2.7.1 抛物线的标准方程（6大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第一册）

2.7.1 抛物线的标准方程 题型一 抛物线的定义及其应用 1．（23-24高二下·青海·期末）已知F为抛物线的焦点，点M在C上，且，则点M到y轴的距离为（    ） A．6 B．5 C．4 D． 【答案】C 【解析】由题意及抛物线定义，点M到C的准线的距离为6， 所以点M到y轴的距离为.故选：C． 2．（24-25高二上·江苏泰州·月考）已知抛物线的焦点为，点在上.若到直线的距离为8，则=（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【解析】因为抛物线的焦点，准线方程为， 点在上，由到直线的距离为8· 所以到准线的距离为7， 由抛物线的定义可知：到准线的距离等于到焦点的距离， 所以，故选：A. 3．（24-25高二上·河南信阳·期中）已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【解析】抛物线的焦点为，准线方程为， 设，则，解得或（舍去）， 则．故选：B． 4．（23-24高二下·四川凉山·期末）已知为拋物线上一点，且到抛物线焦点的距离为4，它到轴的距离为3，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解析】由题意得，，即，解得.故选：. 题型二 根据方程求焦点坐标或准线方程 1．（24-25高二上·陕西渭南·期中）抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】抛物线的准线方程是， 而，所以， 所以抛物线的准线方程是.故选：. 2．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由化得，故物物线的标准方程为，所以，则， 所以抛物线的准线方程为.故选：B. 3．（24-25高二上·山东德州·月考）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由抛物线方程，可知抛物线标准方程为， 则，故焦点坐标为.故选：C. 4．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知抛物线的方程为，则其准线方程为 ． 【答案】 【解析】由题意可知，且焦点在x轴的正半轴上， 所以其准线方程为. 故答案为：. 题型三 求抛物线的标准方程 1．（24-25高二上·湖北随州·月考）（多选）顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】因为点在第二象限，所以抛物线有开口向左或开口向上两种情况， 若抛物线开口向左，设抛物线方程为，代入抛物线方程， 有，解得，所以抛物线方程为，所以A正确； 若抛物线开口向上，设抛物线方程为，代入抛物线方程， 有，解得，所以抛物线方程为，所以C正确.故选：AC 2．（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知抛物线：过点，则抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于抛物线：过点，所以，， 所以抛物线方程为，，， 所以抛物线的准线方程为.故选：B. 3．已知抛物线上与焦点距离等于的点的纵坐标为，则该抛物线标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】设满足条件的点为， 则到的准线的距离为， 设，所以， 解得或，故所求方程为或．故选：C 4．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知抛物线的焦点是圆的圆心，则该抛物线的标准方程为 ． 【答案】． 【解析】圆的标准方程为， 圆心坐标为，即焦点坐标为， ，抛物线的标准方程为． 故答案为：． 题型四 与抛物线有关的轨迹问题 1．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则，整理得， 所以动点的轨迹方程是.故选：A. 2．（23-24高二上·江苏南京·月考）若动点到点的距离比它到直线的距离大1，则的轨迹方程是 ． 【答案】 【解析】将化为， 动点到点的距离比它到直线的距离大1， 则动点到点的距离与它到直线的距离相等， 由抛物线定义可知动点的轨迹为抛物线， 该抛物线以为焦点，以为准线，开口向右， 设，所以，解得， 所以抛物线方程为， 故答案为：. 3．（24-25高二上·江西德兴·期中）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，则线段中点的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】由题意知直线的斜率不为0，设的方程为， 联立抛物线方程，得，， 设，则， 设线段中点，则， 即，故线段中点的轨迹方程为，即， 故答案为： 4．在平面直角坐标系xOy中，动圆M与圆N：相内切，且与直线相切，记动圆圆心M的轨迹为曲线C．求曲线C的方程． 【答案】． 【解析】解：设动圆圆心，半径为r， 依题意，，， 消去r，得，化简得， 所以曲线C的方程为． 题型五 抛物线的实际应用 1．（23-24高三下·山西晋城·一模）吉林雾淞大桥，位于吉林市松花江上，连接雾淞高架桥，西起松江东路，东至滨江东路．雾淞大桥是吉林市第一座自锚式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均为抛物线（设该抛物线的焦点到准线的距离为米）的一部分，左：右两边的悬索各连接着29根吊索，且同一边的相邻两根吊索之间的距离均为米（将每根吊索视为线段）．已知最中间的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为米，则最靠近前主塔的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【解析】以为坐标原点，抛物线的对称轴为轴， 建立如图所示的平面直角坐标系（横坐标与纵坐标的单位均为米）， 依题意可得抛物线的方程为． 因为同一边的悬索连接着29根吊索，且相邻两根吊索之间的距离均为米，则点的横坐标为， 则，所以点到桥面的距离为米． 故选：A. 2．（23-24高二上·广东·期末）如图1，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单､方向性强､工作频带宽等特点.