|cos〈，〉|＝＝，得m＝1， 故存在N为BC的中点． ………………15分 17.（本小题满分15分） 解析：（1）由已知及正弦定理得 又 由，可得 又 ………………6分 （2）的面积． 由已知及余弦定理得 又，故， 当且仅当时，等号成立． 因此的面积的最大值为 ………………15分 18.（本小题满分17分） 解：（Ⅰ） 因为， 所以曲线在点处的切线方程为. ………...….….…...5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：，（） 因为，令，所以或， 当时，， 则的变化情况如下表： 极大值 极小值 当时，，则 恒成立，在内恒增； 当时，，则 的变化情况如下表： 极大值 极小值 综上，当时，单调递增区间是和，单调递减区间是； 当时，单调递增区间是，无单调递减区间； 当时，单调递增区间是和 ，单调递减是. ………...….…………...….…11分 （Ⅲ）当时，令，得或，易知 则的变化情况如下表： 极小值 极大值 所以当时，取得极小值 由于，则，，， 所以由极小值定义及的单调性可知：当时，. 接下来，研究在的变化情况. 因为恒成立，设 对称轴，， 所以由二次函数的性质可知：当时，恒成立 所以在时恒成立. 综上所述：当时，. ………...….…………...….…...17分 19.（本小题满分17分） （Ⅰ）（或 ） ………...….…………...….…...5分 （Ⅱ）必要性：因为数列是递减数列， 所以 ， 所以 是首项为，公差为的等差数列， 所以 ………...….…………...….…...…8分 充分性：由于，，…， 所以 ， 即 ， 因为 ，所以 ，， 所以数列是递减数列. 综上，结论得证． . .…...….……………...…11分 （Ⅲ）令 ， 则 ． 因为 ， ， ， 所以 因为，所以为偶数， 所以为偶数． 所以要使，必须使为偶数，即整除， 亦即或 ． 当时， 数列的项满足，，时， 有，； 当时， 数列的项满足，，，时， 有，． 当，时，不能被整除， 此时不存在数列使得，． . .…...….…………...17分 高三数学试卷(A) 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年度上学期期中考试 二. 选择题;本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题 高三数学A 日要,全部选对的6分,分选对的得3分,有选错的得0分. 9.设数列a是差数列,公差为.8.是其前。项和,>且S.一S是 A.d- B-0 C.S.减S.为S.的大错 时间:120分钟 满分:150分 D.S$t 命题范围:合和逻幅用语、不等式、函数、导数及其应用、三角函数、平面向量、复数 () 数列,三角形,立体几气 第1卷(选择题,共58分) A.f(t)的最小正周期为4t 一.选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 B.f(x)在区闻-1.1]上单调 是符合题目要的. C.使/(x)取得是小的:含为xlx-4k+2.kez 1合4-(xi-2<xc4).:-(2.3.4.5.则40- () B.(3.4 A.[2.3.4 C.{2 D.{2 D./(x)的象可由曲线y-1-sin向右平移1个单位长度得到 11.如图所示,若长方体AC的底面是边长为2的正方形,高为4E.是DD.的中点,则 1.已知1为虑数位,若(2+i):一1,题复数:在复平面内对应的点位子 ) A第一 B.第二限 C第三限 D.第因限 1.锻数/()-r-.则f(10是 ) A奇涵数,且在(0,+)遂减 B奇运数,且在0.4)单满递 C.偶涵数,且在(0,4o)单送 D.涵数,且在(0.4)词 4.*Vr-2.1,-250”为真命题的一个充分不必要务件是 Aa0 B.a1 C.a2 D3 ) A.BE1.AB 5.记5.为答差数列()的前“项和,若5-3,5.-15,则5. B.三梳C-B:.CE的体%{ A B45 C_ D.75 C平面BCE/平面A.B D.三接C.-B.CD.的外接球的表面积为24 6.已a是第二象题的角,tan(n十-一.则o2 # n 第11卷(非选择题,共92分) _1 B- 三.填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分。 7.己知围的全面积是底面积的3倍,恶么这个医的幅要积展开图的喝心角为( n已如面向,是-(3.4).5-6·-孔-7.则-_. A60* 150 Cr% D.180* 13.在长方体ABCD-4BCD中.AB-BC-1.A4-.测异面直线AD与D8所成角 8已如定义在(04o)的选数/n),f0x)-x-f(x)c0,若0<a<,则一定有 的余为___. A.b(a)a) B.bf(a]>a()C.af(a)>b) D.a(a)hf( x+2 高三数A第1页(共1页) 四.解答题;本题共5小题,共77分,答应写出文字说明,证明过程难演篇步题 17.(小题满分15分) 15.(本小题澳分13分) AMBC中内角4.B.C的对边分预为.b.:已规a=bcosC+&sinB 己知涵数g(x)-sin(x-,x)-cosx,从条①/(r)-g(x)-x). (1B: 条②/(x)-g(x)+对这两个条件中选择一个作为已知,求 ②若2,求A4限C面的最大值 (1)f的最小正罔期 (I)f(o在区闻[0.]上的小值 18.(本小题满分17分) 注:如果选择条件①和条件②分题解答,按一个解答计分 已数/(-]r-1 (1)求注线y-/()在点(.-》处的初些方程 (II)当。0时,求/(x)的单调区同 (I):-1时,f. 16.(本小题分15分) 如图,在富角形ABCD中,AB/DC。乙4C-90,AB-2DC-2BC,E为AB的中 点;治适指人A折起 使得点A警点P位置,目E上E路:M为显的中点N是别 19.(本小题满分17分) 上的动点(与点B.C不合) 若数列A.:6.8.a.(n2)足l-=1=12-a-1):4为E数列,记 4)=+4. (1)写出一个满足a-2.-0,且S04)-0的E数列A: (II)若-2024.:-2023,证明E数列A.是送减数到的充要条件是。-2; 1证:平N正平面C (III)对任意给定的整数n(2,是否存在首项为0的&数列4.,使S(A)-0 (2)是否存在点N.使得二面角B-ENM的余弦值为?若存在,确定N点位置。若不存 如果存在,写出一个学足条件的E数列义:如果不存在,说明理由 在,说理由. 高三数学A第:页(共:页)