2.7.1 抛物线的标准方程（讲义，6大题型）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第一册）

2.7.1 抛物线的标准方程 1、理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程； 2、掌握抛物线的定义及其标准方程的应用． 知识点1 抛物线的定义 1、定义：把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2、抛物线的集合表示：． 3、要点辨析： （1）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线． （2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质． 知识点2 抛物线的标准方程 1、抛物线四种标准方程 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 2、对标准方程的理解 （1）标准方程的特征：等号的一边是某个变量的平方，等号的另一边是另一个变量的一次单项式． （2）抛物线标准方程中参数p的几何意义：抛物线的焦点到准线的距离（焦准距），所以p的值恒大于0． （3）焦点的非零坐标是一次项系数的． （4）准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称． （5）方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向．p的值决定开口大小，p越大，则抛物线开口越大；p越小，则抛物线开口越小． （6）抛物线虽然是不封闭图形，但与双曲线不同，它没有渐近线． 【常用解题技巧】 1、由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法 （1）已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参数，从而得焦点坐标与准线方程，要注意； （2）焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定，系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴． 2、求抛物线标准方程的方法 （1）直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数； （2）待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为或； 注意：①已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式； ②已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图形及开口方向确定． 题型一 抛物线的定义及其应用 【例1】（24-25高二上·云南昆明·期中）已知为抛物线的焦点，点在上，且，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高二上·江苏南京·期中）若抛物线上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 【变式1-2】（24-25高二上·河南·期中）已知为抛物线的焦点，点，，在抛物线上，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高二上·广西柳州·期中）如图，M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角， .    题型二 根据方程求焦点坐标或准线方程 【例2】（24-25高二上·北京·月考）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二上·浙江宁波·月考）抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二下·河南安阳·期中）已知抛物线经过点，则的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高二上·江西·期中）抛物线的准线方程为 ． 题型三 求抛物线的标准方程 【例3】（23-24高二下·湖北荆州·月考）已知抛物线的焦点坐标为，则抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二上·上海·期中）顶点在坐标原点，焦点在轴，且经过的抛物线的标准方程为 . 【变式3-2】已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的标准方程为 ． 【变式3-3】（24-25高三上·江西南通·开学考试）顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 题型四 与抛物线有关的轨迹问题 【例4】（24-25高二上·浙江宁波·期中）若点到直线和它到点的距离相等，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高三上·北京房山·期末）已知平面直角坐标系中，动点到的距离比到轴的距离大2，则的轨迹方程是 . 【变式4-2】（23-24高二下·甘肃白银·期中）若圆与轴相切且与圆外切，则圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】设，点在轴上，点在轴上，且，，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为 ． 题型五 抛物线的实际应用 【例5】（23-24高三上·湖南长沙·月考）假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽为，渠深为，水面距为，则截面图中水面宽的长度约为（    ）（，，） A．0.816m B．1.33m C．1.50m D．1.63m 【变式5-1】（23-24高二上·山东滨州·期末）如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽.当水面上升后，水面宽为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高二上·四川德阳·期末）一种卫星接收天线（如图①所示）的曲面是旋转抛物面（抛物线围绕其对称轴旋转而得的一种空间曲面，抛物线的对称轴、焦点、顶点分别称为旋转抛物面的轴线、焦点、顶点），已知卫星波束以平行于旋转抛物面的轴线的方式射入该卫星接收天线经反射后聚集到焦点处（如图②所示），已知该卫星接收天线的口径（直径）为6m，深度为1m，则其顶点到焦点的距离等于（    ） A． B． C．1m D． 【变式5-3】（23-24高二上·北京通州·期末）如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于，已行车道AB总宽度，则车辆通过隧道的限制高度为 m． 题型六 与抛物线有关的最值问题 【例6】（24-25高三上·江苏南通·月考）已知点P在抛物线上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高二上·江苏泰州·月考）已知抛物线的焦点为，定点，点是抛物线上一个动点，则的最小值为 . 【变式6-2】（23-24高二下·上海闵行·期末）设是以为焦点的抛物线上的动点，是圆上的动点，则的最小值为 ． 【变式6-3】（24-25高二上·江西南昌·期中）已知直线和直线，拋物线上一动点到直线直线的距离之和的最小值是 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.7.1 抛物线的标准方程 1、理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程； 2、掌握抛物线的定义及其标准方程的应用． 知识点1 抛物线的定义 1、定义：把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2、抛物线的集合表示：． 3、要点辨析： （1）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线． （2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质． 知识点2 抛物线的标准方程 1、抛物线四种标准方程 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 2、对标准方程的理解 （1）标准方程的特征：等号的一边是某个变量的平方，等号的另一边是另一个变量的一次单项式． （2）抛物线标准方程中参数p的几何意义：抛物线的焦点到准线的距离（焦准距），所以p的值恒大于0． （3）焦点的非零坐标是一次项系数的． （4）准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称． （5）方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向．p的值决定开口大小，p越大，则抛物线开口越大；p越小，则抛物线开口越小． （6）抛物线虽然是不封闭图形，但与双曲线不同，它没有渐近线． 【常用解题技巧】 1、由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法 （1）已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参数，从而得焦点坐标与准线方程，要注意； （2）焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定，系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴． 2、求抛物线标准方程的方法 （1）直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数； （2）待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为或； 注意：①已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式； ②已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图形及开口方向确定． 题型一 抛物线的定义及其应用 【例1】（24-25高二上·云南昆明·期中）已知为抛物线的焦点，点在上，且，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意可抛物线的焦点坐标为，准线方程为； 设，易知，解得， 代入抛物线方程可得，解得.故选：D 【变式1-1】（24-25高二上·江苏南京·期中）若抛物线上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解析】设点，由得， 可得或（舍去），即， 所以M到抛物线的准线的距离， 根据抛物线定义得选项C正确．故选：C 【变式1-2】（24-25高二上·河南·期中）已知为抛物线的焦点，点，，在抛物线上，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，， 设，，， 是的重心，则， ，故选：A． 【变式1-3】（24-25高二上·广西柳州·期中）如图，M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角， .    【答案】4 【解析】抛物线的准线为，过M作MB垂直于直线，垂足为B，作FA⊥MB于A， 直线与x轴交于点K，如图：    则轴，即，四边形ABKF是矩形，中，， 由抛物线定义知，，而， 则，解得， 所以.故答案为：4. 题型二 根据方程求焦点坐标或准线方程 【例2】（24-25高二上·北京·月考）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据抛物线标准方程为可得其焦点坐标为.故选：B 【变式2-1】（24-25高二上·浙江宁波·月考）抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得，故，且开口向下， 故抛物线的准线方程是.故选：C. 【变式2-2】（23-24高二下·河南安阳·期中）已知抛物线经过点，则的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，，解得， 所以抛物线的焦点坐标为.故选：B 【变式2-3】（24-25高二上·江西·期中）抛物线的准线方程为 ． 【答案】 【解析】抛物线的标准方程为，所以其准线方程为．故答案为：. 