图2是图1的轴截面，两点关于抛物线的对称轴对称，是抛物线的焦点，是馈源的方向角，记为，若，则到该抛物线顶点的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，    设抛物线的方程为， 则，即， 所以，解得（舍去）或，则到顶点的距离为3.故选：B 3．（23-24高二上·广西百色·期末）如图是一座抛物线型拱桥，当桥洞内水面宽时，拱顶距离水面，当水面上升后，桥洞内水面宽为 ；    【答案】 【解析】以抛物线顶点为原点，对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系：    设抛物线方程为， 由题意可得：因为桥洞内水面宽时，拱顶距离水面， 所以在抛物线上， 所以解得， 所以抛物线方程为 当水面上升后，不妨设由图可知 则，解得， 所以， 所以当水面上升后，桥洞内水面宽为. 故答案为：. 4．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）如图所示的拋物线型拱桥，设水面宽米，拱顶距水面8米，一货船在水面上的部分的横截面为一矩形，若米，则不超过 米时，才能使货船通过拱桥． 【答案】 【解析】 以拋物线顶点建立如图所示平面直角坐标系， 则，由，拱顶距水面8米，故， 设该抛物线方程为，有， 解得，即， 由，令，则，即， ，故不超过米时，才能使货船通过拱桥.故答案为：. 题型六 与抛物线有关的最值问题 1．（24-25高二上·陕西渭南·期中）已知，P为抛物线上任一点，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，是抛物线上的点，设， 则， 对于函数，当时，， 所以的最小值是， 即的最小值为.故选：C 2．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）已知点，且是抛物线的焦点，为上任意一点，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解析】抛物线的焦点为，准线为， 当时，，因为，所以在抛物线内， 过作于，则， 所以， 由图可知当三点共线时，最小，则最小值为. 故选：D 3．已知抛物线的焦点为，定点为上一动点，则的最小值为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】A 【解析】易知抛物线的准线方程为，过作的准线的垂线，垂足为， 由抛物线的定义可知，所以， 当且仅当三点共线且准线时，等号成立．故的最小值为12．故A正确. 故选：A. 4．（24-25高二上·江苏南京·期中）抛物线的准线为l，M为上的动点，则点到与到直线的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 如图，抛物线的焦点为, 根据抛物线的定义可知，点到的距离等于, 所以点到与到直线的距离之和即为与到直线的距离之和， 由图可知，与到直线的距离之和的最小值为焦点到直线的距离， 所以即为所求，故选: D. 1．（24-25高二上·江西·期中）已知抛物线的焦点为，是上第一象限内的一点，且，直线过点，当原点到的距离最大时，的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，由，得，，所以， 可得，所以直线的斜率为， 当原点到的距离最大时，，的斜率为， 所以的方程为，即．故选：D． 2．（23-24高二下·内蒙古·期末）已知是抛物线的焦点，点在上，则（   ） A．以为直径的圆与轴相切，切点为 B．以为直径的圆与轴相切，切点为 C．以为直径的圆与的准线相切，切点为 D．以为直径的圆与的准线相切，切点为 【答案】B 【解析】由点在：，得，解得，则抛物线的焦点， 以为直径的圆的圆心，半径， 圆心到轴的距离，圆心到抛物线准线的距离， 因此以为直径的圆与轴相切，切点为，A错误，B正确； 以为直径的圆与的准线相离，CD错误.故选：B 3．（24-25高二上·江西南昌·期中）一个工业凹槽的截面是一条抛物线的一部分，它的方程是，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【解析】设，是抛物线上任一点，显然， 抛物线内以为圆心的圆能过原点，则的最小值是， ， 所以时，取得最小值， 若，则点不可能是原点，即抛物线的顶点，不合题意， 若，即，则时，，此时圆半径为，最大值是2.故选：C． 4．（23-24高二上·山西长治·期末）（多选）如图所示是某家用汽车远光灯示意图，其中心截口曲线是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，且灯口直径是，灯深，则（    ） A．远光灯光线按照路径射向远处 B．光源到反光镜顶点的距离是 C．与抛物线对称轴垂直的光线长度为 D．灯口上任意一点到焦点的距离是 【答案】AD 【解析】对于选项A：根据题意可知：远光灯光线按照路径射向远处，故A正确； 如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系， 设抛物线方程为，可知， 可得，解得， 所以抛物线方程为，焦点坐标为， 对于选项B：光源到反光镜顶点的距离是，故B错误； 对于选项C：与抛物线对称轴垂直的光线长度为，故C错误； 对于选项D：灯口上任意一点到焦点的距离是，故D正确；故选：AD. 5．（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知抛物线的焦点为F，直线l过点F且倾斜角为，若抛物线C上存在点M与点关于直线l对称，则 ． 【答案】1 【解析】，∴， 设点，则中点在直线上， 则，即①， 又∵，即∴②， 联立①②可得，又∵对称点在上， ∴，即，∴（舍去）或 故答案为：1 6．（23-24高二上·浙江·期末）已知点在抛物线上，过作的准线的垂线，垂足为，点为的焦点．若，点的横坐标为1，则 ． 【答案】 【解析】如图所示，不妨设点在第一象限，因为点的横坐标为， 联立方程组，解得，即， 又由，可得轴， 因为，可得， 所以直线的倾斜角为， 因为抛物线的焦点为，则， 整理得且，解得， 即，解得或（舍去）. 故答案为：. 7．（23-24高二上·吉林·期末）如图，已知抛物线经过点，是抛物线的焦点，以为始边，为终边的角. (1)求抛物线的标准方程； (2)求. 【答案】(1);(2)4 【解析】（1）把代入得，所以， 即抛物线的方程为. （2）如图，过作垂直于准线，垂足为，过作，垂足为， 由定义知， 所以， 因为，所以，又， 所以， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.7.1 抛物线的标准方程 题型一 抛物线的定义及其应用 1．（23-24高二下·青海·期末）已知F为抛物线的焦点，点M在C上，且，则点M到y轴的距离为（    ） A．6 B．5 C．4 D． 2．（24-25高二上·江苏泰州·月考）已知抛物线的焦点为，点在上.若到直线的距离为8，则=（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 3．（24-25高二上·河南信阳·期中）已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．（23-24高二下·四川凉山·期末）已知为拋物线上一点，且到抛物线焦点的距离为4，它到轴的距离为3，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 题型二 根据方程求焦点坐标或准线方程 1．（24-25高二上·陕西渭南·期中）抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山东德州·月考）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知抛物线的方程为，则其准线方程为 ． 题型三 求抛物线的标准方程 1．（24-25高二上·湖北随州·月考）（多选）顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知抛物线：过点，则抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 3．已知抛物线上与焦点距离等于的点的纵坐标为，则该抛物线标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知抛物线的焦点是圆的圆心，则该抛物线的标准方程为 ． 题型四 与抛物线有关的轨迹问题 1．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江苏南京·月考）若动点到点的距离比它到直线的距离大1，则的轨迹方程是 ． 3．（24-25高二上·江西德兴·期中）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，则线段中点的轨迹方程为 . 4．在平面直角坐标系xOy中，动圆M与圆N：相内切，且与直线相切，记动圆圆心M的轨迹为曲线C．求曲线C的方程． 题型五 抛物线的实际应用 1．（23-24高三下·山西晋城·一模）吉林雾淞大桥，位于吉林市松花江上，连接雾淞高架桥，西起松江东路，东至滨江东路．雾淞大桥是吉林市第一座自锚式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均为抛物线（设该抛物线的焦点到准线的距离为米）的一部分，左：右两边的悬索各连接着29根吊索，且同一边的相邻两根吊索之间的距离均为米（将每根吊索视为线段）．已知最中间的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为米，则最靠近前主塔的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（23-24高二上·广东·期末）如图1，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单､方向性强､工作频带宽等特点.图2是图1的轴截面，两点关于抛物线的对称轴对称，是抛物线的焦点，是馈源的方向角，记为，若，则到该抛物线顶点的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 3．（23-24高二上·广西百色·期末）如图是一座抛物线型拱桥，当桥洞内水面宽时，拱顶距离水面，当水面上升后，桥洞内水面宽为 ；    4．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）如图所示的拋物线型拱桥，设水面宽米，拱顶距水面8米，一货船在水面上的部分的横截面为一矩形，若米，则不超过 米时，才能使货船通过拱桥． 题型六 与抛物线有关的最值问题 1．（24-25高二上·陕西渭南·期中）已知，P为抛物线上任一点，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）已知点，且是抛物线的焦点，为上任意一点，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．已知抛物线的焦点为，定点为上一动点，则的最小值为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 4．（24-25高二上·江苏南京·期中）抛物线的准线为l，M为上的动点，则点到与到直线的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高二上·江西·期中）已知抛物线的焦点为，是上第一象限内的一点，且，直线过点，当原点到的距离最大时，的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·内蒙古·期末）已知是抛物线的焦点，点在上，则（   ） A．以为直径的圆与轴相切，切点为 B．以为直径的圆与轴相切，切点为 C．以为直径的圆与的准线相切，切点为 D．以为直径的圆与的准线相切，切点为 3．（24-25高二上·江西南昌·期中）一个工业凹槽的截面是一条抛物线的一部分，它的方程是，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（    ） A． B．1 C．2 D． 4．（23-24高二上·山西长治·期末）（多选）如图所示是某家用汽车远光灯示意图，其中心截口曲线是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，且灯口直径是，灯深，则（    ） A．远光灯光线按照路径射向远处 B．光源到反光镜顶点的距离是 C．与抛物线对称轴垂直的光线长度为 D．灯口上任意一点到焦点的距离是 5．（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知抛物线的焦点为F，直线l过点F且倾斜角为，若抛物线C上存在点M与点关于直线l对称，则 ． 6．（23-24高二上·浙江·期末）已知点在抛物线上，过作的准线的垂线，垂足为，点为的焦点．若，点的横坐标为1，则 ． 7．（23-24高二上·吉林·期末）如图，已知抛物线经过点，是抛物线的焦点，以为始边，为终边的角. (1)求抛物线的标准方程； (2)求. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$