题型三 求抛物线的标准方程 【例3】（23-24高二下·湖北荆州·月考）已知抛物线的焦点坐标为，则抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，设抛物线方程为， 由焦点坐标为，得，即， 所以抛物线的标准方程为.故选：B. 【变式3-1】（24-25高二上·上海·期中）顶点在坐标原点，焦点在轴，且经过的抛物线的标准方程为 . 【答案】 【解析】由题意，可设抛物线方程为， 又抛物线经过， 所以，解得， 所以所求抛物线方程为，故答案为： 【变式3-2】已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的标准方程为 ． 【答案】 【解析】由椭圆的方程可得， 所以椭圆的右焦点为， 所以，即， 所以抛物线的标准方程为．故答案为：. 【变式3-3】（24-25高三上·江西南通·开学考试）顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设抛物线方程为或， 依题意知，∴. ∴抛物线方程为.故选：C. 题型四 与抛物线有关的轨迹问题 【例4】（24-25高二上·浙江宁波·期中）若点到直线和它到点的距离相等，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为点到直线和它到点的距离相等， 所以，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 设其方程为，则，可得， 故点的轨迹方程为.故选：D. 【变式4-1】（23-24高三上·北京房山·期末）已知平面直角坐标系中，动点到的距离比到轴的距离大2，则的轨迹方程是 . 【答案】或 【解析】设点，依题意，，即，整理得， 所以的轨迹方程是或. 故答案为：或 【变式4-2】（23-24高二下·甘肃白银·期中）若圆与轴相切且与圆外切，则圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆心坐标为，依题意可得，化简得， 即圆的圆心的轨迹方程为.故选：C 【变式4-3】设，点在轴上，点在轴上，且，，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】设，，， 则，，， 因为，则， 又因为，则，即， 可得，即． 故点的轨迹方程是． 故答案为：. 题型五 抛物线的实际应用 【例5】（23-24高三上·湖南长沙·月考）假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽为，渠深为，水面距为，则截面图中水面宽的长度约为（    ）（，，） A．0.816m B．1.33m C．1.50m D．1.63m 【答案】D 【解析】以为原点，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的标准方程为（）， 由题意可得，代入得，得，故抛物线的标准方程为， 设（，），则，则， 即可得， 所以截面图中水面宽的长度约为，故选：D. 【变式5-1】（23-24高二上·山东滨州·期末）如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽.当水面上升后，水面宽为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】以拱形顶点为原点，建立如图所示平面直角坐标系，则， 设抛物线方程为， 则有，解得，得抛物线方程为， 令，则，得， 所以，当水面上升后，水面宽为m.故选：C 【变式5-2】（23-24高二上·四川德阳·期末）一种卫星接收天线（如图①所示）的曲面是旋转抛物面（抛物线围绕其对称轴旋转而得的一种空间曲面，抛物线的对称轴、焦点、顶点分别称为旋转抛物面的轴线、焦点、顶点），已知卫星波束以平行于旋转抛物面的轴线的方式射入该卫星接收天线经反射后聚集到焦点处（如图②所示），已知该卫星接收天线的口径（直径）为6m，深度为1m，则其顶点到焦点的距离等于（    ） A． B． C．1m D． 【答案】A 【解析】如图所示，以接收天线的轴截面所在平面上建立平面直角坐标系， 使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在上， 设抛物线的标准方程为， 由已知得在抛物线上，所以，得， 其顶点到焦点的距离等于.故选：A. 【变式5-3】（23-24高二上·北京通州·期末）如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于，已行车道AB总宽度，则车辆通过隧道的限制高度为 m． 【答案】/ 【解析】取隧道截面，抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立直角坐标系， 设抛物线方程为，由图易知抛物线过点， 所以，得到，故抛物线方程为， 又行车道AB总宽度，将代入，得到， 所以限制高度为， 故答案为：. 题型六 与抛物线有关的最值问题 【例6】（24-25高三上·江苏南通·月考）已知点P在抛物线上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设点P的坐标为，则， 且， 又因为，所以当时，有最小值. 所以的最小值为.故选：D 【变式6-1】（24-25高二上·江苏泰州·月考）已知抛物线的焦点为，定点，点是抛物线上一个动点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】设抛物线的准线为，则. 如图，过作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为， 则，又， 当且仅当共线且在之间时等号成立， 故的最小值为12，故答案为：. 【变式6-2】（23-24高二下·上海闵行·期末）设是以为焦点的抛物线上的动点，是圆上的动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【解析】抛物线的准线为，设点到准线的距离为， 圆心，圆心到准线的距离为，则， 则， 则的最小值为4. 故答案为：4. 【变式6-3】（24-25高二上·江西南昌·期中）已知直线和直线，拋物线上一动点到直线直线的距离之和的最小值是 【答案】3 【解析】由题意可得：拋物线的焦点，准线， 设动点直线的距离分别为， 点到直线的距离为， 则，可得， 当且仅当点在点到直线的垂线上且在与之间时，即时，等号成立， 动点到直线直线的距离之和的最小值是3. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$